o h m Vi ph n Nguy n h m Th y C ng To n

Để tính đạo hàm của hàm số y FX tại điểm x A thì ta giải nhanh bằng cách sử dụng MTCT như sau: Bấm qy để tính.. Để tính vi phân ngược tức là cho vi phân dy f ' x dx rồi yêu cầu tìm hà

Trang 1

Nguyễn Mạnh Cường – GV chuyên luyện thi THPTQG và thi vào lớp 10 – 0967.453.602

A KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý

I ĐẠO HÀM

1 Quy tắc

2

' '

2 ' ' ' 4 ' '

u u v u v

2 Công thức

' '

u u n u

2

n

n n

1

2

n

n n

cos

2

'

cos

u

sin

2

'

sin

u

.ln

a

10 a x ' a x.lna e x ' e x a u ' u a' u.lna e u ' u e' u

3 Phương pháp giải nhanh

3.1 Để tìm đạo hàm của một hàm số y f x( ) bất kỳ thì ta sẽ làm như sau:

Bước 1 Xác định quy tắc

Bước 2 Đặt u ?; v ?; .

Bước 3 Xác định công thức đạo hàm sau khi đặt, từ đó suy ra u' ?; 'v ?;

3.2 Để tính đạo hàm của hàm số y F(X) tại điểm x A thì ta giải nhanh bằng cách sử dụng MTCT như sau:

Bấm qy để tính

Tại ô trống thứ nhất ta nhập hàm số F(X), tại ô trống thứ 2

ta nhập giá trị x là A

Rồi ấn =để thu kết quả

II VI PHÂN

1 Định nghĩa

Hàm số y f x( ) xác định và có đạo hàm trên khoảng a b; Giả sử x là số gia của x thì tích f '( ).x x là vi phân của hàm số y f x( ) tại x, ứng với số gia x. Kí hiệu là dy df x( ) f '( ).x x

Áp dụng định nghĩa vào hàm số y x ta có dy d x( ) x ' x x , do đó đối với hàm số y f x( ) ta có:

( ) '( )

dy df x f x dx

Ta hiểu vi phân một cách dễ nhất đó là đi tìm đạo hàm nhưng thay vì ghi rằng y' f '( )x thì ta lại ghi là dy f '( )x dx

2 Phương pháp giải nhanh

2.1 Để tính vi phân thuận (tức là cho hàm số y f x( ) rồi yêu cầu tìm vi phân dy f '( )x dx ) thì ta giải nhanh như sau:

Ta cũng làm hoàn toàn tương tự như các bước tìm đạo hàm (I.3.1), từ đó tìm được f '( )x rồi lắp vào công thức

'( )

dy f x dx để được một vi phân hoàn chỉnh

LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG – 0967.453.602 – Facebook.com/cuong.mathteacher

Địa chỉ: Ngã tư Cổ Tiết – Tam Nông – Phú Thọ hoặc 53/17/Thịnh Quang – Đống Đa – HN

BÀI 1 ĐẠO HÀM – VI PHÂN – NGUYÊN HÀM

Trang 2

2 Chương 3 Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng

2.2 Để tính vi phân ngược (tức là cho vi phân dy f '( )x dx rồi yêu cầu tìm hàm số y f x( )) thì ta giải nhanh như sau:

Xác định quy tắc và công thức đạo hàm đã được sử dụng, từ đó suy ra được hàm số đã cho ban đầu

Ví dụ: Cho vi phân của hàm số y f x( ) là 3

dy x x x dx Hãy tìm hàm số y f x( ) đã cho

Ta thấy 3

f x x x x sử dụng quy tắc u v w ' u' v' w' từ đó ta xác định được cách đặt và công thức

đạo hàm đã sử dụng là

3

'

2

n

x

n

Do đó:

4

cos

Lý do tại sao phải cộng thêm C vì khi các bạn đạo hàm

3 4

III NGUYÊN HÀM

1 Định nghĩa

Cho hàm số y f x( ) xác định trên D Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên D nếu F x'( ) f x( )

với mọi x D.

Định lý 1 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên D thì với mọi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C

cũng là một nguyên hàm của f(x) trên D

Định lý 2 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên D thì mọi nguyên hàm của f(x) trên D đều có dạng

F(x) + C, với C là một hằng số: f x( ) F x( ) C.

2 Tính chất

1 '( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( )

kf x dx k f x dx k const k

3 Điều kiện tồn tại nguyên hàm

Định lý 3 Mọi hàm số f(x) liên tục trên D đều có nguyên hàm trên D

4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

2

1 1

n

1 1

1

n

3

ln

x

ln

x

.ln

tan

Trang 3

.cot

Một số kết quả khác (cần được chứng minh khi sử dụng) a const a, 0

2

ln 2

2

1

ln

2

1

tan

t

Một số vi phân quan trọng cần chú ý

2

2 ' 4

u vdu udv

Từ đó ta suy ra:

