Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động 2

Tùy thuộc vào tính chất của hệ thống đang xét , ta chia Lý thuyết Điều khiển tự động rathành các phần: - Điều khiển tuyến tính - Điều khiển phi tuyến Trong Điều khiển tuyến tính, tùy vào

Mục lục

Phần mở đầu 2

CHƯƠNG I: MÔ HÌNH TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG 3

1.1 Cấu trúc cơ sở của hệ thống điều khiển Số 3

1.2.1 Sai phân của hàm rời rạc và phương trình sai phân .5

1.2.2 Phép biến đổi Z 7

1.2.3 Phép biến đổi Z ngược 11

1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh Z 13

1.3.1 Lấy mẫu và giữ mẫu 13

1.3.2 Khâu có bản chất gián đoạn (bộ điều khiển) 15

1.3.3 Khâu có bản chất liên tục (đối tượng điều khiển) 17

1.3.4 Hàm truyền đạt hệ thống trên miền ảnh Z 17

1.4 Tính ổn định của hệ thống điều khiển số 21

1.4.1 Sử dụng phép biến đổi tương đương 23

1.4.2 Sử dụng tiêu chuẩn Jury 24

1.5 Tính quá trình quá độ của hệ thống điều khiển số 26

1.5.2 Tìm ảnh ngược của phép biến đổi Z 27

1.6 Các bài tập 28

Chương II: Điều khiển có hồi tiếp đại lượng ra 29

2.1 Thiết kế trên cơ sở xấp xỉ liên tục 30

2.1.1 Bộ điều khiển PID 30

 Xấp xỉ thành phần P 30

 Xấp xỉ thành phần I 30

 Xấp xỉ thành phần D 31

2.1.2 Một số bộ PID xấp xỉ từ liên tục sang số 32

2.2 Thiết kế trên miền thời gian gián đoạn 34

2.2.1 Sử dụng quỹ đạo nghiệm số 34

2.2.2 Thiết kế tối ưu tham số cho hệ SISO 41

2.2.3 Thiết kế khâu điều chỉnh kiểu bù (tối ưu cấu trúc) cho hệ SISO 45

2.2.4 Phương pháp Dead – Beat 46

CHƯƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN CÓ HỒI TIẾP ĐẠI LƯỢNG RA 49

3.1 Mô hình trạng thái liên tục và các tính chất của đối tượng 49

3.1.1 Quan hệ giữa mô hình trạng thái và hàm truyền đạt 50

3.1.2 Tính điều khiển được, tính quan sát được: 53

3.2 Cấu trúc cơ sở của điều khiển trạng thái liên tục 54

3.2.1 Phản hồi trạng thái 54

3.2.2 Thiết kế bộ điều chỉnh trên cơ sở gán điểm cực 55

3.2.3 Quan sát trạng thái 57

3.2.4 Cấu trúc của hệ thống điều khiển có phản hồi trạng thái 61

3.3 Mô hình trạng thái gián đoạn 61

3.3.1.Xác định trực tiếp từ PTTT liên tục 61

3.3.2.Sử dụng các công thức xấp xỉ: 62

3.4 Cấu trúc cơ bản trên không gian trạng thái .Error! Bookmark not defined.

3.4.1.Tính điều khiển được, quan sát được 62

Phần mở đầu

Điều khiển học là khoa học nghiên cứu những quá trình điều khiển và thông tin trongcác máy móc sinh vật Trong điều khiển học, đối tượng điều khiển là các thiết bị, các

hệ thống kỹ thuật, các cơ chế sinh học…

Điều khiển học nghiên cứu quá trình điều khiển các đối tượng kỹ thuật được gọi làđiều khiển học kỹ thuật Trong đó “Lý thuyết Điều khiển tự động” là cơ sở lý thuyếtcủa điều khiển học kỹ thuật

Tùy thuộc vào tính chất của hệ thống đang xét , ta chia Lý thuyết Điều khiển tự động rathành các phần:

- Điều khiển tuyến tính

- Điều khiển phi tuyến

Trong Điều khiển tuyến tính, tùy vào tính chất liên tục hay gián đoạn của hệ thống, tachia ra thành:

- Điều khiển tuyến tính, liên tục (còn gọi là Điều khi ển kinh điển)

- Điều khiển SỐ

Môn học Điều khiển Số cung cấp cho sinh viên các kiến thức cơ bản về xây dựng môhình toán học của một đối tượng và của cả hệ thống điều khiển Số Trên cơ sở đó sinhviên có khả năng phân tích, đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển Số Ngoài ra,môn học còn cung cấp cho sinh viên kiến thức để thiết kế hệ thống Điều khiển Số đạtđược các tiêu chí đề ra dưới dạng mô hình toán học

CHƯƠNG I: MÔ HÌNH TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

1.1 Cấu trúc cơ sở của hệ thống điều khiển Số

Trong các hệ thống tự động hiện đại, bộ điều khiển liên tục ngày càng được thay thếdần bằng bộ điều khiển Số Ví dụ như trong các hệ thống tự động lái máy bay, trongcông nghiệp sản xuất giấy, trong các nhà máy lọc dầu,….Các hệ thống điều khiển Sốthường có cấu trúc cơ bản sau đây:

