Hình học chọn lọc thi HSG toán lớp 12

Tính thể tích khối chóp S.AMN và tỉ số thể tích của hai khối chóp chia bởi mặt phẳng AMN, biết AMN vuông góc với SBC.. HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 3 Gợi ý * Tính thể tích khối l

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 1

HÌNH HỌC THI HỌC SINH GIỎI 12 NĂM 2015 – 2016

(CHÚ Ý HỌC SINH CẦN TỰ VẼ HÌNH VÀ GIẢI TRƯỚC VÀ TÍNH CỤ THỂ KẾT QUẢ, TRÌNH

BÀY RÕ RÀNG)

Bài 1: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có ; ' 3; 600

2

a

ABADa AA  BAD Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của các cạnh A D A B' ', ' ' Chứng minh rằng AC’ vuông góc với (BDMN) và tìm V A BDMN.

+ Để chứng minh A’C vuông góc với EF ta vẽ hình chữ nhật ACC’A’ từ đó chứng minh nhờ tính chất hình

vuông AEOA'(O là trung điểm của A C' ') quen thuộc ;

+ Có thể tính trực tiếp được thể tích

Bài 2: Cho chóp đều S ABC cạnh đáy là a ; M, N là trung điểm của đoạn SB, SC Mặt phẳng (AMN) chia khối chóp thành 2 phần Tính thể tích khối chóp S.AMN và tỉ số thể tích của hai khối chóp chia bởi mặt phẳng (AMN), biết (AMN) vuông góc với (SBC)

Bài giải

Tính thể tích khối chóp S.AMN

+ Trước hết gọi H là trọng tâm tam giác ABC thì H là trực tâm, tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC do tam giác ABC là đều cạnh a, mặt khác do S.ABC là

hình chóp đều nên SH(ABC) (1)

+ Để tính được thể tích khối chóp S.AMN ta chứng minh SI (AMN) và tính diện tích tam giác AMN

* Trước hết ta chứng minh SI (AMN), thực vậy:

+ Gọi E là trung điểm của BC, I SEMN vì MN là đường trung bình của tam giác SBC nên I là trung điểm của MN và SE

+ Vì E là trung điểm của BC và tam giác SBC có SB = SC (theo gt)

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 2

* Tính diện tích tam giác AMN

+ Vì I là trung điểm của SE, SI vuông góc với AI nên tam giác SAE là tam giác cân tại A hay

32

V  SH S , sau đó tìm được V khối đa

diện còn lại là V A MNCB. V S ABC. V S AMN. lập tỉ số nữa là OK

Chú ý:

+ Ở bài toán này để tính toán một lần nữa ta phải phát hiện các tính chất cơ bản sau đó chứng minh và tính toán các đối tượng

- Từ bài toán trên có thể tính được côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMN )

và (ABC) như sau:

+ Chiếu tam giác AMN lên mặt phẳng (ABC) được tam giác AM’N’ vì M N ,

lần lượt là trung điểm của các đoạn SB SC, nên M N', ' lần lượt là trung

điểm của các đoạn HB HC, từ đó suy ra M N' ' ||BC (3)

+ Gọi I' M N' ' AE khi đó I' là trung điểm của đoạn MN và giao

tuyến của hai mặt phẳng (AMN) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng

qua A song song với MN M N, ' ' nên (AII') suy ra góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMN) và (ABC) là

'

IAI

I' M' N' H A

E

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 3

Gợi ý

* Tính thể tích khối lăng trụ

- Trước hết ta thấy AH là hình chiếu của đường thẳng A A' lên

mặt phẳng đáy (ABC) nên góc giữa đường thẳng A A' và mặt

phẳng (ABC là góc ) 0

60'

* Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng A B' và B C' (Phương pháp bao hình lăng trụ tam giác bằng

hình hộp, « Phương pháp hình hộp ngoại tiếp lăng trụ tam giác »)

+ Ta dựng hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' như hình vẽ Theo tính chất hình hộp ta được ( 'A BD) || ( 'B CD')(học sinh cần chứng minh điều này)

( ' , ' ) (( ' ), ( ' ')) ( , ( ' )) ( , ( ' ))

d A B B C d A BD B CD d C A BD d A A BD

của AC với (A’BD))

+ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC khi đó 2 3

AG AM  AH  AG, từ đó ta có :

609( , ( ' )) 4 ( , ( ' ))

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 4

- Có thể tính diện tích tam giác A’BD và thể tích khối chóp S ABD sau đó tính được khoảng cách từ điểm A

đến mặt phẳng ( 'A BD) (Để tính diện tích tam giác A BD' bằng cách : biết BD; A’B chú ý tam giác DAH vuông tại A nên tính được đoạn DH và suy ra A’D từ đó tìm được diện tích tam giác A’BD) ;

- Có nhiều cách làm khác để có thể tính được thể khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau liên quan đến lăng trụ tam giác;

- Phương pháp hình hộp ngoại tiếp là một trong những phương pháp « dễ » để tìm được khoảng cách ;

- Có nhiều cách « ngoại tiếp hình hộp » cho lăng trụ trên tuy nhiên ta cần « khéo léo » thì kết quả nhanh hơn

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân AB = a; 0

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C trên AB vì BAC1200  H

thuộc tia đối của tia AB và sin 600 3

+ Theo cách dựng và giả thiết suy ra CH(SAB) (1)

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên AB suy ra HK SB SB (CKH)

(do tam giác CHK vuông tại H vì CH

vuông góc với (SAB))

+ Từ tam giác CHK vuông tại H suy ra HKCH/ tan 600 a/ 2

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 5

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Gọi M là trung điểm của đoạn SD, (ABM) vuông góc với (SCD) và đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ điểm M đến (SBC)

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, BC = a Cạnh bên SA vuông góc với mặt

đáy, đường thẳng SC tạo với các mặt phẳng (SAB), (ABCD) các góc bằng nhau và bằng 0

30 , gọi M là trung điểm của cạnh CD Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC, BM Gợi ý

* Tính thể tích:

+ Học sinh cần trình bày đầy đủ cách dựng góc giữa SC với hai

mặt phẳng (SAB) và (ABCD) (từng bước 1)

+ Từ việc dựng góc tính được các đoạn SB, SC, AC, AB theo BC

= a và các góc dựng được bằng (hệ thức lượng trong các tam giác

+ Gọi K là hình chiếu vuông góc với của A trên CE (từ đó dựng được khoảng cách, học sinh cần lập luận đầy đủ được khoảng cách d(A, (SCE)) là đoạn AH

+ Để tính khoảng cách AH ta cần tính AK bằng cách vận dụng AK.CE=AE.CB = (2 diện tích tam giác ACE) Từ đó tìm được khoảng cách thui

(Bài tập vẫn khá cơ bản)

Bài 7: (Tự nghĩ) Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' đứng có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = a, BC = 2a;

góc giữa hai mặt phẳng (BA C' ) và ( ' ' )B A C bằng  với sin 7

3

 Tính thể tích khối lăng trụ ' ' '

ABC A B C và khoảng cách giữa hai đường thẳng A B' và B C'

Bài giải

Bài giải

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 6

+ Ta dễ dàng tính được diện tích đáy của lăng trụ là diện tích tam giác ABC vuông tại B

+ Để dựng được góc giữa hai mặt phẳng ( ' ' )A B C và (BA C' ), ta dựng các đường cao, BH, BK của hai tam giác BB C H' ( B C BA C K' ); ' ( A C' ) với chú ý từ giả thiết ta chứng minh được BB C BA C' ; ' là các tam giác vuông tại B

+ Từ cách dựng trên và chứng minh ở trên ta có:

+ Học sinh nêu cách dựng góc giữa hai mặt phẳng trên, chú ý do tam giác BHK vuông tại H nên

( ' ' ), (B A C BA C' )HK BK, BKH  Bây giờ ta tính chiều cao của hình lăng trụ, đặt

* Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ( ' , ' )d A B B C (Ta dùng phương pháp « hình hộp ngoại tiếp như

hình vẽ)

+ Học sinh chứng minh d A B B C( ' , ' )d B CD(( ' '), (BA D' ))d C A BD( , ( ' ))d A A BD( , ( ' ))

(học sinh phải chứng minh được hai mặt phẳng trên song song với nhau)

