Bài giảng xử lý số liệu và tín hiệu đo lường

Trước tiên ta nên hệ thống các loại tín hiệu theo các quá trình vật lý cơ bản hoặc là có thể phân loại theo các đặc tính thay đổi theo thời gian điện một chiều hay điện xoay chiều.. Tín

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KĨ THUẬT

HƯNG YÊN KHOA ĐIỆN -ĐIỆN TỬ

XỬ LÝ SỐ LIỆU VÀ TÍN HIỆU

ĐO LƯỜNG

PHẠM THƯỢNG HÀN – NGUYỄN NGỌC MINH

CHU THỊ THANH THƠ

XỬ LÝ SỐ LIỆU VÀ TÍN HIỆU

ĐO LƯỜNG

HƢNG YÊN 2014

LỜI NÓI ĐẦU Trong sự phát triển của khoa học kỹ thuật việc ứng dụng toán học và lưu học ngày càng trở nên cấp thiết và hiệu quả

Kỹ thuật xử lý tín hiệu là lĩnh vực sử dụng các phương pháp toán học

và tin học để giải quyết những bài toán phức tạp mà trước đây không thực hiện được

Như ta đã biết “ Tín hiệu “ được coi là phương tiện vật lý ( tín hiệu điện ,tín hiệu quang…) dùng để mang thông tin Còn tín hiệu đo lường là loại tín hiệu mang đặc tính thông tin về giá trị của đại lượng đo lường Trong kỹ thuật, tín hiệu đo lường được lấy ra từ các bộ phận cảm biến, đó là tín hiệu điện dưới dạng tương tự để xử lý chúng người ta phải

số hóa nó và đưa vào máy tính để xử lý, từ đó mà xuất hiện các phương pháp xử lý số các tín hiệu trên máy tính

Các phương pháp xử lý số tín hiệu nhằm tìm ra các thông số bổ ích cho các quá trình thiết kế những hệ cơ điện tử, cũng như các dây chuyển sản xuất công nghiệp

Thông thường tín hiệu đo lường nhận được là một hàm thường gian x(t), nhưng cũng có một cách biểu diễn khác là tín hiệu biểu diễn trong miền tần số x(t) Các hàm này liên hệ với nhau qua phép biến đổi Furie

Từ đó mà xuất hiện 2 phương pháp xử lý tín hiệu bằng phép phân tích tương quan (xử lý tín hiệu trong miền thời gian) và xử lý tín hiệu bằng phép nhân tích phổ (xử lý tín hiệu trong miền tần số)

Cùng với phép biến đổi Furie ta sẽ để cập đến các biến đổi Furie ta sẽ

để cập đến các pháp biến đổi khác là: Biến đổi LapLace, biến đổi “Z”, biến đổi WaveLetl Cũng được ứng dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu Xử

lý tín hiệu còn bao gồm cả các phép lọc (lọc tương tự và lọc số) là phương pháp khử nhiệm, lấy lại tín hiệu ban đầu khi truyền qua một hệ thống thông tin từ xa không dây

Các phương pháp toán học còn được ứng dụng trong việc xử lý số liệu đo Đó là phương pháp xác định giá trị thực của đại lượng đo và độ biến động của nó khi tiến hành một phép đo

Trong thực tế khi làm thực nghiệm để xác định mối liên hệ giữa hai đại lượng x và y nào đó, ta cần phải xử lý các số liệu đo từ đó mà tìm ra biểu thức giải thích thể hiện mối quan hệ giữa hai đại lượng , đó là nội dung của phép xây dựng biểu thức giải tích của đường cong thực nghiệm được đề cập trong giáo trình này

Giáo trình này được viết ra trước hết cho sinh viên ngành Đo lường – Điều khiển – Tự động hóa làm cơ sở cho nhưng môn chuyên ngành Nó cũng được dung cho những ngành khác như Điện tử, Tin học, Viễn thông, Vật lý, Cơ học, Y học… và những ai quan tâm

Giáo trình này được biên soạn chủ yếu dựa trên cơ sở hai cuốn sách

“Xử lý số tín hiệu và ứng dụng” và “Kỹ thuật đo lường các đại lượng vật

trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Hưng Yên Mọi ý kiến đóng góp có thể gửi về Khoa Điện – Điện Tử trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Hưng Yên Các tác giả xin chân thành cảm ơn!

Các tác giả

Phần I

XỬ LÝ TÍN HIỆU ĐO LƯỜNG

CHƯƠNG 1 KHÁI NIỆM VỀ TÍN HIỆU

1.1 ĐỊNH NGHĨA VỀ TÍN HIỆU

“TÍN HIỆU” được coi là một phương tiện vật lý (tín hiệu điện, tín hiệu quang v.v…) dùng để mang thông tin

Định nghĩa tín hiệu đo lường

Tín hiệu đo lường là loại tín hiệu mang đặc tính thông tin về giá trị của đại lượng đo

Tín hiệu đo nhằm mục đích nối liền các khâu trong hệ thống điều khiển,

đo lường, tự động kiểm tra v.v…của cả quá trình sản xuất

Trong quá trình đo thì thông tin cần phải được đưa ra từ tín hiệu ở đầu vào bằng cách tối ưu nhất - Để làm điều đó ta phải xét đến các đặc tính của tín hiệu và các thông số của nó, để quyết định phương pháp xử lý tốt nhất