Trong đó:

r(kT): giá trị đặt (giá trị vào) của hệ thống Điều khiển Số

u(kT): tín hiệu ra của bộ điều khiển (tín hiệu số)

u(t): tín hiệu điều khiển (tín hiệu tương tự) đi vào đối tượng điều khiển

y(t): tín hiệu ra của đối tượng điều khiển (tín hiệu tương tự)

y(kT): tín hiệu ra của thiết bị đo lường đã được chuyển đổi sang tín hiệu sốe(kT): Sai lệch giữa tín hiệu ra (đã được gián đoạn hóa) và tín hiệu đặt

w(t): tín hiệu nhiễu ở đối tượng điều khiển

v(t): tín hiệu nhiễu ở thiết bị đo

A/D: (analog convert to digital) bộ biến đổi tương tự - số

D/A: (digital convert to analog) bộ biến đổi số - tương tự

Trong hệ thống điều khiển số, tín hiệu vào và tín hiệu ra của bộ điều khiển số (vi xử lý,

vi điều khiển, vi xử lý tín hi ệu,….) là tín hiệu số, tín hiệu vào và tín hiệu ra của đốitượng điều khiển là tín hiệu liên tục Hệ thống điều khiển có mạch phản hồi đưa vào vi

xử lý cần có bộ chuyển đổi tượng tự - số D/A Còn tín hiệu ra khỏi vi xử lý dùng đểđiều khiển đối tượng phải qua khâu D/A Tín hiệu truyền đạt trong hệ thống có cả tín

hiệu tương tự và tín hiệu số.Việc biến đổi tín hiệu từ liên tục thành gián đoạn được gọi

là lượng tử hóa (còn gọi là lấy mẫu hoặc trích mẫu) Có 3 hình thức lấy mẫu sau:

- Theo thời gian (a)

Như vậy, tín hiệu truyền đạt trong hệ thống có cả tín hiệu tương tự, có cả tín hiệu số

Để phân tích hệ thống, ta phải chuyển toàn bộ hệ thống về số và dùng công cụ lýthuyết điều khiển số để phân tích, thiết kế hệ thống Và công việc đầu tiên là phải tìmđược mô tả toán học của hệ thống

Để tìm được mô tả toán học của toàn bộ hệ thống ta phải tìm được mô tả toán học củatừng phần tử trong hệ, sau đó bằng công cụ đại số sơ đồ khối ta sẽ tìm được mô tả toánhọc của hệ thống

Với đối tượng điều khiển là liên tục ta có các cách mô tả toán học: Mô tả bằng phươngtrình vi tích phân, mô tả bằng hàm truyền và mô tả bằng phương trình trạng thái.Trong nội dung bài giảng môn học Điều khiển số, chúng ta sẽ không nhắc lại mảngkiến thức này vì nó đã được trình bày rất kỹ trong môn học Lý thuyết điều khiển tựđộng

Với bộ điều khiển là Số ta có các cách mô tả toán học, đó là: mô tả bằng phương trìnhsai phân, mô tả bằng hàm truyền và mô tả bằng phương trình trạng thái 1.2 Mô hìnhtín hiệu trên miền ảnh Z

1.2.1 Sai phân của hàm rời rạc và phương trình sai phân.

Với tín hiệu rời rạc, không tồn tại phép toán vi phân và tích phân, nhưng tương ứngvới vi phân trong miền liên tục ta có sai phân trong miền rời rạc

• Cách biểu diễn phương trình sai phân:

Có 2 cách biểu diễn sai phân là sai phân tiến và sai phân lùi

- Sai phân tiến

Sai phân bậc 1: ∆u k =u k+1 −u k

Sai phân bậc 2:

k k k

k

k k

k

u u u

u

u u

+

1 2

2

1 2

2

Sai phân bậc 3:

k k k

k k

k k

k

u u u

u u

u u

u

− +

+

+

1 2 3 3

2 1 2 3

3 3

………

k n k n

u u

u = ∆−1 +1− ∆−1

∆

- Sai phân lùi:

Sai phân lùi cấp 1: ∆u k =u k −u k−1

Sai phân lùi cấp 2:

2 1 2

1 2

k k k

u u u u

u u u

u u

u

Như vậy, nếu trong miền liên tục ta có phương t rình vi phân:

u b dt

du b dt

u d b dt

u d b y a dt

dy a dt

y d

n n

n

n

1 1 0

1 1

m m k m m k k k

k k

m k m n k n

k k

n

k

a + ' −1 −1+ + '1 − −1+ '0 − = + ' −1 −1+ + '1 − −1+ '0 − (1.3)Phương trình sai phân dạng (1.3) có bậc là n khi hệ số an và a0 trong phương trìnhđồng thời khác 0

Ví dụ 1.1:

Cho phương trình sai phân sau, trong đó có sai phân cấp 3:

0 2 5

4 2

3 + ∆ + ∆ + =

Có: ∆ 3u k =u k+3− u k+2+ u k+1−u k

3 3

k k k

5 ) 2

( 4 3

a0trong phương trình đồng thời khác 0

• Giải phương trình sai phân:

Ta có nhiều cách để giải phương trì nh sai phân Tuy nhiên trong phạm vi bài giảngmôn học Điều khiển số, tôi chỉ đưa ra cách giải phương trình sai phân bằng phươngpháp truy hồi (hay còn gọi là phương pháp đệ quy)

