Rèn luyện kỹ năng xác định góc trong không gian đưa về bài toán xác

Khi giải quyết các bài toán hình học không gian, học sinh gặp phải nhiều khó khănhơn so với các bài toán hình học phẳng như: Việc tưởng tượng, hình dung để tìm các mốiliên hệ giữa các yế

MỤC LỤC

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 02

1 Lý do chọn đề tài 02

2 Muc đích nghiên cứu 03

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 03

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 04

5 Gỉa thuyết khoa học 04

6 Phương pháp nghiên cứu 04

7 Đóng góp mới của đề tài 04

PHẦN II: NỘI DUNG 05

CHƯƠNG I: Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của đề tài 05

1 Cơ sở lý luận 05

2 Cơ sở thực tiễn 05

Chương II Một số bài tập minh họa 05

1 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian 05

2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 13

3 Góc giữa hai mặt phẳng 18

PHẦN III KẾT LUẬN 25

1 Kết quả 25

2 Kết luận và bài học kinh nghiệm 25

3 Kiến nghị 26

Trang 1

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Môn toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng là mônhọc công cụ nếu học tốt môn Toán thì có những tri thức trong Toán cùng với phương pháplàm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác

Nội dung hình học không gian thường được xem là nội dung khó học nhất đối vớihọc sinh THPT Khi dạy chủ đề này, nhiều giáo viên cảm thấy khó dạy, không mấy hứngthú như các chủ đề khác của môn Toán

Nguyên nhân quan trọng dẫn đến thực trạng nêu trên là do hình học không gian đòihỏi mức độ tư duy và tưởng tượng cao; học sinh đang quen với tư duy về hình học phẳngnên gặp nhiều khó khăn khi làm quen và tư duy về hình học không gian

Khi giải quyết các bài toán hình học không gian, học sinh gặp phải nhiều khó khănhơn so với các bài toán hình học phẳng như: Việc tưởng tượng, hình dung để tìm các mốiliên hệ giữa các yếu tố hình học ( như quan hệ giữa các đường thẳng, mặt phẳng…); việc

vẽ hình để biểu diễn hình không gian trong mặt phẳng…

Khó khăn này sẽ ảnh hưởng đến việc vận dụng lí thuyết để giải quyết các bài toánhình học không gian

Vì vậy cần phải tích cực đổi mới phương pháp dạy học như: Tăng cường hoạt độngtheo nhóm, sử dụng các mô hình trực quan… Khuyến khích học sinh giải toán hình họckhông gian bằng nhiều cách Đặt ra các câu hỏi, các vấn đề đòi hỏi học sinh phải tích cực

tư duy để trả lời; Giao bài tập về nhà phù hợp với đối tượng học sinh, chú trọng các bài tậpđòi hỏi học sinh phải chủ động và sáng tạo; Kiểm tra, đánh giá, phân loại học sinh bằngnhiều hình thức (cả định tính và định lượng)

Để khắc phục, việc tách các bộ phận phẳng ra khỏi không gian sẽ giúp học sinh quy một bài toán phức tạp về giải quyết bài toán đơn giản hơn, dễ hiểu và dễ thực hiện hơn

Yếu tố cốt lõi để giải được các bài toán hình học không gian thường bị che khuất,khó phát hiện bởi hình không gian thường có nhiều đường phụ gây khó khăn cho học sinhtrong việc hình dung, tưởng tượng

Vì vậy, khéo léo bóc tách các yếu tố phẳng ra khỏi không gian sẽ giúp học sinh đơngiản hóa bài toán, dễ dàng tìm ra yếu tố then chốt của bài toán từ đó giải toán dễ dàng hơn

Hoạt động tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian có những ý nghĩa cụ thể đó là:Xác lập liên hệ giữa hình học không gian và hình học phẳng; kết nối dạy học toán THCS

và THPT; xác lập liên hệ liên môn, liên hệ bên trong của môn toán; nâng cao hiệu quả hoạtđộng giải toán hình học không gian từ đó góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho họcsinh

Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệmnhằm giúp các em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như họctập của học sinh ngày một nâng lên

Để giải bài tập hình học không gian một cách thành thạo thì một trong yếu tố quantrọng là biết chuyển từ bài toán hình học không gian về bài toán hình học phẳng, phải giúphọc sinh tìm cách đưa bài toán trong không gian về nghiên cứu bài toán trong mặt phẳng,ghi nhớ lâu các kiến thức hình học và vận dụng tốt vào các kiến thức đã học

Vì vậy, để giúp học sinh học tốt môn hình học 11 tôi đã chọn đề tài:

“Rèn luyện kỹ năng xác định góc trong không gian đưa về bài toán xác

định góc trong mặt phẳng”.

