Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy học giải bài tập một số dạng phương trình sai phân

Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi giáo viên phải biết cách dạy cho học sinh tự suy nghĩ, phát huy hết khả năng, năng lực sáng tạo của bản thân mình để giải quyết vấn đề mà học sinh gặp phải t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHẠM VĂN GIA

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP MỘT SỐ

DẠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

i

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân

thành, sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, người thầy không chỉ

hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập

và nghiên cứu khoa học mà còn luôn quan tâm, động viên, khích lệ và tận

tình hướng dẫn để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó

khăn trong quá trình hoàn thành luận văn

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu trường

Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô giáo trong nhà

trường và các thầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Lý luận và

phương pháp dạy học bộ môn Toán đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá

trình tác giả học tập và nghiên cứu

Nhân đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã

động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn

này

Hà Nội, ngày 10 tháng 08 năm 2016

Học viên

Phạm Văn Gia

ii

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Mục lục ii

Danh mục bảng iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 6

1.1 Tư duy 6

1.1.1 Khái niệm 6

1.1.2 Đặc điểm cơ bản của tư duy 6

1.1.4 Các thao tác tư duy 9

1.1.5 Vấn đề phát triển năng lực tư duy 11

1.1.6 Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển 12

1.2 Tư duy sáng tạo 12

1.2.1 Khái niệm về sáng tạo 12

1.2.2 Quá trình sáng tạo 14

1.2.4 Cấu trúc của tư duy sáng tạo 17

1.3 Phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán 20

1.3.1 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác 20

1.3.3 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo 21

1.3.4 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học 22

1.4 Thực trạng quá trình dạy và học về dạng toán tìm số hạng tổng quát của dãy số 22

Kết luận chương 1 25

Chương 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 26

iii

2.1 Một số kiến thức cơ bản về dãy số 26

2.2 Giải bài tập tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách sử dụng cấp số cộng và cấp số nhân 29

2.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính bậc 1 29

2.2.2 Phương trình sai phân tuyến tính bậc 2 34

2.2.3 Một số dạng khác 43

2.3 Giải bài tập tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp toán học 49

2.4 Giải bài tập tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách sử dụng phương pháp đổi biến 53

2.5 Giải bài tập tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách sử dụng phương pháp lượng giác hóa 56

2.6 Giải bài tập tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách sử dụng hàm lặp 59

2.7 Ứng dụng bài toán tìm công thức tổng quát vào các bài toán dãy số và tổ hợp 77

Kết luận chương 2 87

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 88

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 88

3.2 Phương pháp thực nghiệm 88

3.3 Nội dung và tổ chức thực nghiệm 89

3.4 Kết quả của thực nghiệm sư phạm 103

Kết luận chương 3 110

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 111

TÀI LIỆU THAM KHẢO 112

PHỤ LỤC 114

iv

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1 Số lượng học sinh lớp đối chứng và lớp thực nghiệm 90Bảng 3.2 Thống kê điểm số các bài kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 106Bảng 3.3 Tỉ lệ các bài trên trung bình và dưới trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 107Bảng 3.4 Tỉ lệ bài khá giỏi của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 107Bảng 3.5 Biểu đồ cột về kết quả điểm thi của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 108

1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Công cuộc đổi mới của đất nước đã và đang đặt ra cho ngành Giáo dục

và Đào tạo nhiệm vụ to lớn và hết sức nặng nề đó là đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước Để đáp ứng nhu cầu trên, bên cạnh việc đổi mới mục tiêu, nội dung chương trình và sách giáo khoa ở mọi bậc học, chúng ta cần phải đổi mới phương pháp dạy học Nghị quyết Đại hội lần thứ XI của Đảng đã

khẳng định “Thực hiện đồng bộ các giải pháp phát triển và nâng cao chất

lượng giáo dục, đào tạo Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý tưởng, đạo đức, năng lực sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội”

Để tạo ra những con người lao động mới có năng lực sáng tạo cần có những phương pháp dạy học phù hợp để khơi dậy và phát huy được năng lực của người học Do đó, một yêu cầu cấp thiết được đặt ra trong hoạt động giáo dục phổ thông là không ngừng nghiên cứu, cải tiến phương pháp dạy học cho phù hợp với người học, với điều kiện giảng dạy và học tập Sư phạm học hiện đại đề cao nguyên lý học là công việc của từng cá thể, thực chất quá trình tiếp nhận tri thức phải là quá trình tư duy bên trong của bản thân chủ thể Vì thế nhiệm vụ của người giáo viên là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng cho học sinh chứ không phải làm đầy trí tuệ của các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã có Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi giáo viên phải biết cách dạy cho học sinh tự suy nghĩ, phát huy hết khả năng, năng lực sáng tạo của bản thân mình để giải quyết vấn đề mà học sinh gặp phải trong quá trình học tập và trong cuộc sống

Thực tiễn còn cho thấy trong quá trình học toán có rất nhiều học sinh còn bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực tư duy sáng tạo Những học

2

sinh này thường nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi Đặc biệt những học sinh khá, giỏi chưa phát huy được năng lực tư duy sáng tạo của bản thân để tìm

ra những lời giải có tính độc đáo, để tổng hợp, phân tích các vấn đề một cách hệ thống, lôgic Từ đó dẫn đến một hệ quả là nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải toán, đặc biệt là các bài toán đòi hỏi phải có sáng tạo trong lời giải Bên cạnh việc giúp học sinh giải quyết các bài tập sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình

Chương "Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân" chương trình Đại số nâng cao lớp 11 là một nội dung quan trọng của môn Toán Nếu hệ thống bài tập được khai thác và sử dụng hợp lý thì sẽ rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy sáng tạo biểu hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm

ra kết quả mới (khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán), khả năng sáng tạo ra bài toán mới trên

cơ sở những bài toán quen thuộc Trong chương trình toán học trung học phổ thông các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại

số và giải tích lớp 11, học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên qua đến dãy số và đặc biệt là bài toán xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết Do đó xác định công thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất định trong các bài toán dãy số

3

Nhận thức đƣợc tầm quan trọng của các vấn đề nêu trên nên tác giả chọn

đề tài: “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy

học giải bài tập một số dạng phương trình sai phân” làm luận văn tốt

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu, làm sáng tỏ một số vấn đề cơ bản của tƣ duy, tƣ duy sáng tạo

- Nghiên cứu những biểu hiện của tƣ duy sáng tạo của học sinh trung học phổ thông và sự cần thiết phải rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập

- Tìm hiểu thực trạng của dạy và học bài toán tìm công thức số hạng số hạng tổng quát của 1 dãy số

- Đề xuất các biện pháp cần thiết để rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh qua dạy bài tập tìm công thức số hạng số hạng tổng quát của 1 dãy số

- Tổ chức dạy thực nghiệm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của

đề tài

3 Giả thuyết khoa học

Thông qua hệ thống các bài tập về tìm số hạng tổng quát của 1 dãy số sẽ giúp cho học sinh xây dựng khả năng tự học, tự nghiên cứu và lòng say mê

toán học, qua đó rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh

4

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, các sách giáo khoa, sách bài tập, các tạp chí, sách, báo, đặc san tham khảo có liên quan tới logic toán học, tư duy sáng tạo, các phương pháp tư duy toán học, các phương pháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy sáng tạo toán học cho học sinh phổ thông, các bài tập mang nhiều tính tư duy sáng tạo

4.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Bước đầu tìm hiểu tình hình dạy học và rút ra một số nhận xét về việc

“Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy học giải bài tập một số dạng phương trình sai phân”

4.3 Phương pháp điều tra khảo sát, thực nghiệm sư phạm

Thể hiện các biện pháp đã đề ra qua một số giờ dạy thực nghiệm ở một

số lớp đã chọn Trên cơ sở đó kiểm tra, đánh giá, bổ sung và sửa đổi để tăng thêm tính khả thi của các biện pháp

5 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

5.1 Đối tượng nghiên cứu

Trên cơ sở lý luận của kỹ năng giải toán, tư duy sáng tạo, áp dụng vào dạy học nội dung tìm số hạng tổng quát của dãy số trong chương trình toán trung học phổ thông Từ đó phân loại và phát triển hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo, gợi động cơ hứng thú học tập cho học sinh

5.2 Khách thể nghiên cứu

5

Lớp 11A1, 11A2 trường trung học phổ thông Lạng Giang số 1, huyện Lạng Giang, tỉnh Bắc Giang và 11A9, 11A10 trường trung học phổ thông Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang

5.3 Phạm vi nghiên cứu

Quá trình dạy học bài tập chương „„Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân” cho học sinh khá, giỏi ở trường trung học phổ thông

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu

Chương 2 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập

về tìm số hạng tổng quát của dãy số

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên

hệ hợp với quy luật của thực tại”

Theo quan niệm của Tâm lý học [6]: “Tư duy là một quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính, là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng mà trước đó ta chưa biết”

1.1.2 Đặc điểm cơ bản của tư duy

a) Tính có vấn đề

Khi gặp những tình huống mà với hiểu biết đã có, phương pháp hành động đã biết, chúng ta không đủ giải quyết, lúc đó chúng ta rơi vào “tình huống có vấn đề”, và có xu hướng cố vượt ra khỏi phạm vi những hiểu biết

cũ để đi tới cái mới, hay nói cách khác chúng ta phải tư duy

b) Tính khái quát

Tư duy mang tính khái quát do có khả năng phản ánh những thuộc tính chung, những mối quan hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật hiện tượng

7

c) Tính độc lập tương đối của tư duy

Trong quá trình sống con người luôn giao tiếp với nhau, do đó tư duy của từng người vừa tự biến đổi qua quá trình hoạt động của bản thân vừa chịu sự tác động biến đổi từ tư duy của đồng loại thông qua những hoạt động có tính vật chất Do đó, tư duy không chỉ gắn với bộ não của từng cá thể người mà còn gắn với sự tiến hóa của xã hội, trở thành một sản phẩm

có tính xã hội trong khi vẫn duy trì được tính cá thể của một con người nhất định Mặc dù được tạo thành từ kết quả hoạt động thực tiễn nhưng tư duy

có tính độc lập tương đối Sau khi xuất hiện, sự phát triển của tư duy còn chịu ảnh hưởng của những tri thức mà nhân loại đã tích lũy được trước đó

