Đề cương bài giảng mô phỏng hình học trong CAD CAM

Mô hình hóa hình học dựa trên các phương pháp mô hình chính sau: - Các phương pháp mô tả đường cong Wireframe Models - Các phương pháp mô tả mặt cong Surace Models - Các phương pháp mô t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT HƯNG YÊN

KHOA CƠ KHÍ

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

MÔ PHỎNG HÌNH HỌC TRONG CAD/CAM

Sample

Batch PDF Merger

Chương I Tổng quát về mô phỏng hình học và hệ thống CAD/CAM

+ Khoa học máy tính: Cung cấp các thuật toán

+ Toán học: Cung cấp các công cụ đại số và hình học phục vụ tính toán và thiết kế

Lợi ích từ CAD/CAM:

- Trước kia quá trình thiết kế, sản xuất được thực hiện hoàn toàn thủ công Ngày nay chúng được thay thế bằng CAD/CAM và kết quả là chúng ta có được nhiều sản phẩm tốt hơn với thời gian và chi phí thấp hơn rất nhiều Điều này dẫn tới:

- Hiệu quả sản xuất tăng lên rất lớn

- Giảm thiểu lỗi và khiếm khuyết của sản phẩm

- Tăng giá trị của sản phẩm lên rất nhiều

- Hạ giá thành sản phẩm

Sample

Batch PDF Merger

1.2 Mô hình hóa hình học trong thiết kế và chế tạo

Hình 1.2 Sơ đồ mô hình hóa hình học trong thiết kế và chế tạo

Mô hình hóa hình học là kỹ thuật mô tả đối tượng hình học bằng một mô hình toán học số Mô hình của một hình ảnh, sự vật phải lột tả được một cách chính xác và làm nổi bật những điểm chính nhất của sự vật, hình ảnh đó

Mô hình hóa hình hình học là môn khoa học kết hợp giữa toán học( hình học) và đồ họa máy tính, nghiên cứu việc thể hiện các hình ảnh, bản chất của các đối tượng cụ thể ttrong tự nhiên trên môi trường máy tính để có thể nghiên cứu, mô phỏng lại các tính chất, hoạt động của chúng

Mô hình hóa hình học dựa trên các phương pháp mô hình chính sau:

- Các phương pháp mô tả đường cong (Wireframe Models)

- Các phương pháp mô tả mặt cong (Surace Models)

- Các phương pháp mô tả khối (Solid Models)

1.3.Các kiến thức toán học liên quan

1.3.1.Đại số vectơ

Đồ họa máy tính và mô phỏng trên máy tính được thực hiện dựa trên các phép toán đại số tuyến tính, hình học vi phân v.v… trong đó các phép toán biến đổi được thực hiện chủ yếu trên vector và ma trận Trong phần này sẽ trình bày lại một số kiến

thức về vector và ma trận, xem xét các ứng dụng thực tế của chúng trong đồ họa máy tính và mô phỏng hình học

Vector

a) Định nghĩa vector

Xét một cách tổng quát, chúng ta sẽ làm việc với các vector trong không gian Đecac ba chiều với các tọa dộ trực giao x, y, z

- Điểm P bất kỳ trong không gian có các tọa độ Px, Py , Pz, ta viết lại là P(px, py,

pz) Vector p  OP từ gốc tọa độ O(0, 0, 0) tới điểm P được gọi là bán kính vector của điểm P, được viết là p=(px, py, pz) (2.1)

- và được biểu diễn qua vector đơn vị như sau:

Ta nói điểm P được biểu diễn qua vector p

Một điểm Q(qx, qy, qz) nằm trong không gian biểu diễn qua vector q=(qx, qy, qz) Khi đó một đường thẳng qua 2 điểm P và Q có vector chỉ phương là PQ= q  q

Nếu một điểm X nào đó trong không gian nằm trên đoạn thẳng đi từ P tới Q thì phải thỏa mãn:

Thay (2.3) vào ta có:

q p

zp

zq

xq

yq

Phép toán này được sử dụng trong các phép toán dịch chuyển

*)Tích vô hướng hai vector

z z y y x x z

y x

z y

x

q p q p q p q

q q

Hai vector vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0

*) Tích có hướng của hai vector

1.3.2 Đại số ma trận

Trong kỹ thuật đồ họa và mô phỏng hình học, ma trận được sử dụng như một phương tiện kha hiệu quả để giảm thiểu quá trình tính toán, nhất là đối với các phép biến đổi hình học Các phép toán ma trận được dùng chủ yếu trong kỹ thuật đồ họa và

mô phỏng được thực hiện trên các ma trận vuông và tích vector với ma trận Các kiến thức về ma trận sinh viên đã được học trong phần toán cao cấp, ở đây chỉ nhắc lại một

số kiến thức thường sử dụng trong mô phỏng hình học

Một ma trận vuông được biểu diễn tổng quát như sau:

Chương II

Thành phần cơ bản của bất kỳ mô hình hai chiều nào cũng là điểm Một đoạn thẳng được biểu diễn qua hai điểm cuối của nó Một đường cong được biểu diễn bằng tập hợp các điểm của nó Do đó, tất cả các biểu diễn hai chiều có thể định nghĩa bằng tập hợp các tọa độ x, y hoặc các điểm và được coi là thành phần cơ bản của mọi mô hình

Ví dụ: Một tam giác có thể biểu diễn qua 3 điểm và biểu diễn qua ma trận diểm như sau:

P có tọa độ (x, y) được biểu diễn trong hệ tọa độ thuần nhất là P(xh, yh, h), tuy nhiên

để đơn giản ta lấy h = 1=>P(x, y, 1) Khi sử dụng hệ tọa độ thuần nhất, các điểm trong không gian hai chiều được biểu diễn bằng ma trận n3

1 2 2

1 1 1

y x

y x

y x

P tamgiac

Một phép biến đổi hình học tương đương với việc tính toán các tọa độ mới cho các điểm tạo thành đối tượng từ vị trí ban đầu đến vị trí sau phép biến hình Nó định vị lại mọi điểm tùy theo các quy tắc cụ thể Các phép biến đổi tỷ lệ, tịnh tiến, quay hình… có thể thực hiện bằng sự biến đơn giản tọa độ các điểm đặc trưng Những phép biến hình này không làm biến dạng đối tượng và được gọi là các phép biến hình cứng Đối với mỗi điểm cho trước chỉ có một điểm tạo ra sau phép biến hình

00

Dưới dạng toán học, phép tịnh tiến được biểu diễn như sau x* = x + Tx

0 0 1

Ty Tx

(2.2)

2.1.3 Phép quay hình

Phép quay hình là sự quay một đối tượng xung quanh gốc tọa độ với góc quay

 Xét điểm P(x, y) trên hình (2.3), quay đến vị trí P*(x*, y*) với góc quay  Theo quy ước, phép quay ngược chiều kim đồng hồ là dương, cùng chiều kim đồng hồ là

âm

Điểm P có tọa độ được xác định theo công thức sau:

x = r.cos

y = r.sin (2.3)

x* = r.cos() = r.coscos - r.sinsin

y* = r.sin() = r.sincos + r.cossin (2.4)

0 cos sin

0 sin cos

Hình 2.5 Phép quay hình

2.2 Các phép biến hình phối hợp

2.2.1 Phép đối xứng

Phép đối xứng có thể là đối xứng qua một điểm hoặc đối xứng qua một trục

Ma trận đối xứng qua trục x, y hoặc qua gốc tọa độ có dạng như sau:

0

00

00

b

a

R

Đối với từng trường hợp cụ thể ta có ma trận đối xứng như sau:

- Qua trục x: Qua trục y Qua gốc tọa độ:

0 1 0

0 0 1

0 1 0

0 0 1

010

001

Hình 2.6 Phép đối xứng

Chương III

Các phép biến đổi hình học ba chiều

Phần tử hình học cơ sở của hình học ba chiều cũng như hình học hai chiều, đó là điểm, tuy nhiên tọa độ của nó được bổ sung thêm một tọa độ trong không gian ba chiều Khái niệm hệ tọa độ thuần nhất cũng được áp dụng trong việc mô tả đối tượng, tương

tự như trong hình học hai chiều Hình 3.1 chỉ ra một tứ diện trong không gian ba chiều

Do đó, một tứ diện có thể biểu diễn bởi ma trận 4x4 như sau:

1 0

0

1 0 0

1 0 0

3.2 Biểu diễn hình học ba chiều

- Trong môn học này thì tọa độ của một điểm trong không gian ba chiều được biểu

diễn bằng hệ tọa độ thuần nhất

P(x, y, z, 1)

- Tứ diện ABCD có thể biểu diễn bởi ma trận 4x4 như sau:

10

0

100

100

00

0

000

0001

y x z

0 0 1 0

0 0 0 1

z y

x t t t

 P* = P [T]

[T] gọi là ma trận tịnh tiến

00cossin

00sincos

0cos0sin

0010

0sin0

0cossin

0

0sincos

0

000

- Phép đối xứng qua mặt phẳng ( Sinh viên tự đọc)

- Phép biến dạng ( Sinh viên tự đọc)

