chuyen de phuong trinh va he phuong trinh

Tóm tắt giáo khoa 1 Phương trình một ẩn Phương trình một ẩn là phương trình có dạng :fx = gx ;fx và gx là những biểu thức của x ; x là ẩn • x là một nghiệm của phương trình khi dẳng

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa

§1 Đại cương về phương trình

A Tóm tắt giáo khoa

1 Phương trình một ẩn

Phương trình một ẩn là phương trình có dạng :f(x) = g(x) ;f(x) và g(x) là những biểu thức của x ;

x là ẩn

• x là một nghiệm của phương trình khi dẳng thức f(0 x ) = g(0 x ) đúng 0

• Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó

• Một phương trình không có nghiệm nào cả được gọi là phương trình vô nghiệm

2 Điều kiện của một phương trình

Cho phương trình f(x) = g(x) Điều kiện để những biểu thức f(x) ; g(x) có nghĩa được gọi là

điều kiện của phương trình

3 Phương trình tương đương

Hai phương trình gọi là tương đương khi tập nghiệm của chúng bằng nhau

4 Phép biến đổi tương đương

Để giải một phương trình ta thừơng biến đổi phương trình này thành một phương trình tương

đương đơn giản hơn Phép biến đổi này được gọi là phép biến đổi tương đương

Dưới đây là những biến đổi tương đương thường dùng (cần nhớ là điều kiện của phương trình không bị thay đổi )

a) Biến đổi đồng nhất ở hai vế

b) Cộng hay trừ vào hai vế cho cùng một biểu thức

c) Nhân hay chia hai vế với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0

Khi đó (2) gọi là phương trình hệ quả của (1)

B.Giải toán

Dạng toán 1:Tìm điều kiện của một phương trình

Ví dụ 1:Tìm điều kiện của những phương trình sau:

Giải:

a) điều kiện của phương trình (1) là: x− ≠ ⇔ ≠ 2 0 x 2

b) điều kiện của phương trình (2) là:x+ ≠ và1 0 x− ≠ ⇔1 0 x≠ − và 1 x≠ 1

Ví dụ 2:Tìm điều kiện của những phương trình sau:

b) điều kiện của phương trình (2) là 3 0 3 3 4

Dạng toán 2 : Giải phương trình

Để giải một phương trình ta thường :

a) Tìm điều kiện cuả phương trình

b) Biến đổi tương đương phương trình này thành một phương trình đơn giản hơn và tìm nghiệm thỏa điều kiện của phương trình

Ví dụ 1: Giải những phương trình sau :

a) Điều kiện cuà phương trình (1) :x− ≥ ⇔ ≥ 2 0 x 2

(1) ⇔ x = 1 nghiệm này không thỏa điều kiện của phương trình

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

b) Điều kiện của phương trình (2) là : x+1≠ 0 ⇔ x ≠ -1

≠ 0 ) (2)⇔x(x+1)+2+2(x+1) = 2x+4 (nhân 2vế với x+1

⇔ x2+ + +x 2 2x+ =2 2x+4 ⇔ x2+ =x 0

x(x + 1) = 0 phương trình này có 2 nghiệm x = 0 , x = 1 Nghiệm x =

-1 bị loại vì không thỏa điều kiện của phương trình Vậy phương trình (2) có một nghiệm là x = 0

x = 0 ; x = 7 Cả 2 nghiệm này đều thỏa điều kiện của phương trình (1)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là : x = 0 ; x = 7

b)điều kiện của phương trình (2) là : 1 0 1 1

C Bài tập rèn luyện :

3.1 Giải những phương trình sau:

2 3

D Hướng dẫn giải hay đáp số

3.1 a) x = 2 b) x = 0 c) vô nghiệm d) x = 0 ; x = 4 e) vô nghiệm

Vậy 2 phương trình này không tương đương

3.4 điều kiện của cả hai phương trình này đều là :x R∈

(1)⇔(2)⇔ x4 + =4 x4+4x2+ ⇔ =4 x 0

Tập nghiệm của cả hai phương trình đều là { }0

Hai phương trình này tương đương

§2 Phương trình bậc nhất Phương trình bậc hai

A Tóm tắt giáo khoa

1 Giải và biện luận phương trình dạng :ax+b=0

Cách giải và biện luận được tóm tắt trong bảng sau :

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng : ax2+bx+c = 0

Cách giải và công thức nghiệm của phương trình này được cho trong bảng sau :

ax +bx c+ =

Kết luận Biệt thức 2

42

b b ac x

−0

Chú ý : Tính nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai

• Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2+bx c+ =0 có một nghiệm x1=1 và nghiệm kia là x2 c

