Rèn luyện kỹ năng giải toán trong dạy học tổ hợp xác suất lớp 11 trung học phổ thông

Thực hiện vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trong dạy học bài tập Tổ hợp - Xác suất lớp 11 ..... rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ MINH HUỆ

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TRONG DẠY HỌC TỔ HỢP XÁC SUẤT LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

\

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ MINH HUỆ

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TRONG DẠY HỌC TỔ HỢP XÁC SUẤT LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI – 2016

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy và hết lòng giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài

Luận văn này được hoàn thành tại khoa sư phạm dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Nguyễn Nhụy Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, các thầy cô trường Trung học phổ thông Tân Lập, Đan Phượng, Hà Nội đã tạo điều kiện cho tác giả học tập và hoàn thành luận văn, các em học sinh lớp 11A và 11D của trường cho tôi môi trường tốt để thực hiện việc thực nghiệm sư phạm xin chân thành cảm ơn tới các em

Sự quan tâm giúp đỡ của gia đình và bạn bè, đặc biệt là lớp cao học Toán khóa 10 khoa sư phạm, trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội là nguồn động viên cổ vũ và tiếp thêm sức mạnh cho tác giả trong những năm tháng học tập và thực hiện đề tài

Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt Chữ viết đầy đủ

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Danh mục chữ viết tắt ii

Mục lục iii

Danh mục bảng v

Danh mục biểu đồ v

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1 Kĩ năng 7

1.1.1 Khái niệm về kĩ năng 7

1.1.2 Phân loại kĩ năng trong môn toán 8

1.1.3 Rèn luyện kĩ năng 9

1.2 Một số bước thực hiện việc rèn luyện kĩ năng giải toán 111

1.3 Liên hệ thực tiễn trong dạy học chương “Tổ hợp – Xác suất” lớp 11 THPT Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp - Xác suất” 12

1.4 Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển năng lực phân tích, nhận dạng bài toán cho học sinh 14

1.5 Tiếp cận quan điểm dạy học hiện đại, nâng cao rèn luyện kỹ năng giải toán phần Tổ hợp - Xác suất cho học sinh 20

1.5.1 Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác 20

1.5.2 Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mới 20

1.5.3 Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh là một quá trình lâu dài có tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học 21

1.5.4 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của kĩ năng giải Toán qua việc xây dựng và dạy học hệ thống bài tập 21

1.5.5 Thực hiện vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trong dạy học bài tập Tổ hợp - Xác suất lớp 11 22

Kết luận chương 1 25

Chương 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG TỔ HỢP XÁC SUẤT LỚP

11TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 26

2.1 Phân tích nội dung Tổ hợp - Xác suất trong chương trình toán Trung học phổ thông (Ban cơ bản) 26

2.1.1 Mục tiêu, nhiệm vụ và cấu tạo của chương “Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban cơ bản) 26

2.1.2 Các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi giải toán Tổ hợp 27

2.1.3 Những chú ý khi dạy và học chương “Tổ hợp - Xác suất ” lớp 11 Trung học phổ thông (ban cơ bản) 29

2.2 Các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải Toán Tổ hợp - Xác suất 30

2.2.1 Biện pháp 1: Phân tích định nghĩa, khái niệm vận dụng quy tắc, công thức vào giải toán Tổ hợp - Xác suất 30

2.2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện khả năng phân tích bài toán, hình thành kĩ năng nhận dạng bài toán cho học sinh dưới nhiều góc độ 37

2.2.3 Biện pháp 3: Phân tích các sai lầm thường gặp khi giải toán Tổ hợp - Xác suất 49

2.2.4 Biện pháp 4: Hệ thống hóa các dạng toán thường gặp trong toán Tổ hợp - Xác suất 64

2.2.5 Biện pháp 5: Rèn luyện kỹ năng tính toán 80

Kết luận chương 2 90

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 91

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 91

3.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 91

3.3 Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm 92

3.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm 108

3.5 Kết quả thực nghiệm sư phạm 108

Kết luận chương 3 114

KẾT LUẬN 115

TÀI LIỆU THAM KHẢO 116

PHỤ LỤC 118

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Bảng thống kê về mức độ cần thiết của Toán học trong cuộc sống24 Bảng 1.2 Bảng thống kê về nhu cầu muốn rèn luyện kĩ năng giải toán 24 Bảng 3.1 Tại trường THPT Tân Lập, Đan Phượng, Hà Nội 110 Bảng 3.2 Tại trường THPT Tân Lập Đan Phượng Hà Nội 111

DANH MỤC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 1.1 Biểu đồ đánh giá mức độ khó của việc tự rèn luyện kĩ năng giải toán 24 Biểu đồ 3.1 Biểu đồ so sánh kết quả bài kiểm tra số 1 111 Biểu đồ 3.2 Biểu đồ so sánh kết quả bài kiểm tra số 2 112

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Xã hội ngày nay đang phát triển với tốc độ nhanh chóng, lượng thông tin bùng nổ Cùng với đó nó đòi hỏi con người phải có tính năng động và có khả năng thích nghi cao với sự phát triển mạnh mẽ về mọi mặt khoa học kĩ thuật, đời sống… Vì vậy để tránh nguy cơ tụt hậu, Nghị quyết trung ương Đảng đã chỉ rõ chúng ta phải đổi mới giáo dục và đào tạo, đổi mới phương pháp giáo dục Như vậy rèn luyện kĩ năng làm việc, học tập cho học sinh là một nhiệm

vụ quan trọng của nhà trường phổ thông

Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác Nó giúp người học rất nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề, giải quyết các tình huống trong công việc và trong cuộc sống Toán học có vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học kĩ thuật Nó liên quan chặt chẽ và

có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật và đời sống Vì thế, dạy học môn Toán ở nhà trường phổ thông giữ vai trò quan trọng trong nghiên cứu và đời sống thực tế

Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện nay Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học Định hướng đổi mới phương pháp

dạy học đã được chỉ rõ trong Luật Giáo dục (1998): “…Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn…”

Chương trình môn toán (thí điểm) trường trung học phổ thông (năm 2002)

cũng đã chỉ rõ: “ Môn toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển

năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống, rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn, phát triển khả năng suy luận có

lý, hợp logic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp cận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác…”

Theo Nguyễn Cảnh Toàn dạy toán là dạy kiến thức, tư duy và tính cách,

trong đó dạy kĩ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kĩ năng thì sẽ không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề

Nhiều công trình nghiên cứu về tâm lý học, phương pháp dạy học,… đã khẳng định sự cần thiết phải rèn luyện một số kĩ năng trong dạy học Đại số nói chung và Đại số Tổ hợp nói riêng cho học sinh Tác giả Lê Văn Hồng cho

rằng: “Kĩ năng là một trong những yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ giữa học và hành Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc các định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng vào việc giải các bài tập”, còn Nguyễn Bá Kim viết: “Nó là cơ sở để thực hiện các phương diện mục đích khác” [14, tr.46] Như vậy có thể khẳng định rằng cần thiết phải rèn

luyện cho học sinh các kĩ năng trong dạy học Toán

Các kiến thức về Tổ hợp - Xác suất đang ngày càng trở nên quan trọng đối với mỗi con người trong xã hội hiện đại Vì vậy, ở nhiều quốc gia, Tổ hợp - Xác suất đã được giảng dạy trong trường phổ thông từ lâu nhưng với mức độ rất khác nhau Ở nước ta, trong sách giáo khoa năm 2000 chỉ có Tổ hợp mà không có Xác suất Trong thực tế, Xác suất mới chỉ được đưa vào chương trình phổ thông từ năm 2007 (không kể đến chương trình thí điểm phân ban năm 1995)

