Ứng dụng Mũ Logarit vào giải bài toán Bài toán lãi kép

Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất r0,50 một tháng kể từ tháng thứ 2, tiền lãi được tính theo phần trăm tổng tiền có được của tháng trước đó và tiền

Câu 1 Một người gửi tiết kiệm số tiền 100.000.000 VNĐ vào ngân hàng với lãi suất 8% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn Hỏi sau 15 năm số tiền người ấy nhận về là bao nhiêu? (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng?

A.117.217.000 VNĐ B. 417.217.000 VNĐ C. 317.217.000 VNĐ D. 217.217.000 VNĐ

Hướng dẫn

Chọn C

Phân tích Sau 15 năm số tiền người ấy nhận về là

Câu 2 Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất r0,50 một tháng (kể

từ tháng thứ 2, tiền lãi được tính theo phần trăm tổng tiền có được của tháng trước đó và tiền lãi của tháng trước đó) Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu

A. 45 tháng B. 47 tháng C 44 tháng D. 46 tháng

Hướng dẫn

Chọn A

Áp dụng công thức lãi kép gửi 1 lần N  A1rn, Với 6

100.10

Theo đề bài ta tìm n bé nhất sao cho 8  6

10 1 0,5% n 125.10   5

1 0,5%

4

n

200

5 log 44, 74 4

n

Câu 3 Ông Việt dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6, 5% một năm Biết rằng, cứ sau

mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu Tính số tiền tối thiểu x (triệuđồng, x ( ông Việt gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ để mua một chiếc xe gắn máy trị giá 30 triệu đồng

Hướng dẫn

Áp dụng công thức lãi kép  1 n

n

Trong đóP n là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì

x là vốn gốc, r là lãi suất mỗi kì

Ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau n kì là P n  x x1rn  x x1rn1

  (*)

Áp dụng công thức (*) với n3,r 6,5%, số tiền lãi là 30 triệu đồng

8

10 1 0.08 317.217.000

BÀI TOÁN LÃI KÉP

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ ANH TUẤN

Ta được  3

30 1 6,5%   1 144, 27

Số tiền tối thiểu là 145 triệu đồng

Câu 4 Anh Nam vay tiền ngân hàng 1 tỷ đồng theo phương thức trả góp (chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất 0,50 / tháng Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh Nam trả 30 triệu đồng Hỏi sau bao nhiêu tháng anh Nam trả hết nợ?

A. 35 tháng B. 36 tháng C 37 tháng D. 38 tháng

Hướng dẫn

Chọn C

Gọi a là số tiền vay, r là lãi, m là số tiền hàng tháng trả

Số tiền nợ sau tháng thứ nhất là N1a1 r m

Số tiền nợ sau tháng thứ hai là    

2

2

         

      

…

Số tiền nợ sau n tháng là   1  1

1

n n

n

r

r

Sau n tháng anh Nam trả hết nợ   1  1

n n

n

r

r

  1 0,005 1

0,005 36,56

n n

t

 

Vậy 37 tháng thì anh Nam trả hết nợ

Câu 5 Một người muốn sau 10 năm phải có số tiền 500.000.000 đồng để mua xe ô tô Hỏi người đó phải

gửi vào ngân hàng một khoản tiền như nhau hàng năm là bao nhiêu nếu người đó định gửi theo thể thức lãi kép, loại kỳ hạn 1 năm và giả sử lãi suất tiết kiệm không thay đổi là 7% một năm?