Dạng toán 1 : Giải và biện luận phương trình ax+b = 0

Ví dụ 1 : Giải và biện luận phương trình : mx - 5m = 3x + 4 (1)

+

−

• m = 3 : phương trình (1) vô nghiệm

Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình : mx + 4 = 2x + m2(2)

Giải :

8

m x m

Dạng toán 3 :Phương trình đưa về bậc nhất ,bậc hai

*Ví dụ 1 : Giải và biện luận những phương trình sau :

• Nếu nghiệm x = m+3 không thỏa điều kiện của phương trình nên bị loại

Vậy :m≠ −4 phương trình có nghiệm là x = m+3

m = - 4 phương trình vô nghiệm

b)điều kiện của phương trình (2) là :x− > ⇔ > 1 0 x 1

• Nếu nghiệm x = m+2 không thỏa điều kiện của phương trình nên bị loại Vậy : m > -1 phương trình có nghiệm là x = m+2

m < -1 phương trình vô nghiệm

*Ví dụ 2 : Giải và biện luận những phương trình sau :

Nghiệm x1=1 (loại vì không thỏa điều kiện của phương trình (1) )

Nghiệm x2 =2m nhận được khi 2m 1 1

2

m

≠ ⇔ ≠Vậy : 1

2

m≠ phương trình (1) có một nghiệm là x2 =2m

1

2

m= phương trình vô nghiệm

b) Điều kiện của phương trình (2) là :x− ≠ ⇔ ≠ 2 0 x 2

Nghiệm x1= +m 1 nhận được khi m 1 2 m 1

Nghiệm x2 = +m 2nhận được khi m+ ≠ ⇔ ≠2 2 m 0

Vậy m≠1 và m≠0 phương trình (2) có hai nghiệm = + = +

x x

x x

a) Điều kiện của phương trình (1) là :x2− ≠ ⇔4 0 x2 ≠ ⇔ ≠ ±4 x 2

(1) ⇔x x( − = +2) 5 2(x2−4) (nhân hai vế với (x2−4) )

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là :x1=1;x2 = − 3

b) Điều kiện của phương trình (2) là :x− > ⇔ > 2 0 x 2

(2) ⇔ x2−4x+ = −2 x 2 (nhân hai vế với x− ) 2

Nghiệm (loại vì không thỏa điều kiện của phương trình (2) )

Vậy phương trình (2) có một nghiệm là x2 = 4

' 1 4 5

Δ = + = Phương trình cóhai nghiệm là:

3 1 5; 4 1 5

x = − − x = − + (nghiệm x4 = − + 51 bị loại vì không thỏa điều kiện x≤ −1 )

Vậy phương trình (3) có hai nghiệm là :x2 = 6;x3 = − −1 5 :

Ví dụ 4 : Giải những phương trình sau :

Chú ý : Ta chỉ cần kiểm tra các nghiệm này thỏa điều kiện 14x + 2 0 Khi đó ≥

điều kiện x2−3x+18 0≥ đương nhiên thỏa vì x2−3x+18 14= x+ ≥2 0

2

2x 5x 11 0

b) Điều kiện của phương trình (2) là : + + ≥

Cả 2 nghiệm này đều không thỏa điều kiện Vậy phương trình (2) vô nghiệm

c) Nhận xét rằng các giá trị -2 và 1 làm các biểu thức ( x + 2 ) và ( x + 1 ) đổi dấu nên ta xét các trường hợp sau :

Vậy phương trình (3) có một nghiệm là x = 2

Ví dụ 5 : Giải những phương trình sau :

a)x4 −4x2+ = 03 (1) b)(x2−2 )x 2+5(x2−2 ) 4x + = (2) 0

c)(x2+2 )x 2−6x2−12x+ = 05 (3)

Giải :

Vậy phương trình (3) có 4 nghịêm :x x x x 1; ; ;2 3 4

*Ví dụ 6 : Cho phương trình x4−(m+5)x2+2m+ = 06 (1) Định m để phương trình này có 4 nghiệm phân biệt

a) Tìm hai cạnh của một hình chữ nhật biết chu vi bằng 36m,diện tích bằng 800m

b) Tính giá trị cuả những biểu thức sau : E = 2 2

1 2 ; (3 1 2 )(32 2 2 )1

x +x F = x − x x − x với x x là 1; 2 nghiệm của phương trình 3x2+5x− =6 0

Giải :

18 80

Vậy x , y là nghiệm của phương trình t2−18t+800 0= ⇔ =t 8;t=10

Hai cạnh của hình chữ nhật là 8m và 10m

b) Phương trình cho luôn có nghiệm x x thoả 1; 2 1 2

1 2

53

Vậy khi m = 7 thì bài toán thoả

Dạng toán 5 : Giải một bài toán bằng cách lập phương trình

Ta thường phải thực hiện các bước sau :