Trong chương trình Toán phổ thông, Tổ hợp - Xác suất là một trong những nội dung quan trọng luôn xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp phổ thông cũng như đề thi đại học Tổ hợp luôn được đánh giá là một nội dung khó Các bài

toán Tổ hợp thường đòi hỏi học sinh hiểu chính xác những mối quan hệ giữa các đối tượng được xét mà đôi khi bằng ngôn ngữ cũng khó diễn đạt một cách đầy đủ Nội dung Xác suất có khá nhiều khái niệm mới và khó Nếu học sinh không nắm chắc các khái niệm thì không thể hiểu được các công thức tính Xác suất Các bài toán về Xác suất rời rạc có liên quan chặt chẽ đến vấn đề Tổ hợp Do đó, nếu học sinh có kỹ năng giải các bài toán Tổ hợp tốt thì có nhiều thuận lợi khi giải các bài toán Xác suất rời rạc Mục đích của chương “Tổ hợp

- Xác suất” là để học sinh làm quen với những vấn đề đơn giản có nội dung

Tổ hợp thường gặp trong đời sống và khoa học

Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài luận văn tốt nghiệp của mình là:

“Rèn luyện kỹ năng giải toán trong qua dạy học Tổ hợp - Xác suất lớp 11 Trung học phổ thông’’

2 Lịch sử nghiên cứu

Ở nước ta, có nhiều nhà toán học nghiên cứu về Tổ hợp - Xác suất như Nguyễn Văn Mậu, Vũ Đình Hòa, Phan Huy Khải, Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng,… Tuy nhiên, những nghiên cứu thuần là các kết quả chuyên môn Ngoài ra, các thầy giáo như: Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn, Giáo sư Nguyễn Bá Kim… cũng đã nhiều lần nói về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học môn Toán Tuy những nghiên cứu

đó về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh mới chỉ là lý luận chung nhưng đã có những gợi mở quan trọng cho tôi trong quá trình thực hiện

đề tài

Trên cơ sở lý thuyết mà các nhà toán học đã đưa ra, căn cứ vào thực trạng

dạy học chương “Tổ hợp - Xác suất” ở một số trường trung học phổ thông

trong giai đoạn hiện nay thì với luận văn này, tác giả xin được trình bày một vấn đề rất hẹp và cụ thể là: vận dụng lý luận về phương pháp giảng dạy vào rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học chương “Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường

Trung học phổ thông

3 Mục tiêu nghiên cứu

Dạy học nội dung phần Tổ hợp - Xác suất trong chương trình Toán lớp 11

có gắn liền với kỹ năng giải toán như kĩ năng tính toán, suy luận các khả năng xảy ra, các khả năng giải quyết bài toán từ đó phát huy tính tích cực, chủ động, sáng của người học, đồng thời rèn cho học sinh nhiều đức tính quý như: cần cù, nhẫn lại, tính tự lập cao và ý chí vượt khó

Giới thiệu một số ví dụ trong thực tiễn liên gắn với kỹ năng giải toán và đưa ra các phương án giải quyết cụ thể Tiến hành điều tra quan sát mức độ quan tâm của học sinh đến những ứng dụng thực tế của toán học và khai thác những tình huống thực tế vào dạy học môn toán của giáo viên bậc Trung học phổ thông

Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh qua dạy học Tổ hợp - Xác suất lớp 11 Trung học phổ thông

4 Phạm vi nghiên cứu

- Phạm vi về thời gian: Trong thời gian từ tháng 3/2015 đến nay

- Phạm vi về nội dung: Nghiên cứu những kỹ năng giải toán cần rèn luyện cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 trung họcphổ thông

5 Nơi khảo sát

Học sinh các lớp 11D, 11A trường Trung học phổ thông Tân Lập, Đan Phượng, Hà Nội

6 Vấn đề nghiên cứu

Trong nghiên cứu này, một số vấn đề sau đây được đưa ra xem xét:

– Hiểu thế nào là kỹ năng giải toán?

– Vai trò của việc rèn luyện kỹ năng giải toán là gì?

– Dùng những phương pháp nào để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp - Xác suất ”

– Trong dạy học chương “Tổ hợp - Xác suất” cần rèn luyện những kỹ năng giải toán nào?

7 Giả thuyết khoa học

Nếu rèn luyện được các kỹ năng giải toán cần cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 Trung học phổ thông thì sẽ giúp học sinh khắc sâu kiến thức đã học, phát huy tính tích cực trong việc tiếp thu kiến thức mới và sẽ tạo được kĩ năng giải toán nhanh và chính xác

8 Phương pháp nghiên cứu

– Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu và phân tích các tài

liệu về lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu tham khảo liên quan đến môn học

– Phương pháp điều tra: Điều tra khả năng rèn luyện các kỹ năng giải toán

cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 Trung họcphổ thông (ban cơ bản); chất lượng của học sinh trước và sau thực nghiệm

– Phương pháp quan sát: Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ chuyên

môn, học hỏi kinh nghiệm của lớp thầy cô đi trước về phương pháp dạy học môn học; phân tích kết quả học tập của học sinh nhằm tìm hiểu thực trạng về rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong quá trình giảng dạy chương

“Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 Trung học phổ thông (ban cơ bản) của các giáo viên

– Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm tại

trường Trung học phổ thông Tân Lập, Đan Phượng, Hà Nội cung cấp bài tập

và kiểm tra kết quả sau thực nghiệm

– Phương pháp thống kê toán học: Xử lý các số liệu thu được sau khi điều

tra

9 Kết quả nghiên cứu

– Trình bày cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán

– Thực trạng về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 Trung học phổ thông (ban cơ bản)

– Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi dạy học chương

“Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 Trung học phổ thông (ban cơ bản)

– Kết quả của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho sinhviên ngành Sư phạm Toán và giáo viên Toán ở trường THPT

10 Cấu tru ́ c luâ ̣n văn

Ngoài phần mở đầu , phần kết luận và khuyến nghi ̣, danh mu ̣c tài liê ̣u tham khảo, luâ ̣n văn được trình bày trong ba chương

Chương 1 Cơ sở lý luâ ̣n và thực tiễn

Chương 2 Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học chương Tổ hợp - Xác suất lớp 11 THPT

Chương 3 Thực nghiê ̣m sư pha ̣m

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Kĩ năng

1.1.1 Khái niệm về kĩ năng

Kĩ năng là sự thực hiện có hiệu quả một hành động bằng cách vận dụng

những tri thức, kinh nghiệm về hoạt động để tiến hành phù hợp với những điều kiện cho phép Vì vậy, kĩ năng không chỉ là mặt kĩ thuật của hành động

mà còn biểu hiện năng lực của chủ thể Chính vì thế, để một người có được kĩ năng hành động phải có các yêu cầu sau đây:

