PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết + Bài tập ứng dụng) File word

PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết + Bài tập ứng dụng) File wordPHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết + Bài tập ứng dụng) File wordPHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết + Bài tập ứng dụng) File wordPHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết + Bài tập ứng dụng) File wordPHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết + Bài tập ứng dụng) File wordPHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết + Bài tập ứng dụng) File wordPHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết + Bài tập ứng dụng) File wordPHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết + Bài tập ứng dụng) File wordPHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết + Bài tập ứng dụng) File wordPHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết + Bài tập ứng dụng) File wordPHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết + Bài tập ứng dụng) File wordPHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết + Bài tập ứng dụng) File wordPHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết + Bài tập ứng dụng) File word

Trang 1

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1 Định nghĩa.

Cho hai hàm số y=f x( ) và y=g x( ) có tập xác định lần lượt là Df và Dg Đặt

D=D f ÇD g Mệnh đề chứa biến "f x( ) =g x( )" được gọi là phương trình một ẩn ; x

được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình

2 Phương trình tương đương, phương trình hệ quả.

a) Phương trình tương đương: Hai phương trình f x1( )=g x1( ) và f x2( )=g x2( ) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm Kí hiệu là

Trang 2

2) f x h x( ) ( ) =g x h x( ) ( ) nếu h x ¹( ) 0 với mọi xÎ D

Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả

của phương trình đã cho

( ) ( ) 2( ) 2( )

f x =g x Þ f x =g x .

Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý

 Đặt điều kiện xác định(đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm của phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định

 Nếu hai vế của phương trình luôn cùng dấu thì bình phương hai vế của nó ta thu

được phương trình tương đương

 Khi biến đổi phương trình thu được phương trình hệ quả thì khi tìm được nghiệmcủa phương trình hệ quả phải thử lại phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH.

1 Phương pháp giải.

Soạn tin nhắn

“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn Hóa”

Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành liên lạc

lại để hỗ trợ và hướng dẫn

GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS

- Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f x( ) ( ),g x

cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)

- Điều kiện để biểu thức

 f x xác định là ( ) f x ³( ) 0

Trang 3

Trang 4

x x

ì <

ïï

íï ¹ïî

x x

x

ìïï ³ï

Trang 5

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:

ìïï ³ï

Trang 6

Thay x=3 vào thấy thỏa mãn phương trình

Vậy tập nghiệp của phương trình là S={ }3

c) Điều kiện xác định của phương trình là

Không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = Æ

d) Điều kiện xác định của phương trình là ( ) (2 )

x x

x

ìïï £ï

= vào phương trình thấy chỉ có x=3 thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là S={ }3 .

Trang 7

Soạn tin nhắn

x x x

ì ³ïï

ïï ¹íï

ïï ¹ïî

x x x

ì ³ïï

ïï ¹íï

ïï ¹ïî

x x x

ì ³ïï

ïï ¹íï

ïï ¹ïî

+

Trang 8

Soạn tin nhắn

312

x x x

ì ³ïï

ïï ¹íï

ïï ¹ïî

x

ì ³ïï

é =ê

ê =ë

Trang 9

é =ê

ê =ëc) 2x+ x- 2= 2- x+2

é =ê

ê =ë

Soạn tin nhắn

Trang 10

Thử lại phương trình thấy x =2 thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là S={ }2

Thay vào phương trình ta có tập nghiệm của phương trình là S={ }1 .

DẠNG TOÁN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ

1 Phương pháp giải.

Soạn tin nhắn

Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tươngđương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó Một số phép biến đổithường sử dụng

 Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác địnhcủa phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho

 Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điềukiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương vớiphương trình đã cho

 Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của

Trang 12

Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm

x

x x

Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm của phương trình là x=1 và x=2

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình sau:

Trang 13

-é =êê

ê êThay vào điều kiện (*) ta thấy chỉ có x=2 thỏa mãn

=-Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2

Trang 14

ê =ê

Vậy phương trình có hai nghiệm là x =- 3 và 1

Thử vào phương trình ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm

Ví dụ 3: Tìm nghiệm (x y với ; ) x là số nguyên dương của phương trình sau

20 8- x+ 6x - y =y 7- 4x

Trang 15

ìïï £ï

Vì x là số nguyên dương nên x =1

Thay x=1 vào phương trình ta được 12+ 6- y2 =y 3 (*)