Tư duy cũng chịu ảnh hưởng, tác động của các lý thuyết, quan điểm tồn tại cùng thời với nó Mặt khác, tư duy cũng có logic phát triển nội tại riêng của

nó, đó là sự phản ánh đặc thù logic khách quan theo cách hiểu riêng gắn với mỗi con người Đó chính là tính độc lập tương đối của tư duy

d) Mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ

Nhu cầu giao tiếp của con người là điều kiện cần để phát sinh ngôn ngữ Kết quả tư duy được ghi lại bằng ngôn ngữ Ngay từ khi xuất hiện, tư duy

đã gắn liền với ngôn ngữ và được thực hiện thông qua ngôn ngữ Vì vậy, ngôn ngữ chính là cái vỏ hình thức của tư duy Ở thời kỳ sơ khai, tư duy đuợc hình thành thông qua hoạt động vật chất của con người và từng bước được ghi lại bằng các ký hiệu từ đơn giản đến phức tạp, từ đơn lẻ đến tập hợp, từ cụ thể đến trừu tượng Hệ thống các ký hiệu đó thông qua quá trình

xã hội hóa và trở thành ngôn ngữ Sự ra đời của ngôn ngữ đánh dấu bước phát triển nhảy vọt của tư duy và tư duy cũng bắt đầu phụ thuộc vào ngôn ngữ Ngôn ngữ với tư cách là hệ thống tín hiệu thứ hai trở thành công cụ giao tiếp chủ yếu giữa con người với con người, phát triển cùng với nhu cầu của nền sản xuất xã hội cũng như sự xã hội hóa lao động

e) Mối quan hệ giữa tư duy và nhận thức

8

Tư duy là công cụ, là nguyên nhân, là kết quả của nhận thức, đồng thời

là sự phát triển cấpcao của nhận thức Xuất phát điểm của nhận thức là những cảm giác, tri giác và biểu tượng được phản ánh từ thực tiễn khách quan với những thông tin về hình dạng, hiện tượng bên ngoài được phản ánh một cách riêng lẻ Giai đoạn này được gọi là tư duy cụ thể Ở giai đoạn sau, với sự hỗ trợ của ngôn ngữ, hoạt động tư duy tiến hành các thao tác so sánh, đối chiếu, phân tích, tổng hợp, khu biệt, quy nạp những thông tin đơn

lẻ, gắn chúng vào mối liên hệ phổ biến, lọc bỏ những cái ngẫu nhiên, không căn bản của sự việc để tìm ra nội dung và bản chất của sự vật, hiện tượng, quy nạp nó thành những khái niệm, phạm trù, định luật Giai đoạn này được gọi là giai đoạn tư duy trừu tượng

1.1.3 Những phẩm chất của tư duy

a) Khả năng định hướng: Ý thức nhanh chóng và chính xác đối tượng cần

lĩnh hội, mục đích phải đạt được và những con đường tối ưu đạt được mục đích đó

b) Bề rộng: Có khả năng vận dụng nghiên cứu các đối tượng khác

c) Độ sâu: Nắm vững ngày càng sâu sắc hơn bản chất của sự vật, hiện

tượng

d) Tính linh hoạt: Nhạy bén trong việc vận dụng những tri thức và cách

thức hành động vào những tình huống khác nhau một cách sáng tạo

e) Tính mềm dẻo: Thể hiện ở hoạt động tư duy được tiến hành theo các

hướng xuôi ngược chiều

f) Tính độc lập: Thể hiện ở chỗ tự mình phát hiện ra vấn đề, đề xuất cách

giải quyết và tự giải quyết được vấn đề

g) Tính khái quát: Khi giải quyết một loại vấn đề nào đó sẽ đưa ra được mô

hình khái quát, trên cơ sở đó để có thể vận dụng để giải quyết các vấn đề tương tự, cùng loại

9

1.1.4 Các thao tác tư duy

Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ Các thao tác trí tuệ cơ bản bao gồm

a Phân tích - tổng hợp

Theo [13, tr.122]: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trường xung quanh

Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy Những hoạt động trí tuệ đều diễn ra trên nền tảng của phân tích và tổng hợp Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất Phân tích tiến hành theo hướng tổng hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích Trong học tập môn toán phân tích và tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề

b So sánh – tương tự

So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng Muốn so sánh hai sự vật, hiện tượng ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau rồi tổng hợp lại xem hai sự vật, hiện tượng có cái gì giống và khác nhau So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích - tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác

10

Do đó, tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức

độ nào đó, trong một quan hệ nào đó

Theo G.Polya: “Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong

các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa bộ phận tương ứng” [12, tr.29]

c Khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá

Khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung nhất định Các thuộc tính chung đó gồm hai loại: những thuộc tính chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất

Theo [8, tr.46].: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng lớn

hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát”

Theo Polya: “Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp

đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu” [20, tr.21]

Như vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát hơn Trong toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu

tố của khái niệm, định lý, bài toán… thành những kết quả tổng quát

Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược lại với khái quát hoá

Mối quan hệ giữa khái quát hoá và đặc biệt hoá thường được vận dụng trong tìm tòi, giải toán Từ một tính chất nào đó, ta muốn khái quát hoá ta thử đặc biệt hoá Nếu kết quả là của đặc biệt hoá là đúng thì ta mới tìm cách chứng minh dự đoán từ khái quát hoá Nhưng nếu sai thì dừng lại Trừu tượng hoá: Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tư duy Sự phân biệt bản chất hay không