– Có tri thức, kinh nghiệm về hành động, tức là nắm được nội dung, mục đích, cách thức, điều kiện thực hiện v.v…của hành động;

– Tiến hành hành động theo đúng yêu cầu của nó với thời gian giới hạn tương ứng;

– Đạt kết quả hành động trong cả điều kiện quen thuộc lẫn cả trong những điều kiện thay đổi nhất định

Kĩ năng học tập là sự thực hiện có hiệu quả các hoạt động học tập như hoạt động phân tích, mô hình hóa, khái quát hóa các đối tượng nhận thức…bằng cách vận dụng những tri thức, kinh nghiệm về hoạt động này để tiến hành phù hợp với những điều kiện cho phép Vì vậy, kĩ năng học tập không chỉ là mặt

kĩ thuật của hoạt động, của các thao tác mà còn biểu hiện năng lực thực tiễn, năng lực học tập của chủ thể Bên cạnh các hoạt động học tập, kĩ năng học tập còn bao gồm các kĩ năng tổ chức hoạt động của chủ thể như kĩ năng lập kế hoạch, kĩ năng sử dụng thời gian, kĩ năng nghiên cứu, kĩ năng làm việc nhóm,

kĩ năng đọc, viết, ghi chép v.v…

Trong tài liệu tâm lý giáo dục, đã nêu lên một số quan điểm về khái niệm kĩ năng như sau:

Quan điểm 1 cho rằng: Kĩ năng là sự nắm vững nhưng có ý thức các

phương thức hoạt động

Quan điểm 2 cho rằng: Kĩ năng là sự sử dụng kiến thức và kĩ xảo đã có để

lựa chọn và thực hiện các phương thức hành động phù hợp với mục đích đặt

ra

Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các

dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [13, tr 149]

Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về kĩ năng, chẳng hạn: “Kĩ năng

là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào

đó vào thực tế” [22, tr 462] hoặc “Kĩ năng là sự lựa chọn trong tình huống cụ thể các phương thức đúng đắn của hành động để đạt được mục đích”

Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng tựu chung lại thì đều nói rằng kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp,…) để giải quyết một nhiệm vụ mới

Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào việc giải quyết các bài tập cụ thể chính là do kiến thức không chắc chắn, khái niệm trở nên chết cứng và không biến thành cơ sở của kĩ năng Muốn kiến thức là cơ sở của kĩ năng thì kiến thức đó phải phản ánh đầy đủ thuộc tính của bản chất, được thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động (kĩ năng)

1.1.2 Phân loại kĩ năng trong môn Toán

Có nhiều cách phân loại kĩ năng.Theo tâm lý giáo dục, người ta thường chia kĩ năng học tập cơ bản thành ba nhóm:

1.1.2.2 Kĩ năng thực hành

Trong môn toán bao gồm kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải bài toán, kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (trong bài toán hoặc trong đời sống), kĩ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế

1.1.2.3 Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá

Theo các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ,… lại xem xét kĩ năng toán học trên 3 bình diện: kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán, kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kĩ năng vận dụng toán học vào đời sống

Kĩ năng và tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhau: Kĩ năng là cơ sở để tiến hành các thao tác tư duy và kĩ năng chỉ được hình hành thông qua quá trình tư duy để giải quyết nhiệm vụ đặt ra

1.1.3 Rèn luyện kĩ năng

Rèn luyện kĩ năng phán đoán: Phán đoán là hình thức tư duy trong đó

khẳng định một dấu hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp

đó mà thôi Phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu: trực tiếp

và gián tiếp Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả nghiên cứu của quá trình tự giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ hai, phán đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận Cũng như các khoa học khác, Toán học thực chất là một hệ thống các phán đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ Xác định tính đúng sai của các luận điểm

Rèn luyện kĩ năng suy luận: Suy luận là một quá trình tư duy có quy luật,

quy tắc nhất định (gọi là quy luật, quy tắc suy luận) Muốn suy luận đúng cần phải tuân theo quy luật, quy tắc ấy Có hai hình thức suy luận là suy diễn và quy nạp, suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng còn quy nạp đi từ cái riêng

đến cái chung

Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau, quy nạp để

đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngược lại suy diễn

kiểm chứng kết quả của quy nạp

Rèn luyện kĩ năng phân tích - tổng hợp: Phân tích là thao tác tư duy để

phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau Còn tổng hợp là thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần đã tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể

Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất Phân tích tiến hành theo hướng tổng hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích Trong học tập môn toán phân tích - tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề

Rèn luyện kĩ năng so sánh - tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm xác

định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích, tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác

Trong cuốn sách "Toán học và những suy luận có lý", G.Polya viết: "Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa bộ phận tương ứng" [7, tr.29]

Như vậy tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức

độ nào đó, trong một quan hệ nào đó

Rèn luyện kĩ năng khái quát hoá - đặc biệt hoá: Khái quát hoá là thao tác tư

duy nhằm hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo

những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung nhất định Các thuộc tính chung đó gồm hai loại như: những thuộc tính chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất

Theo Nguyễn Bá Kim: "Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát" [14, tr.46]

Như vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái chung, cái tổng quát hoặc từ một cái tổng quát đến cái tổng quát hơn Trong toán học người ta thường khái quát hoá một số yếu tố hoặc nhiều yếu

tố của khái niệm, định lý, bài toán thành những kết quả tổng quát

Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược của khái quát hóa

Mối quan hệ giữa khái quát hoá và đặc biệt hoá thường được vận dụng trong tìm tòi, giải toán Từ một tính chất nào đó, ta muốn khái quát hóa ta thử đặc biệt hóa Nếu kết quả của đặc biệt hóa là đúng thì ta mới tìm cách chứng minh

dự đoán từ khái quát hóa Nhưng nếu sai thì dừng lại

Rèn luyện kĩ năng trừu tượng hoá: Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm

gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tư duy Tất nhiên sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

1.2 Một số bước thực hiện việc rèn luyện kĩ năng giải toán

Việc hình thành kĩ năng còn tùy thuộc vào đặc điểm tâm lí của mỗi cá nhân Tuy nhiên có thể khái quát thành những bước sau:

Bước 1 Hướng dẫn lý thuyết Trong quá trình hình thành các kĩ năng, tri

thức có vai trò quan trọng, nhận thức càng đầy đủ, tích cực, kĩ năng càng được nhanh chóng hoàn thiện sớm hơn Vì vậy thầy giáo cần cung cấp những tri thức rõ ràng về mục đích, tính chất bài luyện tập, tri thức về hành động cần

nắm vững, người học cần ghi nhớ kĩ mục đích, điều kiện, quy trình của việc thực hiện hành động

Bước 2 Làm mẫu Người dạy thao tác mẫu, người học quan sát nhiều lần,

giải thích các thao tác và ý nghĩa của thao tác, những quy định, điều kiện của hành động, những điều nên tránh