Điều kiện xác định của phương trình (*) là 6- y2³ 0

Trang 16

Do hai phương trình tương đương nên x =1 là nghiệm của phương trình (2)

Thay x =1 vào phương trình (2) ta được

ê =ê

ê êSuy ra hai phương trình không tương đương

ê =ê

ê =êSuy ra hai phương trình tương đương

Vậy m =4thì hai phương trình tương đương

b) Giả sử hai phương trình (3) và (4) tương đương

Trang 17

ê =êPhương trình (4) trở thành 3 2 ( ) (2 )

Trang 18

Bài 3.2: a) ĐKXĐ : 2 2 2

4 0

x

x x

íï - ¹ïî

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

x x

d) ĐKXĐ: 3

1

x x

ì <

ïï

íï ¹

-ïî PTÛ x=3 (không thỏ mãn điều kiện)

Bài 3.3: Tìm số nghiệm của phương trình

Trang 19

Với m =0 thay vào hai phương trình ta thấy không tương đương.

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn

b) Cộng vế với vế để khử 2

m ta thu được phương trình mới có thể nhẩm nghiệm

Kết quả m =4 thì hai phương trình tương đương

§2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1 Định nghĩa.

Trang 20

 Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax+ =b 0 với a b, là số thực và a ¹ 0

 Phương trình bậc hai một ẩn phương trình có dạng 2

Th1: Với b =0 phương trình nghiệm đúng với mọi xÎ R

Th2: Với b ¹ 0 phương trình vô nghiệm

3 Giải và biện luận phương trình ax2+bx+ = c 0

 Nếu a =0 : trở về giải và biện luận phương trình dạng (1)

 Nếu a ¹ 0 : 2

4

b ac

D = Th1: D >0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

-2

b x

 Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

 Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức ( ) 2

Trang 21

Cho phương trình bậc hai ax2+bx+ = (*), kí hiệu Sc 0 b, P c

=- = khi đó

+ Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P <0

+ Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi

000

P S

ì D ³ïï

P S

ì D ³ïï

ïï >

íï

ïï <

ïî

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax+ =b 0.

Û ê = =ë

 Phương trình ax+ =b 0 vô nghiệm 0

0

a b

ì =ïï

Û íï ¹ïî

 Phương trình ax+ =b 0 có nghiệm duy nhất Û ¹a 0

2 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số

a) (m- 1)x+ -2 m= 0

A m =1 : Phương trình vô nghiệm

B m ¹ 1 : Phương trình có nghiệm duy nhất 2

1

m x m

-=-

C.Cả A, B đều đúng

Trang 22

D.Cả A, B đều sai

b) m mx( - 1)=9x+3

B m =- 3 : Phương trình nghiệm đúng với mọi xÎ R

3

x m

=-

D Cả A, B, C đều đúng

c) (m+1)2x=(3m+7)x+ +2 m

B m =- 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi xÎ R

3

x m

=-

D.Cả A, B, C đều đúng

Lời giải:

a) Phương trình tương đương với (m- 1)x= -m 2

+ Với m- = Û1 0 m=1: Phương trình trở thành 0x =- 1

Suy ra phương trình vô nghiệm

+ Với m- ¹1 0Û m¹ 1 : Phương trình tương đương với 2

1

m x m

-=-Kết luận

-=-

Trang 23

 Khi m =3 : Phương trình trở thành 0x =6 suy ra phương trình vô nghiệm

 Khi m =- 3: Phương trình trở thành 0x =0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi xÎ R

+ Với 2

m - ¹ Û m¹ ± : Phương trình tương đương với 2 3 1

39

m x

m m

=-c) Phương trình tương đương với éê(m+1)2- 3m- 7ùúx= +2 m

- - = Û ê =-ë :

 Khi m =3 : Phương trình trở thành 0x =5 suy ra phương trình vô nghiệm

 Khi m =- 2: Phương trình trở thành 0x =0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi xÎ R

- - ¹ Û ê ¹ -ë : Phương trình tương đương với 2 2 1

36

m x

=-

Trang 24

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau với ,a b là tham số.

a) a x a2( - )=b x b2( - )