Giải phương trình sai phân bằng phương pháp truy hồi cho phương trình sai phâ n(1.3), giả sử với a0=1:

m k m

k k

m k m n k n

k k

1

0

0 1 0 1 1 1

0 0

y a u b u b y k

u b y k

n m

m

m

−

− − +

Ví dụ 1.2: Giải phương trình sai phân sau bằng phương pháp truy hồi

yk= -2yk-1+2uk+uk-1+3uk-2Với uk=1kvà giả thiết điều kiện ban đầu là yk=0 với mọi k<0

Giải

k=0, ta có: y0= -2.y-1+2.u0+u-1+3.u-2=2

k=1, ta có: y1=-2y0+2.u1+u0+3.u-1= -2.2+2.1+1+3.0=-1

Lần lượt tăng k lên 1 ta sẽ tìm được các giá trị còn lại của y k

Ví dụ 1.3: Giải phương trình sai phân sau bằng phương pháp truy hồi:

yk=a.yk-1+xkVới xk=δkvà giả thiết điều kiện ban đầu là yk=0 với mọi k<0.

Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục được lượng tử hóa vớ i chu kỳ trích mẫu T Để có thể ápdụng phép biến đổi Laplace cho dãy tín hiệu rời rạc, ta viết hàm x(t) như sau:

Trong đó:

- x*(t): là tín hiệu liên tục đã được lấy mẫu (lượng tử hóa)

- δ(t-kT) là hàm xung dirac tại thời điểm t-kT

Biến đổi Laplace của hàm x*(t) như sau:

[x kT t kT ]e dt x kT t kT e dt dt

e t x s

( ) ( )

( )

(

k

k z kT x z

(

k

k

k z x z

X

X(z) được gọi là biến đổi Z của hàm gián đoạn x*(t) Ký hiệu là:

X(z)=Z{ }x k

Hay xk=Z−1{X(z)}

Nhận xét:

- Biến đổi Z là dạng biến đổi của biến đổi Laplace

- Biến đổi Z chỉ thực hiện được với tín hiệu gián đoạn, không thực hiện được vớitín hiệu liên tục

Ví dụ 1.4: Cho hàm x(t) = 1(t) Tìm biến đổi Z của hàm x(kT)

0

+ + + +

k

k k

1 1

1 )

z X

Ví dụ 1.5: Cho hàm x(t)=e-at Tìm biến đổi Z của hàm xk

1 )

0

+ +

+ +

aT aT

e z

z z

e z

(

Với điều kiện: e-aTz-1<1

Một số tính chất của phép biến đổi Z

Z

k

k k

∞

=

− +

0

) 1 ( 1 0

1

k

k k k

k k

x Z

− + +

) ( ) (

.

m

j

j m m

m k m k m k m k m

k

z j x z X z

z x z z x x

+ +

X

k

k k

k k

0

lim ) 0 ( ) ( lim

z X zx z

0 1 0

1 ( lim lim

1

1 z X z x

x

z m

=

→ +

z e

−

kT j

e z

z e

z e

z

z e

e Z kT

cos(

1 ) cos(

2

)) cos(

( )

)(

(

) cos(

2 2

z

T z

z e

z e z

T z

z

T j T

2

) sin(

T z j

e e Z kT Z

kT j kT j

Bảng biến đổi Z của một số phần tử cơ bản

1

a

e z

a

) 1 (

aT aT

e z z

e z

2 s a s

a

) (

) 1 (

) 1

( ) 1 (

2 aT

aT aT

aT

e z z a

aTe e

z e aT z

−

a s

a s

s

) cos (

−

aT z z

aT z

z

) (s b a

z

aT ze

) (

a b s

b s

+ +

+

bT bT

bT

e aT ze

z

aT ze

z

2 2

2

cos 2

1.2.3 Phép biến đổi Z ngược

Ta có thể tìm chuỗi x(kT) từ ảnh X(z) bằng các phương pháp sau:

• Phương pháp phân tích thành chuỗi (phương pháp chia trực tiếp

Ta có: ( ) ( ). 0 1. 1 2. 2 3. 3

0

+ +

+ +

X

k

k

(1.22)Nếu ta phân tích X(z) thành chuỗi x0+x1.z-1+x2.z-2+… thì ta sẽ tìm được các giá trị xk.

Ví dụ 1.8: Tìm dãy giá trị rời rạc xkcủa ảnh

1 ) (

−

=

z

z z X

Giải Thực hiện phương pháp phân tích thành chuỗi có:

Từ kết quả thu được ta có giá trị của chuỗi số là:

x0=1; x1=1; x2=1; x3=1; …

Ví dụ 1.9: Tìm dãy giá trị rời rạc của ảnh

368 0 368 1 )

z z

X

Giải

Thực hiện phương pháp phân tích thành chuỗi ta có:

Từ kết quả thu được ta có giá trị của chuỗi số là:

x0=1; x1=1.368; x2=1.503; …

• Phương pháp sử dụng phương trình sai ph ân

Giả sử, tỷ số của X(z) và U(z) là:

2 2 1 1

2 2 1 1 0

1 ) (

) (

+ +

=

z a z a

z b z b b z U

z X

) ( ) (

) ( ) 1

( +a1z 1+a2z 2+ X z = b0+b1z 1+b2z 2+ U z

Hoặc ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( )