A. 37.531.296 đồng B.33.821.263 đồng C. 31.274.176 đồng D. 35.624.217 đồng

Hướng dẫn

Chọn B

Gọi x (triệu đồng) là số tiền người đó phải gửi mỗi năm, khi đó

500x 1 0, 07 x 1 0, 07   x 1 0, 07

  1 1 0, 07 10

x 1 0, 07 500 x 33,821263

1 1 0, 07

 

Câu 6 Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1 triệu đồng, với lãi suất kép 1% trên tháng

Gửi được hai năm 3 tháng người đó có công việc nên đã rút toàn bộ gốc và lãi về Số tiền người đó được rút là

101 1, 01 1

101 1, 01 1

  triệu đồng

100 1, 01 1

  triệu đồng D. 100 1, 01 6 1    triệu đồng

Hướng dẫn

Chọn A

Phương pháp Quy bài toán về tính tổng cấp số nhân, rồi áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân

Dãy U ; U ; U ; ; U1 2 3 n được gọi là 1 CSN có công bội q nếu Uk Uk 1q

Tổng n số hạng đầu tiên

n

1 q

s u u u u

1 q



    



+ Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân

Cách giải + Gọi số tiền người đó gửi hàng tháng là a1 triệu

+ Đầu tháng 1 người đó có a

Cuối tháng 1 người đó có a 1 0, 01  a.1, 01

+ Đầu tháng 2 người đó có a a.1,01

Cuối tháng 2 người đó có    2

1, 01 aa.1, 01 a 1, 01 1, 01 + Đầu tháng 3 người đó có  2

a 1 1, 01 1, 01  Cuối tháng 3 người đó có  2  2 3

a 1 1,01 1,01 1,01 a 1,01 1,01    1,01

…

+ Đến cuối tháng thứ 27 người đó có  2 27

a 1,01 1,01   1,01

Ta cần tính tổng  2 27

a 1,01 1,01   1,01

Áp dụng công thức cấp số nhân trên với công bội là 1,01 ta được 27  

27

1 1,01

1 0,01

đồng

Câu 7 Một bác nông dân vừa bán một con trâu được số tiền là 20.000.000 (đồng) Do chưa cần dùng

đến số tiền nên bác nông dân mang toàn bộ số tiền đó đi gửi tiết kiệm ngân hàng loại kì hạn 6 tháng với lãi suất kép là 8,4% một năm Hỏi sau 5 năm 8 tháng bác nông dân nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết rằng bác nông dân đó không rút vốn cũng như lãi trong

tất cả các định kì trước và nếu rút trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không kì hạn 0,01% một ngày (1 tháng tính 30 ngày)

A.31803311 B. 32833110 C. 33083311 D. 30803311

Hướng dẫn

Chọn A

- Phương pháp

Áp dụng công thức tính tiền tiết kiệm thu được  n

Aa 1 r

Với a là số tiền gửi vào, r là lãi suất mỗi kì, n là kì

- Cách giải

Lãi suất 1 năm là 8,5%lãi suất 6 tháng là 4,25%

Vì bác nông dân gửi tiết kiệm kỳ hạn 6 tháng nên sau 5 năm 6 tháng có 11 lần bác được tính lãi

=> Số tiền bác nhận được sau 5 năm 6 tháng là

1 0, 0425 2031, 61307166 (triệu đồng)

Do bác rút trước kỳ hạn => 2 tháng cuối nhân lãi suất 0,01% mỗi ngày (2 tháng=60 ngày)

=> Số tiền cuối cùng bác nhận được là

31, 61307166 1 0, 0001 31,803311 (triệu đồng)

Câu 8 Ông An bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm là 1 triệu đồng một tháng Cứ sau 3 năm thì

ông An được tăng lương 40% Hỏi sau tròn 20 năm đi làm tổng tiền lương ông An nhận được là bao nhiêu (làm tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy)?