Trước tiên ta nên hệ thống các loại tín hiệu theo các quá trình vật lý

cơ bản hoặc là có thể phân loại theo các đặc tính thay đổi theo thời gian (điện một chiều hay điện xoay chiều)

Các thông số của tín hiệu có thể thay đổi theo thời gian và nhiều đại lượng khắc nữa Nhưng trong kỹ thuật đo phần lớn tín hiệu thay đổi theo thời gian

1.2 PHÂN LOẠI TÍN HIỆU

1.2.1 Phân loại tín hiệu theo sự thay đổi phụ thuộc thời gian

Tín hiệu thay đổi phụ thuộc thời gian có thể chia làm hai loại là tín hiệu không ngẫu nhiên và tín hiệu ngẫu nhiên

Tín hiệu không ngẫu nhiên có thể chia làm hai loại là: tín hiệu tiền định và gần tiền định

Tín hiệu tiền định là tín hiệu mà quy luật thay đổi của nó đã biết và biết trước giá trị cũng như tất cả các thông số của nó

Để đo tín hiệu này người ta chế tạo các thiết bị đo để đo các giá trị như hiệu dụng, trung bình hay cực đại phù hợp với quy luật thay đổi theo thời gian của tín hiệu

Tín hiệu tiền định có thể sử dụng để khắc độ, kiểm tra (như là một tín hiệu chuẩn) hay dùng để làm tín hiệu mang khi phải truyền tín hiệu đi

xa

Tín hiệu gần tiền định là loại tín hiệu mà đã biết trước quy luật thay đổi theo thời gian, nhưng lại không biết một hay nhiều thông số, ta cần phải đo

Ví dụ: Tín hiệu xoay chiều biết trước tần số nhưng không biết độ lớn của biên độ

Tín hiệu ngẫu nhiên là tín hiệu tiền định sự thay đổi của nó theo thời gian không theo một quy luật nào cả, mọi giá trị của nó tại mọi thời điểm là đại lượng ngẫu nhiên Tín hiệu ngẫu nhiên là một hàm ngẫu nhiên theo thời gian hay còn gọi là quá trình ngẫu nhiên (QTNN)

Tín hiệu đo tuỳ thuộc vào đặc tính thay đổi theo thời gian trong không gian mà có thể chia thành hai loại

Tín hiệu liên tục hay là tín hiệu analog là loại tín hiệu mà sự thay đổi theo thời gian của nó liên tục Đa số trường hợp tín hiệu là liên tục

Tín hiệu rời rạc là tín hiệu mà thông số của nó có khi chỉ khác 0 trong một khoảng thời gian nhất định hay là trong những điểm nhất định của không gian

Ví dụ: Các dãy xung điện, các thông số mang thông tin của chúng là: biên độ, tần số, chu kỳ lặp lại, độ rộng xung…

1.2.2 Phân loại tín hiệu theo sự biến đổi

Các tín hiệu vật lý tác dụng lên đầu vào và đầu ra của thiết bị đo, tuỳ thuộc vào sự biến đổi có thể chia thành 4 dạng:

- Tín hiệu liên tục theo thời gian x(t) (h.1-1a)

- Tín hiệu liên tục theo thời gian nhưng lượng tử theo mức xl(t) (h.1-1b)

- Tín hiệu rời rạc theo thời gian nhưng liên tục theo mức xr(t) 1c)

(h.1 Tín hiệu rời rạc theo thời gian và lượng tử theo mức xrl(t) 1d)

Thực tế hầu hết các tín hiệu là ngẫu nhiên Để xác định các thông

số thống kê, thời gian đo phải lớn hơn nhiều lần khoảng tương quan của

nó

Khi đo một tín hiệu gần tiền định cần xác định ngay đặc tính tiền định của sự thay đổi tín hiệu phụ thuộc thời gian, và nhất thiết phải sử dụng nó để nâng cao tính chất của phép đo Khi đo tín hiệu ngẫu nhiên thường ta phải xác định mô hình tín hiệu, cần phải biết và kiểm tra tính dừng và tính êrgôđic, biết về luật phân bố của tín hiệu Tức là ta phải xác định được độ lệch giữa mô hình và quá trình thực

Để đảm bảo độ chính xác của phép đo thì khối lượng thông tin để lấy trung bình phải đủ lớn

1.3 TÍN HIỆU GẦN TIỀN ĐỊNH VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NÓ

Tín hiệu gần tiền định có thể là tín hiệu cơ bản và tín hiệu phức tạp 1.3.1 Tín hiệu cơ bản đó là những tín hiệu có thể biểu diễn đơn giản, để tạo ra số lượng các thông số cũng ít nhất và phản ứng của các khâu cũng đơn giản



Trong đó δ(t-tu) - hàm delta;

t - thời gian chạy;

tu - thời điểm tác động của xung

Như vậy một xung đơn vị lý tưởng có 3 thông số: độ rộng xung η =

0, biên độ xung Xm =  và thời điểm xuất hiện xung tu là thông số duy

nhất đặc trưng cho tín hiệu có thể mang thông tin

Khi t≠tu Khi t≠tu

Lấy tích phân của hàm delta ta có

 

t

u t t

0

) (

Còn khi đem vi phân một hàm đơn vị thì ta lại nhận đƣợc hàm delta (h.1-3b)