2 1 1 0 2

2 1

1z a z X z b b z b z U z a

Ví dụ 1.10: Tìm dãy rời rạc xknếu biết, 1 2

2 1

2 1

2 2

) (

) (

+ +

=

z z

z z z

U

z X

với uk=1kvà điều kiện đầu yk=0 với k<0Giải: Ta có:

) ( 2 ) ( )

( 2 ) ( )

( 2 ) (

2 1

2 2

) (

) (

2 1

2 1

2 1

2 1

z U z z U z z U z X z z X z z X

z z

z z z

U

z X

+ +

=

Chuyển về phương trình sai phân ta được:

xk= -2..xk-1-1..xk-2+2.uk+1.uk-1+2.uk-2Giải phương trình sai phân bằng phương pháp truy hồi ta có:

k=0: x0=2

k=1: x1=(-2).2+2+1=-1

k=2: x2=(-2).(-1)+(-1).2+2+1+2=5

Cứ tiếp tục tăng k lên 1 ta sẽ tìm được các giá trị còn lại c ủa dãy xk

1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh Z

Để tìm được toàn bộ mô hình hệ thống trên miền ảnh Z ta cần phải tìm được mô hìnhtoán học của từng phần tử cấu thành lên hệ thống trên miền ảnh Z

1.3.1 Lấy mẫu và giữ mẫu

Để có thể đưa bộ điều khiển số và o hệ thống ta cần có quá trình lấy mẫu và giữ mẫu

- Lấy mẫu là chuyển tín hiệu liên tục thành gián đoạn (khâu A/D)

- Giữ mẫu là quá trình chuyển tín hiệu gián đoạn thành liên tục (khâu D/A)

Cấu trúc thường gặp của hệ thống Điều khiển Số

Quá trình lấy mẫu (A/D) ta hiểu là quá trình chuyển đổi tín hiệu từ liên tục sang rờirạc bởi một khóa lý tưởng (khóa có thời gian đóng cắt và năng lượng tiêu hao làbằng 0)

Quá trình giữ mẫu là quá trình chuyển từ tín hiệu rời rạc thành tín hiệu liên tục Vớiquá trình giữ mẫu ta có nhiều cách giữ mẫu khác nhau

• Giữ mẫu bằng khâu ZOH (zero order hold)

Ta gọi sơ đồ trên gồm khâu trích mẫu δ (khâu chuyển tín hiệu từ rời rạc sang tínhiệu xung để có thể thực hiện phép biến đổi Laplace) và khâu giữ chậm thành phầnbậc 0 là khâu ZOH có hàm truyền là GH(s) như hình vẽ sau:

Đặc điểm của khâu giữ mẫu bậc 0 là tín hiệu được giữ mẫu không thay đổi giữa 2lần lấy mẫu và bằng giá trị của lần giữ mẫu trước đó (như hình vẽ trên)

Mô hình tín hiệu có dạng bậc thang trên miền thời gian là:

(

k

u t

u dt e t

u

s

k k st

) 1 ( 1 ) ( 1 )

( ).

) 1 ( 1

).

( 1 )

(

k

skT k sT

k

T k skT

k k

st st

k

e u s

e

s

U

e s

e s u dt

e T k t dt e kT t u

e s

G

sT H

1

1 1

) (

−

− = −

−

• Giữ mẫu bằng khâu FOH (giữ thành phần bậc 1)

Giữ mẫu bằng khâu FOH, tín hiệu giữ mẫu giữa 2 lần lấy mẫu liên tiếp kT và(k+1)T là: u k(t) =u(kT) +u' (kT)(t−kT),kT ≤t≤ (k+ 1 )T

Với

T

T k u kT u kT

) (

sT s

Chú ý: Bộ lấy mẫu và giữ mẫu trong sơ đồ trên không thể là mô hình toán học cho

một thiết bị cụ thể nào trong thực tế Tuy nhiên, sự kết hợp giữa bộ lấy mẫu và giữmẫu lại là mô hình chính xác của bộ chuyển đổi ADC và DAC

1.3.2 Khâu có bản chất gián đoạn (bộ điều khiển)

Bộ điều khiển ta xét đến trong môn học là bộ điều khiển số có tín hiệu vào và tín hiệu

ra là tín hiệu gián đoạn Vì thế, mô tả toán học của bộ điều khiển số ta có thể mô tảbằng những cách sau: phương trình sai phân, hàm truyền trong miền ảnh Z

- Mô tả bằng phương trình sai phân

• Phương trình sai phân sử dụng sai phân tiến:

a0.uk+n+…+an-1.uk+1+anuk=b0ek+m+…+bm-1ek+1+bmek (1.26)

• Phương trình sai phân sử dụng sai phân lùi:

a0uk+a1uk-1+…+anuk-n=b0ek+b1ek-1+…+bmuk-m (1.27)Giải phương trình sai phân bằng phương pháp truy hồi (như đã trình bày trong phần:sai phân của hàm rời rạc và phương trình sai phân) hoặc bằng cách chuyển về miền

ZOHT

U(s) U*(s)

U*(s)

FOHT

U(s) U*(s)

U*(s)

ảnh Z Giải bằng phương pháp nào, xuất phát từ phương trình sai phân dạng nào thì kếtquả thu được bao giờ cũng là duy nhất.