11

bản chất ở đây chỉ mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

Tác giả [5] cho rằng: “Trừu tượng hoá và khái quát hoá liên hệ chặt chẽ

với nhau Nhờ trừu tượng hoá ta có thể khái quát hoá rộng hơn và nhận thức sự vật sâu sắc hơn Và ngược lại khái quát hoá đến một mức nào đó giúp ta tách được những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, tức là đã trừu tượng hoá Trừu tượng hoá là một “hoạt động tư duy”, hoạt động này của bộ não con người có thể hướng tới bất kì vấn đề

gì của khoa học nói chung và nói riêng của Toán học”

1.1.5 Vấn đề phát triển năng lực tư duy

Việc phát triển tư duy cho học sinh trước hết là giúp học sinh thông hiểu kiến thức một cách sâu sắc, không máy móc, biết cách vận dụng kiến thức vào bài tập, từ đó mà kiến thức học sinh thu nhận được trở nên vững chắc

và sinh động Chỉ thực sự lĩnh hội được tri thức khi tư duy tích cực của bản thân học sinh được phát triển và nhờ sự hướng dẫn của giáo viên các em biết phân tích, khái quát tài liệu có nội dung cụ thể và rút ra những kết luận cần thiết

Sự phát triển tư duy diễn ra trong quá trình tiếp thu kiến thức và vận dụng tri thức, khi tư duy phát triển sẽ tạo ra một kỹ năng và thói quen làm việc có suy nghĩ, có phương pháp, chuẩn bị tiềm lực lâu dài cho học sinh trong hoạt động sáng tạo sau này

Muốn phát triển năng lực tư duy, phải xây dựng nội dung dạy học sao cho nó không phải “thích nghi” với trình độ phát triển có sẵn của học sinh

mà đòi hỏi phải có trình độ phát triển cao hơn, có phương thức hoạt động trí tuệ phức tạp hơn Nếu học sinh thực sự nắm được nội dung đó, thì đây là chỉ tiêu rõ nhất về trình độ phát triển năng lực tư duy của học sinh

12

1.1.6 Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển

- Có khả năng tự lực chuyển tải tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới Trong quá trình học tập, học sinh đều phải giải quyết những vấn đề đòi hỏi phải liên tưởng đến những kiến thức đã học trước đó Nếu học sinh độc lập chuyển tải tri thức vào tình huống mới thì chứng tỏ đã có biểu hiện

tư duy phát triển

- Tái hiện kiến thức và thiết lập những mối quan hệ bản chất một cách nhanh chóng

- Có khả năng phát hiện cái chung và cái đặc biệt giữa các bài toán

- Có năng lực áp dụng kiến thức để giải quyết tốt bài toán thực tế: Định hướng nhanh, biết phân tích suy đoán và vận dụng các thao tác tư duy để tìm cách tối ưu và tổ chức thực hiện có hiệu quả

1.2 Tư duy sáng tạo

1.2.1 Khái niệm về sáng tạo

Các bài kiểm tra chuẩn thường không đo được tính sáng tạo một cách chính xác: trong thực tế chúng ta gặp khó khăn trong việc nhất trí về sáng tạo một cách tiềm tàng, ấy thế nhưng nhiều phụ huynh và giáo viên lại áp đặt nhiều giới hạn vào hành vi tự nhiên của chúng đến mức mà chúng thấy sáng tạo phiền hà cho chúng làm cho chúng không đồng ý Phụ huynh thường phản ứng tiêu cực đối với sự hiếu kỳ và sự bày bừa của con em mình Giáo viên và phụ huynh thường áp đặt các quy tắc trật tự, sự tuân thủ và “trạng thái bình thường” để phù hợp với họ

Các học sinh có đầu óc sáng tạo thường xuyên làm cho giáo viên lúng túng, các câu trả lời mới mẻ của chúng thường bị đe dọa, và hành vi của chúng thường đi chệch khỏi các hành vi được coi là bình thường Các chuyên gia về chương trình có xu hướng bỏ qua vai trò của học sinh trong các kế hoạch của họ và giáo viên thường bỏ qua chúng trong chương trình

13

và các bài tập trên lớp của họ Ngay cả khi họ nhận ra được tính sáng tạo thì các nhà giáo dục vẫn thường xuyên gộp các học sinh “có năng khiếu” lại với nhau không phân biệt giữa tài năng sáng tạo và tài năng trí tuệ hay giữa các kiểu sáng tạo khác nhau

Bản chất của tính sáng tạo là sự mới mẻ và do đó chúng ta không có tiêu chí để đánh giá nó Trong thực tế, sản phẩm càng độc đáo bao nhiêu thì nó càng có xu hướng bị những người đương thời đánh giá là ngu ngốc bấy nhiêu Sáng tạo như là sự tự nguyện để bị làm bối rối (làm quen chính mình với một cái gì đó chưa được biết đến với sự khó chịu), khả năng tập trung, khả năng trải qua kinh nghiệm như là người tạo nguồn cho các hành động,

sự tự nguyện chấp nhận mâu thuẫn và sự căng thẳng do sự thiếu kiên nhẫn gây ra cho các ý tưởng sáng tạo

Theo [7] định nghĩa: “Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người Sáng tạo là hoạt động có tính đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy nhất”

Theo [16, tr.1130]: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có”