A a=b: phương trình nghiệm đúng với mọi xÎ R

B a=- b và b ¹ 0: phương trình vô nghiệm

C a¹ ±b: Phương trình có nghiệm là

a ab b x

Kết luận

a=b: phương trình nghiệm đúng với mọi xÎ R

Trang 25

a=- b và b ¹ 0: phương trình vô nghiệm

a¹ ±b: Phương trình có nghiệm là

a ab b x

- = Û ê =ë

 Khi a =0 : Phương trình trở thành 2

0x= -b 2b+ , do2( )2

2

b - b+ = -b + > nên phương trình vô nghiệm

 Khi b =2 : Phương trình trở thành 0x =2 suy ra phương trình vô nghiệm

Trang 26

Phương trình có nghiệm duy nhất Û ¹a 0 hay 2 2 0 1

- ¹ Û íï ¹

ïîVậy với m ¹ - 1 và m ¹ 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất

thì phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hai hàm số sau không cắt nhau y=(m+1)x2+3m x2 + vàm

m m

A m =2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x

B m ¹ 2 : Phương trình có nghiệm duy nhất x =- 1

Trang 27

m =- : Phương trình vô nghiệm

B m =1 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x

-=+

D.Cả A, B, C đều đúng

Lời giải:

Bài 3.5: a) Phương trình tương đương với (2m- 4)x= -m 2

+ Với 2m- 4= Û0 m=2: Phương trình trở thành 0x =0

Suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x

+ Với 2m- 4¹ 0Û m¹ 2 : Phương trình tương đương với x =- 1

Kết luận

2

m = : Phương trình nghiệm đúng với mọi x

2

m ¹ : Phương trình có nghiệm duy nhất x =- 1

b) Phương trình tương đương với ( 2 )

Trang 28

-=+

Bài 3.6: Giải và biện luận các phương trình sau:

A Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).

B Với b = a, phương trình có vô số nghiệm

+

=+

B Với a =- 1 hoặc a =- 2 thì phương trình vô nghiệm

C.Cả A, B đều đúng

D.Cả A, B đều sai

Lời giải:

Trang 29

-Vậy: -Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).

-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm

+

=+-Nếu a+ = Þ1 0 a=- 1 thì phương trình vô nghiệm.

Vậy: -Với a ¹ - 1 và a ¹ - 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất 3

1

a x a

+

=+-Với a =- 1 hoặc a =- 2 thì phương trình vô nghiệm

Bài 3.7: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm

a) (m2- m x) =2x+m2- 1

Trang 30

ì =ïï

ìï - - =

íï - ¹ïî

Vậy với m =2 thì phương trình vô nghiệm

ì =ïï

Bài 3.8: Tìm điều kiện của a b, để phương trình sau có nghiệm

Trang 31

-Phương trình có nghiệm

( )( ) ( )( ) ( )2

êìï - - = êíïê

Û êïïïêí Û êïêî =¹ Û ¹

ê

êïîëVậy a ¹ 1 là điều kiện cần tìm

b) Phương trình tương đương với

Vậy với mọi a b, khác không thì phương trình có nghiệm.

DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG

Trang 32

B m =- 2 : phương trình có nghiệm là x =2,m <- 2 : phương trình vô nghiệm

Trang 33

m > : Phương trình vô nghiệm

b) + TH1: Với m+ = Û1 0 m=- 1 khi đó phương trình trở thành 2 3 0 3

2

x- = Û x= + TH2: Với m+ ¹1 0Û m¹ - 1 khi đó phương trình trên là phương trình bậc hai

Khi D = Û0 m+ = Û2 0 m=- 2 khi đó phương trình có nghiệm là x =2

Khi D < Û0 m+ < Û2 0 m<- 2 khi đó phương trình vô nghiệm

Trang 34

ê ê

¹ ïïî khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai

Trang 35

( )2

m >- phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau với a b, là tham số.

( )

ax - a+b x+ +a b=

A a= =b 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x

B a =0 và b ¹ 0 phương trình có nghiệm duy nhất x =1

a

êê

+

êê

Trang 36

a) Với m =0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất x + =1 0 suy ra m =0

không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m ¹ 0 m ¹ 0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có nghiệm kép khi

00

0

m a

m

ì ¹ï

b) Với m =0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất x + =1 0 suy ra m =0

không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trang 37

Với m ¹ 0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Trang 38

Với m ¹ 0 thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi '=m2- m m( + ³1) 0Û m< 0

Bài 3.11: Giải và biện luận phương trình

Trang 39

+ D = Û' 0 9(m- 1)= Û0 m= : Phương trình có nghiệm kép 1 1 2

2

m x m

Trang 40

 Với m =1 ta thấy (*) vô nghiệm nên d và (P) không có giao điểm

 Với m ¹ 1 thì (*) là phương trình bậc hai có

' m– 1 – m– 1 2 – 1m –m m– 1

Trang 41

-DẠNG TOÁN 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT.