Chương IV

Đường cong

4.1 Biểu diễn hình học đường cong

Mọi đối tượng hình học muốn mô phỏng trên máy tính đều phải dựa trên một mô hình toán học nào đó Thông thường chúng được biểu diễn dưới mô hình các đường, các mặt hoặc các khối đặc Hình học vi phân được sử dụng như một công cụ hữu hiệu để biểu diễn và xác định các đặc tính của các đường, các mặt

4.2 Phương trình tham số và ẩn

a) Biểu diễn đường cong

Đường cong phẳng có thể biểu diễn giải tích dưới một trong các dạng sau:

b) Các yếu tố đặc trưng riêng của đường cong

*) Tính lồi lõm của đường cong

Cho đường cong dạng hiển y = f(x), đối với một phần không lớn của đường cong có chứa điểm M (trừ trường hợp M là điểm uốn), nếu f”(xM) > 0 thì đường cong hướng bề lõm lên trên, ngược lại nếu f”(xM) < 0 thì đường cong hướng bề lõm xuống dưới

*) Bán kính cong và độ cong

Tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong R là khoảng cách từ điểm đó đến C Và độ cong chính là nghịch đảo của bán kính cong R

- Độ cong K là đại lượng đặc trưng cho độ lệch của đường cong ( trong một phần nhỏ của nó chứa M) ra khỏi đường thẳng

- Bán kính cong: bán kính cong của 1 đường cong được định nghĩa là bán kính của 1

(4.11)

Đường cong trong không gian

a) Biểu diễn đường cong trong không gian

+ Giao tuyến của hai mặt cong:

F(x, y, z) = 0 ; Ф(x, y, z) = 0 (4.12) + Dạng tham số:

x = x(t); y = y(t); z = z(t) (4.13) Hoặc x = x(s); y = y(s); z = z(s) (4.14) (s là độ dài phân đoạn đường cong)

Trong đó i , j , k là các vector đơn vị

b) Các yếu tố địa phương của đường cong trong không gian

*) Tiếp tuyến và mặt phẳng pháp tuyến

- Phương trình vector: (  ) 0

dt

dr r

ds

r d

K s     (4.22)

- Bán kính cong: ρ = 1/K (4.23)

- Độ xoắn T = lim

MN b



là đại lượng đặc trưng cho độ lệch của đường cong không gian

ra khỏi đường cong phẳng

4.2.3 Các đường cong giải tích cơ bản

Đường cong giải tích cơ bản bao gồm các đường Conic là đường cong tạo ra bởi giao tuyến của một mặt phẳng và một mặt côn (hình 4.3)

Hình 4.3 Đường cong conic Các đường cong này thường được mô tả ở dạng ẩn bằng phương trình bậc hai tổng quát như sau:

ax2 + by2 +2hxy + 2uv + 2vy + d = 0 (4.12)

Dạng ma trận phương trình này có thể viết là:

[P][R][P]T = 0 (4.13) Trong đó [P] = [x y 1] và

v b h

u h a

Tất cả các đường cong Conic có thể biểu diễn bằng cách gán giá trị cho các hệ

số trong phương trình 5.12 Các đường cong Conic được sử dụng thường xuyên trong

đồ hoạ máy tính và mô hình hoá hình học

Ưu điểm: Tương đối dẽ tính toán và lưu trữ Các đường cong này thường được

sử dụng để biểu diễn tập hợp các giá trị dữ liệu hoặc để thoả mãn một vài điều kiện thiết kế cụ thể Một trong những đặc điểm quan trọng của nó là không có các điểm uốn Để định nghĩa một đường cong Conic từ phương trình ẩn tổng quát 5.12 cần có ít nhất là năm hệ số Các đường cong Conic có thể biểu diễn xấp xỉ bằng phương trình

đa thức bậc ba hoặc biểu diễn chính xác bằng phương trình hữu tỷ bậc hai Điều nay sẽ được mô tả ở phần sau Chúng ta sẽ chỉ nghiên cứu chi tiết hai dạng đường cong Conic thường gặp nhất trong thiết kế kỹ thuật là đường tròn và Elip

a) Đường tròn

Đường tròn và cung tròn được sử dụng rộng rãi trong thiết kế kỹ thuật, đặc biệt

là trong thiết kế các chi tiết cơ khí và chúng có thể biểu diễn bằng phương trình tham

số Các biến x và y được đưa ra ở dạng góc 

Các phương trình tham số này sẽ đúng với đường tròn có tâm nằm tại gốc toạ

độ Để đặt tâm đường tròn (xC, yC) tại vị trí bất kỳ trên mặt phẳng, cần thực hiện trình

tự các phép biến hình hai chiều sau đây:

(4.19) Khai triển ta thu được các phương trình tham số sau:

(4.20) b) Đường Ellipse

Ellipse là trường hợp tổng quát của đường tròn Các phương trình tham số của elip có tâm tại trục toạ độ và có các trục trùng với trục toạ độ là:

xi = a cos

yi = b sin  (4.21) với có giá trị nằm trong khoảng từ 0 đến 2 

Đối với điểm xi+1, yi+1 các phương trình trở thành:

(4.22) Sau khi khai triển có dạng:

(4.23) Hoặc:

(4.26) Giả sử hệ trục toạ độ theo quy luật bàn tay phải thì ma trận

biểu diễn phép quay ngược chiều kim đồng hồ (CCW) một góc α và phép tịnh tiến gốc toạ độ đến (xC, yC) Ma trận này cùng với phương trình 5.24 mô tả các điểm của elip tổng quát Để biểu diễn một elip với các điểm được phân bố tốt nhất, góc θ nên biến thiên từ 0 ÷ 2π và bước tăng là 2π/(n – 1), trong đó n là số lượng các điểm sử dụng

(Sinh viên tự NC)

4.4.Kỹ thuật nội suy biểu diễn đường cong

Trong các bài toán kỹ thuật, rất hay gặp phải bài toán tìm một đường cong trơn

đi qua một tập điểm dữ liệu cho trước Các bài toán này xuất hiện khi muốn tìm một đường cong biểu diễn các giá trị thực nghiệm, hoặc biểu diễn các đường, mặt bất kỳ Khi sử dụng các phương pháp số để giải phương trình vi phân thường phải tính các giá không trùng với các điểm thật sự dung cho tính toán Sau đó sẽ sử dụng các phép nội suy để tính giá trị các điểm lân cận

a) Phép nội suy tuyến tính

Phương pháp nội suy tuyến tính được dung để ước lượng hàm f(x) đối với mọi giá trị x bất kỳ nằm giữa hai điểm bất kỳ xi = a và xi+1= b sẽ có hàm nội suy tuyến tính:

) ( )

( )

a b

a x a f

"

))(

b) Phép nội suy Lagrange

Xét một dãy các điểm trên mặt phẳng (x0, y0), (x1, y1),… (xn, yn) trong đó xi < xjvới i < j Đa thức nội suy bậc n có thể xác định như sau:

f

0

, ( ) )

Trong đó:

) ) (

)(

) (

(

) ) (

)(

) (

( ) (

1 1

0

1 1

0 ,

n i i

i i i i

n i

i n

i

x x x

x x x x

x

x x x

x x x x

x x

j i

n

x x

x x y

x

f

) ( )

Trong đó П có nghĩa là tích của n phần tử với j biến thiên từ 0 đến n, ngoại trừ i= j

Có thể thấy rằng, thừa số yi = 1 khi x=xi, nhưng sẽ bằng 0 khi x bằng bất kỳ giá trị toạ độ nào khác Với n = 1, ta được phương trình đường thẳng qua hai điểm:

0 0 1 0 1 0 1

0 0

1 0

1

x x

x x y y y y x x

x x y x

Khái niệm mô hình khung dây

Mô hình khung dây là dạng biểu diễn các đường nét trong không gian ba chiều Mô hình khung dây tập trung biểu diễn các đối tượng hình học trong không gian ba chiều thông qua mô hình các đường Một vật thể được mô phỏng trên máy tính bằng các đường và các điểm đặc trưng kết nối với nhau

Phương pháp này có ưu điểm:

- Nhanh, không yêu cầu nhiều tốc độ xử lý và dung lượng bộ nhớ của máy tính

- Đơn giản, không cần phải sử dụng các biểu thức toán học phức tạp, dễ dàng mở rộng và phát triển

- Khó thể hiện rõ được thực thể là khối đặc

Hình 4.4 Mô hình khung dây

4.2 Mô hình các đường cong cơ bản

4.2.1 Biểu diễn đường cong

Đường cong bất kỳ có thể biểu diễn bằng ma trận các điểm Tuy nhiên, việc biểu diễn này đòi hỏi khối lượng lưu trữ lớn, không thể biểu diễn được hình dạng chính xác của đường cong và rất khó xác định các tính chất tích phân của nó Các phương trình giải tích thường được sử dụng để cung cấp cho người thiết kế khả năng quản lý tốt hơn hình dạng và dáng điệu các đường cong Loại hàm toán học thường được sử dụng thuận tiện cho mục đích này là hàm đa thức

Dạng tổng quát của hàm đa thức là:

(5.1) Trong đó n là số nguyên dương và a0, a1, … , an là các số thực Đa thức p(x) gọi là đa thức bậc n (an  0)