) ( ) ( 1

u u

t t dt

t t d





(1-3) Bây giờ nếu ta lấy tích phân của tích hàm delta và một hàm x(t) nào đó ta sẽ nhận đƣợc giá trị hàm đó tại thời điểm tu, tức là:

) ( ) ( ) (

0

u t

u dt x t t

t t

Xr(t) =

) (

) (

1

e e

N i

iT t iT

) 2

- Góc pha θ

Bất kỳ thông số nào trong số đó cũng có thể mang thông tin

Tín hiệu hình sin là tín hiệu phổ biến, là hàm số tiện nhất và đơn giản cho việc phân tích chúng (h.1-4a)

1 1 2

s

1

Hình 1-4 a) Tín hiệu hình sin

b) Phổ của tín hiệu hình sin

Mật độ phổ của tín hiệu hình sin là một hàm delta (h.1-4b)

cos( 1

1

n n

n

t nf

C   



)(

Ngoài ra đối với từng dạng xung còn có một thông số nữa đó là độ rộng các xung:



T

Q

(1-10) Hoặc là đại lượng nghịch đảo của nó gọi là hệ số lấp đầy các xung

T

q 



(1-11) Đối với một tín hiệu có chu kỳ hình dáng bất kỳ thì các thông số mang thông tin thường là:

- Thành phần một chiều (giá trị trung bình)







T t t

tb x t dt T

x

0

_

) ( 1

x 1 2( )

_

(1-15) Các thông số mang thông tin của tín hiệu có chu kỳ và hình dáng phức tạp cũng có thể là:

- Độ lệch cực đại của tín hiệu về phía giá trị lớn so với thành phần một chiều

- Hệ số biên độ

d

m a

x

x K

_

 (1-19)

3 Tín hiệu tuần hoàn phức tạp

Một quá trình tuần hoàn phức tạp được cấu tạo bằng cách cộng hai hay nhiều sóng hài hình sin với tỷ số tần số của các cặp sóng hài bất kỳ là những số hữu tỷ

t

) cos(

A

D

k t

Hình 1-7 Các vectơ thành phần của Xk(t) Mỗi một thành phần có thể coi như là một hình chiếu của vectơ

Xk(t) lên trục hoành dưới một góc (ωkt + θk), hình chiếu đó là xk(t) =

Xkcos(ωkt + θk), tức là bằng thành phần tín hiệu Còn hình chiếu của Xk(t) lên trục tung sẽ là

) sin(

gọi là tín hiệu liên hợp của xk(t)

Khi đó tín hiệu phức tạp x(t) có thể viết dưới dạng

X(t) =

xu(t)cos

N i

t x t

W x x

x

x

B

x dt t x t V t

Ax

N i

i i n

i T

i

, 2 , 1 , 0 )

( )

( )

, ,

,

(

) ( ) ( )

(

0

* 1

t x t

) ( )

(

t x

t x arctg t

k k







(1-24) Nếu tần số của các thành phần tín hiệu ở dãy (1-21) phân bố trong dải hẹp

ωmin, ωmax với tần số trung bình là 

 N

k N k

V

) (

) 1 ( )

thì góc lệch pha tổng t sẽ có dạng:

) ( )

(t 0t 0 t

  

ở đây θ0(t) -là hàm thay đổi chậm theo thời gian

Ví dụ: xét một tín hiệu phức tạp gồm tổng hai tín hiệu:

x

t X

x

m

m

) cos(

cos

2 2

1 1







(1-25) Khi đó tín hiệu tổng sẽ là:

x(t) = x1 + x2 = xu(t)sin (t) =

) sin(

cos

2 1 2

2 1 2

X

m

m m

cos

2

2 1

) Nếu X1m > X2m lúc đó sóng hài x1 gọi là thành phần chính hay là sóng hài chính

Hình 1-8 chỉ rõ hai trường hợp:

a) Khi hai tín hiệu x1, x2 có tần số gần bằng nhau

b) Khi hai tín hiệu x , x có tần số khác nhau nhiều

Hình 1-8 Tín hiệu tuần hoàn phức tạp Kết quả ta thấy tín hiệu tổng x(t) ở hai trường hợp là khác nhau

4 Tín hiệu quá độ

Tín hiệu quá độ là loại tín hiệu phụ thuộc vào thời gian rất phổ biến, chúng khác so với tín hiệu tuần hoàn ở chỗ ta không thể biểu diễn dưới dạng tổng các sóng hài được Tức là không có phổ vạch, ở đây qua biến đổi Furiê thì ta nhận được dạng phổ đặc (phổ liên tục)

Tín hiệu quá độ có nhiều dạng khác nhau:

- Tín hiệu dạng exp (hình 1.9a)

t e

X at m

0

0 (1-27)

Hình 1-9 Tín hiệu quá độ và phổ của nó:

t bt e

X m at

0

0 cos

t t o t

t t X

, 0

0

(1-29)

Ví dụ: Tín hiệu dạng hàm exp là quá trình phóng một tụ điện hoặc

là sự nguội của bếp lò Dao động tắt dần: như la giao động của khung dao động cơ cấu từ điện dưới tác dụng của một xung ngắn; còn tín hiệu hình vuông như là lực căng của một sợi dây đến thời điểm tc thì đứt