- Mô tả bằng hàm truyền trên miền ảnh Z

Bộ điều khiển có dãy tín hiệu vào là ek, tín hiệu ra là uk Biến đổi Z của dãy tín hiệuvào là E(z), của dãy tín hiệu ra là U(z)

Tương tự như cách định nghĩa hàm truyền trong miền l iên tục, trong miền rời rạc ta cóđịnh nghĩa hàm truyền như sau:

Hàm truyền đạt là tỷ số giữa ảnh Z của tín hiệu ra và ảnh Z của tín hiệu vào.

Khi đó, hàm truyền đạt trên miền ảnh Z mô tả bộ điều khiển là:

Hàm truyền đạt của đối tượng không có trễ:

n n

m m R

z a z

a a

z b z

b b z E

z U z

−

−

+ + +

+ + +

) ( )

1 0

1 1

Hàm truyền đạt của đối tượng có trễ:

d n n

m m

z a z

a a

z b z

b b z E

z U z

−

−

+ + +

+ + +

) ( )

1 0

1 1

Với thời gian trễ: tD=T.d

Cũng tương tự như hệ thống liên tục, hàm truyền đạt trong miền ảnh Z chính là ảnh Zcủa hàm trọng lượng gián đoạn {gk} Vậy {gk}=Z-1{GR(z)} i

k

i i k

1 , 4

1 , 4

1 , 4 1

) 1 1 ( 4

1 1

1 4

1

1

1 4

1 ) (

) ( ) (

4 4

1

1 4

k

k k k

g

z z

z z

z Z g

z

z z

E

z U z G

1.3.3 Khâu có bản chất liên tục (đối tượng điều khiển)

Trong bất kỳ hệ thống nào, thì đối tượng điều khiển cũng là liên tục (có tín hiệu vào vàtín hiệu ra đều là liên tục) Như vậy, mô tả của đối tượng điều khiển có thể là: phươngtrình vi tích phân, hàm truyền đạt trong miền ảnh Laplace hay phương trình trạng thái

Dù mô tả bằng cách nào đi chăng nữa thì ta cũng phải chuyển dạng mô tả toán học đó

về rời rạc (vì công cụ để nghiên cứu hệ thống điều khiển số là lý thuyết điều khiển số,nên ta phải chuyển hết các phần tử liên tục về rời rạc nhằm tìm được mô tả của hệthống trong miền rời rạc)

1.3.4 Hàm truyền đạt hệ thống trên miền ảnh Z

Cấu trúc của hệ thống điều khiển Số mô tả như sau:

Trường hợp 1: Phần tử giữ mẫu là khâu ZOH Khi đó, sơ đồ hệ thống được mô tả nhưsau:

Hàm truyền đạt của hệ thống trong trường hợp này như sau:

− +

z G

s

s G z

z G z G

s R

s R

) ( ).

1 ).(

( 1

) ( ).

1 ).(

( )

BĐK Số

GR(z)

Phần tử lưu giữ

ĐTĐK

Gs(s)

-y(t)u(t)

u*(t)

e*(t)r(kT)

u*(t)e*(t)

r(kT)T

T

Ví dụ 1.12:

Tìm hàm truyền đạt của hệ thống sau:

Tìm ảnh Z của phân thức:

) 2 (

2 +

s s

Phân tích:

2 )

2 (

2

+ +

=

B s

A s

2 +

s

s là:

T e z

z z

z s

s s

1 1 )

2 (

2

−

−

− +

− + Ζ

h

e z

z z

z z s

G Z z z

1 ).

1 ( ) ( ).

1 ( ) (

Chọn thời gian trích mẫu bằng 1s ta có:

135 0

865 0 135 0

135 0 1 ) (

) 135 0 )(

1 (

) 1 ( ) 135 0 ( ) 1 ( ) (

135 0

1 1

1 1 )

z G

z z

z z

z z G

z z

z z

z z G

h h h

Vậy, hàm truyền đạt của hệ thống là:

) (

) ( 73 0

865 0 135 0

865 0 1

135 0

865 0 )

( 1

) ( )

(

z R

z Y z

z

z z

G

z G z

=

1 1

73 0 1

865 0 ) (

) ( )

R

z Y z

G

-y(t)u(t)

e*(t)r(kT)

T

T

Hàm truyền đạt trên biểu diễn bởi phương trình sai phân sau:

865 0 1 73

0 1

865 0 1 lim )

z z

2 (

1

2

2 + = + + s+

C s

B s

A s

1

2 s+

T e z

z z

Tz z

z s

s s s

25 0 ) 1 (

5 0 1

25 0 2

25 0 5 0 25 0 )

2 (

− Ζ

Hàm truyền đạt hệ hở:

K

-y(t)u(t)

u*(t)e*(t)

r(kT)T

T

e z

z z

Tz z

z z

K s G Z z K z

) 1 (

5 0 1

25 0 ).

1 (

) ( ).

1 (

)

(

Chọn thời gian trích mẫu bằng 0.5s ta có:

368 0 368 1

066 0 092 0 )

368 0 )(

1 (

1 2 368

0 368 0 368 1 25

0 )

(

) 368 0 ( ) 1 (

) 1 ( ) 368 0 ( ) 368 0 )(

1 ( 1 ) 1 ( 25 0 )

(

368 0

1 )

1 (

5 0 2 1

1 1

25 0 )

(

2

2 2

2

2 2

− +

− +

− +

z z

z

z z z

z z

z

G

z z

z z

z z z

z

G

z z

z

z z

z z

) ( 434 0 276 1

066 0 092 0 368

0 368 1

066 0 092 0 1

368 0 368 1

066 0 092 0 )

( 1

) ( )

2

2

z R

z Y z

z

z z

z

z

z z

z z

G

z G z

=

2 1

2 1

434 0 276 1 1

066 0 092 0 ) (

) ( )

z z

z R

z Y z

066 0 092 0 1 434

0 276 1 1

066 0 092 0 1 lim )

(

) ( ).

