Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện (LV thạc sĩ)

Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện (LV thạc sĩ)Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện (LV thạc sĩ)Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện (LV thạc sĩ)Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện (LV thạc sĩ)Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện (LV thạc sĩ)Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện (LV thạc sĩ)Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện (LV thạc sĩ)Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện (LV thạc sĩ)Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện (LV thạc sĩ)Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện (LV thạc sĩ)Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

LÊ THỊ THANH TÂM

TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN

VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

LÊ THỊ THANH TÂM

TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN

VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành :Toán ứng dụng

Mã số : 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2016

Mục lục

Chương 1 Phương trình toán tử đặt không chỉnh 3

1.1 Không gian Hilbert 3

1.1.1 Định nghĩa và tính chất 3

1.1.2 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert 11

1.2 Phương trình toán tử đặt không chỉnh 16

1.2.1 Khái niệm và ví dụ về bài toán đặt không chỉnh 16

1.2.2 Toán tử hiệu chỉnh 18

Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và tốc độ hội tụ 22 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điệu 22

2.1.1 Mô tả phương pháp và sự hội tụ 23

2.1.2 Tốc độ hội tụ của phương pháp 27

2.2 Xấp xỉ hữu hạn chiều 29

2.2.1 Bài toán xấp xỉ hữu hạn chiều 29

2.2.2 Tốc độ hội tụ 32

Bảng ký hiệu

H không gian Hilbert thực

X∗ không gian đối ngẫu của X

C tập con đóng lồi của H

A toán tử đơn điệu trong không gian Hilbertdom(A) miền hữu hiệu của toán tử A

hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y

kxk chuẩn của vectơ x

xn→ x xnhội tụ mạnh đến x

xn* x xnhội tụ yếu đến x

fδ → f nhưng với bài toán đặt không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến

x0-nghiệm chính xác của bài toán Có rất nhiều phương pháp khác nhau để tìmlời giải cho bài toán này, một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi

và hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov

Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonovhiệu chỉnh bài toán đặt không chỉnh (1) trong trường hợp toán tử nhiễu đơn điệutrong không gian Hilbert: trình bày sự hội tụ của phương pháp, nghiên cứu tốc

độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và trình bày ví dụ minh họa

Nội dung của đề tài được viết trong hai chương Chương 1 có tiêu đề "Phươngtrình toán tử đặt không chỉnh" trình bày khái niệm về không gian Hilbert thực

và một số tính chất; giới thiệu về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert vàkhái niệm phương trình toán tử đặt không chỉnh trong không gian Hilbert cùngmột số ví dụ

Chương 2 có tiêu đề "Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và tốc độ hội tụ"trình bày về phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh

phi tuyến trong trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu; trình bày tốc độ hội tụ củaphương pháp hiệu chỉnh và ví dụ số minh họa.

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tácgiả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoahọc của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn

và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luậnvăn

Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích chocông tác và nghiên cứu của bản thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắctới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K8B (khóa2014–2016); Nhà trường và các phòng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin,trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tácgiả trong suốt thời gian học tập tại trường

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8B (khóa2014–2016) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình họctập, nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnhđạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốtnhất cho tác giả khi học tập và nghiên cứu

Tác giả

Lê Thị Thanh Tâm

Chương 1

Phương trình toán tử đặt không chỉnh

Chương này giới thiệu khái niệm và ví dụ về phương trình toán tử đặt khôngchỉnh Cụ thể: Mục 1.1 giới thiệu về không gian Hilbert thực và một số tính chấtcủa không gian Hilbert; trình bày định nghĩa toán tử đơn điệu trong không gianHilbert Mục 1.2 trình bày khái niệm và ví dụ về bài toán đặt không chỉnh; nêukhái niệm về toán tử hiệu chỉnh và ví dụ Các kiến thức của chương này đượcviết trên cơ sở tổng hợp các tài liệu [1], [3] và [4]

1.1 Không gian Hilbert

1.1.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.1.1 Một tập X được gọi là không gian tuyến tính trên R nếu với

mỗi cặp (x, y) ∈ X × X , một phần tử của X , ta gọi là tổng của x và y, ký hiệu là

x+ y; với mỗi α ∈ R và x ∈ X, một phần tử của X, gọi là tích của α và x, kýhiệu là αx thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) x + y = y + x với mọi x, y ∈ X (tính chất giao hoán);

(5) 1 · x = x · 1 = x, với mọi x ∈ X (1 là phần tử đơn vị);

(6) α(β x) = (αβ )x, với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X;

(7) (α + β )x = αx + β x), với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X;

(8) α(x + y) = αx + αy), với mọi α ∈ R, với mọi x, y ∈ X

Định nghĩa 1.1.2 Cho H là một không gian tuyến tính trên trường số thực R.

