Luận văn Thạc sĩ - Chưa phân loại | Hanoi University of Science, VNU

Tóm tắt các kết quả của luận văn: Cực trị hàm lồi trên tập lồi là một lớp bài toán cơ bản của tối ưu hóa.. Cực tiểu hàm lồi trên tập lồi gọi là Quy hoạch lồi có tính chất cơ bản là mọi đ

THÔNG TIN VỀ LUẬN VĂN THẠC SĨ

1 Họ và tên học viên: Nguyễn Đình Thọ 2 Giới tính: Nam

3 Ngày sinh: 04/11/1983 4 Nơi sinh: Ân Thi - Hưng Yên

5 Quyết định công nhận học viên số: , ngày tháng năm

6 Các thay đổi trong quá trình đào tạo: Không

7 Tên đề tài luận văn:

“Về cực trị hàm lồi”

8 Chuyên ngành: Toán giải tích 9 Mã số: 60 46 01 02

10 Cán bộ hướng dẫn khoa học: GS TSKH Lê Dũng Mưu - Viện Toán học, Viện

Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

11 Tóm tắt các kết quả của luận văn:

Cực trị hàm lồi trên tập lồi là một lớp bài toán cơ bản của tối ưu hóa Cực tiểu hàm lồi trên tập lồi gọi là Quy hoạch lồi có tính chất cơ bản là mọi điểm cực tiểu địa phương đều là cực tiểu tuyệt đối Tính chất quan trọng này cho phép các lý thuyết có tính địa phương như giới hạn, vi phân, có thể áp dụng trực tiếp vào quy hoạch lồi Lý thuyết về bài toán quy hoạch lồi đã được nghiên cứu nhiều và đã thu được nhiều kết quả quan trọng dựa trên lý thuyết của giải tích lồi và tối ưu hóa Cực đại hàm lồi trên tập lồi có tính chất khác hẳn cực tiểu hàm lồi trên tập lồi, cụ thể ta thấy rằng cực đại địa phương của một hàm lồi không nhất thiết là cực đại tuyệt đối

Mục đích của luận văn này là để trình bày bài toán cực đại, cực tiểu hàm lồi trên tập lồi và một số phương pháp giải cơ bản các bài toán này Luận văn gồm có

ba chương:

Chương 1 Các kiến thức cơ bản về giải tích lồi

Trình bày một số khái niệm, định nghĩa và kết quả cần thiết liên quan đến tập lồi và hàm lồi

Chương 2 Cực tiểu hàm lồi trên tập lồi

Trình bày bài toán cực tiểu hàm lồi trên tập lồi:

 

Định nghĩa 2.1 Điểm x*D mà

 *  

,

được gọi là nghiệm tối ưu, hoặc nghiệm tối ưu toàn cục, hoặc nghiệm cực tiểu toàn cục, hoặc đơn giản là nghiệm của bài toán  P

Chú ý 2.1 (i) Nếu D  n thì ta nói  P là bài toán tối ưu không ràng buộc

Ngược lại, nếu D n thì ta nói  P là bài toán tối ưu có ràng buộc

(ii) Nghiệm tối ưu toàn cục cũng là nghiệm tối ưu địa phương nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng Tuy nhiên, nếu D là tập lồi và f x  là hàm lồi thì nghiệm tối ưu địa phương của bài toán  P cũng là nghiệm tối ưu toàn cục

Trình bày sự tồn tại nghiệm tối ưu và điều kiện tối ưu của bài toán Đối ngẫu Lagrange

Trình bày hai phương pháp cơ bản giải bài toán quy hoạch lồi đó là phương pháp chiếu dưới đạo hàm và thuật toán Frank-Wolfe:

2.5.1 Phương pháp chiếu dưới đạo hàm

Chúng ta xét bài toán

 

trong đó :n 

f là hàm lồi và D n là tập lồi đóng

Thuật toán Chọn điểm x0D , và  β k là dãy các số dương thỏa mãn

2

 