Đa thức rất thuận tiện cho việc tính toán bằng máy tính Để giá trị của một đa thức tại một điểm chỉ cần thực hiện các phép nhân và phép cộng các giá trị thực trong một thời gian hữu hạn Thêm vào đó, các ứng dụng đồ họa máy tính, nhất là trong CAD đòi hỏi xác định các đường tiếp tuyến, pháp tuyến … cho các đường cong nên phương trình các đường cong này phải được tính vi phân dễ dàng Phương trình đa thức hiển nhiên là lựa chọn tốt nhất Chúng ta sẽ dung chúng để biểu diễn các dạng đường cong khác nhau

4.2.2 Phương trình tham số và ẩn

Đường cong trong CAD thường được biểu diễn ở hai dạng: Tham số và ẩn

a) Biểu diễn tham số

x = x(t) y = y(t) z = z(t) (5.2) trong đó tất cả các phương trình tham số theo t là các đa thức Cách biểu diễn này cho phép tính nhanh chóng toạ độ x, y, z của tất cả các điểm trên đường cong, trong đó mỗi toạ độ điểm được xác định độc lập

Dạng tham số được sử dụng để định nghĩa một phân đoạn đường cong bằng cách rang buộc tham số trong khoảng [0, 1] Trong đồ hoạ máy tính các đường cong thường bị giới hạn nên đặc điểm này rất quan trọng

b) Biểu diễn dạng ẩn

Đường cong phẳng:

Đường cong ba chiều biểu diễn ở dạng ẩn là giao tuyến của hai mặt cong:

đó các điểm cần xác định là nằm trong hay ngoài đường biên của đối tượng

Trong lĩnh vực mô hình hoá hình học, dạng biểu diễn đường cong thường gặp nhất là dạng tham số, vì nó dễ lập trình và tính toán Cách biểu diễn này được sử dụng rộng rãi Tuy nhiên trong một vài trường hợp cần sử dụng dạng ẩn, nên ta cần có cách chuyển đổi từ dạng tham số sang dạng ẩn

Xét một chuyển đổi trong trường hợp hai chiều: Giả sử phương trình tham số của một phân đoạn đường cong có dạng

x = x(t) y = y(t) (5.5) được biến đổi sang dạng ẩn có phương trình là f(x, y) = 0

Ví dụ: Xét đường thẳng có phương trình tham số là

và bậc hai Phương pháp trên được gọi là Phương pháp Brute – force

Tuy nhiên sẽ xuất hiện nhiều vấn đề phức tạp khi áp dụng cho các phương trình bậc cao hơn Các đường cong bậc ba, bậc bốn có thể được chuyển đổi, nhưng các biểu thức kết quả rất phức tạp Hơn nữa, đối với các đường cong bậc cao hơn phương pháp trên không thể sử dụng được nên phải phát triển các kỹ thuật đặc biệt khác Một trong số đó sử dụng phương pháp tích chập hai đa thức

y

0

)

Tích chập R(x, y) của hai đa thức x(t) và y(t) là một biểu thức gồm các hệ số

aibi sao cho các phương trình x(t) và y(t) có nghiệm chung khi và chỉ khi R(x, y) = 0 Biểu thức của phép tích chập hai đa thức bậc hai và bậc ba được biểu diễn dưới dạng định thức như sau:

Đối với đường cong bậc hai:

)()(

0 1 0

2

0 2 1

2

b a b

a

b a b

a

(5.9)

Đối với đường cong bậc ba:

(5.10) Trong cả hai định thức trên: (aibj) = (aibj – ajbi)

Để áp dụng các khái niệm này cho phép chuyển đổi một phân đoạn cong từ dạng tham số x = x(t), y = y(t) với 0 ≤ t ≤ 1 sang dạng ẩn f(x, y) = 0, bước đầu tiên là tạo hai đa thức phụ:

)(

t y y

t x x

Vì x(t) và y(t) là các biểu thức đa thức

Tích chập của r(x,t) và x(y, t) có thể tính dựa trên các biểu thức trong phương trình (5.9) và (5.10) Thay bằng các trị số ta được biểu thức theo x và y Bất kỳ cặp (x, y) nào làm cho f(x, y) = 0 cũng kéo theo tích chập của r(x, t) và s(y, t) bằng 0 Khi đó tất cả các cặp (x, y) đều nằm trên đường cong tham số và theo định nghĩa, f(x, y) là phương trình ẩn của đường cong Chú ý rằng bậc của phương trình ẩn tạo ra trong quá trình này hầu hết bằng bậc của phương trình tham số