Bước 3 Người học xây dựng kế hoạch thực hiện Căn cứ vào những tri thức

về cách tiến hành hoạt độngvà biểu tượng về những thao tác, người học vạch cho mình kế hoạch, cách thức, thứ tự các thao tác thực hiện

Bước 4 Thực hành và luyện tập Người học lặp lại các thao tác như thao

tác mẫu của giáo viên và luyện tập các thao tác đó trong những tình huống khác nhau

Bước 5 Tự kiểm tra Người học tiến hành so sánh, đối chiếu với các thao

tác mẫu, phát hiện ra các thiếu sót, phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong hành động và sửa chữa Trong các bước này sự đánh giá kịp thời, chính xác chất lượng thao tác có tác dụng lớn đối với việc củng cố hành động, nếu thao tác đúng chúng ta sẽ được củng cố, những thao tác không đúng, sai lầm

sẽ được khắc phục kịp thời

Bước 6 Thao tác sáng tạo Việc hình thành kĩ năng sư phạm là phải tiến

hành hoạt động sư phạm (các thao tác) trong các tình huống sư phạm khác nhau, tức là biết vận dụng một cách linh hoạt mềm dẻo vào các hoàn cảnh, tình huống mới Vì vậy người thầy phải xây dựng các tình huống khác nhau

để người học giải quyết

1.3 Liên hệ thực tiễn trong dạy học chương “Tổ hợp – Xác suất” lớp

11 THPT

1.3.1 Đối với giáo viên

a Khi dạy lý thuyết

– Giáo viên không khó khăn để tạo được không khí học tập sôi nổi, hào

hứng cho học sinh qua các ví dụ thực tế

– Dạy định nghĩa, công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, xác suất thì giáo viên phải thuyết trình nhiều hơn khi dạy các nội dung toán học khác

– Giáo viên mất nhiều thời gian để tìm tòi và vẽ hình minh họa cho các quá trình chọn lựa, mất thời gian viết bảng

– Giáo viên gặp khó khăn khi tìm tài liệu để mở rộng kiến thức và các ví dụ ứng dụng trong thực tế

– Giáo viên chưa có hoặc có rất ít kinh nghiệm giảng dạy phần xác suất

b Khi dạy bài tập

– Giáo viên mất nhiều công sức chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một hệ thống bài tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức khác nhau của học sinh

– Thời gian để giáo viên hướng dẫn và chữa bài tập trên lớp cho học sinh không nhiều

1.3.2 Đối với học sinh

a Khi học lý thuyết

– Về nội dung học: Đây là một phần Toán mới, không có liên hệ nhiều với các dạng toán đã được học Phần Tổ hợp có nhiều công thức mới, nhất là khái niệm giai thừa thường gây khó hiểu cho học sinh Phần này kiến thức cũng rất trừu tượng Công thức của phần Tổ hợp tương đối nhiều và khó phân biệt Gắn với Xác suất, phần Tổ hợp lại thành một phần của chương nên chung cả chương thì là cả một nội dung lớn

– Học sinh thường có hứng thú với những vấn đề giáo viên đặt ra lúc bắt đầu giờ học Tuy nhiên, khi học đến các định nghĩa và xây dựng các công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp thì học sinh lại thấy trừu tượng, khó hiểu Những học sinh trung bình thì chưa thể phân biệt được ngay sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp trong giờ lý thuyết

– Một số học sinh do chưa nắm vững được kiến thức về Tổ hợp nên khi học sang nội dung Xác suất gặp rất nhiều khó khăn để nắm bắt kiến thức

c Về kỹ năng giải toán

Trong phần bài tập về Tổ hợp, học sinh đã gặp khó khăn khi thiếu các kỹ năng sau: Toán hóa thực tế, phân biệt các khái niệm, thiếu đánh giá điều kiện Như vậy dạng này cần áp dụng nhiều các kỹ năng khác hơn với các dạng toán thông thường khác Học sinh dễ nhầm lẫn dẫn đến giải thiếu, giải sai trong quá trình làm bài

1.4 Vận dụng tƣ duy biện chứng để phát triển năng lực phân tích, nhận dạng bài toán cho học sinh

Trong toán học nói riêng và các môn khoa học nói chung, việc giải quyết vấn đề đã quan trọng, nhưng nêu vấn đề cũng không kém phần quan trọng và

được đánh giá rất cao Nêu được vấn đề mới, những khả năng mới nhìn nhận những vấn đề cũ dưới một góc độ mới đòi hỏi phải có trí tưởng tượng và nó đánh dấu bước tiến bộ thực sự của khoa học" Sáng tạo chính là nêu vấn đề Với nhận thức như trên, trong dạy học kĩ năng phải luyện tập cho học sinh thói quen và khả năng biến đổi các sự vật, hiện tượng, quá trình Đồng thời, đối với học sinh phổ thông, sự sáng tạo đối với họ không nhất thiết đòi hỏi phải đưa ra các mới đối với nhân loại Nếu họ đương đầu với những vấn đề mới đối với họ và họ tự mình tìm tòi độc lập những vấn đề đó để thu được cái mới mà họ chưa từng biết, hoặc thu được các kết quả bằng những thủ pháp mới, các thao tác mới, các công cụ mới, thì đó chính là sự sáng tạo

Theo sự công nhận rộng rãi của nhiều nhà khoa học thì quá trình rèn luyện kĩ năng trải qua bốn giai đoạn:

- Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn chủ thể hoạt động tìm kiếm cách giải

quyết vấn đề, thu thập tài liệu, tìm hiểu các thông tin liên quan

- Giai đoạn ấp ủ: Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết các vấn đề

một cách có ý thức bị ngừng lại, chỉ còn các hoạt động của tiềm thức, các hoạt động bổ sung cho vấn đề được quan tâm

- Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến khi sự "bừng sáng"

trực giác, một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo Đây là giai đoạn quyết định trong quá trình tìm kiếm lời giải

- Giai đoạn kiểm chứng: Là giai đoạn chủ thể kiểm tra trực giác, triển khai

các luận chứng lôgic để có thể chứng tỏ tính đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sự sáng tạo mới được khẳng định

Trong quá trình sáng tạo toán học, thường xuất hiện những trạng thái hay tình huống một tư tưởng nào đó đột nhiên "bừng sáng" trong đầu óc con người hoặc đặt con người trong trạng thái "hứng khởi cao độ”, khi đó các tư tưởng hình như cứ theo nhau kéo đến một cách dồn dập, những "ý hay", theo

cách nói của G.Polya, sẽ giúp họ đi đến những kết quả mới

Tuỳ vào mức độ tư duy, người ta chia nó thành: tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề tạo nên mức độ tư duy đi sau Đối với chủ thể nhận thức, tư duy tích cực đặc trưng bởi sự khát vọng, sự cố gắng trí tuệ và nghị lực còn tư duy độc lập thể hiện ở khả năng tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được Không thể có tư duy sáng tạo nếu không có tư duy tích cực và tư duy độc lập Mặt khác, một số tác giả cho rằng: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo"