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đề tài nghiên cứu chuyển việc xác định góc trong không gian về bài toán xác

định góc trong mặt phẳng và nghiên cứu các kết quả trong hình học phẳng để vận

dụng vào việc giải bài toán hình học không gian nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng khigiải các bài toán không gian, tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứngthú học tập cho học sinh, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán học ởtrường THPT

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Trong đề tài tôi đề ra các nhiệm vụ nghiên cứu bao gồm:

- Xác định cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của việc xây dựng các định hướng cơbản để chuyển từ bài toán xác định góc trong không gian sang bài toán xác định góc giữahai đường thẳng trong mặt phẳng Từ đó chuyển việc nghiên cứu một số bài toán hìnhhọc không gian về nghiên cứu các bài toán phẳng và sử dụng hình học phẳng để nghiêncứu hình học không gian

- Xây dựng nội dung các định hướng cơ bản để chuyển bài toán xác định góc trongkhông gian sang xác định góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng cũng như quy trìnhgiải các bài tập hình học không gian theo các định hướng đó

Trang 3

- Xây dựng hệ thống bài tập và hình thức tổ chức dạy học thích hợp theo yêu cầu đềra.

4 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Đề tài áp dụng cho quá trình dạy hình học không gian lớp 11 ở trường THPT, trongviệc học tập nâng cao đề thi vào đại học và học sinh giỏi

Đối tượng nghiên cứu một số bài toán hình học phẳng và hình học không gian giảitoán hình học lớp 11

5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Trong quá trình dạy học hình học ở trường THPT, nếu từ bài toán xác định

góc trong không gian sang bài toán xác định góc giữa hai đường thẳng trong mặt

phẳng cùng với hệ thống bài tập có định hướng rõ ràng thì sẽ giúp học sinh nắm vữngcách xác định góc trong không gian Từ đó có thể góp phần nâng cao hiệu quả việc dạyhọc môn toán ở trường THPT

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cức tôi đã sửdụng các nhóm phương pháp sau:

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập hình học, tài liệu hướng dẫn giảng dạymôn toán lớp 11 và lớp 12 Các sách tham khảo, lý luận dạy học bộ môn toán, các côngtrình nghiên cứu liên quan đến cách xác định góc trong không gian

6.2 Phương pháp điều tra cơ bản

Điều tra về thực trạng dạy - học phần xác định góc trong không gian mà trong đó

có sử dụng hình học phẳng

6.3 Phương pháp chuyên gia

Gặp gỡ, trao đối với những đồng nghiệp giỏi về lĩnh vực mình nghiên cứu để cóđịnh hướng trong quá trình viết đề tài

6.4 Phương pháp thực nghiệm

7 ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI

- Tìm ra phương pháp xác định góc trong không gian bằng cách chuyển sang bàitoán xác định góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng, tách hình không gian ra phẳng

để giải quyết vấn đề của bài toán

- Đưa ra hệ thống bài tập vận dụng phương pháp giải trên

PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận

Để xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian, góc giữa đường thẳng vàmặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng bằng cách đưa về xác định góc giữa hai đường thẳng cắtnhau Mà hai đường thẳng cắt nhau thì chúng đồng phẳng Do đó bài toán chuyển về bàitoán xác định góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng Để xác định góc lúc này chúng ta

CHƯƠNG II MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA

1 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau: góc giữa chúng bằng 00

Hai đường thẳng vuông góc: góc giữa chúng bằng 900

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau

Cách 1: Nếu , u vr r lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và ( , )u vr r =α thì:

Trang 5

+ Tính theo vectơ chỉ phương: .

H K

Định hướng: + Để xác định góc giữa hai đường

thẳng chéo nhau AB, CD ta đưa về xác định góc

giữa hai đường thẳng IK và IH hay xác định góc

·KIH , xác định·KIH ta cần tính KI, KH, HI.