+ Việc dựng khoảng cách từ A đến (A’BD) là khá đơn giản và tính khoảng cách khá dễ do đó học sinh tự tính

Bài 8: (HSG Bắc Giang 2014 – 2015) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều

tâm O Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) trùng

với O Biết khoảng cách từ O đến đường thẳng CC’ bằng a, góc

giữa hai mặt phẳng (ACC’A’) và (BCC’B’) bằng 0

60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai

đường thẳng CC’ và AB’

Bài giải

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên CC’ thì OH = a

+ Gọi M, D lần lượt là trung điểm của AB và A’B’ Trong

C C'

K O H N

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 7

+ Từ (1) và (2) suy ra CC' (ABN) (ACC A' ');(BCC B' ') AN BN ;

+ Nếu ANB 600 thì do tam giác NAB cân tại N nên tam giác ABN đều Suy ra AN AB AC (vô lí

vì tam giác NAC vuông tại N) Suy ra ANB 1200

* Do CC’ // (ABB’A’) nên d(CC’; AB’) = d(CC’ ; (ABB’A’)) = d(C; (ABB’A’))

Vì AB  (CMC’) nên (ABB’A’)  (C’CM) ; mà (ABB A' ') ( 'C CM) MD

Dựng CK  MD thì suy ra CK  (ABB’A’) nên d(C; (ABB’A’)) = CK

Thiết diện là hình thang vuông MNCB, vuông tại B và M

Tính diện tích thiết diện:

D

C B

A S

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 8

1 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ’ ’ ’, có đáy ABC là tam giác vuông với AB  BC  2 và A’

cách đều các đỉnh A B C , , . Gọi L K , lần lượt là trung điểm của BC AC , Trên các đoạn A B A A ’ , ’ lần lượt lấy M N , sao cho MA ’ 2  BM AA , ’ 3 ’  A N Tính thể tích khối tứ diện MNKL , biết

+) Do A A' A B'  A C' và K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

nên A K' ABC( 'A AC)ABC

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 9

2) Qua các đỉnh của tam giác ABC, vẽ các đường thẳng song song

với cạnh đối diện, chúng đôi một cắt nhau tạo thành tam giác MNP

0

ABC120 , cạnh bên SA vuông góc với đáy Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I thuộc cạnh SB sao cho

SI = 2IB Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 45 0 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và

khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và IG theo a

Bài giải

Ta có

2 0 ABCD

Suy ra SHA là góc giữa (SCB) và (ABCD) SHA450  SAH vuông

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 10

Bài giải

Bài 13: (HSG Vĩnh Phúc 2017)

Cho tứ diện ABCD có BAC CADDAB600, AB8(cm , AC) 9(cm ,)

10( )

AD cm Gọi A ,B ,C ,D1 1 1 1 lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD ACD ABD ABC, , ,

a) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD

b) Tính thể tích khối tứ diện A B C D 1 1 1 1

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tạiB AB, 8, BC6 Biết SA6 và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tìm bán kính mặt cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp

và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S ABC

Bài 14: (HSG Hải Dương 2017)

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng a Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên

mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của OC Góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 2, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) bằng  Tìm giá trị của cos để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ nhất

3 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a Lấy điểm M thuộc đoạn AD’, điểm N thuộc đoạn

D

C S

H

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 11

    

2 SABCD

V min sin cos max

1sin 2cos cos

Bài 15: (HSG Thanh Hóa 2015)

Cho tứ diện SABC có SAa SB, b SC, c và SASB SA, SC SB, SC Gọi R, V theo thứ tự là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và thể tích của tứ diện SABC Tính diện tích tam giác ABC theo a b c, , và chứng minh rằng:

9722

a b c

R (4)Từ (4) và (1) suy ra

9722

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 12

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 16: (HSG Nam Định 2015 – 2016)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; ABBC4a Tam giác SAB đều

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H là trung điểm của AB, biết khoảng cách

từ C đến mặt phẳng (SHD) bằng a 10 Tính

thể tích khối chóp S.HBCD và cosin của góc

giữa hai đường thẳng SC và HD

b) Tính cosin của góc giữa hai đường thắng SC và HD

Tam giác SHC vuông tại H nên SCa 32

D K

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 13

+) cos(SC HD, )cos(CN SC, ) cosSCN

SAC Tính thể tích khối tứ diện theo a

2 Chứng minh rằng nếu một tứ diện có độ dài một cạnh lớn hơn 1, độ dài các cạnh còn lại đều không lớn hơn 1 thì thể tích của khối tứ diện đó không lớn