1 Chọn ẩn số Điều kiện của ẩn

2 Lập phương trình

3 Gỉai phương trình

4 Chọn nghiệm thỏa điều kiện

Ví dụ 1 : Một nông dân có một mảnh ruộng hình vuông Ông ta khai hoang mở rộng thêm thành một mảnh ruộng hình chữ nhật , một bề thêm 8m , một bề thêm 12m Diện tích mảnh ruộng hình chữ nhật hơn diện tích mảnh ruộng hình vuông 3136m Hỏi độ dài cạnh của mảnh ruộng hình vuông ban đầu bằng bao nhiêu ?

Thời gian đi và về là 5 giờ nên ta có phương trình

này luôn có nghiệm Định m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả :

có hai nghiệm là b và c Chứng minh rằng : ( b – a ) ( b – c ) = pq - 6

3.13 Một công ty dự định điều động một số xe cùng loại để chuyển 22,4 tấn

hàng Nếu mỗi xe chở thêm một tạ so với dự định thì số xe giảm đi 4 chiếc Hỏi số xe công ty dự định điều động để chở hết số hàng trên là bao nhiêu chiếc ?

3.14 Chia 840 trái banh cho một số trẻ em Nếu bớt đi 5 em thì số em còn lại sẽ

nhận được nhiều hơn 14 banh so với trước Tính số trẻ em

D Hướng dẫn hay đáp số :

3.5 a) m = 1 :vô nghiệm ; m≠1 nghiệm duy nhất 3

1

m x m

2( x− +2 1) = ⇔3 x− + = ⇔ =2 1 3 x 6

f) Viết phương trình thành dạng :

g) Đặt t= x2− + ≥x 3 0 phương trình thành : t2− − = ⇔ = −2t 3 0 t 1( ) ;l t=3 Suy ra , phương trình cho có 2 nghiệm là : x = 3 ; x = -2

3 8 a) m = 0 : vô nghiệm ; m 0 : nghiệm là ≠ x 1 2

Đó là những phương trình có dạng : ax + by = c (x,y là ẩn ; a,b,c là số thực )

• Nếu hai số x y sao cho đẳng thức ax0; 0 0+by0 = đúng thì cặp c ( , )x y là một nghiệm của 0 0

⎧

⎩

Nếu cặp ( , )x y đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì cặp 0 0 ( , )x y là một 0 0

• D = 0 : hệ vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm

b) Cách giải :Ta thường dùng phương pháp khử bớt một ẩn để đưa về hệ hai ẩn

Chú ý : Ta đều có thể dùng máy tính để giải hệ phương trình hai hoặc ba ẩn

B Giải toán

Dạng toán 1 : Giải phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 1 : Giải các phương trình bậc nhất hai ẩn sau :

x R y∈ = c) Ta có : 4

3

x=− Phương trình có vô số nghiệm là : ; 4

7

27

Dạng toán 2 : Giải hệ phương trình hai ẩn

Ví dụ 1 : Giải những hệ phương trình sau :

⎧

⎩ 2

2

x y

=

⎧

⇔ ⎨ =

⎩

816

x y

14

x

x x

y y

⎪

⇔⎨⎪ = ⇔⎨ = −⎩+

m m D

m m

=+ − =2(m+1)(m-3) -2(m+1)(m-3) =0

x

D m m m x

73

Nghiệm này là số nguyên khi phân số 9

m là số nguyên Do đó m là ước số của 9 Vậy các

giá trị của m là : ±1 ; 3 ; 9± ±

Dạng toán 3 :Giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn

Ví dụ : Giải hệ phương trình sau :

x y z

Dạng toán 4 : Giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Ví dụ 1 : Cho một tam giác vuông : nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2cm và 3cm thì diện tích tam giác tăng lên 50cm2; nếu giảm cả hai cạnh đi 2cm thì diện tích giảm đi 32cm2.Tính hai cạnh góc vuông

Giải :

Goị x và y là chiều dàì hai cạnh góc vuông (đơn vị chiều dài là cm ; x , y > 0)

Diện tích tam giác vuông là :1

2xy Nếu tăng hai cạnh lên 2cm và 3cm thì diện tích là 1( 2)( 3)

2 x+ y+ Nếu giảm mỗi cạnh 2cm thì diện tích là 1( 2)( 2)

2 x− y− Theo giả thiết ta có hệ

Giải :

Gọi x , y lần lượt là vận tốc của ca nô và dòng nước (đơn vị là km/giờ)