+ Để tính KI, HI, KH ta lần lượt xét trong các

mp(ABC), (BCD), (ACH)

Giải:

Nhận xét: Từ ví dụ 1 ta có hai cạnh chéo nhau của tứ diện đều vuông góc với nhau

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

BC và AD, MN a = 3 Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

Định hướng: + Để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau AB, CD ta đưa

về xác định góc giữa hai đường thẳng IM và IN hay xác định góc ·MIN, xác định ·MIN ta cần tính IM, IN.

+ Để tính IM, IN ta lần lượt xét trong các

Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 2:

+ Việc tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD thông qua góc giữa hai đường thẳng IM và IN nhờ vào giả thiết MN a = 3

+ Một số em đồng nhất ( · IM IN , ) = MIN · là chưa chính xác mà

·0

- Tính ra cụ thể góc ·MIN rồi sau đó dựa vào giá trị của góc ·MIN để kết luận vềgiá trị của góc giữa hai đường thẳng AB và CD

Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng

Suy ra ∆ IKH vuông tại I Vậy ( · SA BC , ) = ( · IK IH , ) = HIK · = 90 0

Ví dụ 4 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng 2a 2,

SA vuông góc với (ABC) và SA = a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC.Tính góc giữa hai đường thẳng SE và AF

Định hướng: + Để xác định góc giữa hai

đường thẳng chéo nhau SE, AF ta đưa về xác

định góc giữa hai đường thẳng SE và EM hay

+ Xác định ·KIH ta cần tính KI, KH, HI.

+ Để tính KI, HI, KH ta lần lượt xét trong các

mp(SAB), (ABC), (SBH).

Giải:

Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm của AB, SB, AC

xác định góc ·SEM .

+ Xác định ·SEM ta cần tính SE, EM, SM.

+ Để tính SE, EM, SM ta lần lượt xét trong các

mp(SAB), (ABC), (SBC).

Giải:

Gọi M là trung điểm của BF

⇒ EM // AF ⇒(SE, AF) (SE,EM)· = ·

∆SAE vuông tại A có: SE2=SA2+AE a= 2+2a2=3a2⇒SE a 3=

Định hướng: + Để xác định góc giữa hai đường

thẳng chéo nhau SD, BC ta đưa về xác định góc

giữa hai đường thẳng SD và AD hay xác định

góc ·SDA.

+ Xác định ·SDA ta xét tam giác SAD.

C S

F M B

E K

Vậy góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng 600.

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 3 và SAvuông góc với mặt phẳng đáy Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC

mp(SAD), (ABCD), (SAB).

Giải: Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AD tại F.

a HB SBF

Ví dụ 7: (A-2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy

ABC là tam giác vuông tại A, AB a AC a= , = 3 Hình chiếu vuông góc của A’ lênmp(ABC) là trung điểm của BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’?

Định hướng: + Để xác định góc giữa hai

đường thẳng chéo nhau BF và SB hay chính là

tính góc ·SBF

+ Xác định ·SBF ta cần tính SF, BF, SB.

+ Để tính SF, BF, SB ta lần lượt xét trong các

Định hướng:

+ Để xác định góc giữa hai đường

thẳng chéo nhau AA’ và B’C’ ta xác định góc

giữa hai đường thẳng BB’ và BC hay chính là

Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 7:

+ Áp dụng cách 1 để giải bài toán này

+ Điểm mấu chốt của bài toán này là tìm ra được độ dài của HB’ thông qua nhận xét A’H vuông góc với mp(A’B’C’).

Ví dụ 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a > 0

và · BAD DAA = · ' = · A AB ' = 600 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’, CD Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và B’C.

’

D

’ C

’ D

C

A B

N

(AA', ' ') (BB', B C = BC )

+ Để tính A’D, A’I, DI lần lượt xét trong các mp(A’AD), (DA’C’), (CDD’C’).

Giải: Gọi I là trung điểm của DC’ ⇒ MN / / ' A I

a IA

+ Để xác định góc giữa hai đường thẳng

chéo nhau MN và B’C ta xác định góc giữa A’D

và A’I hay tính co sDA I · '

+ Xác định co sDA I ta cần tính A’D, A’I, · '

DI.

Bài tập 1: (B-2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

bằng 2a, SA a SB a= , = 3,(SAB) (⊥ ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB

và BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN?