1.4 TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TÍNH THỐNG KÊ CƠ BẢN CỦA CHÚNG

Tín hiệu ngẫu nhiên là loại tín hiệu mà giá trị của các thông số (có thể là một hay tất cả thông) là các đại lượng ngẫu nhiên

Ở phần lớn các quá trình khảo sát, các tín hiệu đều có các thông số

là hàm ngẫu nhiêu theo thời gian Vì thế đa số các tín hiệu đo X(t) đều là tín hiệu ngãu nhiên Đối với các tín hiệu tiền định thì người ta có thể xác định giá trị của nó ở các thời điểm đã cho, nhưng đối với tín hiệu ngẫu nhiên thì điều này hoàn toàn không thực hiện được Duy chỉ xác định được trước một xác suất nào thì tín hiệu sẽ có giá tri tương ứng nào đó

1.4.1 Phân loại tín hiệu ngẫu nhiên

Tín hiệu ngẫu nhiên (THNN) theo thời gian có thể chia làm 4 loại: -Tín hiệu dừng, êrgôđic

-Tín hiệu dừng, không êrgôđic

- Tín hiệu không dừng, êrgôđic

- Tín hiệu không dừng, không êrgôđic

Trong thực tế kỹ thuật đo lường và điều khiển tự động ta thường nhận được tín hiệu đo dưới dạng tín hiệu ngẫu nhên (THNN)

Ví dụ: Trong quá trình đo dao động, biến dạng, áp suất và các thông số khác của máy bay ta thu được tín hiệu ngẫu nhiên do sự tác động của nhiều tác nhân không biết trước cũng như không kiểm soát được

Sự ghi nhận (ghi lại, quan sát được) THNN khi làm thực nghiệm

và điều kiện thí nghiệm không thay đổi sẽ cho ra các hàm x(t) khác nhau

gọi các thể hiển THNN X(t) Ta không thể biết trước một thể hiện nào của THNN cả mà mỗi lần thí nghiệm lại nhận được một thể hiện khác nhau THNN chỉ có thể nhận được các dữ kiện thống kê đặc trưng cho các thể hiện THNN, xảy ra khi điều kiện thí nghiệm không đổi

Phụ thuộc vào đối số thời gian t là liên tục hay rời rạc (suốt trong khoảng thời gian T quan sát) mà ta có thể phân biệt các THNN như sau:

-THNN lượng tử liên tục là các giá trị lượng tử của một hàm có đối

số liên tục

-THNN rời rạc: là hàm liên tục của hàm có đối số rời rạc

-THNN lượng tử - rời rạc là giá trị lượng tử của hàm có đối số rời rạc

Dưới đây ta sẽ xét các đặc tính của một tín hiệu ngẫu nhiên X(t)

1.4.2 Các đặc tính thống kê cơ bản của THNN

Một tín hiệu ngẫu nhiên được ký hiệu là X(t), ta hãy xét N thể hiện x(t)

Đối với mỗi thời điểm t (ví dụ t = t1) giá trị xi(t1) (i = 1,2, ….;N) là đại

lượng ngẫu nhiên đặc trưng bởi luật phân bố của nó Pi1 (X) 10)

(h.1-Hình 1-10 Tín hiệu ngẫu nhiên và luật phân bố của nó

tại các thời điểm khác nhau Những luật phân bố này được gọi là luật phân bố cấp một, nó phụ thuộc và các thời điểm của đối số t

Giả sử ở thời điểm t = t1 (h.1-11) xác suất giá trị x nằm trong khoảng giữa x1 và x1 + dx1 mà bằng w1 (x1, t1)dx1, trong đó w1 (x1, t1) là

mật độ xác suất đối với các giá trị x khi t = t1 Hàm w1 (x1, t1) đƣợc gọi là hàm mật độ xác suất bậc một của THNN X(t)

Px1X(t1) x1dx1  = w

1(x1,t1)dx (1-30) Còn xác suất của các giá trị tức thời của X(t) ở thời điểm t = t1không vƣợt quá x1, đƣợc gọi là hàm phân bố xác suất bậc một của THNN X(t) (h.1-12)

F1(x1,t1)=PX(t1) x1 

(1-31)

Hình 1-11 Tính hàm mật độ xác suất

Hình 1-12 Tính hàm phân bố xác suất Nhƣ vậy từ lý thuyêt xác suất có thể biết về mối quan hệ giữa hàm phân bố xác suất và hàm mật độ xác suất nhƣ sau:

) , ( ) , (

1 1 1 1

1 1

1 w x t x

t x F

1 (x ,t )dx w

(1-33) Các hàm F1(x1,t1) và w1(x1,t1) là các đặc tính thống kê đơn giản nhất của THNN và phụ thuộc và thời gian Các đặc tính này cho ta khái niệm về THNN chỉ ở tại các thời điểm cố định riêng biệt nhƣng không hoàn hảo bởi vì chúng không cho biết về sự biến thiên của THNN X(t)

Đặc tính thống kê của THNN sẽ hoàn hảo khi mà nó cho phép đánh giá xác suất suất hiện của các thể hiện khác nhau của THNN X(t) Một đặc tính nhƣ vậy có thể tìm ra theo cách sau:

Xét n thời điểm: t1, t2… tn (h.1-13) Ở các thời điểm này xác suất các giá trị của X(t) nằm trong các khoảng:

Nó là phép xác định xác suất của hàm X(t) đi qua các khoảng dx1

Trong thực tế thì có một số loại THNN mà đặc tính xác suất của nó

có thể hoàn tàn đƣợc xác định bởi hàm wn ngay cả khi n hữu hạn

Ví dụ: Nếu các giá trị của THNN X(t) ở các thời điểm t1, t2… tn

là những đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập với nhau, thì lúc đó mật độ xác suất w1(x1,t1) hoàn toàn đặc trƣng cho THNN đó Thật vậy, theo lý thuyết

xác suất thì xác suất của các sự kiện độc lập nhau, bằng tích của các xác suất của từng sự kiện độc lập nhau, từ đó ta có:

wn(x1,t1; x2,t2;…… ; xn,tn) = wn(x1, t1) w1(x2, t2)…w1(xn, tn) (1-34)

Hình 1-14 Hàm phân bố xác suất

Ta xét các tính chất của hàm mật độ xác suất và hàm phân bố xác xuất của THNN các tính chất này cũng gần giống tính chất của các hàm này đối với đại lƣợng ngẫu nhiên Chúng ta sẽ xét một số tính chất cơ bản Ví dụ, của hàm phân bố xác suất bậc hai F2(x1, t1; x2, t2) nhƣ sau:

- Hàm phân bố xác xuất bậc hai luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1 (h.1-14)

- Từ hàm mật độ xác xuất bậc n có thể tìm được tất cả các hàm mật

độ khác có bậc nhỏ hơn bằng cách lấy tích phân nó theo các đối số thừa

Hình 1-15 Hàm mật độ xác suất Thật vậy

Bây giờ ta thử xét một số thể hiện của THNN X(t) (h.1-16) Nếu ta

cố định một thời điểm nào đó t = t1 thì có thể coi giá trị của THNN tại thời điểm ấy là một đại lượng ngẫu nhiên bình thường Đối với đại lượng ngẫu nhiên ấy có thể xác định kỳ vọng toán học mx(t) tại t1

Hình 1-16 Kỳ vọng toán học của THNN Trong trường hợp tổng quát kỳ vọng toán học là một đại lượng phụ thuộc thời gian t Nếu cho tất cả các thời điểm có thể thì ta nhận được một hàm số mx(t) được gọi là kỳ vọng toán học của THNN X(t) Nó được viết theo công thức

Rõ ràng là nếu ta chỉ xét kỳ vọng toán học không thôi thì chưa đủ

vì rằng nó không thể hiện được độ lệch ngẫu nhiên của các thể hiện của X(t) xung quanh giá trị trung bình của chúng

1.5.2 Phương sai

Để có đặc trưng tốt hơn cho THNN, ta xét một đặc tính nữa đó là phương sai của THNN nó đặc trưng cho độ lệch của các thể hiện X(t) xung quanh kỳ vọng toán học của nó

Phương sai của THNN là một hàm số mà giá trị của nó ở tại mỗi giá trị cho trước của đối số bằng phương sai của các thể hiện của THNN

ở tại giá trị của đối số Phương sai của THNN có thể viết thông qua hàm mật độ bậc 1 như sau:

(t D x t

x 



(1-37) 1.5.3 Hàm tương quan

Kỳ vọng toán học và phương sai của THNN xác định như một

“hành lang” trong đó xếp đặt các thể hiện của THNN; tuy nhiên nó không làm rõ mức độ thay đổi của THNN bên trong hành lang đó

Ví dụ: Ta có hai THNN X1(t) và X2(t) có cùng mx(t) và Dx(t) nhưng đặc tính thay đổi của các thể hiện hoàn toàn khác nhau (h.1-17 a, b)

Hình 1-17 a) THNN thay đổi nhanh

b) THNN thay đổi chậm Nếu như trong các angôrit đo cùng các phép biến đổi các THNN

X1(t) và X2(t) có chứa các phép tính vi phân và tích phân, thì dẫu rằng chúng có cùng mx và Dx thì kết quả của các biến đổi ấy vẫn khác nhau Như thế để đặc trưng tốt hơn cho THNN cần thiết phải biết đến mức độ thay đổi của THNN ấy tại những thời điểm khác nhau của đối số t

Mức độ thay đổi của THNN theo đối số t được xác định bởi hàm tương quan của THNN theo công thức sau:

Rx(t1, t2) = M[{X(t1) - mx(t1)}{X(t2) - mx(t2)}]

= M[ ( ) ( 2)

0 1

0

t X t

Ở đây X0 (t) = X(t) - mx(t) được gọi là THNN quy tâm

Hàm tương quan (HTQ) của HTNN X(t) có thể được thể hiện qua mật độ xác suất bậc hai của HTNN ấy:

Hàm Rx(t1, t2) được gọi là hàm tương quan

Cũng có khi người ta định nghĩa hàm tương quan như sau:









Và mối liên hệ giữa Bx(t1, t2) và Rx(t1, t2)dx1dx2 như sau:

Chúng ta sẽ khảo sát tính chất của hàm tương quan

1 Từ định nghĩa của HTQ ta có thể suy ra tính chất của HTQ, HTQ là một hàm đối xứng: Rx(t1, t2) = Rx(t2, t1) Đối với THNN dừng (ta

có xét sau ở 1.5.4)

Thì Rx(t1 - t2) = Rx(t1 - t2) hay

Rx( ) = Rx(- ) (1-41)

Tức là hàm tương quan của THNN dừng là một hàm chẵn

2 Từ tính chất của mômen tương quan rút ra:

) , ( ) , ( )

( ) ( )

, (t1 t2 D t1 D t2 R t1 t1 R t2 t2

) ( ) ( )

(

) ( ) (

2

2 2

1

1 1

t D

t m t t

D

t m t

x x x

2 2

1

1 1

) (

) ( ) ( )

(

) ( ) (

t D

t m t t

D

t m t

x x x

x

=

) ( ) ( ) (

) ( ) ( 2 )

(

) ( ) ( )

(

) ( )

(

2

2 2

1

1 1

2 2

2 2

2 1

1 1

t D

t m t t

D

t m t t

D

t m t t

D

t m t

x x x

x x

x x

x

=

=

0 ) ( ) (

) , ( 2 1 1

2 1

t t R

x x

Từ đó ta có:

) ( ) (

) , ( 1

2 1

2 1

t D t D

t t R

x x



Hay

) ( ) ( )

, (t1 t2 D t1 D t2

My(t) = mx(t) + θ(t)

) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) (

0

t t

m t t

X t

m t Y t

4 Khi nhân một THNN X(t) với một hàm tiền định S(t), hàm

tương quan của nó sẽ được nhân với S(t1) S(t2)

* Chứng minh:

Xét THNN

Y(t) = X(t).S(t) Khi đó my(t) = mx(t).S(t); Y0 (t) = Y(t)- my

Và Y0 (t) = X(t).S(t) - mx(t).S(t)

= [X(t) - mx(t)]S(t)

= X0 (t).S(t)

Do đó mà:

ρx (t1, t2) = ( ) ( )

) , (

2 1

2 1

t D t D

t t R

x

x (1-43) HTQ chuẩn cũng có tính chất giống như HTQ bình thường Từ đó

ta có

1 ) , (t1 t2 

x



(1-44)

6 Khoảng tương quan

HTQ của THNN đặc trưng cho mối quan hệ giữa hai giá trị x(t1) và x(t1 +  ) được gọi là mối tương quan Trong thực tế tồn tại một khoảng

thời gian tương quan ηtq, tức là khoảng cách giữa x(t1) và x(t1 + η) mà bắt đầu từ đó (η ηtq) thì có thể coi là x(t1) và x(t1 + η) không có tương quan

Khoảng tương quan được coi như là một thông số của THNN, nó được sử dụng để xác định hiệu quả của các ước lượng kỳ vọng toán học

và hàm tương quan của THNN, chọn bước rời rạc hoá THNN liên tục …

Tuỳ thuộc loại bài toán mà ta có định nghĩa về khoảng tương quan một THNN dừng như sau:

a) Khoảng tương quan được xác định như là một giá trị nào đó của đối số của HTQ mà bắt đầu từ đó với tất cả các η  ηtq ta có biểu thức

) ( 

Hình 1-18: Khoảng tương quan ηtq

c) Khoảng tương quan tuyệt đối được gọi là:

(1-46) Định nghĩa này thường dùng hơn, khi xác định bước rời rạc hoá THNN

d) Cũng có thể xác định

ηtq =

0 x(  )2d (1-47) 1.5.4 Tính dừng của THNN

Khi giải một số lớp các bài toán thực tế thì tín hiệu ngẫu nhiên dừng (THNND) đóng một vai trò rất quan trọng

Một tín hiệu ngẫu nhiên gọi là dừng theo nghĩa hẹp nếu như hàm mật độ xác suất của nó wn(x1, t1; x2, t2; …; xn, tn) với n bất kỳ, không thay đổi khi chuyển dịch các thời điểm t1, t2…tn dọc trục thời gian, tức là với n

và η bất kỳ ta luôn có đẳng thức:

wn(x1, t1; x2, t2; …; xn, tn) = wn(x1, t1 + η; x2, t2 + η; …; xn, tn + η) Nếu như đặc tính này không thoả mãn thì THNN được gọi là không dừng theo nghĩa hẹp Từ định nghĩa trên ta suy ra tính chất của THNND

1 Hàm mật độ xác suất bậc 1 có cùng dạng ở bất kỳ thời điểm nào:

tức là không phụ thuộc thời gian

2 Hàm mật độ xác suất bậc hai sẽ chỉ phụ thuộc vào hiệu t2 - t1 = η

mà không phụ thuộc vào t1 và t2

w2(x1, t1; x2, t2) = w2(x1, t1; x2, t2 + η) =

w2(x1, tn; x2, tn + η) = w2(x1, x2, +η) (1-49)

3 Hàm mật độ xác suất bậc n sẽ không phụ thuộc các thời điểm t1,

t2, …, tn mà chỉ phụ thuộc vào hiệu của chúng: η1 = t2 - t1, η2 = t3 - t1, ηn-1 =

tn - t1

Vì rằng hàm mật độ xác suất bậc 1 của THNND không phụ thuộc thời gian; cho nên các mômen của chúng như kỳ vọng toán học và phương sai là những đại lượng không đổi, không phụ thuộc vào thời gian