Các công trình nghiên cứu này chỉ rằng ít có sự nhất trí về định nghĩa tính sáng tạo trừ việc cho rằng nó là một phẩm chất của trí tuệ và có quan

hệ với tính thông minh Sáng tạo là quá trình vừa hữu thức vừa vô thức và vừa có thể quan sát được vừa không thể quan sát được Bởi vì các quá trình

vô thức và không thể quan sát được khó xử lý trong lớp học, cho nên thường có sự hiểu nhầm giữa giáo viên và những học sinh sáng tạo

Giáo viên thường yêu cầu học sinh có tư duy “phản ứng” (reactive thinking); nghĩa là họ chờ đợi học sinh phản ứng lại với câu hỏi, các bài tập, hay các mục trong bài kiểm tra và đưa ra câu trả lời ưa chuộng hơn Họ

có xu hướng không khuyến khích tư duy “ngược” (proactive); nghĩa là tạo

14

ra các câu hỏi và câu trả lời mới Đây là cách mà hầu hết giáo viên được đào tạo, và họ cảm thấy không thoải mái về việc không có câu trả lời đúng Một số giáo viên thực sự phát triển tư duy phê phán trong học sinh, nhưng

họ cần phải vượt ra khỏi tư duy phản ứng và thậm chí ra khỏi tư duy phê phán và khuyến khích học sinh tạo ra các ý tưởng Xã hội cần các nhà tạo

tư tưởng để lập kế hoạch, để ra các quyết định và để xử lý các vấn đề công nghệ và xã hội Giáo viên cần phải để cho học sinh biết rằng có câu hỏi đúng không phải lúc nào cũng quan trọng, rằng hiểu sâu là điều quan trọng, rằng các hoạt động khác nhau yêu cầu các khả năng khác nhau Giáo viên cần phải hiểu rằng hầu hết mọi học sinh đều có tiềm năng của tư duy sáng tạo

Qua các khái niệm trên có thể nói: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới không bị gò bó phụ thuộc vào những cái đã có”

1.2.2 Quá trình sáng tạo

Quá trình sáng tạo gồm 4 giai đoạn:

Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn chủ thể thử giải quyết vấn đề bằng các

cách khác nhau, huy động thông tin, suy luận

Giai đoạn ấp ủ: Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết vấn đề bị

ngừng lại, còn lại các hoạt động tiềm thức, các hoạt động bổ xung cho vấn

đề được quan tâm

Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến khi sự “bừng

sáng” trực giác, một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo Đây là giai đoạn quyết định trong quá trình tìm kiếm lời giải

Giai đoạn kiểm chứng: Là giai đoạn chủ thể kiểm tra trực giác, triển khai

các luận chứng lôgíc để có thể chứng tỏ tính đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sự sáng tạo mới được khẳng định

15

1.2.3 Tư duy sáng tạo

Những năm gần đây, người ta thường đòi hỏi nền giáo dục phải trang bị cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo như là một phẩm chất quan trọng của con người hiện đại, đặc biệt là từ khi thế giới đã bắt đầu chuyển mạnh sang nền kinh tế tri thức và xã hội tri thức ở nước ta, yêu cầu đó cũng đãđược nhiều nhà giáo dục đề nghịđưa vào như là một nội dung quan trọng của một triết lý giáo dục cho nước ta trong thời kỳ công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước

Theo nghĩa thông thường, sáng tạo là một tiến trình phát kiến ra các ý tưởng và quan niệm mới, hay một kết hợp mới giữa các ý tưởng và quan niệm đã có Hay đơn giản hơn, sáng tạo là một hành động làm nên những cái mới Với cách hiểu đó thì cái quan trọng nhất đối với sáng tạo là phải có

ý tưởng, như lời của nhà toán học vĩ đại Poincare: “Trong sáng tạo khoa học, ý tưởng chỉ là những ánh chớp, nhưng ánh chớp đó là tất cả”, hay lời của một nhà khoa học vĩ đại khác, Linus Pauling, khi trả lời câu hỏi làm thế nào người ta sáng tạo ra được các lý thuyết khoa học: “Người ta phải nắm bắt được nhiều ý tưởng” và“con đường để có được một ý tưởng tốt là có thật nhiều ý tưởng” Từ xa xưa, người ta đã thường nói đến những ý tưởng sáng tạo trong các lĩnh vực thi ca, âm nhạc, hội họa, nghệ thuật Các ý tưởng không đến với con người bằng suy luận, bằng tư duy logic, mà thường đến ở những giây phút xuất thần nào đó sau những tưởng tượng, những suy tư, những phỏng đoán, những đối chiếu, những so sánh bóng gió… tưởng chừng không liên quan gì đến điều mà mình đang bận tâm suy nghĩ

Trong tâm lý học định nghĩa: “Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài vi giới hạn của hiện thực, của vốn tri thức và kinh nghiệm đã có, giúp quá trình giải quyết nhiệm vụ của tư duy được linh hoạt và hiệu quả”

16

Nhà tâm lý học người Đức Mehlhow cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời mục tiêu cơ bản của giáo dục” Tác giả [8] cho rằng“Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét

ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo

ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ”

Thời đại khoa học ra đời từ thế kỷ 17 đã gắn liền với chủ nghĩa cơ giới

và chủ nghĩa duy lý Phương pháp sáng tạo ra các định lý mới, các kiến thức mới trong các lý thuyết khoa học của thời đại đóđã gắn chặt với các lập luận logic, với các phép quy nạp và diễn dịch hình thức Từđầu thế kỷ