3 dx d lnx 1d alnx b 1d b alnx

cos

dx

4 e dx x d e x 1d ae x b 1d b ae x

sin

dx

2

dx

x

10

Một số công thức lũy thừa quan trọng cần chú ý

m n m n

1

m

m n

n

a

1

n n a

a

n

b b

5 Phương pháp tính nguyên hàm

5.1 Phương pháp đổi biến số

Định lý 4 Nếu f u du( ) F u( ) C và u u x( ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì f u x u x dx( ) '( ) F u x( ) C. Cho nguyên hàm f x dx( ) , nếu hàm f x( ) là một trong các dạng sau thì sẽ có cách làm như sau:

1

x

f x ax b u ax b du adx

du

x

5.2 Phương pháp từng phần

Trang 4

Định lý 5 Nếu hàm số u u x v( ), v x( ) có đạo hàm hàm liên tục trên D thì u x v x dx( ) '( ) u x v x( ) ( ) u x v x dx'( ) ( )

Một số dạng thường gặp:

'( )

sin

ax b ax b

ax b

du f x dx

a

du f x dx

a

'( )

cos

ln

( )

b f x dx a

du f x dx

a dx du

a ax b

dv f x dx

v F x F x f x

( )

F x l ax b

a ax b dx

4 dạng cơ bản trên đều được tuân theo một quy tắc đặt như sau: dv = Mũ – Lượng – Đại – Lô = u

Có nghĩa là nếu nguyên hàm có chứa hai hàm khác nhau ví dụ: I e xsinxdx thì ta đặt x

dv e dx còn u sinx thoe chiều ưu tiên của quy tắc trên Và hàm f(x) trên có thể được thay bằng hàm khác hàm đã có

Sau đây là chuỗi bài tập trắc nghiệm:

Câu 1 Cho các khẳng định sau:

(I) x

e và x

e là hai nguyên hàm của nhau;

(II) sin x2 là một nguyên hàm của sin2x;

(III) 1 4 e x

x là một nguyên hàm của

2 2

x

Số khẳng định đúng là:

Câu 2 Nguyên hàm của hàm số

3

1

f x

x là:

A

5x 7x 2x C B

3x 6x 3x C C

Câu 3 Nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1

x x

f x

e là:

A.2 ln 2 2

ln 2 2

x

ln 2 1

x x

1 ln 2

x x

x

ln 2 1

x x

Câu 4 Nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 2

sin cos

f x

x x là:

Câu 5 Nguyên hàm của hàm số f x( ) sin 5 cos 3x x là:

16

C C cos 8 16 cos 2

16

C

Câu 6 Nguyên hàm của hàm số 2

( ) tan

tan x x C

Câu 7 Nguyên hàm của hàm số 3 2

f x e là:

A 1 3 2

2

x

2

x

2

x

2

x

Câu 8 Nguyên hàm của hàm số ( ) 1

f x

A.1ln 1

x

C

x

Câu 9 Khẳng định đúng là:

Trang 5

10

Câu 10 Cho các khẳng định sau:

(I) Nguyên hàm của một tổng bằng tổng các nguyên hàm;

(II) Nếu hàm số f(x) liên tục trên D thì hàm số f(x) có nguyên hàm trên D;

(III) Tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó;

(IV) Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên D nếu F’(x) = f(x)

Khẳng định đúng là:

A

5

C

5

B

5

D

5

4

3

4

dx

C

dx

C

dx

C

dx

C

x

C x2 2x 1 e dx x e x x2 1 C

D x2 2x 1 e dx x e x x2 1 C

A 1 x cosxdx 1 x sinx cosx C

C 1 x cosxdx 1 x sinx cosx C

B 1 x cosxdx 1 x sinx cosx C

D 1 x cosxdx x 1 sinx cosx C

Câu 18 Khẳng định sai là:

A f '( )x dx f x( ) C

C kf x dx( ) k f x( ) C k 0

B f x( ) g x dx( ) f x dx( ) g x dx( )

D f x g x dx( ) ( ) f x dx( ) g x dx( )

Câu 19 Tìm hàm số f(x) biết '( ) 2 2 1 2

f x

Trang 6

Câu 20 Tìm hàm số f(x) biết '( ) cos 2

2 sin

x

f x

x

2 cos

x

C x

2 sin

x C

2 cosx C

Câu 21 Tìm hàm số f(x) biết f '( )x x 1

x

A.1 12 C

2 ln 2

x

2 ln 2

x

2 ln 2

x

x C

Câu 22 Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số

2 2

2 ( )

1

f x

x

A

2

1 ( )

1

F x

2 1 ( )

1

F x

2 1 ( )

1

x

F x

2

( )

1

F x

Câu 23 Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1

1 sin

f x

x

A ( ) 1 cot

x

2

x

1 tan 2

F x

x

Câu 24 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số

2

1 ( )

sin

f x

x biết

2

Câu 25 Tìm hàm số F(x) biết 2

F x x x và đồ thị y F x( ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e

A.F X( ) x2 x e B.F x( ) cos 2x e 1 C. 3 2

F x x x x D.F x( ) x3 x2 x e

Câu 26 Biết f u du( ) F u( ) C Tìm khẳng định đúng

A f 2x 3 dx 2 ( )F x 3 C

2

B f 2x 3 dx F(2x 3) C

D f 2x 3 dx 2 (2F x 3) C

Câu 27 Cho hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện f '(X) 2 cos 2x và 2