A. 726,74 triệu B. 71674 triệu C. 858,72 triệu D.768,37 triệu

Hướng dẫn

Chọn D

Mức lương 3 năm đầu 1 triệu Tổng lương 3 năm đầu 36 1

Mức lương 3 năm tiếp theo 1 1 2

5

  Tổng lương 3 năm tiếp theo

2

36 1

5

Mức lương 3 năm tiếp theo

2

2

1 1 5

  Tổng lương 3 năm tiếp theo

2

2

36 1

5

Mức lương 3 năm tiếp theo

3

2

1 1 5

  Tổng lương 3 năm tiếp theo

3

2

36 1

5

Mức lương 3 năm tiếp theo

4

2

1 1 5

  Tổng lương 3 năm tiếp theo

4

2

36 1

5

Mức lương 3 năm tiếp theo

5

2

1 1 5

  Tổng lương 3 năm tiếp theo

5

2

36 1

5

Mức lương 2 năm tiếp theo

6

2

1 1 5

  Tổng lương 2 năm tiếp theo

6

2

24 1

5

Tổng lương sau tròn 20 năm là

6

6

2

1 1 1

1 1

5

 

S

Câu 9 Cường độ một trận động đất được cho bởi công thứcMlogAlogA0,với A là biên độ rung

chấn tối đa và A0là một biên độ chuẩn (hằng số) Đầu thế kỷ20, một c có cường độ đo được 8 độ Richter Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Richer Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Nhật bản?

A.1000 lần B.10lần C. 2 lần D. 100 lần

Hướng dẫn

Gọi A A1, 2 lần lượt là biên độ rung chấn tối đa của trận động đất ở San Francisco và Nhật Bản

Phân tích Ta có

0 1 0

8 1

log A 10

M

A

A A

Tương tự 2

0

6

10

A

2

1 100

A A

Câu 10 Cục điều tra dân số thế giới cho biết Trong chiến tranh thế giới thứ hai (kéo dài 6 năm); dân

số mỗi năm giảm đi 2% so với dân số năm liền trước đó Vào thời hòa bình sau chiến tranh thế giới thứ hai thì dân số tăng 4% so với dân số năm liền trước đó Giả sử rằng, năm thứ 2 diễn ra chiến tranh dân

số thế giới là 4 tỉ người Kể từ thời điểm đó thì 10 năm sau thì dân số thế giới là bao nhiêu tỉ người? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A. 4,88 B. 4,67 C. 4,5 D. 4,35

Hướng dẫn

Phân tích 10 năm đó bao gồm 4 năm chiến tranh và 6 năm hòa bình Do đó, dân số sẽ được tính là

4.(0,98) (1,04) 4,67 tỷ người

Vậy đáp án đúng là B

Câu 11 Cường độ một trận động đất M(độ richter) được cho bởi công thức M log A log A  0, với A

là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số) Trong tháng 9/2015, một trận động đất mạnh 8,3 độ Richter xảy ra ở miền nam Chile Trong tháng 12/2016 một trận động đất cũng đã xảy

ra có biên độ nhẹ hơn 3,98 lần Cường độ của trận động đất vừa xảy ra trong tháng 12 là

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có trong tháng 9/2015 có 8,3

0

8, 3 log A log A log 10

Gọi x là cường độ của trận động đất vừa xảy ra trong tháng 12

Ta có

8,3 0

0

Câu 12 Biết tỉ lệ lạm phát hàng năm được tính theo công thức 0

1

P

T log 100%

P

 với P0 là mức giá trung

bình năm hiện tại và P1 là mức giá trung bình năm trước (Lạm phát nói chung là việc giá cả các hàng hóa

tăng lên so với mức giá tại thời điểm trước) Tại Việt Nam, tỉ lệ lạm phát các năm được cho bằng bảng sau

Năm 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Tỉ lệ lạm phát 9,19% 18,58% 9,21% 6,6% 4,09% 0,63%

Vậy so với năm 2010, giá cả một loại hàng hóa năm 2015 đã tăng lên (làm tròn đến chữ số thập phân số

ba)

A.2,461 lần B.3,041 lần

C.2,751 lần D.2,932 lần

Hướng dẫn

Chọn A

Gọi A0 là giá hàng hóa năm 2009, An là giá hàng hóa năm thứ n và Tn là tỉ lệ lạm phát năm thứ n

Năm thứ nhất (2010) 1 T 1

0

A

A

Năm thứ hai (2011) 2 T 2 T T 1 2

1

A

A



………

Tương tự đến năm thứ n, T T T T 1 2 3 n

n 0

A A 10    

Vậy so với năm 2010, giá cả một loại hàng hóa năm 2015 đã tăng lên 6 T T T 2 3 6

1

A

A

  

Câu 13 Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức

    0 2t

s t s , trong đó s 0 là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s t  là số lượng vi khuẩn A có sau t

phút Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?