Nhà tâm lý học V.A Krutexcki lấy ví dụ cho ba loại hình tư duy:

– Mức tư duy tích cực: Học sinh chăm chú lắng nghe, cố gắng hiểu, tham gia nhiệt tình vào bài giảng

– Mức tư duy độc lập: Học sinh tự đọc, tự chứng minh các vấn đề được thầy nêu ra, có thể là nghiên cứu gợi ý hoặc thậm chí đáp án, miễn là hoạt động độc lập theo dụng ý trước của thầy (định hướng)

– Mức tư duy sáng tạo: Học sinh tự khám phá ra định lý, tự chứng minh định lý đó

V.A Krutecxki đã nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của học sinh Năng lực ở đây được hiểu theo hai nghĩa, hai mức độ:

– Một là, theo nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc học toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông, nắm một cách nhanh và tốt các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng

– Hai là, theo nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học tạo ra những kết quả mới, khách quan, có một giá trị lớn đối với loài người

Tác giả đã sử dụng một hệ thống bài toán thực nghiệm được chọn lọc

một cách công phu để nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của học sinh Từ các kết quả nghiên cứu đó, tác giả kết luận: Tính linh hoạt của quá trình tư duy khi giải toán thể hiện trong việc dễ dàng và nhanh chóng chuyển từ một thao tác trí tuệ này sang một thao tác trí tuệ khác, trong tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, trong việc thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những phương pháp dập khuôn

Krutecxki cũng nghiên cứu sâu về tính thuận nghịch của quá trình tư duy trong lập luận toán học (khả năng chuyển nhanh chóng và dễ dàng từ tư duy thuận sang tư duy đảo) Tác giả đã nêu lên sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học ở lứa tuổi học sinh bao gồm các mặt:

– Thu nhận thông tin toán học

– Chế biến thông tin toán học

– Lưu trữ thông tin toán học

– Thành phần tổng hợp khái quát

Trong đó, tính linh hoạt của tư duy trong hoạt động toán học, năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình tư duy, năng lực nhanh chóng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy đảo là những thành phần quan trọng về mặt chế biến thông tin toán học Đặc biệt năng lực khái quát hóa tài liệu toán học được coi là thành phần cơ bản của năng lực toán học

Ở nước ta khi nói đến những công trình nghiên cứu về dạy học kĩ năng giải toán cho học sinh trong những năm vừa qua, trước hết phải kể đến tác giả Nguyễn Cảnh Toàn, Hoàng Chúng, Phạm Gia Đức, Phạm Văn Hoàn, Trần

Thúc Trình, Phạm Gia Cốc, Tôn Thân, Trần Luận,…

Trong [3], tác giả Hoàng Chúng đã nghiên cứu về vấn đề rèn luyện cho học sinh các phương pháp suy nghĩ cơ bản trong rèn luyện kĩ năng toán học, cụ thể là phương pháp đặc biệt hóa, tổng quát hóa và tương tự Trong tài liệu này, tác giả đã phân tích vấn đề trên một hệ thống ví dụ cụ thể kèm theo việc

đề xuất một số lượng bài tập thực hành hết sức phong phú Đặc biệt là, để

giúp học sinh rèn luyện phương pháp tư duy, tác giả đã vạch ra và phân tích kĩ qui trình suy nghĩ để tìm lời giải hoặc sáng tạo các bài toán mới cũng như việc phân tích về những khó khăn thường gặp khi giải toán và phương hướng khắc phục những khó khăn đó Đó là việc mò mẫm và dự đoán kết quả, tìm ra các phương pháp giải bài toán để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức Theo tác giả, để rèn luyện khả năng sáng tạo toán học, ngoài lòng say mê học tập cần rèn luyện khả năng phân tích vấn đề một cách toàn diện ở nhiều khía cạnh khác nhau biểu hiện ở hai mặt quan trọng dưới đây:

– Khả năng phân tích khái niệm, bài toán, kết quả đã biết dưới nhiều khía cạnh khác nhau từ đó tổng quát hoá hoặc xét các vấn đề tương tự theo nhiều khía cạnh khác nhau

– Khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán, khai thác các lời giải đó để giải các bài toán tương tự hay tổng quát hơn hoặc là đề xuất các bài

toán mới

Trong [19], tác giả Nguyễn Cảnh Toàn đã đề ra mục đích chủ yếu của cuốn sách là rèn luyện tư duy sáng tạo nhất là tư duy biện chứng, đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề, rèn luyện tư duy biện chứng thông qua lao động tìm tòi cái mới Tác giả khẳng định: "Muốn sáng tạo, muốn tìm

ra cái mới thì trước hết phải có "vấn đề" có thể do tự mình phát hiện, có thể

do người khác đề xuất cho mình giải quyết Nhưng muốn trẻ thành một người

có khả năng chủ động độc lập nghiên cứu thì phải lo bồi dưỡng năng lực, phát hiện vấn đề" [19, tr.166]

Để đi đến cái mới trong toán học, phải kết hợp được tư duy logic và tư duy biện chứng, cả tư duy hình tượng và thói quen tìm tòi thực nghiệm Trong việc phát hiện vấn đề và định hướng cho cách giải quyết vấn đề thì tư duy biện chứng đóng vai trò chủ đạo Khi hướng giải quyết vấn đề đã có thì tư duy lôgic giữ vai trò chính Muốn sáng tạo toán học, rõ ràng là phải giỏi vừa cả về phân tích, vừa cả tổng hợp, phân tích và tổng hợp đan xen vào nhau, nối tiếp

nhau, cái này tạo điều kiện cho cái kia

Trong [3], tác giả Hoàng Chúng đã nêu rõ: "Rèn luyện kĩ năng công tác độc lập là phương thức hiệu quả nhất để học sinh hiểu kiến thức một cách sâu sắc,

có ý thức và sáng tạo" Vốn kiến thức thu nhận được ở nhà trường "chỉ sống

và sinh sôi nảy nở nếu người học sinh biết sử dụng nó một cách sáng tạo bằng công tác độc lập suy nghĩ của bản thân đã được tôi luyện Học sinh không thể

có tư duy sáng tạo nếu không có tư duy độc lập Các tác giả nhấn mạnh: Công tác độc lập cần phải phát triển ở học sinh sự hoạt động của tư duy và sáng tạo[3, tr.9]

Khi trình bày về công tác độc lập của học sinh trong việc giải bài tập toán, các tác giả lưu ý đến một trong những hình thức cao của công tác độc lập đòi hỏi nhiều sáng tạo là việc học sinh tự ra lấy đề toán Đó là biện pháp để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh Trong quá trình đề xuất bài toán mới, phát hiện vấn đề mới, các phẩm chất của tư duy sáng tạo được nảy nở và phát triển Trong các giáo trình toán học, khi nói đến nhiệm vụ của môn toán đều nhấn mạnh đến nhiệm vụ phát triển năng lực trí tuệ chung, trong đó có nhiệm

vụ hình thành những phẩm chất trí tuệ, đặc biệt là các phẩm chất tư duy sáng tạo Tác giả Nguyễn Bá Kim đã phân tích: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới: phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng

đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái

cũ Cái mới thường nảy sinh, bắt nguồn từ cái cũ nhưng vấn đề là ở chỗ cách nhìn cái cũ như thế nào" [14, tr.50]

Trong [3], các tác giả đã khẳng định: phát triển những năng lực toán học ở

học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người thầy giáo [3, tr.130]

Như vậy, chúng ta có thể thấy rằng đã có nhiều nhà tâm lý học, giáo dục học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu về năng lực và cấu trúc của tư

duy sáng tạo của học sinh Đó là một năng lực hết sức quan trọng trong cấu trúc năng lực toán học của học sinh

1.5 Tiếp cận quan điểm dạy học hiện đại, nâng cao rèn luyện kỹ năng giải toán phần Tổ hợp - Xác suất cho học sinh

1.5.1 Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác

Việc bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh cần được tiến hành trong mối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hóa, khái quát hóa, hệ thống hóa trong đó phân tích

và tổng hợp đóng vai trò nền tảng Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinh cần được luyện tập thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau Trên cơ sở so sánh từng trường hợp riêng lẻ, dùng phép tương tự để chuyển từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác, khai thác mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hóa, làm rõ mối quan hệ chung giữa mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm được bằng đặc biệt hóa và hệ thống hóa, ta

có thể tập luyện cho học sinh khái quát hóa tài liệu toán học, tạo khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất

1.5.2 Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mới

Khi dạy lý thuyết, giáo viên cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu, trong đó giáo viên cần tạo ra các tình huống gợi vấn đề để dẫn dắt học sinh tìm tòi khám phá kiến thức mới Trong quá trình này, tuỳ theo từng loại đối tượng mà học sinh tự lực tiếp cận các kiến thức với các mức độ khác nhau

Khi luyện tập củng cố, chẳng hạn khi học sinh học một quy tắc nào đó, cần lựa chọn một vài ví dụ có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để khắc phục tính ì của tư duy, tránh hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới Cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ vấn đề cần chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vẫn đề và giải quyết vấn đề

1.5.3 Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh là một quá trình lâu dài có tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học

Bồi dưỡng kĩ năng giải toán cho học sinh là một quá trình lâu dài cần tiến hành thường xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khoá cũng như các hoạt động ngoại khoá Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc toán học hóa các tình huống thực tế, trong việc tự sáng tác những đề toán, tìm tòi những cách giải mới, những kết quả

mới khai thác từ các bài toán đã giải

Khâu kiểm tra đánh giá phải được xem là khâu quan trọng song song với việc dạy học Các đề kiểm tra, các đề thi cần được soạn với yêu cầu ngoài việc kiểm tra việc nắm bắt các kiến thức cơ bản còn phải có những câu kiểm tra được năng lực tư duy sáng tạo của học sinh Học sinh chỉ có thể làm được hoàn chỉnh các đề kiểm tra đó trên cơ sở bộc lộ rõ năng lực tư duy sáng tạo của bản thân chứ không phải chỉ là học tủ, vận dụng kiến thức thiếu sáng tạo Ngoài ra cần tổ chức các hoạt động ngoại khóa, câu lạc bộ toán học Các hoạt động đó tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, rèn luyện cho học sinh khả năng làm việc độc lập và kích thích hứng thú học tập của học sinh

1.5.4 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của kĩ năng giải Toán qua việc xây dựng và dạy học hệ thống bài tập

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của kĩ

năng giải toán, đặc biệt là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo Có thể khai thác nội dung các vấn đề dạy học, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối học thuộc

lòng máy móc và lối vận dụng thiếu sáng tạo

Việc tìm nhiều lời giải của bài toán gắn liền với việc nhìn một vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó mở đường cho sự sáng tạo phong phú Ngoài ra, khi dạy giải bài tập cần đưa ra các bài tập mới, để học sinh tập dượt sáng tạo, ra các bài tập "không theo mẫu", không đưa được về các loại toán giải bằng cách áp dụng các định lý, quy tắc trong chương trình để bồi dưỡng tính độc đáo của tư duy sáng tạo

1.5.5 Thực hiện vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trong dạy học bài tập Tổ hợp - Xác suất lớp 11

Vấn đề dạy học toán trong dạy học bài tập Tổ hợp - Xác suất tuy đã có đổi mới về phương pháp giảng dạy nhưng vẫn còn tồn tại ở nhiều nơi phương pháp dạy học cũ thiếu tích cực từ phía người học, thiên về dạy, yếu về học Chúng ta vẫn hay gặp tình trạng phổ biến trong dạy học bài tập Tổ hợp - Xác suất chỉ cố gắng chữa hết các bài tập trong sách giáo khoa hoặc có chăng là

bổ sung thêm một ít bài tập nâng cao Đa số trong các giờ bài tập, giáo viên chỉ chú trọng đến số lượng bài tập mà vấn đề rèn luyện kĩ năng và phát triển

tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học bài tập Tổ hợp chưa được chú trọng Chính vì vậy sự phát triển kĩ năng giải toán của học sinh đã bị kìm hãm Phần lớn học sinh phổ thông thường thụ động trong học toán

Trong dạy học môn toán ở đa số các trường phổ thông, thầy giáo thường phân dạng bài tập để chữa cho học sinh rồi luyện cho các em theo những dạng

đó Chính vì thế, các em thường chỉ giải được những bài toán dạng như thầy

đã chữa một cách máy móc mà khi thay đổi bài toán một chút là các em

không muốn tiếp tục suy nghĩ, tìm tòi lời giải

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo Chẳng hạn như đưa ra những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để tránh tính ỳ của tư duy, tránh hành động máy móc không thay đổi phù hợp với điều kiện mới Việc đưa ra những bài tập có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác; những bài tập có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song với nhau giúp học sinh hình thành các liên tưởng ngược đồng thời với liên tưởng thuận Bên cạnh đó, giáo viên cần khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán

Tiến hành điều tra 70 học sinh ở lớp 11 trường THPT Tân Lập, chúng tôi giới thiệu về bảng hỏi:

d Kết quả thu được

Kết quả thu được thể hiện qua bảng 1.1, bảng 1.2 và biểu đồ 1.1 dưới đây:

Bảng 1.1 Bảng thống kê về mức độ cần thiết của Toán học trong cuộc sống

Rất cần thiết 81,5

Không cần thiết 2,8

Bảng 1.2 Bảng thống kê về nhu cầu muốn rèn luyện kĩ năng giải toán

Nhu cầu muốn rèn luyện kĩ năng giải Toán Tỉ lệ (%)

Kết luận Chương 1

Trong chương này, luận văn đã trình bày các quan điểm của một số tác giả các về khái niệm kĩ năng, rèn luyện kĩ năng, kĩ năng giải toán và vai trò của việc rèn kĩ năng trong dạy học toán nhằm góp phần phát triển và bồi dưỡng kĩ năng giải toán cho người học Nêu ra các bước tiến hành hoạt động dạy học đạt hiệu quả cao trong việc rèn kĩ năng, đồng thời cũng đề cập đến vấn đề đổi mới phương pháp dạy học bộ môn Toán trong nhà trường phổ thông