Tại mỗi Bước lặp k k 0,1,  ta có x k D

Lấy g k  f x k và tính

 

1

:



trong đó k : k

k

β α

γ với γ k : max 1,  g k  a) Nếu x k 1x thì k x là nghiệm của bài toán k  P

b) Ngược lại, thay x bằng k x k 1 và tiếp tục Bước lặp k với : k k 1

2.5.2 Thuật toán Frank-Wolfe

Xét bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính

 

min f x xD , trong đó f là hàm lồi khả vi trên  n và D n là tập lồi đa diện xác định bởi

với A là ma trận cấp m n và vectơ  b m

Thuật toán Tìm x0D Tại mỗi Bước lặp k k 0,1, 2,  ta có x k

Bước 1 Tính f x k Nếu f x k 0 thì dừng thuật toán và x là nghiệm tối ưu k

Trái lại, sử dụng phương pháp đơn hình để giải bài toán quy hoạch tuyến tính

 

thu được nghiệm tối ưu u Ta xét hai trường hợp k

(i) Nếu

f x k u k x k  , thì kết thúc: x là nghiệm tối ưu k

(ii) Nếu

 k k k

lấy d k:u k x là một hướng giảm Tìm độ dài bước lặp k t theo công thức k

k

Bước 2 Tính x k1:x k t d Thay : k k k k  và quay lại Bước lặp k 1

Chương 3 Cực đại hàm lồi trên tập lồi

Trình bày bài toán cực đại hàm lồi trên tập lồi và một số tính chất cơ bản Ta thấy rằng cực đại địa phương của một hàm lồi không nhất thiết là cực đại tuyệt đối

Trình bày hai phương pháp cơ bản giải bài toán cực đại hàm lồi trên tập lồi

đó là phương pháp xấp xỉ ngoài và thuật toán nhánh cận:

3.3.1 Phương pháp xấp xỉ ngoài

Xét bài toán sau

 

trong đó :n 

f là hàm lồi, xác định trên n (do đó liên tục), và D là tập lồi

đóng của n Thông thường, tập D được cho như là tập nghiệm của một hệ bất đẳng thức có dạng

 

: n 0, 1, ,

i

với :n , 1, ,

i

g i m là các hàm lồi, xác định trên  n

Thuật toán 1 ( D bị chặn)

Bắt đầu từ đa diện S1 D Đặt k  1

a) Giải quyết bài toán nới lỏng sau

 

(Ví dụ lấy giá trị lớn nhất của f trên tập đỉnh của S ) k

Cho x là một nghiệm tối ưu của k Q k

Nếu x kD (hay nếu f x k  f y với y  D), kết thúc: x (hay y ) là nghiệm k

của  P Nếu không, đi đến b)

b) Xây dựng siêu phẳng H tách chặt k x từ D , tức là nếu k h k x 0 là phương trình của nó thì

 k 0,  0,  

Tạo đa diện mới

 

Thay :k k và quay trở về a) 1

3.3.2 Phân hoạch không gian và thuật toán nhánh cận

3 Thuật toán nhánh cận

Ý tưởng của phương pháp nhánh cận là thay vì việc giải bài toán, ta tìm cận trên và cận dưới cho giá trị tối ưu của bài toán Để làm cho cận chính xác người ta chia nhỏ dần miền tìm kiếm (tập chấp nhận)

Ngày 05 tháng 08 năm 2014

Học viên

Nguyễn Đình Thọ

INFORMATION ON MASTER’THESIS

1 Full name: Nguyen Dinh Tho 2 Sex: male

3 Date of birth: 04/11/1983

4 Place of birth: District An Thi - Hung Yen Province

5 Admission decision number: Dated:

6 Changes in academic process: no

7 Official thesis title:

“On Extreme of Convex Functions”