Gọi M là trung điểm SA, do hai tam giác SAB

cân tại B và SAC cân tại C nên

Hai tam giác SAB và SAC bằng nhau (c.c.c)

nên MB = MC suy ra tam giác MBC cân tại M,

và H là hình chiếu của A lên mp( BCD) Khi đó

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 14

V

8

 (đpcm) (Dấu bằng xảy ra khi hai tam giác ACD và BCD là hai tam giác đều có cạnh bằng 1 và H,K trùng với M Khi đó AB  3 / 2  1)

Bài 18:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, biết AB = BC = a 3, khoảng

cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 và SABSCB900 Tính theo athể tích khối

chóp S.ABCvà khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC

Trong tam giác vuông OIB ta có: sin 450 6 1 3

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại

C, với BC = a, BB' = 2a, AB' = 3a Gọi M là trung điểm A'B',

I là giao điểm của BM và AB' Tính thể tích tứ diện IABC và

khoảng cách từ B đến mặt phẳng (IAC).

Bài giải

+ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của I lên AB A B , ' '

Do (ABC)(ABB A' ') nên

C

S

I K

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 15

1/ Chứng minh thể tích của khối chóp A’.BCC’B’ bằng 2 lần thể tích của khối chóp B.ACA’

2/ Khi B thay đổi, xác định vị trí của H trên A’C sao cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích lớn nhất 3/ Trong trường hợp thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là lớn nhất, tìm khoảng cách giữa AB và A’C Bài giải

B ACA

V S BH hay '

2

- Trong mp(AHB) kẻ HJ AB, suy ra HJ là đường vuông góc chung của AB và A’C

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 16 E

A'

C' B'

C

B

G A

a

HA  ; 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M là trung điểm của SD, mặt phẳng (ABM) vuông góc với mặt phẳng (SCD) và đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC)

Bài giải

Gọi H, N, L, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SC, HD

Gọi I ANBD K, LMSN; Dễ thấy tứ giácAHND là hình

chữ nhật và

3

AN

IN 

Từ giả thiết ta có SH ABCD, ME/ /SHMEBD 1

Lại do AM BD 2 Từ    1 & 2 BDAMNBDAN

Trong tam giác AND ta có

1 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm

A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách giữa hai

đường thẳng AA' và BC bằng a 3

4 Tính theo a thể

tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'

2 Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác

BCD Mặt phẳng    đi qua trung điểm I của đoạn

thẳng AG và cắt các cạnh AB, AC, AD tại các điểm

I

K L

E

N H

A

D S

M

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 17

(khác A ) Gọi h , h , h , hA B C D lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến mặt

S

4

 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Do đó BC DE, AA' DE  

Suy ra DE là khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC

Tam giác ADE vuông tại D suy ra sin DAE DE 1 DAE 300

Vì VAB'C'D'  VAIB'C'  VAIC'D'  VAID'B' và (*) nên

AB'C' D' AIB'C' AIC' D' AID' B'

B

C D C'

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 18

 

 Bài 23: (HSG Huế 2015)

Bài giải

Bài 24: (HSG Huế 2014)

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 19

Bài giải

Bài 25: (HSG Huế 2013)

Bài giải

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 20 Bài 26: (HSG Huế 2016)

HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 21

Bài 27:

Bài 1: (HSG Thái Bình 2013 – 2014)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết AB = a, SA = 2a; và

060

SADSABBAD

1) Chứng minh BD vuông góc với (SAC);

2) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Bài 2: (HSG Ninh Bình 2013) Cho khối tứ diện ABCD có AB > 1 Các cạnh còn lại có độ dài không lớn

hơn 1 Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD Tìm giá trị lớn nhất của V

Gợi ý

Theo bài các tam giác ACD và BCD có các cạnh đều không lớn hơn 1 Đặt CD = a (

0 a 1 ) Các đường cao AF, BE của các tam giác đó tương ứng không lớn hơn

214

a