Rõ ràng THNN dừng theo nghĩa hẹp sẽ là dừng theo nghĩa rộng nhưng điều ngược lại nói chung là không đúng

1.5.5 Tính êrgôdic của THNND

Đa số các THNND đều có một tính chất rất quan trọng đối với việc giải các bài toán thực tế, đó là tính êrgôdic Để xác định tính êrgôdic ta xét một hàm ngẫu nhiên sau:

1 lim

T t t

Ở đây : t0 - thời điểm bất kỳ;

T – khoảng thời gian lấy trung bình hàm [ X (t)]

Biểu thức (1-50) chỉ rõ ràng THNND X(t) sẽ êrgôdic nếu nhƣ đại

lƣợng ngẫu nhiên [X(t)]dt hội tụ theo xác suất đến một đại lƣợng không ngẫu nhiên :

mà thôi

*Từ biểu thức (1-50) ta có thể xác định điều kiện êrgôdic của THNND X(t) theo kỳ vọng toán học nhƣ sau:

Giả sử THNN Y(t) = [X(t)]

Cho nên:

=

Khi đó tính êrgôdic của THNND X(t) theo kỳ vọng toán học của

hàm Y(t)= đồng nghĩa với việc:

Điều kiện (1-51) có thể dẫn đến biểu thức đơn giản hơn khi cho

và lấy tích phân từng phần ta có:

0 )

( ) 1 (

(1-52)

Từ (1-50) suy ra rằng THNND X(t) sẽ êrgôdic theo kỳ vọng toán học

mx nếu:

hay là theo cách tương tụ biểu thức (1-52) ta có:

*Cũng tương tự như vậy ta có thể xác định diều kiện êrgôdic của THNND X(t) theo hàm tương quan như sau:

Trên cơ sở biểu thức(1-50) điều kiện đó có dạng:

 ( )  ( )  ( ) 0

1 lim

x x

Biểu thức này có thể dẫn đến một dạng khác, nếu cho rằng THNN X(t) à chuẩn

Sự khác nhau trong điều kiện êrgôdic đối với kỳ vọng toán học và HTQ nói lên rằng có thể có THNN êrgôdic theo kỳ vọng toán học mà không êrgôdic theo HTQ Điều kiện cần và đủ của tính êrgôdic có công thức phức tạp và vì thế trong thực tế để đơn giản người ta thường kiểm tra điều kiện đủ để THNN êrgôdic theo kỳ vọng, phương sai và HTQ như sau:

0 ) (

1.5.6 Mật độ phổ của THNND,Ê

Trên đây chúng ta đề cập đến tín hiệu đo phụ thuộc thời gian x(t) tức

là một tín hiệu được cho trong miền thời gian t Tuy nhiên có một cách biểu diễn nữa của tín hiệu , đó là biểu diễn tín hiệu phụ thuộc tần số, nghĩa là tín hiệu được cho trong miền tần số f (một đại lượng nghịch đảo với thời gian) tức là X(f) Và việc phân tích tín hiệu sẽ được thực hiện trong miền tần số Ta gọi là phép phân tích tần số

Trong lý thuyết và thực tế của kỹ thuật đo lường thì phương pháp phân tích tần số rất phổ biến Nó dựa trên phép biến đổi Furiê

Khi x(t) là hàm tiền định thì phép biến đổi Furiê sẽ được thực hiện dễ

dàng vì x(t) đã biết trước biểu thức giải tích ta có x(t) X(f) ( sẽ đề cập

kỹ ở phần (3.1)) và hàm mật độ phổ công suất S(f) hay S( ) được tính là

S(f) = |X(f)|2

Còn khi X(t) là THNN thì việc sử dụng biến đổi Furiê trực tiếp là rất khó

khăn, bởi vì X(t) không thể viết dưới dạng hàm hay biểu thưc toán học

Trong trường hợp đó phải sử dụng phép biến đổi Furiê rời rạc ( xem

Các công thức (1-56) gọi là công thức Viner – Khinchin

Nếu trong biểu thức (1-57) nếu ta cho thì nhận được:

Rx(0) = x

2

= x( (1-58) Đại lượng Sx( có thể xem như là công suất của THNN X(t)

trong dải tần số từ + Như vậy hàm Sx( đặc trưng cho sự

phân bố công suất theo dải tần số của THNN Vì thế hàm Sx( được gọi

là mật độ phổ công suất hay phổ năng lượng

Khác với tín hiệu tiến định mà phổ của nó chứa số liệu về biên đọ các

sóng điều hòa và pha của nó, mật độ phổ của THNN không mang thông

tin về pha của các thành phần phổ riêng biệt Vì vậy, về nguyên tắc không

thể phục hồi một thể hiện nào của THNN ( như một hàm thời gian) theo mật độ phổ của nó được

Các tính chất của mật độ phổ

1- Mật độ phổ của THNND là một hàm thực chẵn dương của

* Chứng minh: S(f) hay S( là một hàm dương vì S(f) = |X(f)|2 Từ 56) sử dụng công thức Ơle có thể viết:

Dx = Rx(0) = = (1-64)

