Phía ngoài ABC vẽ BAD vuông cân tại A, CAE vuông cân tại A.. Chứng minh K là trung điểm của BC.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT NHƯ XUÂN
TRƯỜNG THCS THANH SƠN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn: Toán– Lớp 7
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao
đề)
Đề bài:
Câu 1: ( 4 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A =
2 2 0,75 3 0,5 :
b) B =
5.415.99−4 320.89 5.210.619−7.229.276
1 1 1 1
Câu 2:(4 điểm)
a) Một mảnh đất hình tam giác có độ dài 3 cạnh lần lượt là 3(m); 4(m); 6(m)
và đường cao tương ứng là ha (m); hb (m); hc (m)
Tính diện tích mảnh đất biết: ha – hb + hc = 25 (m).
b) BiÕt
bz−cy
cx−az
ay−bx
c Chøng minh r»ng:
a
x =
b
y =
c z
c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
a Tìm x, biết: 5 x + 5 x+ 2 = 650
b Tìm x, biết: 3
1
2 : ( 4− 1
3 |2 x+1| ) = 21
22
c.Tìm x, y, z biết: 3x = 2y ; 4y = 5z và - x - y + z = - 52
Câu 4: (6 điểm) Cho ABC có góc A nhọn Phía ngoài ABC vẽ BAD vuông cân
tại A, CAE vuông cân tại A Chứng minh:
a/ DC = BE; DC BE b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2
c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K Chứng minh K là trung điểm của BC.
Câu 5: (2,0 điểm)
1) Cho ABC nhọn với ^ BAC = 600 Chứng minh rằng:
BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC 2) Cho m, n ¿ N và p là số nguyên tố thoả mãn:
p m−1 =
m+n
p .
Chứng minh rằng : p2 = n + 2.
Trang 2
-Hết-Họ và tên : ……… Lớp SBD
1
2 2 0,75 3 0,5 :
13 3 7 1 13
3 4 2 2 30
=
13 7 15
4 2 13
=
13 61 61
4 26 8
b)
15 9 9 − 4.3 20 8 9 5.2 10 6 19 −7.2 29 27 6 =
5.2 2 15 3 2 9 −2 2 3 20 2 3.9 5.2 10 2 19 3 19 −7.2 29 3 3 6
= 229.318( 5 2−32)
229.318(5 3−7 )
=
10 9 1
15 7 8
1 1 1 1
1 4 1 9 1 16 1 1000
.
1.3 2.4 3.5 99.101
=
(1.2.3 99)(3.4.5 101) (2.3.4 100).(2.3.4 100)
=
1.101 100.2
=
101 200
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25
0,5 0,5 0,25
2
(4đ
)
a) Theo bài ra ta có: 1
2 .3.ha = 1
2.4.hb = 1
2.6.hc (=SABC)
SABC= 3
2 ha=2hb=3 hc
SABC= ha
2 3
= hb
1 2
= hc
1 3
= ha− hb+ hc
2
3 −
1
2 +
1 3
= 25 1 2
=25 2=50(m2)
b)
bz−cy
cx−az
ay−bx
a(bz−cy )
a2 = b(cx−az )
b2 = c (ay−bx )
c2
=
abz−acy +bcx −abz +acy−bcx
a2+ b2+ c2 =0
Suy ra:
0,5
0,25 0,5 0,5
0,5
0,5
Trang 3b
y =
c z cx−az
c
z =
a x ay−bx
a
x =
b
y
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
a
x =
b
y =
c z
c) x( y + 3) – ( y +3) = 3
(x -1)( y + 3) = 3
1 1 1 3
;
3 3 3 1
Các cặp ( x;y) là: ( 2;0), ( 0;-6), ( 4;-2), (-2;-4)
0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
3 a) Ta có: 5 x + 5 x+ 2 = 650
5x(1+52) = 650
5x.26 = 650
5x = 25=52
x = 2
b)
3 1
2 : ( 4− 1
3 |2 x+1| ) = 21
22
4− 1
3 | 2 x +1 | =
7
2 :
21 22
1
3 | 2 x+1 | = 4−
11 3
1
3 | 2 x+1 | =
1 3
| 2 x+ 1 | =1
Suy ra 2x+1=-1 hoặc 2x+1 =1
x = -1 hoặc x = 0
Vậy x = -1 và x = 0
c) Từ 3x = 2y => 15x = 10y => x
10 =
y
15;
từ 4y = 5z => 12y = 15z => y
15 =
z
12
=> x
10 =
y
15 =
z
12 =
− x− y + z
−10−15+12 =
−52
−13 = 4
=> x = 40; y = 60; z = 48
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25
4
(6đ
)
Hình vẽ
M
P K
E D
C B
A
Trang 4a) Chứng minh ABE = ADC (c.g.c)
DC = BE
=> ^ ABE=^ ADC mà BA DA => DC BE
b) Gọi M là giao điểm của BE và DC
Áp dụng định lí Pyta go vào các tam giác vuông MCE, MBD, MDE và BMC ta được :
CE2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2 ; DE2 = MD2 + ME2;
BC2 = MB2 + MC2
BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2;
BD2 + CE2 = BC2 + DE2
c) Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE
^ AED=^ CAP(góc có cạnh tương ứng vuông góc )
AE = AC(gt)
=> ADE = CPA (c.g.c) CP = AD CP = AB
^
P=^ BAK ( cùng bằng ^ ADE ) = ¿ CP/ ¿ AB= ¿ ^ B=^ PCK(soletrong)
CPK = BAK (g.c.g) BK = KC đpcm
0,75 0,5 0,75
1 0,5 0,5
1
0,5 0,5
5
(2đ) Hình vẽ1)
Kẻ BH AC
Vì ^ BAC=600= ¿ ^ ABH =300= ¿ AH= AB
2 (1)
Áp dụng định lý Pitago ta có:
AB2=AH2+BH2 và BC2 = BH2 + HC2
BC2 = AB2 – AH2 + HC2 BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2
BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC.AH + AH2
BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2)
Từ (1) & (2) BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC
0,25 0,25 0,25 0,25
2) p
m−1 =
m+n
p => p2 = (m – 1)(m+n) (*)
Vì p là số nguyên tố nên p2⋮ 1; p2⋮ p và p2⋮ p2
Với m – 1 =1 và m+n=p2=> m = 2 thay vào (*) suy ra p2 = n+2
Với m – 1 = p và m+n=p => n=-1(vô lí vì n là số tự nhiên)
Với m-1=p2 và m+n=1 suy ra n=-p2 (vô lí vì n là số tự nhiên)
Vậy p2 = n+2
0,25 0,25
0,25 0,25
A
60 0
C H
B