20 trở đi, khi khoa học mở rộng đối tượng của mình đến các hệ thống phức tạp trong tự nhiên và xã hội, thì các phương pháp tư duy cơ giới và duy lý không còn chiếm được vị trí độc tôn nữa, và các phương pháp tư duy sáng tạo cùng với quan điểm hệ thống trở thành phổ biến hơn, do đóđể hiểu được cuộc sống và thế giới trong tinh thần hiện đại, việc rèn luyện một năng lực tư duy sáng tạo lại càng cóý nghĩa quan trọng

Việc rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo hiện nay thường gắn liền với một phương pháp nhận thức mới là phương pháp giải quyết bài toán, với quan niệm mới xem rằng nhiệm vụ của khoa học không phải là tìm kiếm chân lý, mà là tìm kiếm lời giải cho những bài toán mà con người liên tục gặp phải trong cuộc sống Yếu tố cốt lõi của phương pháp giải quyết bài toán là tư duy sáng tạo, sáng tạo trong việc xác định bài toán, xác định mục tiêu của bài toán, tạo sinh các ý tưởng bằng các thao tác trí tuệ như tưởng tượng, phỏng đoán, so sánh với các ẩn dụ, đưa ra các giả thuyết, phê phán

và đánh giá các giả thuyết, rồi lựa chọn các lời giải, thực thi từng phần hoặc toàn bộ một lời giải đã chọn, đánh giá các lời giải khả thi, sửa đổi để hoàn thiện lời giải, vân vân Từ nhiều năm gần đây, rèn luyện năng lực tư duy

1.2.4 Cấu trúc của tư duy sáng tạo

Các nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý học, giáo dục học… đã đưa ra năm thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề

Tính mềm dẻo (Flexibility)

Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng, nhanh chóng trật tự của

hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, có khả năng định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, xây dựng phương pháp

tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những mối liên hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán đoán Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người Có thể thấy rằng tính mềm dẻo của tư duy

có các đặc trưng nổi bật sau:

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại…

- Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới

Tính nhuần nhuyễn (Fluency)

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đưa

ra giả thuyết mới Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo

Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở hai đặc trưng sau:

Sự đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn

đề phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật, hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

Tính độc đáo (Originality)

Tính độc đáo là khả năng tìm và quyết định phương thức mới

Tính độc đáo được đặc trưng bởi các khả năng sau:

- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

19

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

Tính hoàn thiện (Elabolation)

Tính hoàn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng

Tính nhạy cảm vấn đề (Problem’s Censibitity)

Tính nhạy cảm vấn đề: Là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu và từ đó đề xuất hướng giải quyết, tạo ra cái mới

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:

Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề

Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó

có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

Ngoài ra còn có các yếu tố quan trọng khác như: Tính chính xác (Precise), năng lực định giá (Ability to valued), phán đoán (Decide), năng lực định nghĩa lại (Redefinition)

Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đóđề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu

tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng

đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng

Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinh cần được luyện tập thường xuyên năng lực, tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau trong những mối liên hệ khác nhau Trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng lẻ, dùng phép tương tự để chuyển từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác, khai thác mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hoá, làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm được bằng đặc biệt hoá và hệ thống hoá, ta có thể tập luyện cho học sinh khái quát hoá tài liệu toán học, tạo khả năng tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp

lạ hoặc duy nhất Các hoạt động này góp phần bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn cũng như tính độc đáo của tư duy

1.3.2 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới

Về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu, tạo ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến

Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phải chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện và giải quyết vấn đề

1.3.3 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của

tư duy sáng tạo: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo Có thể khai thác nội dung các vấn đề giảng dạy, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề tránh được lỗi học thuộc lòng máy móc và lỗi vận dụng thiếu sáng tạo

Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo như: Những bài tập có cách riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để khắc phục “tính ỳ”; những bài tập có nhiều lời giải khác nhau, đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác; những bài tập trong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược xảy

ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận; những bài toán

“không theo mẫu”, không đưa được về các loại toán giải bằng cách áp dụng các định lý, quy tắc trong chương trình

Một vấn đề rất đáng được quan tâm là vấn đề kiểm tra, đánh giá Các đề kiểm tra, các đề thi cần được soạn với yêu cầu kiểm tra được năng lực tư duy sáng tạo của học sinh Học sinh chỉ có thể làm được hoàn chỉnh các đề kiểm tra đó trên cơ sở bộc lộ rõ rệt năng lực tư duy sáng tạo của bản thân chứ không phải chỉ là học tủ, vận dụng kiến thức thiếu sáng tạo

1.4 Thực trạng quá trình dạy và học về dạng toán tìm số hạng tổng quát của dãy số

Trong các năm học 2013-2014, 2014-2015, 2015-2016, tác giả đã tiến hành điều tra và thực nghiệm sư phạm ở các lớp chọn khối 11 của trường trung học phổ thông Lạng Giang số 1, Bắc Giang, tổ toán của trường trung học phổ thông Lạng Giang số 1, tác giả có 1 số nhận định sau:

- Mấy năm gần đây, do hưởng ứng công cuộc đổi mới phương pháp giảng dạy do Bộ Giáo dục và Đào tạo đề ra thì thực tiễn việc dạy học ngày nay đã có nhiều thay đổi theo hướng tích cực so với trước Cách dạy học truyền thống theo kiểu “ thầy đọc, trò chép”, “ truyền thụ theo một chiều” đang dần được thay thế bằng các phương pháp dạy học tích cực hơn nhằm phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh Các giáo viên đã quan tâm hơn trong việc bồi dưỡng các kỹ năng tư duy cho học sinh song