2

f Khẳng định sai là:

2

x

2

Câu 28 Tìm nguyên hàm F(x) của ( ) 2 1

x x

f x

e biết F(0) 1

A ( ) 2 ln 2 1

ln 2 1

x

F x

ln 2 1

x

e

F x

ln 2 1

x x

F x

x

F x

e

Câu 29 Hàm số F x( ) ln 2 sinx 3cosx là nguyên hàm của hàm số

f x

2 cos 3sin

f x

x x

Câu 30 Tìm nguyên hàm của f x( ) 2x 1

Câu 31 Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của f x( ) sin 3x

Câu 32 Tìm hàm số F(x) biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số 12

cos

y

x và F(0) = 1

A F x( ) tanx B.F x( ) tanx 1 C.F x( ) tanx 1 D.F x( ) tanx 1

Trang 7

f x x Tìm m để nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(0) = 1 và

3

4

3

Câu 34 Nguyên hàm của hàm số f x( ) cos cos 3x x

3

x

C

Câu 35 Nguyên hàm

2

dx

A.1ln 1

x

C

x

2

x

C

1

x

C

Câu 36 Tính nguyên hàm 2

2 3 7x x x dx

A 84

ln 84

x

2

2 3 7

ln 4 ln 3 ln 7

x x x

Câu 37 Khẳng định sai là:

A

2 3

2

x

2

1

C

Câu 38 Nguyên hàm F(x) của hàm số 3 2

( )4 3 2

f x x x trên R thỏa mãn F(-1) = 3 là:

A.x4x32x3 B.x4x32x C 4 3

x x x D x4x32x3

Câu 39 Hàm số y = f(x) thỏa mãn f '( )x 2x 12 3

x và f(1) = 3 là:

A.2  1

x D.x2  1 3x2

Câu 40 Hàm số y f x( ) thỏa mãn f '( )x ax b2, ( 1)f  2, (1)f 6,f '(1)0

A.x2  2 3

x B.2x2 12 3

x C.x2  1 3

x D.2x2  1 3

x

Câu 41 Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) và G(x) là nguyên hàm của g(x) thì khẳng định nào sau đây là sai:

A  f x( ) g x( )dxF x( ) G x( ) C

C  f x g x( ) ( )F x G x( ) ( ) C

B kf x dx( ) kF x( ) C,  k 0

D  f x dx( ) ' f x( )

Câu 42 Nếu  f x dx( )  20082007 lnxC

A.2007x2 2008

x B.2007x2 2008

x C.2008 x2007 lnx D.2007 20082

ln 

x x

 x

f x dx e x C thì f(x) bằng:

Câu 44 Nguyên hàm của hàm số 2008 2009

( ) x

A 2008x2009

2008 2009 x 

B 1 2008 2009 2008

x

D 1 2008 2009 2009

x

A lnx dxln2xC

2

x C lnx dxlnxC

ln

ln  ln 

x x

Câu 47 Nguyên hàm của hàm số f x( )x.cosx là:

Trang 8

A

2

sin

2 sin 2

x xC C.xsinx cosxC D.xsinx cosxC

Câu 48 Nguyên hàm của hàm số ( ) x

f x x e là:

A. 1 x

x e C B 1   x 

x e C C.  1 x 

x e C D  1 x 

2 4

1 ( )

sin cot



f x

x x là:

A 44 tan3

3

 xC B 44 co t3

3

Câu 50 Nguyên hàm của hàm số ( )

2008





x x

e

f x

A 1

2008 C B.ln x 2008

2008 



x x

e

C

Câu 51 Tính sin

cos

x

A.I 2 cosxC B I  2 cosxC C 1

2 cos

x

Câu 52 Nguyên hàm của hàm số f x( )  cos x

x

là:

A.2 sin xC B 2 sin xC C 2 sin

3

2

1 ( )

2008





f x

x

là:

A.x22008C B 2

2008

1



x

2008

4 x  C

Câu 54 Tính nguyên hàm 2

3



2

3

2 3 4



x

2 3 3



x

C

Câu 55 Nguyên hàm của hàm số ( ) cos 2

1 cos





x

f x

x là:

sin

sin  C

x

Câu 56 Nguyên hàm của hàm số ( ) 2 2

 x x

f x

e là:

A.2 2 5

4





x

C

4





x

x C

4



x

x C

4



x

x C e

( )2 cos

f x x x là:

A sin 2 cos 2

B

sin 2 cos 2

C

sin 2 cos 2

SƯU TẦM VÀ BIÊN SOẠN BỞI THẦY CƯỜNG TOÁN – 0967.453.602

Địa chỉ học tại:

CS1: Ngã tư Cổ Tiết – Tam Nông – Phú Thọ

CS2: 53/17/Thịnh Quang – Đống Đa – Hà Nội (Ngã tư sở)

Face: https://www.facebook.com/cuong.mathteacher - Email: cuong.mathteacher@gmail.com

Tài liệu được biên soạn từ nhiều nguồn trên mạng nên không tránh khỏi sự sơ suất, mong các tác giả bỏ qua

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	1,2 MB