Khi xuôi dòng vận tốc ca nô là :x + y và thời gian để đi 21km là 21

x y+ Khi ngược dòng vận tốc ca nô là :x - y và thời gian để đi 21km là : 21

x y− Thời gian ca nô xuôi dòng 7km là : 7

x y+ và thời gian ca nô ngược dòng 6km là

6

x y−

Theo đề bài ta có hệ :

2

1

2km/giờ

*Dạng toán 5 : Giải hệ phương trình bậc hai

Ta thường chỉ gặp các dạng giải được bằng phép thế hoặc bằng phép đặt ẩn số phụ, thường là đặt

Vậy hệ phương trình này có hai nghiệm là : ( - 2 , - 5 ) ; ( 3 , 5 )

b) Hệ phương trình cho tương đương hệ :

Phương trình (**) cho :y = 3 ; y = 15

4Với y = 3 , ta có x = 6 – 3(3) = -3 ; với y = 15 ; 6 3( )15 21

Tương ứng hệ có hai nghiệm là : ( -1 , - 8 ) ; ( - 8 , - 1 )

Với S = 11 ; P = 28 : x , y là nghiệm của phương trình : •

X2−11X +28 0= ⇔X =7 ; X =4

Tương ứng hệ có hai nghiệm là : ( 7 , 4 ) ; ( 4 , 7 )

Tóm lại hệ có bốn nghiệm là : ( -1 , -8 ) ; ( -8 , -1 ) ; ( 7 , 4 ) ; ( 4 , 7 )

Chú ý : Với hệ phương trình đối xứng (là hệ mà các phương trình đều không đổi khi ta hoán vị

hai ẩn x và y) , ta thường biến đổi thành hệ chứa S và P ( S = x + y ; P = xy ) Biết S và P ta sẽ tìm được x , y

3 19 .Một dung dịch 90% axít pha với nước tạo thành dung dịch 60 % axít Khi đổ thêm 2 lít nước

để pha loãng hơn nữa thì dung dịch thành 40 % axít Hỏi lượng nước đổ vào để dung dịch 90% axít xuống còn 60% axít là bao nhiêu ?

3 20 .Nếu tử số cùa một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng 1

4 Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng

5

24 Tìm phân số đó

D Hướng dẫn hay đáp số

3 19 Gọi x (lít) là lượng nước có trong dung dịch 90 % axít và y (lít) là lượng nước

đổ thêm Lượng axít có trong dung dịch là không đổi nên ta có phương trình

0,9x = 0,6(x+y) = 0,4(x+y+2) giải ra ta có : 8; 4

7 Cho phương trình Nếu phương trình này có hai nghiệm đều lớn hơn -3

thì m phải thỏa điều kiện nào dưới đây :

m m

−+

11 Chohệ phương trình : 100 2 3 Nếu

17 Một phân số có tử số bằng 5 Nếu cộng thêm 8 vào mẫu số ta được một phân số nhỏ hơn phân số

cũ là 2 Mẫu số của phân số này bằng :

1(d) Điều kiện của phương trình là :x≠1 vàx≠2

2(c ) Điều kiện của phương trình (1) là 2− > ⇔ <x 0 x 2 phương trình thành

x2 = ⇔ = −9 x 3(x< 2) a= -3 a2+2a= − =9 6 3

3(b) Điều kiện của phương trình (1) là :x≤2 phương trình (1) thành x = 4 (loại)

phương trình (1) vô nghiệm

Điều kiện của phương trình (2) là :x R∈ phương trình (2) thàn 5

2 5

2

x= ⇔ =x phương trình (2) có nghiệm

Điều kiện của phương trình (3) là :x2 ≥1 phương trình (3) thành 4 2 16

điều kiện ; phương trình (3) có nghiệm Vậy chỉ có một phương trình vô nghiệm

4(d) Viết phương trình thành ( 4 phương trình vô nghiệm khi

Vậy trong những cặp số này có 3 nghiệm

7(a) Phương trình này có hai nghiệm là - 1 và - 2m Ta phải có ;- 2m > - 3 3

13(c) Viết phương trình thành dạng:

4(2 1) ( 3) 0 (3 4)( 2) 0 ;

3

Suy ra (9x12+3 ) 16 4 12x1 = − =

14(b) Nếu x>1 phương trình thành x -1 = 2x + 3 nghiệm là x = - 4 (loại vì x >1)

Nếu x≤1 phương trình thành 1-x =2x+3 nghiệm là 2

Vậy mẫu số có thể bằng 2 hoặc bằng -10

18(a) phương trình này vô nghiệm vìx2+ >1 0