( 1 lim )

(

2 1

2 1

1

1

= +

z z

z y

z R z G z y

z z

Trường hợp 2: Phần tử giữ mẫu là khâu FOH

Hệ thống có sơ đồ thay thế như sau:

-y(t)u(t)

u*(t)e*(t)

r(kT)

T

Cách tìm hàm truyền hệ thống cũng tương tự như trong trường hợp phần tử lưu giữ làkhâu ZOH.

Vậy, bằng các công cụ toán học ta tìm được mô tả toán học của hệ thống bằng hàm

truyền đạt trên miền ảnh Z là:

) (

) (

) (

) ( )

1 0

1 1 0

z A

z B z a z

a a

z b z

b b z R

z Y z

+ + +

=

Trong đó: n được gọi là bậc của hệ thống

A(z) được gọi là đa thức đặc tính của hệ thốngPhương trình A(z)=0 được gọi là phương trình đặc tính của hệ thốngNghiệm của phương trình đặc tính được gọi là nghiệm cực của hệ thốngNghiệm của phương trình B(z)=0 được gọi là nghiệm không của hệthống

1.4 Tính ổn định của hệ thống điều khiển số.

Theo định nghĩa trong phép biến đổi Z, có: z=e sT

Do đó: z=e(±j) =eT e jT (sử dụng dấu dương của jω)

Trong mặt phẳng phức, z được biểu diễn bởi 1 vector có modun T

z=   trong đó ωs là tần số trích mẫu của hệthống

Vậy, các điểm trên mặt phẳng Laplace có phần thực như nhau, khi chuyển sang mặtphẳng Z sẽ có modun bằng nhau Nói cách khác, các đường thẳng trên mặt phẳngLaplace chuyển sang mặt phẳng Z sẽ là các đường tròn

Còn các điểm trên mặt phẳng Laplace có phần ảo bằng nhau, khi chuyển sang mặtphẳng Z sẽ có góc pha bằng nhau.

Vị trí của một số điểm trên mặt phẳng Laplace khi chuyển sang mặ t phẳng Z sẽ có vịtrí tương ứng như sau

Như ta đã biết, hệ thống điều khiển liên tục ổn định khi và chỉ khi toàn bộ nghiệm cựccủa hệ thống nằm bên trái trục ảo của mặt phẳng Laplace (có phần thực âm) Khchuyển sang mặt phẳng Z, toàn bộ nghiệm cực này sẽ nằm trong vòng tròn đơn vị(vòng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 1).

Vậy, điều kiện cần và đủ để hệ thống điều khiển số ổn định là toàn bộ nghiệm cực của hệ thống (nghiệm của đa thức đặc tính A(z)) nằm trong vòng tròn đơn vị.

1.4.1 Sử dụng phép biến đổi tương đương.

Biến đổi

w

w z

−

+

−

= 1

1

, ta sẽ chuyển miển ổn định bên trong đường trònđơn vị của mặt phẳng Z sang bên trái của mặt phẳng phức mới, ta gọi là mặt phẳng w,khi đó ta sẽ sử dụng được c ác tiêu chuẩn xét tính ổn định của phần liên tục để xét tính

ổn định của hệ thống

- Ứng với mỗi điểm bất kỳ thuộc miền ảnh Z: z=σ+jω, sử dụng phép biến đổi

w

w z

) 1 )(

1 (

1

1 1

=

− +

+ +

z w

2 2

1

1

2 2 2

2

2 2

− + +

−

− + +

− +

j w

- Các điểm nằm bên trong đường tròn đơn vị có: 2 +2<1 trở thành các điểmnằm bên trái mặt phẳng w

- Trước khi sử dụng tiêu chuẩn Rou th hay Hurwitz ta phải chuyển đa thức đặc

1

1

1

1 1

1 )

w a w

w a w A

n

n n

n

Ví dụ 1.14 Xét tính ổn định của hệ thống có đa thức đặc tính:

A(z)=4z3+2z2+z+1Giải

Đổi biến

w

w z

1 2 1

1 4 ) (

2 3

= +

−

+ +

w w

w w

A

3 2

2 3

) 1 ( ) 1 )(

1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 (

w

A

w w w w

w w w

w w w

w w

w

A

w w w w

w w

w w

w w

w

A

0 2 10 10 8

)

(

0 ) 1 3 3 ( ) 1 (

) 1 (

2 ) 1 3 3 (

4

)

(

0 ) 1 3 3 ( ) 1 )(

1 ( ) 1 )(

1 ( 2 ) 1 3 3 (

4

)

(

2 3

2 3 2

3 2

3 2

3

2 3 2

2 2

3

= + + +

=

⇔

=

− +

− + +

−

− +

−

− + + + + +

=

⇔

=

− +

− +

−

− +

− +

+ + + +

8 2 10 10

8

0 10 2 4 8

Kết luận: tất cả các phần tử trong cột đầ u của bảng Routh dương, hệ thống ổn định