Tích vô hướng trên không gian H là một ánh xạ đi từ tích Descartes H × H vào

R, ký hiệu là h., i, thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H;

(2) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H;

(3) hαx, yi = αhx, yi với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R;

(4) hx, xi > 0 nếu x 6= 0 và hx, xi = 0 nếu x = 0

Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy ra

(1) hx, αyi = αhy, xi với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R;

(2) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với mọi x, y, z ∈ H

Định nghĩa 1.1.4 Không gian tuyến tính H cùng với một tích vô hướng trên nó

được gọi là một không gian tiền Hilbert

Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với

mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau:

|hx, yi|2≤ hx, xihy, yi (1.1)

0 ≤ hx − αy, x − αyi = hx, xi − 2αhx, yi + α2hy, yi

Từ đây suy ra

∆ = |hx, yi|2− hx, xihy, yi ≤ 0 với mọi x, y ∈ H

|hx, yi|2≤ hx, xihy, yi với mọi x, y ∈ H

Dấu đẳng thức trong bất đẳng thức (1.1) xảy ra khi và chỉ khi x và y phụthuộc tuyến tính

Định lý 1.1.6 Không gian tiền Hilbert H là một không gian tuyến tính định

chuẩn với chuẩn được xác định bởi

Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng

x 6= 0 và kxk = 0 nếu x = 0 với x ∈ H Từ điều kiện (1) và (3) của Định nghĩa1.1.2, ta suy ra kαxk = |α|.kxk với mọi α ∈ R và mọi x ∈ H Từ bất đẳng thứcSchwarz và cách định nghĩa chuẩn, ta có

|hx, yi| ≤ kxk.kyk với mọi x, y ∈ H (1.3)

Từ đó với mọi x, y ∈ H ta có

hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi

≤ kxk2+ 2kxk.kyk + kyk2= kxk + kyk
2

Định nghĩa 1.1.7 Nếu H là một không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối với

chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.2) thì H được gọi là không gianHilbert thực

|xn|2< +∞

o

là không gian Hilbert với tích vô hướng

hx, yi =

∞

∑n=1

|xn|2=

∞

∑n=1

|xn|2

1 2

Ví dụ 1.1.10 Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên khoảng

đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R Trong C[a, b], xét tích vô hướng

hx, yi =

a

x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b]

Không gian C[a, b] với chuẩn

là không gian tiền Hilbert, nhưng không phải là không gian Hilbert

Định lý 1.1.11 Giả sử {xn}n∈N, {yn}n∈N là hai dãy lần lượt hội tụ mạnh đến

x0, y0 trong không gian tiền Hilbert thực H Khi đó,

Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức cần chứng minh 

Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véc tơ x − y và x − z ta có hệ quảsau

Hệ quả 1.1.14 Cho H là một không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ H Khi đó, ta

Định lý 1.1.16 Giả sử (H, ||.||) là một không gian định chuẩn trên R trong đó

đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H Nếu đặt

hx, yi = 1

4



kx + yk2− kx − yk2, (1.4)

thì h., i là một tích vô hướng trên H và ta có hx, xi = kxk2

trong định nghĩa về tích vô hướng Thật vậy, các điều kiện (1) và (4) trong Địnhnghĩa 1.1.2 hiển nhiên được thỏa mãn

Định lý được chứng minh 

Định nghĩa 1.1.17. (i) Dãy {xn}∞

n=1 trong không gian Hilbert H được gọi làhội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu

Chú ý 1.1.18 (1) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ

yếu, nhưng điều ngược lại không đúng

(2) Mọi không gian Hilbert đều có tính chất Kadec–Klee, tức là nếu dãy {xn}trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện kxnk → kxk và xn* x,thì xn→ x khi n → ∞

1.1.2 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.19 Cho hai không gian tuyến tính X và Y Một ánh xạ A : X →

Y được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu:

(i) A(x1+ x2) = Ax1+ Ax2 với mọi x1, x2∈ X;

(ii) A(αx) = αAx với mọi x ∈ X và mọi α ∈ R

Chú ý 1.1.20 (1) Điều kiện (i) và (ii) trong Định nghĩa 1.1.19 tương đương

với:

A(α1x1+ α2x2+ + αkxk) = α1Ax1+ α2Ax2+ + αkAxk

với mọi xi ∈ X với mọi αi ∈ R, i = 1, , k

(2) Nếu Y ≡ X thì ta cũng nói A là toán tử trong X

Ký hiệuR(A) là miền giá trị của toán tử A, tức là tập hợp các phần tử y ∈ Ysao cho y = Ax với một x ∈ X nào đó Nếu y1, y2∈R(A) thì α1y1+ α2y2∈R(A)với mọi α1, α2∈ R nên R(A) là một không gian con của Y

Định nghĩa 1.1.21 Một toán tử A từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị

chặn (giới nội), nghĩa là tồn tại một hằng số dương K sao cho:

Ký hiệu mặt cầu tâm a bán kính r > 0 trong không gian X là S(a, r), nghĩa là

S(a, r) = {x ∈ X : kx − ak = r}

Hệ quả 1.1.23 Toán tử tuyến tính A bị chặn (liên tục) nếu tập các trị của nó

trên một mặt cầu (tùy ý) bị chặn.

mà kxk = 1 thì αx +x0∈ S, cho nên A(αx+x0) ≤ N, và do đó kαAx + Ax0k ≤ Nhay α kAxk ≤ N + kAx0k

Ví dụ 1.1.25 Cho X = Rk, Y = Rm, A(ξ1, ξ2, , ξk) = (η1, η2, , ηm) với

ηi =

k

∑j=1

am1 · · · amk







là ma trận của toán tử A Thật vậy, (1.7) là dạng tổng quát của toán tử tuyến tính

từ Rk vào Rm Cho A là toán tử tuyến tính bất kì từ Rk vào Rm Gọi e1, e2, , ek

và f1, f2, , fklà các cơ sở của Rk và Rm sao cho với mọi x = (ξ1, ξ2, , ξk) ∈

Rk, y = (η1, η2, , ηm) ∈ Rm:

x=

k

∑j=1

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con của H.

Định nghĩa 1.1.26 Tập C ⊂ H là một tập lồi nếu với mọi x1, x2∈ C và với mọi

số thực λ ∈ [0, 1] ta đều có λ x1+ (1 − λ )x2∈ C

Từ định nghĩa trên ta thấy tập /0 là một tập lồi

Định nghĩa 1.1.27 Hàm f : C → R được gọi là:

(i) lồi trên C nếu với mọi λ ∈ [0, 1], với mọi x, y ∈ C thì

f(λ x + (1 − λ ) y) ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y) ;

(ii) lồi chặt trên C nếu với mọi λ ∈ (0, 1), với mọi x, y ∈ C, x 6= y thì

f(λ x + (1 − λ ) y) < λ f (x) + (1 − λ ) f (y)

Định nghĩa 1.1.28 Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của không gian

Hilbert thực H, A : C → H là một ánh xạ Ánh xạ A được gọi là:

(i) L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại hằng số L dương sao cho

kA(x) − A(y)k ≤ L kx − yk ∀x, y ∈ C

Nếu 0 < L < 1 thì A là ánh xạ co, nếu L = 1 thì A là ánh xạ không giãn;(ii) bị chặn Lipschitz trên C nếu với mỗi tập con bị chặn B của C, A là ánh xạliên tục Lipschitz trên B

Định nghĩa 1.1.29 Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của không gian

Hilbert thực H, A : C → H là một ánh xạ Ánh xạ A được gọi là:

(i) đơn điệu trên C, nếu

hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ C;

(ii) η-đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số η dương sao cho

hA(x) − A(y), x − yi ≥ η kx − yk2 ∀x, y ∈ C;

(iii) hemi-liên tục (hemicontinuous) trên C nếu A(x + ty) * Ax khi t → 0 với mọi x, y ∈ C và demi-liên tục (demicontinuous) trên C nếu từ xn → x suy

Sau đây là một kết quả của lý thuyết toán tử đơn điệu được dùng trongChương 2

Bổ đề 1.1.30 Cho X là không gian Banach thực, X∗ là không gian đối ngẫu của X , f ∈ X∗ và A: X → X∗ là một toán tử hemi-liên tục Khi đó, nếu tồn tại

x0∈ X thỏa mãn bất đẳng thức:

hA(x) − f , x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ X

thì x0là nghiệm của phương trình A(x) = f

Nếu A là một toán tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương đương với

hA(x0) − f , x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ X

Bổ đề 1.1.30 gọi là bổ đề Minty, tên một nhà toán học Mỹ, người đã chứngminh kết quả trên trong trường hợp không gian Hilbert Sau này chính ông vàBrowder đã chứng minh một cách độc lập cho không gian Banach