3- Nếu ta thay đổi số trong HTQ thì sẽ dẫn đến sự thay đổi tỷ

Như vậy tập N THNN X1(t),…,Xn(t) được khảo sát như là một thể thống nhất gọi là hệ thống các THNN Cũng tương tự như một THNN

được coi là hệ thống các đại lượng ngẫu nhiên còn hệ N THNN thì được coi là hệ thống các tín hiệu ngẫu nhiên

Cũng như đối với một THNN, đặc trưng tương đối hoàn thiện sẽ là luật phân bố xác suất bậc n, có điều là ở đây số n đối với hệ THNN sẽ nhiều hơn so với một THNN

Ví dụ: Nếu một hệ thống THNN gồm 2 THNN X(t) và Y(t) thì sẽ tồn tại 2 hàm mật độ xác suất bậc một là wx(x,t) và wy(x,t) và có 3 hàm mật độ xác suất bậc hai là wx(x1,t1; x2,t2) ; wy(y1, t1; y2,t2); wxy(x1,t1; y2,t2) Luật phân bố xác suất bậc n được xác định bởi giá trị phân bố của nhiều THNN được gọi là luật phân bố hỗn hợp của các THNN này

Cũng như một THNN, đối với hệ thống các THNN thì việc xét luật phân bố của hệ thống là một việc rất khó khăn Vì thế đối với hệ các THNN trong thực tế người ta chỉ xét các đặc tính số đơn giản nhất đó là

kỳ vọng toán học, phương sai, HTQ, hàm hỗ tương quan, hàm mật độ phổ, hàm mật độ phổ tương hỗ

1.6.2 Hàm hỗ tương quan và các tính chất của nó

Hàm hỗ tương quan của hệ thống hai THNN X(t) và Y(t) được xác định như sau:

(1-2- Tương tự tính chất của HTQ ta có tính chất của HHTQ:

1.6.3 Hệ thống các THNN dừng

Hệ thống các THNN X1(t), X2(t),… XN(t) được gọi là dừng theo nghĩa hẹp, nếu tất cả luật phân bố bậc n của nó không phụ thuộc vào các thời điểm t1, t2, …tm mà chỉ phụ thuộc vào các khoảng thời gian, ví dụ t2 – t1,

t3 – t1, tm – t1, tức là hàm phân bố ở bất kỳ bậc nào đều không phụ thuộc vào thời điểm bắt đầu tính

Hệ các THNN X1(t), X2(t), …XN(t) được gọi là dừng theo nghĩa rộng nếu tất cả các kỳ vọng toán học, phương sai của THNN đều không đổi, tất

cả các hàm tương quan và hàm hỗ tương quan của các THNN đó phụ thuộc vào hiệu = t2 – t1. Một hệ thống THNN như vậy gọi là hệ thống có quan hệ dừng Khi đó hàm tương quan có thể viết:

Hình 1-19 Hàm hỗ tương quan 2- Cũng như đối với một THNN ta có tính chất

3- Hàm tương quan chuẩn

4- Hai tín hiệu có quan hệ dừng X(t) và Y(t) được gọi là êrrgôđic theo hàm hỗ trợ tương quan nếu:

( )

(

=0 Điều kiện đủ để hệ các THNN là êrgôđic đơn giản là các hàm tương quan giảm dần đến 0 khi tăng dần tức là:

1.6.4 Mật độ phổ tương hỗ và các tính chất của nó

Đối với một hệ hai THNN dừng X(t) và Y(t) thì mật độ phổ tương hỗ

Sxy( ) là biến đổi Furiê thuận của hàm hỗ tương quan

Và Sxy( ) = Fxy( )+jIxy

Như vậy Sxy( ) nói chung là một đại lượng phức với phần thực

Fxy( ) và phần ảo là Ixy( ) Từ đó ta có công thức đối với hàm hỗ tương quan (HHTQ) có dạng:

) ( 2

) ( 2

( 2

1

(1-76) 3- Nếu các THNN X(t) , Y(t) có hàm HHTQ Rxy và mật độ phổ tương hỗ Sxy , thì HHTQ Rxy sẽ có hàm mật độ phổ tương

hỗ là (ta đã chứng minh tính chất này ở phần trên) 4- Hàm mật độ phổ tương hỗ Sxy , Syx là các đại lượng liên hợp phức

Sxy = Syx

Syx = Sxy 77)

*Chứng minh: Để chứng minh tính chất này ta viết:

Vì Rxy(  )  Rxy(   )

thì

Syx =

Sxy =

xy t e dt S R

THNN phức được biểu diễn như sau: ( ) 1( ) 2( )

.

t jX t

X t

Trong đó X1(t), X2(t) là các thành phần ngẫu nhiên thực và ảo của THNN phức Ta có thể lấy ví dụ Khi xử lý ảnh, mỗi một điểm trên ảnh là tọa độ của 2 chiều vuông góc với nhau, có thể coi là một quá trình ngẫu nhiên phức

Các đặc tính thống kê cơ bản như hàm mật độ xác suất hay hàm phân bố xác suất cũng được tính cho 2 chiều Tuy nhiên cũng như THNN thực việc phân tích chúng sẽ gặp nhiều khó khăn, vì vậy đối với THNN phức người ta cũng sử dụng các đặc tính số để thay cho các đặc tính thống kê cơ bản