1.4.2 Sử dụng tiêu chuẩn Jury.

Tinh thần của tiêu chuẩn Jury cũng giống với tiêu chuẩn Routh nhưng ở tiêu chuẩnJury ta viết các hệ số của đa thức đặc tính thành 2 hàng với chiều dài là n và thứ tự củacác hệ số là đối ngược nhau Ở 2 hàng tiếp theo, chiều dài là n-1 và chiều dài của cáccặp hàng kế tiếp sẽ giảm đi 1 là n -2 và chiều dài của hàng cứ giảm dần cho đến khi nàobằng 1 Để kiểm tra tính ổn định của hệ thống bằng tiêu chuẩn Jury ta đi kiểm tra dấucủa các phần tử đầu tiên ở các hàng xá c định So với tiêu chuẩn Routh, tiêu chuẩn Jurykhó tính toán hơn Cách sử dụng tiêu chuẩn Jury như sau:

Hệ thống điều khiển số có đa thức đặc tính

A(z)=a0zn+a1zn-1+…+an-1z+an

Hệ ổn định khi và chỉ khi nghiệm của đa thức đặc tính nằm bên trong đường tròn đơn

vị Để kiểm tra điều kiện này ta sử dụng tiêu chuẩn Jury.Nếu hệ số của an âm thì tanhân 2 vế của đa thức đặc tính với ( -1) để có hệ số của andương Sau đó, từ các hệ sốcủa đa thức đặc tính ta thành lập bảng Jury sau:

a a b

0 0

0 1

1 = − n a n−

a

a a

c = − − −1−

0 1

Hệ thống ổn định khi các phần tử trong cột đầu tiên ở các hàng lẻ dương Tức là: a0>0;

b0>0; c0>0;

Ví dụ 1.15.

Kiểm tra tính ổn định của hệ thống có đa thức đặc tính bằng tiêu chuẩn Juy:

A(z)=z2+a1z+a2Giải Xây dựng bảng Jury:

2 2 2

2 1 1

2 2 2 1 2 2 2

2 1 1 2 2

2 1 1 2 2

1

) 1 ( ) 1 (

) (

1 1

a

a a a

a a a a

a a a a

Từ hàng 3, ta có điều kiện: 1 -a22>0, suy ra: -1<a2<1

Từ hàng 5, ta có điều kiện: (1+a2)2>a12, suy ra: a2+1>a1và a2+1>-a1

Từ 3 điều kiện trên, ta có điều kiệ n để hệ ổn định là:

Ví dụ 1.16 Xét tính ổn định của hệ thống điều khiển số có đa thức đặc tính:

A(z)=z3-2.1z2+1.6z-0.4Bằng tiêu chuẩn Jury

1>0.84>0.1524>0.0256>0 Vậy, hệ thống đã cho ổn định

1.5 Tính quá trình quá độ của hệ thống điều khiển số

Đặc tính quá độ của hệ thống là tín hiệu ra c ủa hệ khi tín hiệu tác động ở tín hiệu vào

là tín hiệu buớc nhảy đơn vị

Do vậy, có 2 cách tính toán quá trình quá độ của hệ thống

-1

-11

1.5.1 Giải phương trình sai phân

Giải phương trình sai phân mô tả hệ thống với tín hiệu vào là 1{kT} ta thu được đặctính quá độ

Ví dụ:

Hệ thống điều khiển số được mô tả bởi phương trình sai phân như sau:

yk=1.276yk-1-0.434yk-2+0.092rk-1+0.066rk-2

Tìm quá trình quá độ của hệ thống

Quá trình quá độ là đặc tính ra của hệ thống khi tín hiệu tác động vào là tín hiệu step.Thay r{kT} bởi tín hiệu dạng bước nhảy (step), các điều kiện đầu bằng 0, giải phươngtrình sai phân bằng phương pháp truy hồi ta có:

Sử dụng các phương pháp biến đổi Z ngược ta sẽ thu được đặc tính quá độ của hệthống

G(z)

Tìm ảnh Z của các tín hiệu rời rạc sau:

a) f(k)=kaku(k-1) b)f(k)= kak(k-1)u(k-2)

1 2

z

z− z−

Bài 7

Cho hệ thống điều khiển Số được mô tả bằng sơ đồ khối:

Biết thời gian trích mẫu T=1s

1(t)

-y(t)ZOH

T

a) Xét tính ổn định của hệ thống bằng tiêu chuẩn Jury

b) Tính quá trình quá độ của hệ thống h(0); h(1); h(2); h(3)

1{kT}

Chương II: Điều khiển có hồi tiếp đại lượng ra

2.1 Thiết kế trên cơ sở xấp xỉ liên tục

Các hệ thống điều khiển trong công nghiệp trước đây thông thường là bộ PID liên tục.Các hệ thống điều khiển này đã lạc hậu và ta muốn thay thế nó bằng bộ điều khiển Số.Khi đó, thông số của bộ điều khiển Số được tính toán dựa trên thông số của bộ điềukhiển PID liên tục Cách làm như vậy ta gọi là cách xấp xỉ bộ điều khiển PID từ liêntục sang số

) ) ( ).