Loại 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai, phân tích thành nhân tử.

Trang 42

=ê

Trang 43

y x

Trang 46

Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có m = ±4 10 thỏa mãn

Vậy m = ±4 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trang 47

-( )2

2 12 12

Þ = - - ³

-Suy ra minA=- 12Û m=2 , m =2 thỏa mãn (*)

Vậy với m =2 thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất

Trang 48

b) Gọi x x là hai nghiệm của phương trình Tìm hệ thức liên hệ giữa 1, 2 x x không 1, 2phụ thuộc vào m

Trang 49

Và ( )

2 2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m =- 2

Vậy maxA =1 khi và chỉ khi m =1, min 1

+

=+ ta làm như sau

ê ê

Vì vậy ta mới đi xét như trên

Trang 50

=ê

Trang 52

m m

é ê

=-ê =

12

m m

é ê

=-ê =

13

m m

é ê

=-ê =ëb) ( 2 2)

Trang 53

1 Phương pháp giải và các ví dụ minh họa.

 Bài toán 1: Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai ax2+bx+ = vàc 0

0

a x +b x+ = có nghiệm chung Chúng ta làm như sau:c

Bước 1: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x thì 0

Bước 2: Thế giá trị của tham số tìm được vào hai phương trình để kiểm tra và kết luận

Ví dụ 1:Tìm tất cả các giá trị của ađể hai phương trình 2

Trang 54

Điều kiện cần: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x thì0

( )

2

0 2

Ví dụ 2:Tìm tất cả các giá trị của mđể phương trình (x2- 2mx+ -m 1)(x2- 3x+2m)=0

có bốn nghiệm phân biệt

Trang 55

Do đó điều kiện để cả hai phương trình ( )1 và( )2 có hai nghiệm phân biệt là

- + = Û ê =ë do đó m =1 thì hai phương trình có nghiệm chung

Suy ra để khi hai phương trình ( )1 và( )2 không có nghiệm chung là m ¹ 1

Vậy để phương trình đầu có bốn nghiệm phân biệt thì 9

Ví dụ 3: Cho các số dương a b c, , thỏa mãn diệu kiện a+2b+3c=1.Chứng minh rằng

có ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm

Trang 56

-Mặt khác ta lại có ( ) ( ) ( )2

1 48- bc+ -1 24ac= -2 24c a+2b = -2 24 1 3c - c =2 6c- 1 ³ 0

Dẫn đến D +D ³/1 /2 0

Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm

Ví dụ 4: Cho các số a b c, , thỏa mãn điệu kiện a+ + =b c 6.Chứng minh rằng có ít nhất

một trong ba phương trình sau có nghiệm

Do đó có ít nhất một trong ba biệt thức D D D không âm 1, 2, 3

Vậy với a b c, , thỏa mãn điệu kiện a+ + =b c 6thì có ít nhất một trong ba phương trình

Trang 57

+ Nếu phương trình bậc hai ax2+ + = có nghiệm thực thì bx c 0 2

Trang 58

x x

ì ¹ ïïïí

-ï ¹ ïïî

Trang 59

Bài 3.19: Chứng minh rằng nếu hai phương trình 2

Trang 60

Bài 3.21: Cho phương trình x2+ + = có hai nghiệm thực dương bx c 0 x x thoả mãn1, 2

b b P

ax +bx+ = có hai nghiệm thuộc [0; 3] Tìm c

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trang 61

Bài 3.22: Gọi x x là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có: 1, 2

x x

a

ìïï + ïïï

a a

æö÷ç

£ £ £ Þ íï

£ïî

Û ê =ë = .Hay là:

69

ì ïï

=-íï =

30

c

ì ïï

Vậy maxQ = và min3 Q = 2

Bài 3.23: Cho phương trình bậc hai ax2- + = có hai nghiệm thực dương x c 0 x x thoả 1, 2

mãn x1+ £ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 1 P a22 c3

a c a

-=-

Định dạng
Số trang	62
Dung lượng	3,31 MB