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, đáy là hình

vuông Gọi N là trung điểm SB Tính góc giữa AN và CN; AN và SD

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a 2.Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB

Bài tập 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = 1, CC’ = m, ( m >

0) Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ bằng 600

Chú ý: Nếu khi xác định góc giữa d và (P) khó quá ( không chọn được điểm A để

dựng AH vuông góc với (P)), thì ta sử dụng công thức sau đây Gọi α là góc giữa d

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

( SAB ) ( ⊥ ABCD ), H là trung điểm của AB, SH=HC, SA=AB Tính góc giữa đường thẳng

H

A

d

là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) Khi đó định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là ·SCK

nên tam giác SAH vuông tại A hay SA ⊥ AB mà ( SAB ) ( ⊥ ABCD )

Do đó, SA ⊥ ( ABCD ) và AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mp(ABCD)

+ Ta có: ( · SC ABCD , ( ) ) = SCA · , tan · 2

2

SA SCA

AC

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc có tang bằng 2

2 .

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với

mặt phẳng đáy, SA a = 6 Tính sin của góc giữa:

SC ∩ SAB = S nên cần phải xác định điểm K

là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB) Khi

b) Trong mp(SAB) kẻ AH ⊥ SB (H SB) ∈ Theo a) BC ⊥ ( SAB ) ⇒ AH ⊥ BC

nên AH ⊥ ( SBC ) hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mp(SBC)

(ABC) ta cần phải xác định điểm H là

hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó định góc giữa đường thẳng SB

⇒ ∆ vuông cân Vậy góc giữa SB với mp(ABC) là góc SBH· =450.

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của SA và BC Biết góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng

600 Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD)

Giải:

Gọi O là tâm của đáy⇒ SO ⊥ ( ABCD )

Gọi H là trung điểm của OA ⇒ MH / / SO và MH ⊥ ( ABCD ) ⇒ MNH· =600là

góc giữa đường thẳng MN với mặt phẳng (ABCD)

Gọi K là trung điểm của AB Ta có ( ABCD ) ( / / MHK ) nên góc giữa đường thẳng

MN và mặt phẳng (SBD) bằng góc giữa MN và mặt phẳng (MKH)

S

C M

I H

Vì ( MHK ) ( ∩ ABCD ) = HK NK , ⊥ HK nên K là hình chiếu vuông góc của N trên (MHK) ⇒ ·NMK =ϕ là góc giữa MN và mặt phẳng (MKH)

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), đáy

ABCD là hình chữ nhật có AD = 3a, AC = 5a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)bằng 450 Tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC)

Giải:

Dựng điểm K sao cho SK uuur uuur=AD

Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên CK, khi đó: DK⊥(SBC)

b) Tính góc giữa MN và (SBD).

Bài tập 3: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuôngcạnh a; SA ⊥

(ABCD) và SA = a 6 Tính góc giữa:

a) SC và (ABCD) b) SC và (SAB) c) SB và (SAC) d) AC và (SBC)

Bài tập 4: Cho lăng trụ ABC.A′B′C′, có đáy là tam giác đềucạnh a, AA′ ⊥ (ABC) Đường chéo BC′ của mặt bên BCC′B′ hợpvới (ABB′A′) góc 300

trung điểm N của B′C′ có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc

α và mặt bên BCC′B′ góc β

a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và

Cơng thức hình chiếu: Gọi hình (H) cĩ diện tích S; hình (H’) là hình chiếu của (H)

trên mặt phẳng (α) cĩ diện tích S’; φ là gĩc giữa mặt phẳng chứa (H) và mp(α) Lúc đĩ, ta

cĩ cơng thức sau: S'=S.cosϕ.

+ Khi xác định gĩc giữa hai mặt phẳng quá khĩ, ta nên sử dụng cơng thức sau:

,( ) sin

và ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cĩ cạnh bằng a.Tính số đo của gĩc

giữa (BA’C) và (DA’C)

Định hướng: + Xác định giao tuyến của

hai mp(BA’C) và (DA’C),(gt A’C).

+ Xác định hai đường thuộc hai mp cùng

vuơng gĩc với A’C và cắt nhau.

+ Khi đĩ ( · ( BA C ' ) ( , DA C ' ) ) = ( · HB HD , )

+ Tính HB, HD, BC trên các mp tương

ứng

Trang 19