23

song với việc hình thành tri thức Tuy nhiên vấn đề dạy học nhằm bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh vẫn chưa được chú trọng

đúng mức, nhất là trong việc dạy học chuyên đề: “Tìm số hạng tổng quát

của 1 dãy số” ở một số lớp chọn Giáo viên dạy học sinh còn thiên về các

kỹ năng giải toán, áp dụng những công thức, các dạng toán có sẵn Chính vì vậy mà tư duy sáng tạo của các em bị kìm hãm, không được phát triển

- Một bộ phận giáo viên, nhất là các giáo viên dạy lâu năm còn truyền thụ kiến thức một cách áp đặt, nặng về giảng và luyện, không đưa học sinh vào vị trí chủ thể phát huy nội lực của học sinh trong quá trình nhận thức

và lĩnh hội tri thức

-Trong dạy học môn toán ở đa số các trường phổ thông, giáo viên thường chỉ phân dạng bài tập rồi chữa cho học sinh, đưa ra những khuôn mẫu và cách giải chung rồi luyện cho các em theo những dạng đó Chính vì thế, các em thường chỉ giải được những bài toán như thầy đã chữa một cách máy móc còn khi thay đổi đề toán một chút là các em lúng túng hoặc không muốn tiếp tục suy nghĩ, tìm tòi lời giải Một thực tế nữa là thông thường các em học sinh sẽ thỏa mãn ngay khi tìm ra được một lời giải của bài toán

mà không chịu tìm hiểu xem bài toán có cách giải nào khác không, cách giải đóđã tối ưu hay chưa Các em cũng ít khi chú ý đến việc khai thác kết quả của một bài toán hay tự ra các đề toán mới, kể cả là các em khá và giỏi

Riêng dạy học chuyên đề: “Tìm số hạng tổng quát của 1 dãy số” ở một

số lớp chọn, qua điều tra cho thấy việc bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh còn nhiều hạn chế như:

- Học sinh còn mơ màng trong các khái niệm, không nắm vững các tính chất và việc vận dụng chúng vào giải bài tập chưa được nhuần nhuyễn

- Khó khăn khi chuyển hóa từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác không vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa Suy nghĩ dập khuôn, áp dụng một

24

cách máy móc những kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong đó có những yếu tốđã thay đổi Ví dụ như còn lúng túng khi chuyển từ dạng bài tập này sang dạng bài tập khác Cùng một bài toán khi đặt nó trong chùm bài tập cùng dạng thì học sinh giải được một cách dễ dàng nhưng khi đặt nó trong những bài tập dạng khác thì học sinh lại gặp khó khăn Hoặc khi giáo viên thay đổi một vài yếu tố của một bài toán đã biết (thậm chí có khi chỉ là thay đổi cách hỏi) thì học sinh loay hoay có khi không tìm được giải pháp

- Khi giải bài tập học sinh còn mắc phải rất nhiều những sai lầm (sai lầm

do áp dụng sai các quy tắc, định lý hoặc không hiểu đúng các định nghĩa, khái niệm, tính chất; sai lầm về kỹ năng biến đổi; sai lầm về định hướng kỹ năng tính toán )

- Hầu hết các em khi giải ra kết quả một bài toán là dừng lại, không có thói quen suy nghĩ thêm để tìm lời giải khác cũng như xem xét lời giải đó

có tối ưu hay chưa; không đào sâu suy nghĩ, xem xét bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau cũng như không mở rộng khai thác bài toán

- Rất ít học sinh có khả năng và có thói quen tự ra được đề toán mới Những học sinh khá và giỏi có thể ra được đề toán mới nhưng chỉ theo cách lập bài toán tương tự với bài tập trong sách giáo khoa

- Tính tự giác và độc lập trong học tập của các em chưa cao, còn ỷ lại vào thầy cô giáo, dành ít thời gian cho việc tự học, số lượng các em tự đọc sách tham khảo để nâng cao trình độ là không nhiều

25

Kết luận chương 1

Trong chương này, luận văn đã làm rõ các khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, nêu được các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo, phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán và thực

trạng việc giảng dạy chuyên đề “Tìm số hạng tổng quát của 1 dãy số”

Việc bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình dạy học giải bài tập toán là rất cần thiết bởi qua đó chúng ta giúp học sinh học tập tích cực hơn và kích thích được tính sáng tạo của học sinh trong học tập và trong cuộc sống Vậy công việc của mỗi giáo viên trong quá trình dạy học là tìm ra được các phương pháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

26

Chương 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ TÌM SỐ HẠNG

TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

Trên cơ sở lí thuyết sai phân, luận văn tiến hành xây dựng hệ thống bài tập và cách giải về các bài toán tìm số hạng tổng quát của 1 dãy số Thực chất, các bài toán tổng quát sẽ nêu sau đây đều được giải quyết triệt để nhờ

lý thuyết về phương trình sai phân, tuy nhiên đối với đại đa số học sinh trung học phổ thông (trừ các lớp chuyên) thì các kiến thức đó là quá tầm Hơn nữa, như ở trên đã nói, trong phạm vi luận văn này tác giả không hy vọng tìm ra một kết quả mới về toán học mà chỉ đưa ra các hoạt động toán học nhằm phát triển tư duy cho học sinh bằng cách giúp học sinh xây dựng

các bài toán và cách giải các bài toán đó bằng các kiến thức phổ thông 2.1 Một số kiến thức cơ bản về dãy số