Với toán tử r : X → Y từ không gian Banach X vào không gian Banach Y ,

ta sẽ viết r(x) = o(kxk) với x → 0X, nếu r(x)/kxk → 0 khi x → 0X Kí hiệuL(X ,Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y

Định nghĩa 1.1.31 Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào

không gian Banach Y Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X , nếutồn tại T ∈ L(X ,Y ) sao cho

A(x + h) = A(x) + T h + r(h)

Trong đó, lim

khk→0

kr(h)k khk = 0 Nếu tồn tại, thì T được gọi là đạo hàm Fréchet của

Atại x, và ta viết A0(x) = T

1.2 Phương trình toán tử đặt không chỉnh

Trong mục này, ta xét phương trình toán tử

ở đây, A là một toán tử từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y , f làmột phần tử thuộc Y

1.2.1 Khái niệm và ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

Định nghĩa 1.2.1 Bài toán (1.8) được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed)

nếu

(i) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;

(ii) nghiệm này duy nhất;

(iii) nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu A và f

Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán (1.8)

được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed).

Xét phương trình toán tử (1.8) với A là một ma trận vuông cấp M = 6 đượcxác định bởi

thì phương trình vô nghiệm.

Trong bài toán trên nếu có thay đổi nhỏ các thành phần ai j ban đầu đã dẫnđến thay đổi lớn của nghiệm Đây là một ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

Vì tính không duy nhất của nghiệm của phương trình đặt không chỉnh (1.8)nên ta cần phải có một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm Ta sẽ sử dụngnghiệm x0có x∗-chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm x0 thỏa mãn

k fδ− f0k ≤ δ , δ → 0 (1.9)

Bài toán đặt ra là dựa vào thông tin về (A, fδ) và mức sai số δ , tìm một phần

tử xδ xấp xỉ nghiệm chính xác x0 của bài toán ban đầu Rõ ràng, ta không thểxây dựng phần tử xấp xỉ xδ theo quy tắc xδ = A−1fδ, vì thứ nhất là A−1 có thểkhông xác định với fδ ∈ Y , thứ hai là A−1có thể không liên tục, nên A−1fδ tồntại cũng chưa chắc đã xấp xỉ A−1f

Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số về phải của (1.8) Vì vậy, một điều tựnhiên nảy sinh là có thể xây dựng một phần tử xấp xỉ phụ thuộc vào một tham

số nào đó và tham số này được chọn tương thích với δ sao cho khi δ → 0 thìphần tử xấp xỉ này hội tụ nghiệm x0 Ta cũng thấy, nếu được thì từ fδ ∈ Y ta cóphần tử xấp xỉ thuộc X Tức là tồn tại một toán tử nào đó tác động từ không gian

Y vào không gian X

Định nghĩa 1.2.2 Toán tử R( f , α), phụ thuộc tham số α, tác động từ Y vào X

được gọi là toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (1.8), nếu:

(1) Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R( f , α) xác định với mọi

α ∈ (0, α1) và với mọi f ∈ Y : ρY( f , f0) ≤ δ , δ ∈ (0, δ1);

(2) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α( f , δ ) sao cho ∀ε > 0 ∃δ (ε) ≤ δ1: ∀ f ∈

Y, ρY( f , f0) ≤ δ ≤ δ1, ⇒ ρY(xα, x0) ≤ ε, ở đây xα ∈ R( f , α( f , δ ))

Chú ý 1.2.3 (1) Định nghĩa này không đòi hỏi tính đơn trị của toán tử R( f , α).

(2) Phần tử xα ∈ R( fδ, α) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của (1.8), ở đây

α = α ( fδ, δ ) = α(δ ) được gọi là tham số hiệu chỉnh Cũng dễ dàng nhậnthấy, từ định nghĩa trên, nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu.Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào về phải của (1.8)gồm hai bước:

(a) Tìm toán tử hệu chỉnh R( f , α) và

(b) Xác định giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài toán

về phần tử fδ và sai số δ

Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc trên được gọi là phương pháphiệu chỉnh Phương pháp này được sử dụng từ thời Newton cho bài toán cổ điểnvới tính giá trị z = d f(t)

dt (trong mêtric C), khi f (t) chỉ biết gần đúng Đạo hàm

z tính được dựa vào tỉ sai phân