A. 48 phút B. 19 phút C.7 phút D. 12 phút

Hướng dẫn

Ta có     3

3 0 2

3

3

2

s

s s t   s 0 2t  

 

2  128 7

0

t s

Câu 14 Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức .

N r

S A e (trong đó A là dân số của năm

lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm) Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 người, tính đến đầu năm 2015 dân số của tỉnh là 1.153.600 người Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên thì đầu năm 2025 dân số của tỉnh nằm trong khoảng nào?

A. 1.424.300;1.424.400 B. 1.424.000;1.424.100.

C. 1.424.200;1.424.300 D. 1.424.100;1.424.200

Hướng dẫn

Gọi S1 là dân số năm 2015, ta có S11.153.600,N 5,A1.038.229

Ta có

1

1

ln

5

S

A

Gọi S2 là dân số đầu năm 2025, ta có

1

ln 15.

2 1.038.229 1.424.227,71

S A r

Câu 15 Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S A e rt , trong đó A là số lượng vi

khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng, t là thời gian tăng trưởng Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu

là 100 con và sau 5 giờ có 300 con Hỏi số con vi khuẩn sau 10 giờ ?

Hướng dẫn

Chọn D

Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loại vi khuẩn này

Từ giả thiết ta có 5 ln 300 ln100 ln 3

300 100

r

Tức tỉ lệ tăng trưởng của loại vi khuẩn này là ln3

5

r mỗi giờ

Sau 10 giờ, từ 100 con vi khuẩn sẽ có

ln 3 10.

5

100.e 900 con

Câu 16 Chuyện kể rằng Ngày xưa, có ông vua hứa sẽ thưởng cho một vị quan món quà mà vị quan

được chọn Vị quan tâu “Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng cho một số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau Bàn cờ vua có 64 ô thì với ô thứ nhất xin nhận 1 hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô

thứ 2, … ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước” Giá trị nhỏ nhất của n để tổng số hạt thóc mà vị quan từ n ô đầu tiên (từ ô thứ nhất đến ô thứ n) lớn hơn 1 triệu là

Hướng dẫn

Chọn C Bài toán dùng tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân

1 2

2 1 1 1.2 1.2 1.2 1 2 1

2 1

n

2

2n 1 10 log 10 1 19.93

n

S     n   Vậy n nhỏ nhất thỏa yêu cầu bài là 20

Câu 17 Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu là mmHg( suy giảm mũ so với độ

cao x (đo bằng mét), tức là P giảm theo công thức xi

o

PP e Trong đó Po = 760mmHg là áp suất của mực nước biển  x  0 , i là hệ số suy giảm Biết rằng ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,71

mmHg Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3000m là bao nhiêu? (Chọn kết quả gần nhất)

A. 201,81mmHg B.530,23 mmHg C. 482,17 mmHg D. 554,38 mmHg

Hướng dẫn

Chọn B

Ta có 1000i 4

672, 71 760.e   i 1, 22.10 

Vậy áp suất không khí ở độ cao 3000m là 3000.1,22.104

P760.e  530, 23mmHg

Câu 18. Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm O có công suất truyền âm không đổi Mức cường độ

âm tại điểm M cách O một khoảng R được tính bởi công thức L M log k2

R

 (Ben) với k là hằng số Biết điểm O thuộc đoạn thẳng AB và mức cường độ âm tại A và B lần lượt là L A 3(Ben) và L B 5 (Ben) Tính mức cường độ âm tại trung điểm AB (làm tròn đến 2 chữ số sau dấu phẩy)