Chương 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG TỔ HỢP - XÁC

SUẤT LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2.1 Phân tích nội dung Tổ hợp - Xác suất trong chương trình toán trung học phổ thông (Ban cơ bản)

2.1.1 Mục tiêu, nhiệm vụ và cấu tạo của chương “Tổ hợp - Xác suất”

2.1.1.1 Mục tiêu, nhiệm vụ của chương “Tổ hợp - Xác suất”

Chương này cung cấp cho học sinh những hiểu biết ban đầu, cơ bản về Tổ hợp - Xác suất

Về kiến thức Giúp học sinh

– Nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân

– Hiểu được các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Đặc biệt thấy rõ mối liên hệ và sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp Nhớ các công thức tính số hoán vị, số chỉnh hợp và số tổ hợp

– Nhớ công thức khai triển nhị thức Newton

– Nắm được các khái niệm: phép thử, không gian mẫu, kết quả thuận lợi cho một biến cố

– Nắm vững cách tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

– Nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất

Về kỹ năng Giúp học sinh

– Biết vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản, các công thức tính số hoán vị, số

tổ hợp và số chỉnh hợp để giải một số bài toán tổ hợp đơn giản

– Biết vận dụng công thức khai triển nhị thức Newton

– Biết vận dụng các kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển của xác suất

– Biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải một số bài toán xác suất đơn giản

2.1.1.2 Cấu tạo của chương “Tổ hợp - Xác suất”

Thực hành: Sử dụng máy tính cầm tay (1 tiết)

2.1.2 Các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi giải toán Tổ hợp – Xác suất

Đối với chủ đề Tổ hợp - Xác suất ta cần rèn luyện cho học sinh những kỹ năng về nhận thức và vận dụng Có thể kể ra một số kỹ năng sau:

a Kỹ năng tính toán

Trước hết cần phải nói rằng học toán gắn liền với tính toán, tính chính xác nhanh và ngắn gọn là những yêu cầu cơ bản, đầu tiên để học tốt môn Toán Đồng thời kỹ năng này có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong thực tế của đời sống, trong sản xuất kinh doanh, trong kỹ thuật Khi giải toán Tổ hợp – Xác suất tính toán có tính số và tính biểu thức, đặc biệt đối với các bài toán Tổ hợp – Xác suất mức độ yêu cầu cao, vừa khó vừa trừu tượng, chỉ cần tính toán sai một bước sẽ dẫn đến tất cả đều sai Do đó cần rèn luyện cho học sinh khả năng tính toán ở nhiều mức độ khác nhau

Nguyễn Bá Kim cho rằng cần rèn luyện khả năng tính toán theo những hướng sau:

- Đặc biệt chú ý những yêu cầu nào của kỹ năng tính toán cần thiết cả trong trường hợp không máy tính lẫn bằng máy tính: tính nhẩm, tính ước chừng

- Về mặt tính viết, không cần thiết phải bỏ công sức cho học sinh tập luyện tính toán trên những số liệu quá cồng kềnh, phức tạp

-Từ bỏ việc tính toán với những phương tiện đã lỗi thời

Chúng tôi cho rằng rèn luyện khả năng tính toán khi giải toán Tổ hợp thể hiện ở các mặt sau:

- Rèn kỹ năng tính nhẩm và tính nhanh: việc tính nhẩm và tính nhanh rất phù hợp với những bài có số liệu đơn giản (trực tiếp nhẩm ra đáp số không cần viết ra giấy) hoặc những bài chứa căn thức biến đổi đưa về hằng đẳng thức (tính nhanh)

b Kỹ năng phân tích định nghĩa, khái niệm ,vận dụng quy tắc, công thức vào giải toán

Trong giải tích, nhất là phần Tổ hợp, Xác suất, để hiểu thấu đáo một khái niệm cần phải tiến hành phân tích định nghĩa để rút ra các thuộc tính bản chất của khái niệm Khi phân tích một khái niệm trong Tổ hợp, Xác suất ta cần phải: Chỉ ra các thuộc tính của khái niệm; Chỉ ra đặc điểm của tập xác định, tập giá trị, ý nghĩa thực tế của khái niệm; Chỉ ra mối liên hệ hoặc so sánh khái niệm đã học; Từ ý nghĩa khác nhạy của khái niệm, chỉ ra cách vận dụng khái

niệm

Với mội bài toán đều phải vận dụng các quy tắc, công thức để giải, yêu cầu đặt ra với học sinh là phải áp dụng đúng và chuẩn các quy tắc, công thức để giải đúng Muốn thế trước hết học sinh phải nắm rõ các quy tắc, hiểu đề bài,

và áp dụng một các chính xác và hiệu quả

c Kỹ năng phân tích các sai lầm khi giải toán

Khi giải toán Tổ hợp, Xác suất HS thường mắc các sai lầm sau:

– Hiểu sai khái niệm nên nhầm lẫn giữa quy tắc cộng với quy tắc nhân, giữa hoán vị với chỉnh hợp hoặc Tổ hợp, giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân trong Xác suất

– Sai quy trình giải toán, dẫn đến kết quả sai Một số bài toán Tổ hợp yêu cầu khi giải phải chọn và làm đúng trình tự, nếu chọn sai là khiến kết quả theo hướng sai khác

– Không áp dụng đúng các đại lượng toán học cho các bài toán thực tế, dẫn đến không thể giải hoặc giải sai

d Rèn luyện khả năng phân tích bài toán, hình thành kĩ năng nhận dạng bài toán cho học sinh dưới nhiều góc độ

Sau khi giải được bài toán, bước quan trọng tiếp theo là tìm thêm những lời giải khác, điều đó giúp học sinh bồi dưỡng năng lực tìm hiểu nhiều giải pháp cho một vấn đề, nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc cạnh khác nhau, điều này giúp học sinh phát triển năng lực giải toán ở những phương diện sau:

– Rèn luyện khả năng phân tích bài toán

– Rèn luyện khả năng định hướng và xác định đường lối giải

– Rèn luyện kĩ năng chọn lựa phương pháp và công cụ giải

– Rèn luyện kĩ năng kiểm tra lời giải

– Rèn luyện khả năng tìm các bài toán, các kiến thức liên quan

2.1.3 Những chú ý khi dạy và học chương “Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban cơ bản)

Đối với giáo viên, khi dạy chương này cần chú ý một số vấn đề sau:

- Thực tế giảng dạy cho thấy các bài toán Tổ hợp luôn là một dạng toán khó đối với học sinh Đặc biệt học sinh rất lúng túng không biết khi nào thì dùng chỉnh hợp, khi nào thì dùng tổ hợp Do đó, khi giảng dạy giáo viên cố gắng trình bày nội dung Tổ hợp cho thật sinh động, gần với thực tiễn, tránh hàn

lâm Giáo viên cần đưa ra nhiều ví dụ về các tình huống khác nhau để học sinh có cơ hội thực hành, bắt chước