2.1.1 Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên *

n là đúng với mọi n thì ta làm qua các bước

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n1;

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với 1 số tự nhiên bất kì n k 1 (gọi

là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó đúng với n k 1

Lưu ý Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên n p (p là số

tự nhiên) thì

- Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đung với n p;

- Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với 1 số tự nhiên bất kì n k p

và phải chứng minh rằng nó đúng với n k 1

27

2.1.2 Dãy số

a) Định nghĩa dãy số Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương

*được gọi là dãy số  u n Kí hiệu

- Dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát

- Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

- Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

c) Dãy số tăng, dãy số giảm

- Dãy số  u n được gọi là dãy số tăng nếu ta có u n1u n với mọi n *

 Định nghĩa Dãy số  u n gọi là cấp số cộng nếu có một số thực d

sao cho với mọi số nguyên n2 thoả mãn u n u n1d Số d đƣợc gọi là

công sai của cấp số cộng; u1 gọi số hạng đầu, u n gọi là số hạng tổng quát của cấp số cộng  u n

 Định nghĩa Dãy số  u n có tính chất u n1qu n,  n * gọi là cấp

số nhân công bội q

 Định lí 3 Cho cấp số nhân  u n có công bội q Ta có 1

n n

29

2.2 Giải bài tập tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách sử dụng cấp số cộng và cấp số nhân

2.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính bậc 1

Ví dụ 2.2.1 Xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n đƣợc xác định bởi

n n

Từ cách làm này, ta có kết quả tổng quát sau

Dạng 1 Cho dãy số  u n có u1 x u0, n a u n1b,  n 2 (a,b là các

hằng số) có công thức tổng quát là

1

1 1

1

1 khi 1

1 khi 1

Hướng dẫn Ở ví dụ này chúng ta không thể sử dụng kết quả 1 được vì hệ

số tự do ở đây không phải là hằng số mà là một hàm bậc nhất biến n Tuy

nhiên chúng ta có thể bắt chước cách giải ở trên làm mất 3n2 ở vế phải,

Hướng dẫn Với bài toán này nếu ta thực hiện cách làm nhƣ trên sẽ không

dẫn đến kết quả, vì sau khi đặt ta có

Nhận xét Từ kết quả chúng ta tìm đƣợc, ta thấy đƣợc nguyên nhân mà cách

làm ban đầu không cho ta kết quả là công thức số hạng tổng quát của dãy

số là một đa thức bậc hai theo n, mà với cách đặt ban đầu thì ta thấy là

trong công thức số hạng tổng quát của dãy là một đa thức bậc nhất Từ phân tích này ta có thể giải bài toán trên theo cách khác nhƣ sau

Ta chọn a, b sao cho 1 a 0 và a b  1 0nên a  1; b  2.

Vì c bất kì nên ta chọn c0 Khi đó  v n xác định bởi v1  1 và v n v n1

32

Suy ra v n v n1     v1 1.Vậy u n  v n n2 2nn2 2n1

Từ ví dụ 2.2.4 và cách 2 của ví dụ 2.2.5 ta có dạng tổng quát như sau

Dạng 2 Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u n xác định bởi u1 x0 và

 1

u a u   f n với  n 2(a là các hằng số, f n  là đa thức bậc k theo

n) Ta làm nhƣ sau

 Nếua1, ta đặt u n  v n n g n   với g n  là đa thức bậc k theo n,

thay vào công thức truy hồi, sau đó ta chọn g n  nhƣ sau:

n g n  n g n  f n ta có đƣợc dãy  v n là 1 cấp số nhân với công bội q1 Từ đó ta tìm đƣợc công thức số hạng tổng quát của dãy

 v n , suy ra công thức số hạng tổng quát của dãy  u n

 Nếu a1, ta đặt u n  v n n h n   với h n  là đa thức bậc k theo n,

thay vào công thức truy hồi, sau đó ta chọn h n  thỏa mãn

h n a h n  f n ta có đƣợc dãy  v n là 1 cấp số nhân với công

bội qa Từ đó ta tìm đƣợc công thức số hạng tổng quát của dãy  v n , suy ra công thức số hạng tổng quát của dãy u n

Ví dụ 2.2.6 Xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n xác định bởi

Từ ví dụ trên ta tổng quát thành kết quả sau

Dạng 3 Cho dãy  u n xác định bởi u1  pvà u n a u n1b.n,  n 2 

Nhận xét Ta có thể sáng tạo một số bài tập tương tự bằng cách từ hệ thức

truy hồi có thể thay hàm đa thức, hàm mũ… bằng cách tổ hợp tổng các hàm

đa thức, hàm mũ, hàm lượng giác ẩn n… Khi đó để giải những bài tập này

ta áp dụng các cách làm và kết quả của bài tập dạng 1, dạng 2 và dạng 3 Sau đây là 1 số ví dụ minh họa

Ví dụ 2.2.7 Tìm số hạng tổng quát của dãy  u n xác định bởi

Ví dụ 2.2.8 Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy u n xác định bởi

2.2.2 Phương trình sai phân tuyến tính bậc 2

Ví dụ 2.2.9 Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy  u n xác định bởi