A. 3,59 (Ben) B. 3, 06 (Ben) C. 3, 69(Ben) D. 4 (Ben)

Hướng dẫn

Chọn C

Ta có L AL BOA OB

Gọi I là trung điểm AB Ta có

10

A

L

10

B

L

10

I

L

Ta có 1 

2

2log

2 10 10

Câu 19 Một bể nước có dung tích 1m3 nước Người ta mở vòi cho nước chảy vào bể Ban đầu bể cạn Trong giờ đầu, vận tốc nước chảy vào bể là 1 lít/phút Trong các giờ tiếp theo, vận tốc nước chảy giờ sau gấp đôi giờ trước Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu thì bể nước đầy ?

A. 5,14 giờ B.14915 giây C. 350 phút D. 3,14 giờ

Hướng dẫn

Chọn B

Gọi n là số giờ vòi nước chảy để đầy bể

Vận tốc chảy giờ đầu là 60 lit/giờ

Trong giờ đầu vòi chảy được 60 lit

Trong giờ thứ hai vòi chảy được 60.2 lit

Trong giờ thứ ba vòi chảy được 2

60.2 lit

…

Trong giờ thứ n vòi chảy được 1

60.2n lit

→ Tổng lượng nước chảy sau n giờ là

2

60.(1 2 2 2 ) 60(2 1) 60(2 1) 1000 2 log 4,142957( )

14915( )

s



Câu 20 Một sinh viên đi học được gia đình cho gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền là 100 triệu

đồng theo mức kỳ hạn một tháng với lãi suất kép là 0,35% một tháng Trong năm đầu tiên, mỗi tháng anh sinh viên rút ra 2,5 triệu đồng vào ngày ngân hàng tính lãi Từ năm thứ hai, mỗi tháng anh rút 2 triệu đồng Hỏi sau 4 năm học với số tiền 100 triệu được cấp sẽ thừa (thiếu) bao nhiêu?

A. Thừa 4 840 609 đồng B. Thiếu 4 840 609 đồng

C.Thừa 6 985 288 đồng. D.Thiếu 6 985 288 đồng

Hướng dẫn

Chọn C

Số tiền còn lại sau năm đầu tiên là

12

0,0035



Số tiền còn lại sau ba năm tiếp theo là

12.3

0,0035



Câu 21 Trong môi trường nuôi cấy ổn định, người ta nhận thấy cứ sau 5 ngày số loài vi khuẩn A tăng lên gấp đôi, còn sau đúng 10 ngày số lượng loài vi khuẩn B tăng lên gấp ba Giả sử ban đầu có 100 con vi khuẩn Avà 200 con vi khuẩn B.Hỏi sau bao nhiêu ngày nuối cấy trong môi trường đó thì số lượng hai loài bằng nhau, biết rằng tốc độ tăng trưởng của mỗi loài ở mọi thời điểm là như nhau?

3

3

2

3

Hướng dẫn

Chọn D

Giả sử sau x ngày thì số lượng hai loài vi khuẩn bằng nhau Khi đó ta có phương trình sau

Biến đổi phương trình trên ta có

1

2

10



Lại có 2 2

4 3

10

10 log 2.

2 log 3

Vậy cần 4

3

Câu 22 Biết chu kì bán hủy (hay còn gọi là bán rã) của chất phóng xạ plutôni Pu239 là 24360 năm (tức

là một lượng Pu239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa) Sự phân hủy được tính theo công thức S  A e rt, trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu,r là tỉ lệ phân hủy hằng năm  r  0 ,  t

là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t.Hỏi 10 gam Pu239 sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn lại 1 gam?

A. 82230 năm B. 82232 năm C 82238 năm D.80922 năm

Hướng dẫn

Chọn D

239

Pu có chu kì bán hủy là 24360 năm, do đó ta có

24360

r

Suy ra sự phân hủy của Pu239 được tính theo công thức

ln 5 ln10 24360



Theo giải thiết, ta có

ln 5 ln10

ln 5 ln10 24360

t

t