Ví dụ: Xét đường cong phẳng bậc hai xác định bởi:

x

y x

= x2 – 2xy + y2 + 2x – 6y + 5 = 0

Trình tự tổng quát này đúng cho các trường hợp không thể sử dụng phương pháp Brute – force, đó là trường hợp đường cong được biểu diễn bằng đa thức bậc ba hoặc cao hơn Biểu diễn bậc ba là một trong các trườn hợp gặp trong lĩnh vực mô hình hoá hình học và thiết kế với sự trợ giúp của máy tính (CAD), do đó phương pháp chuyển đổi sạng dạng ẩn tổng quát này có ý nghĩa rất quan trọng

4.3 Mô hình các đường cong nhân tạo

Các đường cong giải tích thường không đáp ứng đầy đủ các yêu cầu thiết kế trong lĩnh vực cơ khí Các sản phẩm như than xe hơi, tàu thuỷ, máy bay, cánh quạt, chân vịt tàu thuỷ v.v thường đòi hỏi các đường cong, các mặt cong nhân tạo có hình dạng bất kỳ Sự cần thiết của các đường cong, mặt cong nhân tạo càng tăng lên khi thiết kế được xây dựng dựa trên các dữ liệu thực nghiệm Người thiết kế đòi hỏi phải

có các đường cong, mặt cong đi qua môt

Chuỗi điểm cho trước và họ có thể điều khiển, thay đổi hình dạng được các đường, các mặt này trong suốt quá trình thiết kế

Các hệ thống CAD/CAM chủ yếu đưa ra ba mô hình đường cong nhân tạo hay được sử dụng nhất, đó là:

- Đường cong Spline Hermite bậc ba: Được tạo bằng phép nội suy đi qua các điểm dữ liệu cho trước với độ lien tục C1

- Đường cong Bezier

- Đường cong B – Spline

Hai đường cong Bezier và B-Spline được tạo ra bằng các phép xấp xỉ các điểm dữ liệu và chúng không đi qua các điểm dữ liệu cho trước Đường cong Bezier có độ liên tục C1,còn đường cong B-Spline có độ liên tục C2

4.3.1 Độ liên tục

Xét về mặt toán học, bài toán về các đường cong nhân tạo thực chất là một bài toán khớp đường cong để tạo ra một đường cong trơn nhẵn đi qua một tập các điểm cho trước Do đó dạng đa thức thường được sử dụng để biểu diễn các đường cong này Một số các ràng buộc về điều kiện liên tục cần phải chỉ ra tại các điểm kết nối để xác định độ trơn nhẵn của đường cong Việc áp dụng ràng buộc điều kiện này tuân theo các mức độ liên tục của đường cong Một đường cong thường tuân theo một trong ba mức độ liên tục sau:

- Độ liên tục C0 : Xác định thông qua ràng buộc về vị trí của điểm nối

- Độ liên tục C1: Xác định thông qua ràng buộc về vị trí và về vector tiếp tuyến tại điểm nối

- Độ liên tục C2: Xác định thông qua vị trí, vector tiếp tuyến và độ cong của các đoạn cong tại điểm nối

4.3.2 Đường cong Spline Hermite bậc 3

a) Khái niệm

Các đường cong tham số được định nghĩa như một tập hợp các đoạn cong đa thức nối tiếp với một độ liên tục xác định Khái niệm các đoạn cong Spline được sử dụng rất nhiều trong công nghệ CAD/CAM để mô hình hoá đường cong đi qua các điểm cho trước Ý tưởng về đường cong Spline dựa trên việc sử dụng một thanh cong Spline dẻo, mỏng để vẽ một đường cong trơn đi qua một tập điểm cho trước Thanh Spline tự nhiên được tạo ra bằng cách liên kết các vật chặn nặng với thanh trượt dẻo Một thanh trượt dẻo tạo dáng cho phương trình Becnuli – Euler

Hình 5.1 Biểu diễn véc tơ tiếp tuyến tại các điểm mút đường cong

Trong trường hợp này nếu quan tâm đến các sai lệch nhỏ, độ cong có thể xác định gần đúng bằng đạo hàm bậc hai của đường cong Nếu các vật chặn trên các thanh Spline hoạt động như gối tựa đơn giản thì đường cong trở thành đa thức bậc ba từng khúc, có đạo hàm bậc hai liên tục tại các gối tựa, nghĩa là liên tục về vị trí, liên tục về tiếp tuyến và liên tục về độ cong (C2)

Dựa trên các tính chất trên đường cong Spline bậc 3 được biểu diễn dưới dạng tham số nối các điểm dữ liệu bằng một phương trình bậc 3 Vì thế cần phải có 4 điều kiện để xác định các tham số của phương trình Khi chúng là vị trí của 2 điểm cuối và các vector tiếp tuyến tại các điểm này, chúng ta sẽ có đường cong Hermite Do đó đường Spline Hermite được coi như một dạng của đường cong Spline tham số bậc ba nói chung

b) Biểu diễn đường Hermite

Để đơn giản, trước hết chúng ta hãy xem xét một đường cong Hermite bậc 3 đi qua 4 điểm P0, P1, P2, P3 cho trước Phương trình tham số của đoạn Spline này có dạng:

Phương trình dạng vector:

P(t) = C3t3 + C2t2 +C1t + C0 (5.30) Phương trình dạng ma trận:

P(t) = TτC (5.31)

Với T = [t3

t2 t 1]τ và C = [C3 C2 C1 C0]τ

Hình 5.2 Biểu diễn véc tơ tiếp tuyến tại các điểm mút của phân đoạn

Vector tiếp tuyến của đường cong tại bất cứ điểm nào trên đường cong tương

ứng với tham số u được xác định bởi:

3

1 0

Để tìm Ci, giả sử đường cong Spline bậc 3 nối 2 điểm P0, P1 như hình vẽ Đưa các điều

kiện ràng buộc (P0, P0’ tại t = 0; P1, P1’ tại t = 1) Ta có:

Hình 4.5

4.3.3 Đường cong Bezier

a) Biểu diễn đường cong Bezier

Đầu những năm 1960, P.Bezier – Một kỹ sư thiết kế làm việc tại công ty xe hơi Renault (Pháp), bắt đầu nghiên cứu một công thức toán học cung cấp cho người thiết

kế sự mềm dẻo hơn các phương pháp nội suy Đường cong Bezier có các điểm điều khiển hoặc đỉnh điều khiển, là một tập hợp theo thứ tự các điểm (P0, …, Pn), dựa vào

đó chúng ta tính xấp xỉ đường cong Các điểm này có thể được biểu diễn trên màn hình

đồ hoạ, và cho phép người sử dụng điều khiển hình dạng đường cong theo một hình dáng dự đoán trước Đường cong Bezier dựa trên các hàm đa thức, thường dùng để biểu diễn các đường cong hình dạng tự do Đường cong Bezier bậc n, được xác định bằng n + 1 đỉnh điều khiển, là phương trình tham số có dạng như sau:

Các hàm liên kết trơn này thoả mãn các điều kiện sau:

Bi,n(t) 0 với mọi i, 0≤ t ≤ 1

1 ) (

đa giác được tạo bởi các điểm điều khiển, gọi là bao lồi như hình 5.6 Bao lồi có thể

hình dung như một đa giác thu được khi cuốn băng keo cao su quanh tất cả các điểm điều khiển

Các hàm liên kết trơn Bezier Bi,n(t) tạo ra một đa thức bậc n cho n + 1 điểm điều khiển, và nói chung ép buộc đường cong Bezier đi qua các điểm điều khiển đầu

và cuối

Hình 5.4 Biểu diễn đường cong Bezier

Các điểm điều khiển trung gian kéo đường cong về phía chúng, và có thể sử dụng để điều chỉnh đường cong đến hình dạng mong muốn

(5.42) Mặt khác: t = 0, Q(0) = P0

t = 1, Q(1) = P3 (5.43)

Điều này chỉ ra rằng đường cong Bezier đi qua điểm điều khiển đầu và cuối, như đã trình bày ở trên Các hàm liên kết trơn tại các giá trị này của biến tham số là:

Tại t = 0, B0,3 = 1

Tại t = 1, B3,3 = 1 (5.44)

Và B1,3 = B2,3 = 0 cho cả hai trường hợp

Đồ thị các hàm liên kết trơn của đường cong Bezier bậc ba trên hình vẽ Mỗi điểm điều khiển có trọng số bằng hàm liên kết trơn liên kết với nó, và ảnh hưởng của mỗi điểm được thay đổi như các biến tham số dao động từ 0 đến 1

với một đường cong đa thức đơn Do đó bậc và hình dạng cuối cùng của đường cong phụ thuộc vào số lượng các điểm điều khiển Các đường cong này thiếu sự điều khiển cục bộ, nghĩa là di chuyển vị trí một điểm điều khiển sẽ làm thay đổi hình dạng của toàn bộ đường cong Hình 4.11 chỉ ra một ví dụ như vậy

Hình 4.11

Để tăng cường tính mềm dẻo cho thiết kế đòi hỏi số lượng lớn các điểm điều khiển, nhưng lúc đó lại khó quản lý đa thức bậc cao được tạo ra Để giữ cho bậc đường cong thấp và vẫn duy trì được sự mềm dẻo đòi hỏi khi thiết kế, các đường cong với số lượng lớn các điểm điều khiển được tạo ra bằng cách liên kết nhiều phân đoạn bậc thấp hơn, như trên hình 4.11 Ở đây, hai phân đoạn P0, P1, P2, P3 và P3, P4, P5, P6, P7được sử dụng Tính liên tục C1 thường áp dụng cho các đường cong Bezier từng khúc, ngoài ra chúng còn thoả mãn tính liên tục C0 Để thoả mãn điều kiện này, các cạnh của

