Thay cô tải về 3 bộ tài liệu thi HSG toán THPT tỉnh đăk lăk năm 2016. Đây là tài liệu thiết thực bổ ích và không thể thiếu đối với thầy cô cũng như học sinh luyện toán. Đăc biệt là học sinh giỏi toán 12 chuyên toán.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK TRƯỜNG THPT HUỲNH THÚC KHÁNG
KÌ THI OLYMPIC 10-3 LẦN 2
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN LỚP 10
Trang 2ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN
Câu 1: 4 điểm
Giải hệ phương trình: 2
4
x y x y
x y
x y
+ − =
+ − − − =
Đáp án câu 1:
Đặt a x y b x y b= + , = − ( ≠0) 1.0đ
Khi đó ta có hệ
2 2
1 6
6 4
9
a ab
b
b
=
=
− − − =
5 2 3
1 2
2
4
8 8
29 8
x a
a
x b
y
=
=
= =
⇔ − ⇔ −
=
= −
=
1.0x2đ
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 5 1; , 35 29;
−
÷ ÷
Câu 2: 4 điểm
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M sao cho các góc AMB, BMC, CMA đều bằng 0
120 Các đường thẳng AM, BM, CM cắt đường tròn (O) lần lượt tại A’, B’, C’ Chứng minh rằng: MA + MB + MC = MA’ + MB’ +MC’
Đáp án câu 2:
Lấy các điểm A B C sao cho 1, ,1 1
1
MA MA
MA
→
→
= ,
1
MB MB MB
→
→
= ,
1
MC MC
MC
→
→
= 0.5đ
Ta có 3 vectơ MAuuuur1
,MBuuuur1
1
MC
uuuur đều có độ dài bằng 1 và góc giữa chúng bằng 0
120 , nên M là tâm của tam giác đều A B C 0.5đ1 1 1
2MA MOuuur uuuur =2MA MPuuur uuur (P là trung điểm của AA’) 0.5đ
MA MA MA+uuuur =MA MA MA−
uuur uuur
0.5đ
1
2MA.MO MA MA 2MA MO MA MA
uuur uuuur uuuuruuuur
(1) 0.5đ
1
2MB MO MB MBuuuur uuuur = − (2)
1
2MC MO MC MCuuuur uuuur = − (3) 0.5đ
Từ (1), (2) , (3) ta có
Trang 3' '
'
uuuur uuuur uuuur uuuur
1.0đ
Câu 3: 3 điểm
Cho các số thực a, b, x, y thoả mãn điều kiện ax − by = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = a2 + b2 + x2 + y2 + bx + ay
Đáp án câu 3:
Đặt M =(x ; y),
− −
=
2 2
a
;
b
A , ( )∆ : ax−by = 3 0.5đ
Ta có
2 2
2
2
+ +
+
= x b y a
MA 0.5đ
Mà M∈( )∆ nên [ ( ) ] 2 2
2
b a
; A d MA
+
=
∆
≥ Đẳng thức xảy ra khi M là hình chiếu của A
trên ( )∆ 0.5đ
4
3 3 2 4
3
2 2 2
2 2
+
≥ + +
+
b a b
a b
a
Vậy min F =3 đạt được chẳng hạn khi ( )= − 2
2 2
6 0
y
; x
; b
;
Câu 4: 3 điểm
Chứng minh rằng 2 2 1
∀ ≥ ∉¥ + là hợp số.
Đáp án câu 4:
1,
∀ ≥ ∈¥ ta có 22 2n+1+ >3 7 0.5đ
Vì 22 ≡1(mod3)⇒22n ≡1(mod 3) 1.0đ
⇒ ≡ ≡ 0.5đ
2 1
2 n+
⇒ có dạng 6k+2(k∉¢+) 0.5đ
Mặt khác 26 =64 1(mod 7)≡ 2 2 1
2 n+ 3
⇒ + là hợp số 0.5đ
Câu 5: 3 điểm
Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là những điểm có tọa độ nguyên Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một điểm có tọa độ nguyên
Đáp án câu 5:
Coi đỉnh Ai (xi; yi), i = 1, 2, 3, 4, 5 0.5đ
(xi; yi) có thể rơi vào những trường hợp sau:
(2k; 2k’), (2k; 2k’+1), (2k+1; 2k’ + 1), ( 2k +1; 2k’) với k, k’ ∈ Z 1.0đ
Do đa giác có 5 đỉnh nên theo nguyên lí Đi rich lê, có ít nhất 2 đỉnh có tọa độ thuộc một trong bốn kiểu trên 0.5đ
Khi đó trung điểm của đoạn nối 2 đỉnh ấy sẽ có tọa độ nguyên 0.5đ
Do ngũ giác là lồi nên điểm này ở miền trong hoặc trên cạnh của ngũ giác đó 0.5đ
Câu 6: 3 điểm
Trang 4Cho hàm số :
:
( )
f
n f n
∗→ ∗
→
Thỏa mãn [f(m) + f(n)]f = +m n, ∀m n, ∈¥∗ ìm f(2017)T
Đáp án câu 6:
Từ giả thiết suy ra [2f(n)] 2f = n v fà [2 (1)] 2f = 0.5đ
Ta chứng minh (1) 1f =
Thật vậy giả sử f(1) 1= +k k( ∈¥*)
Khi đó do giả thiết :
[2f(k)] 2 ( ) 2 (1) [ (2 ( )) (2 (1))]
(2 ) (2 (1) 2
Như thế ( )f k + f(1) 1 ô ý= v l
Do đó phải có f(1)=1 1.0đ Giả sử ( )f n =n khi đó (f n+ =1) f f n[ ( )+ f(1)]= +n 1Suy ra f n( )= ∀ ∈n n, ¥ (1) 0.5đ* Theo kết quả (1) ta có f(2017)=2017 1.0đ
HẾT