(

1 ) ( ( ) ( )

1 1

s

c p

v c p

I I

K

T T d e T t

1

1 1 1

k

k

i i I k k

i

i I

k

e T

T u

u

e T

T u e

( 1 z 1E z

T

T z U z z

Vậy, hàm truyền đạt thu được khi xấp xỉ bộ tích phân sang số là:

1 1

1

)

T z

1

1

2

1 2

k k

i

i i I

T

T u e

e T

T

T z U z z U

1

1 2

1 ) (

) (

T z

E

z U

k k kT t

e c e

c e c e c dt

Chuyển cả 2 vế của biểu thức sang miền ảnh Laplace ta có:

n sT

e c c s E s

E

s ( ) = ( ) + − + −2 + + −

2 1

Khai triển e−sTthành chuỗi Taylor tại thời điểm s=0, ta có:

( 0)

! 3

)

0 (

! 2

) 0 (

! 1

0 2 0

T T

[ 2 2]

2 2 2 1

2

1 T s T s c T s T s c

c T

c

T

c T

c

T

c c

c

2 1

2 2 3

2

.

2

0

2

.

1

0

2 1 0

2 2 1

2

2 1

2 1

0

Khi đó (2.6) được xấp xỉ thành:

2 4

3 2

−

D k k

k k kT

t

e e e T

T u e

e e T

dt

t

de

; với TD=KP.TvChuyển 2 vế sang miền ảnh Z ta có:

(3 ( ) 4 ( ) ( ))

2 )

( E z z 1E z z 2 E z

T

T z

Vậy, hàm truyền đạt củ a bộ điều khiển D xấp xỉ sang số là:

2 )

k k kT t

e e T

T u

T

e e dt

t de

Chuyển 2 vế của sang miền ảnh Z, có:

( ( ) ( ))

) ( E z z 1E z T

T z

Hàm truyền của bộ D xấp xỉ sang số nếu xấp xỉ lấy đến thành phần bậc nhất là:

1 )

z

(2.9)

2.1.2 Một số bộ PID xấp xỉ từ liên tục sang số

- Giả sử xấp xỉ thành phần I theo phương pháp hình chữ nhật và thành phần D bậc 1

− +

−

−

1 1

1

1 1

1 )

(

.

1 1

)

T

T z

z T

T K

z G s T s T K

s

C P PID

v C p

PID

Biến đổi ta có: 1

2 2 1 1 0

1

.

=

z

z r z r r z

Với

T

T K r T

T T

T K r T

T K

P v

C P v

−

+ +

−

−

2 1 1

1

4 3 2 1

1 2 1 )

(

.

1 1 )

T

T z

z T

T K

z G s T s T K s

C P

PID v

C p PID

1

3 3 2 2 1 1 0

1 )

=

z

z r z r z r r z

Với:

T

T K r T

T K r T

T T

T K

r T

T T

T K

P v

P C

v P

v C P

2

; 2

5

; 2 2

7 1

; 2

3 2

1 )

(

s s

G PI

7 2

1 1 56

1

1

554 0 566 0 )

2.2 Thiết kế trên miền thời gian gián đoạn

2.2.1 Sử dụng quỹ đạo nghiệm số

Ta có hệ thống điều khiển số, với cấu trúc như sau:

Gh(z)K

k

Đa thức đặc tính của hệ thống là:

Khi K biến thiên từ 0÷∞ thì các điểm cực của hệ thống cũng biến thiên và tạo thànhmột quỹ đạo nghiệm số

Các nguyên tắc xây dựng quỹ đạo nghiệm số

Cũng tương tự như việc xây dựng quỹ đạo nghiệm số của hệ thống tuyến tính, liên tục

1 Điểm bắt đầu (K=0): Quỹ đạo nghiệm số bắt đầu tại điểm cực của hệ hở

2 Điểm kết thúc (K=∞): Quỹ đạo nghiệm số kết thúc tại điểm không của hệ hở (nếu

tồn tại) còn lại thì kết thúc tại ∞

3 Số đường quỹ đạo nghiệm số: Số đường quỹ đạo nghiệm số bằng bậc của hệ thốn g

(bằng số nghiệm cực của hệ thống)

4 Tính đối xứng của quỹ đạo nghiệm số: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục

thực

5 Phần quỹ đạo nghiệm số nằm trên trục thực: Một điểm trên trục thực thuộc quỹ

đạo nghiệm số nếu nó nằm bên trái tổng số nghiệm cực và ng hiệm không của hệ hở

6 Điểm rời trục thực: Điểm mà tại đó quỹ đạo nghiệm số rời trục thực được xác định

bởi phương trình: {G (z)}= 0

dz

d h

7 Giao của quỹ đạo nghiệm số với đường tròn đơn vị: Xác định giá trị của K tại

giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với đường tròn đơn vị bằng tiêu chuẩn Jury Sau đóthay K vào đa thức đặc tính để tìm giá trị của điểm cực

Ví dụ 2.2

Xây dựng quỹ đạo nghiệm số của hệ thống sau:

Giải

1 Quỹ đạo nghiệm bắt đầu từ nghiệm cực của hệ hở là: z= -1; z=-2

2 Một nhánh của quỹ đạo nghiệm kết thúc tại nghiệm không của hệ hở là: z=1;nhánh còn lại đi ra ∞

3 Hệ hở có 2 nghiệm cực, do đó có 2 nhánh quỹ đạo nghiệm số

K-

k