đa giác điều khiển hội tụ tại điểm nối giữa các phân đoạn phải tạo thành đường thẳng Nói cách khác, điểm điều khiển nối hai phân đoạn và các điểm ngay trước và sau nó phải thẳng hang Hình 4.11 chỉ ra các điều kiện này – điểm nối P3 cũng chính là P0’, cùng với P2 và P4 nằm trên một đường thẳng

b) Biểu diễn đường cong Bezier dạng ma trận

Đường cong Bezier có thể biểu diễn thuận tiện ở dạng ma trận Để làm ví dụ, xét đường cong Bezier bậc ba của phương trình 5.42 Nó được viết lại dưới dạng ma trận như sau:

Hoặc

(5.46)

Có thể rút gọn thành:

(5.47)

4.3.4 Đường cong B – Spline

Như ta xem xét ở mục trên, các hàm liên kết trơn Bezier sử dụng các đa thức Bernstein phụ thuộc vào số lượng điểm điều khiển Các đường cong này có sự điều khiển toàn bộ tức là khi ta di chuyển một điểm điều khiển sẽ gây ảnh hưởng tới toàn

bộ đường cong Để tránh các đa thức bậc cao và giảm sự ảnh hưởng tổng thể này, các đường cong Bezier thường được xây dựng bằng cách kết nối nhiều phân đoạn bậc thấp hơn Điều này sẽ cho ta quyền điều khiển cục bộ đường cong và có quyền tự do thay đổi bậc tại các điểm, sử dụng tính liên tục Mỗi phân đoạn cong Bezier có các tính chất như đã đề cập ở trên, nhưng đường cong phức hợp lại có những tính chất khác Phương pháp được chọn để kêt nối các đoạn cong này với nhau phụ thuộc vào bậc liên tục mong muốn

Có thể sử dụng các hàm liên kết trơn B – Spline luân phiên với các đa thức Bernstein để tạo ra đường cong đa thức tham số từng khúc riêng lẻ thông qua một số các điểm điều khiển Bậc của đa thức co thể được người thiết kế lựa chọn độc lập với

số lương điểm điều khiển Đó là bậc của các hàm liên kết trơn hoặc hàm cơ sở mà nó

sẽ điều khiển bậc của đường cong B – Spline cuối cùng Các đường cong B – Spline

kế thừa sự điều khiển cục bộ, tức là khi một đỉnh dịch chuyển chỉ có một vài phân đoạn của nó bị ảnh hưởng, phần còn lại của đường cong không thay đổi Tính liên tục giữa các phân đoạn B – Spline là một hàm có bậc của các hàm cơ sở Do đó, tính liên tục là một nhân tố quan trọng trong việc thiết kế các đường cong tự do, trong đó độ trơn là một tiêu chuẩn quan trọng, tính liên tục C2

được ưu tiên Điều này được thoả mãn bởi đường cong B – Spline bậc ba

a) Mô hình đường cong B – Spline đều

Trước tiên, để dơn giản chúng ta hãy xét một loại B – Spline đặc biệt gọi là B – Spline tham số bậc ba đều B – Spline tham số bậc ba đều có hàm cơ sở là Ni(t) Các khoảng tham số hoặc các nút t mà tại đó hàm cơ sở được định nghĩa, có giá trị bằng nhau Đó là lý do tại sao đường cong B – Spline này được gọi là đều

Hình 4.12

Các nút tạo thành vector, các số thực gọi là vector nút, theo thứ tự không giảm Hàm

số được đặt vào giữa tại vị trí ti+2 và có giá trị bằng 0 với t < ti và với t < ti+4 Các đoạn khác 0 của hàm số được tạo ra từ bốn đa thức bậc ba: N0,3, N1,3, N2,3, N3,3 Đường cong

B – Spline thu được bằng cách nhân các hàm xấp xỉ này bằng tập con của 4 điểm điều khiển trên vùng lân cận của đường cong, và có thể biểu diễn bằng phương trình sau:

(5.48) Hình sau chỉ ra đường cong B – Spline bậc ba đều có sáu đỉnh điều khiển Trong phương trình trên các đỉnh điều khiển được đặt tên bằng chữ P

Hình 4.13

Để xác định hàm cơ sở, trước tiên chúng ta định nghĩa từng phân đoạn bằng đa thức bậc ba tổng quát có dạng như sau:

j = 0, 1, 2, 3 (5.49)