Ta có tam giác AFC cân tại C do có phân giác góc ACB đồng thời là đường cao.. Quan sát biểu thức, trước hết nhận thấy rằng có sự đối xứng giữa trong biểu thức 2b2 +2c2 do đó nghĩ ngay đ
Trang 1THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015
Môn thi: TOÁN; Lần 01 (Ngày 26/04/2015)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ THI THỬ LẦN 1
Câu 1 (2,0 điểm).
Ta có ( )
2
1
y x
x
=
PT tiếp tuyến có dạng ( ) ( )
0
2
1
d y y x x x y y x x y
x
+
2
2
1
x y
x y x
• Với x0 =0;y0 = −1⇒d y: =2(x− − ⇔ =0) 1 y 2x−1
Đ/s: y=2x−1 hoặc 1 1
y= x−
Câu 2 (1,0 điểm).
2
sin 2α 1 cos 4α 1 cos 4α
Ta có cos 42 1 sin 42 1 9 16
25 25
α= − α= − =
Vì α 0;π 4α 0;π
4 2 cos 4α 6
5 A 1 cos 4α
+
b) Gọi z= +a bi a b,( , ∈ℝ)⇒z= −a bi, ( ) 2 2
Theo giả thiết b=3a
Ta có 10 2 20 0
2
a
a a
a
=
Với a=0⇒b=0 không thỏa mãn bài toán
Với a=2⇒b=6 thì z= +2 6i thỏa mãn
Câu 3 (0,5 điểm)
Đặt a=5x >0 ta có a3 27 13 1 9a 64 a3 273 9 a 3 64
2
5
x
x
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=0;x=log 35
Câu 4 (1,0 điểm).
Trang 2Điều kiện − 10≤ ≤x 10
Bất phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
2
x
x x
x
−
Dễ thấy
2
x x x x
ℝ nên xét các khả năng
Khi đó (1) vô nghiệm
2
3 10
x
x
+
Mặt khác ta có
2
1
10; 10
x x
x x
x
=
− =
∈ −
nên (2) không xảy ra dấu đẳng thức
2
3 10
x
x x
x
+
+ − Suy ra ( )1 ⇔ − ≥ ⇔ ≥x 1 0 x 1 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là 1≤ ≤x 10
Câu 5 (1,0 điểm).
t= x+ ⇒x+ =t ⇒x= −t ⇒dx= tdt
Đổi cận : 2 2
x t
x t
2
2
3
2 2 ln 1 6 4 ln 2 4 2 ln 3 2 2 ln
4
t t
Vậy 2 2 ln3
4
I = +
Câu 6 (1,0 điểm).
SHC ABCD
SH ABCD SHD ABCD
⊥
⊥
Tương tự ta có CH ⊥(SHD);DH ⊥(SHC)
Do H là trung điểm của AB nên CHD∆ vuông
cân tại H Đặt SH =x⇒AB=2SH =2x
Khi đó CD=2x⇒HC=HD=x 2
Ta có SC2 =SH2+HC2⇒3a2 =x2+2x2
2 2
SH a AB a BC HC HB a
Trang 33
a
V = SH S =
Gọi K =HC∩AD Dựng CI ⊥SD , lại có SD⊥CH ⇒SD⊥(KIC) Ta tính KIC
Ta có:
2
a
CI KI KC
IK IC
Vậy góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAD) và (SDC) bằng 600
Câu 7 (1,0 điểm).
Dễ thấy AMC=900 (góc chắn đường kính AC ) ⇒AF ⊥CM
Ta có tam giác AFC cân tại C do có phân giác góc ACB đồng thời là
đường cao Do vậy CM là trung trực của AF
Gọi A(2t−7;t) Ta có: NA=NF
2
( )
;
Lại có: AH BC NF AC
CM AF
⊥
⊥
(do N là trực tâm tam giác AFC)
Phương trình đường thẳng AC qua A vuông góc với NF là: x+3y−28=0
Khi đó C =CM ∩AC⇒C( )4;8 ⇒AB: 3x− − =y 14 0
Từ đó ta có: : 3 20 0 17;3
3
BC x y B
7; 7 ; ;3 ; 4;8
3
A B C
là các điểm cần tìm
Câu 8 (1,0 điểm).
P ax by+ + + =cz d a + + >b c
Theo bài, ( ) ( )
0
0; 0;3
c d
c d
= =
+ =
Ta có ( ( ) ) 2 2 ( ( ) ) 2 2
2
d A P d B P
Mà ( ( ) ) ( ( ) ) 2 2 2 2
2
a b a b
• Với a=2b chọn a=2,b=1 khi đó ta có mặt phẳng ( )P : 2x+ =y 0
• Với a= −2b chọn a=2,b= −1 khi đó ta có mặt phẳng ( )P : 2x− =y 0
Câu 9 (0,5 điểm).
+) Tổng số thí sinh của điểm thi là 6 25 4 26. + . =254 (thí sinh)
Không gian mẫu Ω là tập hợp số cách chọn 10 thí sinh từ 254 thí sinh Ta có 10
254
C
Ω =
Trang 4+) Gọi A là biến cố “ trong 10 thí sinh được chọn phỏng vấn không có 2 thí sinh nào thuộc cùng một phòng
thi ”
Ta dễ dàng có ( ) ( )1 6 1 4 6 4
25 26 25 26
Từ đó suy ra xác suất cần tính là ( ) 610 4
254
25 26
P A
C
Ω
Ω
Câu 10 (1,0 điểm).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: 2 2 ( )2
1 2
1 2
1 2 1 2
a a
a a
b b b b
ta có
4a b a b 3c 8a 2b a b 3c 9a 3b 3c 3a b c
+
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 2(a+ +b 3c)=8a+2b⇔ =a c
Mặt khác, theo đánh giá không âm:
b−c ≥ ⇔b +c ≥ bc⇔ b +c ≥ +b c ⇔ b + c ≥ +b c
Đặt t=3a+ + >b c 0 suy ra ( ) 5
2 5
P f t t
t
Xét hàm số f t( ) ta có ( ) 2 2
2 2
t t
t
t t t
−
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra P≥ f t( )≥ f ( )5 =11 Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 11
a b c
a b c
a b c
= =
⇔ = = =
+ + =
Ý tưởng để giải quyết bài toán
Quan sát biểu thức, trước hết nhận thấy rằng có sự đối xứng giữa trong biểu thức 2b2 +2c2 do đó nghĩ ngay đến đánh giá 2b2+2c2 ≥ +b c, một trong những đánh giá quen thuộc Khi đó biểu thức cuối cùng trở thành: 2 5 3a( + +b c) và đến đây, kinh nghiệm đi thi đó là nhìn thấy biểu thức độc lập thì sẽ dồn biến về
nó, do vậy bài này cần dồn về biến t =3a+ +b c
Vì thế, cần đánh giá biểu thức 2 1
4a b+ a b 3c
+ + + về biến, đây là biểu thức phân số, không khó để ta nghĩ tới bất đẳng thức Cauchy – Schwarz nhưng rõ ràng đánh giá sao cho
m a+ +b n a+ +b c =k a+ +b c