10 Supervisors: Prof Dr Le Dung Muu

11 Summary of the finding of the thesis:

The minimum and maximum of convex functions on a convex set are basic ones in optimization The first problem has a important property that its local solution is also a global one This fact allows that the local tools such as limit, gradient can be applied to handling the problem In contrast, the for the maximum problem, a local maximum may not be a global one Consequently, this problem much more difficult to solve The theory of convex and gnonconvex programming problems have been extensively studied and have obtained many important results based on the theory of convex analysis and optimization

The purpose of this thesis is to present the problem maxima, minima of convex function on a convex set and to study some basic methods for solving these problems The thesis consists of three chapters:

Chapter 1 The basics of convex analysis

Presents fundamentaryconcepts, definitions and necessary results concerning convex sets and convex functions

Chapter 2 Minima of convex function on a convex set

Presenting the problem minimizing a convex function on a convex set: Given D n and :n 

programming problem

 

Definition 2.1 Point x*D such that

 *  

,

is called optimal solution, or global optimal solution, or a minimum global solution, or simply solution of the problem

Note 2.1 (i) If D n, then we say  P is the optimization problem non-binding Conversely, if D n then we say  P is the optimization problem with binding (ii) The global optimal solution is also local optimal solution but the reverse is not necessarily true However, if D is a convex set and f is a convex function, the local optimal solution of the problem  P is also a global optimal solution

Presented existence optimal solution and optimal conditions of the problem Lagrangian duality

Presents two basic methods solve convex programming problem is subgradient projection method and Frank-Wolfe algorithm

2.5.1 Subgradient projection method

We consider the problem

 

where :n 

f is a convex function and D n is a closed convex set

Algorithm Choose a starting point x0D , and a sequence  β k of positive numbers satisfying β2j  

Iteration k 0,1, At the beginning of iteration k we have x k D

Pick g k  f x k and compute 1  

:



x P x α g , where k : k

k

β α

γ with

: max 1, k

k

a) If x k 1x , then k x is an optimal solution to k  P

b) Otherwise, replace x by k x k 1 and go to iteration k with : k k 1

2.5.2 Frank-Wolfe algorithm

Consider the convex programming problem with linear constraints

 

min f x xD ,

where f is a differentiable convex function on  n and D n is a polyhedral convex set defined by

where A is level matrix m n and vector  b m

Algorithm Find x0D Iteration k 0,1, We have x k

Step 1 Compute f x k If f x k 0, terminate: x is the optimal solution k

Otherwise, use the simplex method to solve the linear program

 

to obtain a basic optimal solution u We consider two cases: k

(i) If

f x k u k x k  , then terminate: x is the optimal solution k

(ii) If

f x k u k x k  , take d k :u k x as a descent direction Then find a stepsize k t by taking k

k

Step 2 Compute x k1:x k t d Repeat iteration k with : k k k k 1

Chapter 3 Maxima of convex functions on a convex set

Presenting problem maxima of convex functions on a convex set and some basic properties We see that the local maximum of a convex function is not necessarily the absolute maximum

Presents two basic methods solving the problem is outer approximation method and access branch algorithm:

3.3.1 Outer approximation method

Consider the problem

 

where :n 

f is a convex function, defined throughout n (hence

continuous), and D is a closed convexsubset of  n Typically, the set D is given as

a set of experiments inequality of the form:

 

: n 0, 1, ,

i

with :n , 1, ,

i

g i m being convex functions, defined throughout  n

Algorithm 1 ( D bounded)

Start from a polytope S1D Set k  1

a) Solve the relaxed problem

 

(for example by taking the maximum of f over the vertex set of S ) k

Let x be an optimal soluion of k Q k

If x kD (or if f x k  f y with y  D), terminate: x (or y , resp) solves k  P Otherwise, go to b)

b) Construct a hyperplane H strictly separating k x from D , i.e such that if k

 0

k

h x is its equation, then

 k 0,  0,  

Form the polytope

 

Set k:k and return to a) 1

3.3.2 Space partitioning and access branch algorithm

3 Access branch algorithm

Idea of the access branch method is instead of solving the problem, we find

is split down the search domain (set acceptable)

Date: 05/08/2014

Signature

Full name: Nguyen Dinh Tho