- Để giúp cho học sinh có thể tự làm được các bài tập thì giáo viên cần hệ thống các bài tập sao cho được chọn lọc cẩn thận và đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố lý thuyết Đặc biệt, giáo viên cần hướng dẫn học sinh làm các bài tập đó thật cẩn thận

- Nội dung Xác suất mới được đưa vào dạy ở trường phổ thông từ năm

2007 nên còn khá mới mẻ Do đó, đòi hỏi giáo viên phải cố gắng nhiều, phải chuẩn bị giáo án thật kỹ lưỡng

Đối với học sinh, khi học chương này cần chú ý một số vấn đề sau:

- Nội dung Tổ hợp là phần mở đầu của chương Các kiến thức của nó rất cơ bản và liên quan mật thiết tới nội dung Xác suất Nếu học sinh không nắm vững nội dung Tổ hợp thì sẽ ảnh hưởng không tốt đến việc học nội dung Xác suất

- Học sinh muốn nắm vững nội dung Tổ hợp thì phải tự mình làm được các bài tập

- Khi học nội dung Xác suất, tuy dễ gây hứng thú cho học sinh vì các bài toán về Xác suất nói chung gần gũi, thiết thực với đời sống nhưng khi học xong thì học sinh rất khó nhớ và nắm vững được kiến thức Do đó, học sinh cần phải làm nhiều bài tập

2.2 Các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải Toán Tổ hợp - Xác suất

2.2.1 Biện pháp 1: Phân tích định nghĩa, khái niệm vận dụng quy tắc, công thức vào giải toán Tổ hợp - Xác suất

a Quy tắc cộng

Nếu một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động, hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách (không trùng với hành động thứ nhất) Khi đó có (mn) cách hoàn thành công việc

Phân tích Đây là một trong hai quy tắc trong toán Tổ hợp, nó ứng với phép

hợp trong tập hợp Ở đây giả sử là có hai hành động độc lập cùng để thực hiện một công việc (chú ý đây là độc lập với nhau) Nếu không, cách tìm của ta sẽ khác

Ví dụ 1 Có 6 cuốn sách tham khảo Đại số, 8 cuốn sách tham khảo Hình học

Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cuốn sách tham khảo trong các cuốn sách đó?

Lời giải Ta thấy hành động ở đây là “chọn một cuốn sách tham khảo trong số

các cuốn đã cho”, hai hành động độc lập là “chọn sách tham khảo Đại số” và

“chọn sách tham khảo Hình học”

Vậy số cách chọn đây là 6 + 8 =14 cách

Ví dụ 2 Có 4 con hổ, 5 con sư tử, 7 con linh cẩu, 3 con báo Hỏi số cách để

chọn ra một con thú từ những con thú trên?

Lời giải.Ta thấy ở đây không còn là 2 hành động nữa mà là 4 hành động độc

lập nhau Số cách trong trường hợp này là: 4 5 7 3 19    cách

Ví dụ 3 Trong một lớp có 8 bạn học giỏi toán, 10 bạn học văn, 4 bạn giỏi cả

văn và toán Hỏi số bạn học giỏi ít nhất một môn trong lớp?

Hướng dẫn.Ta thấy ở đây khác với các bài toán khác là trong 2 trường hợp

của mình lại có những điểm chung Như cách thông thường thì ta có là

8 + 10 = 18 cách Sai lầm đây là có giỏi toán và giỏi văn không độc lập nhau

Dữ kiện tiếp theo cho ta rõ hơn về điều đó

Theo lưu ý thì số cách cần tìm bằng tổng số cách trừ đi số cách chung Hay bằng 8 + 10 – 4 = 14 bạn

b Quy tắc nhân

Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách thực hiện A thì có n cách thực hiện công việc B thì công việc đó có (m.n) cách thực hiện

Phân tích Đây là quy tắc quan trọng trong toán Tổ hợp, Xác suất Khi làm

các bài toán Tổ hợp, quy tắc này chiếm đa số Một số chú ý với quy tắc nhân: – Nhận biết quy tắc nhân khi công việc gồm 2 hoặc nhiều công đoạn có thứ

tự hoặc không thể thực hiện đồng thời Phép tính sử dụng là phép tính nhân – Trong các công đoạn, chọn công đoạn nào có điều kiện trước

– Khi công việc có nhiều công đoạn, các công đoạn có thể đổi vị trí, dẫn đến phép tính khác nhau, nhưng kết quả chung phải giống nhau

Ví dụ 1 Có 3 đường đi từ A đến B, 5 đường từ B đến C Hỏi có bao nhiêu

cách đi từ A qua B đến C?

Lời giải Công việc đây là đi từ A qua B đến C, gồm 2 công đoạn là đi từ A

đến B và đi từ B đến C Việc mình chọn công đoạn nào trước cũng được, nhưng đúng theo “lộ trình” thì ta phải chọn từ A đến B rồi B đến C

Từ A đến B có 3 đường, từ B đến C có 5 đường Vậy số cách đi từ A qua B đến C là 3.5 = 15 cách

Ví dụ 2 (Công đoạn có điều kiện) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau lập

Ví dụ 3 Có bao cách chọn bộ lớp trưởng, lớp phó, bí thư từ 32 học sinh?

Lời giải Ở đây, 3 vị trí này có thể hoán đổi vị trí cho nhau khi chọn thứ tự,

nên có cách chọn như sau: Lớp trưởng có 32 cách, lớp phó có 31 cách, bí thư

có 30 cách

Vậy số cách chọn bộ là: 32.31.30 = 29760 cách

c Giai thừa, hoán vị

- Giai thừa của số tự nhiên n kí hiệu là n! là tích của n số tự nhiên liên tiếp từ

1 đến n

n! 1.2.3  n1  n , 𝑛 ∈ ℕ, n1

Quy ước : 0! = 1, 1! = 1

- Hoán vị: Cho tập hợp A , gồm n phần tử ( n1) Một cách sắp thứ tự n phần

tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

Kí hiệu: P n là số các hoán vị của n phần tử

n

P  n! 1.2 n 1 n Phân tích Giai thừa và hoán vị là định nghĩa, công thức và cách sử dụng

trong trường hợp chung nhất

– Ở công thức, đơn giản, n giai thừa là tích từ 1 đến n

– Ở cách dùng, chú ý là lấy hết các phần tử khác nhau của tập hợp và xếp thứ tự

Ví dụ 1 Có 4 người A, B, C, D Tìm số cách để xếp thành hàng 4 người

Lời giải.Ở đây, 4 phần tử là phân biệt, lấy hết cả 4 phần tử để xếp thứ tự theo

hàng, vậy số cách là hoán vị của 4 phần tử: 4! = 24 cách

Ví dụ 2 Có 5 số 1, 1, 3, 5, 6 Tìm cách cách để lập số có 5 chữ số trong đó số

nào cũng có mặt

Lời giải Đây chính là bài toán hoán vị có lặp sẽ đề cập sau Coi 5 số là phân

biệt thì số cách là 5! Vì có 2 số giống nhau nên số cách giảm đi 2!

Vậy, số các số là: 5!.2! = 60 số

d Chỉnh hợp

- Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n1) Kết quả của việc lấy k