Luận văn Thạc sĩ - Chưa phân loại | Hanoi University of Science, VNU

Tên đề tài luận văn: ĐỊNH LÝ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 8.. Tóm tắt các kết quả của luận văn: Luận văn đề cập đến định lý tách các tập lồi và một số ứng dụng của định lý này trong tối ưu h

THÔNG TIN VỀ LUẬN VĂN THẠC SĨ

1 Họ và tên học viên: Trịnh Hữu Trang 2 Giới tính: Nam

3 Ngày sinh: 23/11/1984 4 Nơi sinh: Nam Định

5 Quyết định công nhận học viên số: , ngày 10 tháng 10 năm 2008

6 Các thay đổi trong quá trình đào tạo:

7 Tên đề tài luận văn:

ĐỊNH LÝ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

8 Chuyên ngành Toán giải tích 9 Mã số: 60.46.01

10 Cán bộ hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Viện Toán học – Viện KH&CNVN

11 Tóm tắt các kết quả của luận văn:

Luận văn đề cập đến định lý tách các tập lồi và một số ứng dụng của định lý này trong tối ưu hóa Nội dung luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 “Các khái niệm cơ bản” trình bày một số kiến thức cơ sở của tập lồi và hàm lồi như: tổ hợp lồi, tập affin, tập lồi đa diện, nón lồi, hàm lồi và những tính chất liên quan Chúng là những công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn

Chương 2 “Định lý tách các tập lồi” trình bày và chứng minh nội dung hai

định lý tách và các hệ quả

Định lý tách 1: Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong R n sao cho CD  Khi đó có một siêu phẳng tách C và D

Định lý tách 2: Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng sao cho CD  Giả

sử có ít nhất một tập là com-pắc Khi đó hai tập này có thể tách mạnh được bởi một siêu phẳng

Bên cạnh đó, tác giả cũng đưa ra một số ví dụ minh họa

Chương 3 “Một số ứng dụng của định lý tách” trình bày các ứng dụng của hai định lý tách Cụ thể là:

- Chứng minh các điều kiện tối ưu của bài toán (OP):

Bài toán (OP) Tìm cực tiểu của một hàm lồi trên một tập lồi có dạng sau

minf x  với các điều kiện

  0, 1, ,

i

g x  i m,

  0, 1, ,

j

h x  j k

xX

X R là một tập lồi đóng khác rỗng và f g, i i 1, ,m là các hàm lồi hữu hạn trên X , còn h j j 1, ,k là các hàm a-phin hữu hạn trên tập a-phin của

X

- Tìm điều kiện cần và đủ để hệ bất đẳng thức lồi có nghiệm

Giả sử f0, f1, , f m là các hàm lồi hữu hạn trên tập lồi D   Khi đó, hệ

 

, i 0, 0,1, ,

xD f x  i m (3.2) không có nghiệm, khi và chỉ khi tồn tại các số  i 0i 0,1, ,m không đồng thời bằng 0 sao cho

 

0

0

m

i i i





  

Ngoài ra, nếu có điều kiện chính quy Slater: tồn tại 0  0

x D f x  với mọi

1, ,

i m thì  0 0

- Chứng minh bổ đề làm cơ sở cho định lý về sự xấp xỉ một hàm lồi bởi các hàm non a-phin:

Cho f là một hàm lồi đóng, chính thường trên R n Khi đó với mọi điểm

x t0, 0epif , đều tồn tại R n,R sao cho

T x f x T x t x f

- Chứng minh sự tồn tại của dưới vi phân của hàm f trong trường hợp f lồi

Cho f R: nR   lồi, chính thường Khi đó:

(i) Nếu xdomf , thì f x  

(ii) Nếu x intdomf  thì f x  , com-pắc, thì xri domf 

- Vô hướng hóa các bài toán tối ưu đa mục tiêu lồi

(i) Cho   0 R p Khi đó mọi nghiệm cực tiểu toàn cục của bài toán

 

min  T F x :xDR n P  

đều là nghiệm Pareto của bài toán VP

(ii) Cho 0 0 R p Khi đó mọi nghiệm cực tiểu toàn cục của bài toán

 

min  T F x :xDR n P  

đều là nghiệm Pareto yếu của bài toán VP

12 Khả năng ứng dụng trong thực tiễn:

13 Những hướng nghiên cứu tiếp theo:

Ứng dụng của định lý tách trong không gian vô hạn chiều

Tìm phiếm hàm tách hai tập trong không gian cho trước

14 Các công trình đã công bố có liên quan đến luận văn:

Le Dung Muu, Vector (multiple objective) optimization Theory, Methods and Applications,University ò Nmur, Belgium 2007

Le Dung Muu, Introduction to Optimization Methods (in Vietnamese) Hanoi

Scientific Publishers 1998

Le Dung Muu, (with N V Quy) Method for finding global optimal solution

to linear programs with equilibrium constraints Institute of Mathematics, preprint

38/2000 Acta Mathematica Vietnamica (accepted)

Ngày tháng năm 2012

Học viên

Trịnh Hữu Trang

INFORMATION ON MASTER’THESIS

3 Date of birth: 23/11/7984 4 Place of birth: Nam Định

6 Changes in academic process:

7 Official thesis title:

SEPARATION THEOREMS AND SOME APPLICATIONS

8 Major: Ananytic mathematics 9 Code: 60.46.01

10 Supervisors: P PhD Le Dung Muu, Institute of Mathematics

11 Summary of the finding of the thesis:

My thesis is concerned with separation theorems and its applications to optimization The thesis consist includes three chapters:

Chapter 1 “The basic concepts” " is designed to present the fundamental concept of

convex set, convex function as: convex combination, affine sets, polyhedral convex sets, convex cone, convex function and related properties These concepts are the basic tool to researchs that are stated on the thesis

Chapter 2 “Separation theorems” state and prove two separation theorems and corrolarys

First separation theorem: Let C and D be two disjoint nonempty convex sets Then, There exists a hyperplane separating C and D

Second separation theorem: Two disjoint nonempty closed convex sets C, D in Rn

such that either C or D is compact can be strongly separated by a hyperplane

Besides, the author present examples which are illustrated

Chapter 3 “Some applications of separation theorems” is design some applications

of separation of theorems

- Prove optimal conditions of (OP) problem

(OP) problem: Find minimum of a convex function on set:

minf x  với các điều kiện

  0, 1, ,

i

g x  i m,

  0, 1, ,

j

h x  j k

xX

In particular, X R n is a nonempty closed convex set and f g, i i 1, ,m are finite convex functions on X, and h j j 1, ,k are finite affine functions on affine set of X

- Find necessary and sufficient conditions for the existence solution of system of convex inqualyties

Let f0, f1, , f m be finite convex functions on nonempty convex set D Then, system

of inqualities xD f x, i  0, i 0,1, ,m have no solution if only if there exists numbers  i 0i 0,1, ,m, one of them isn’t equal to zero, such that

dom

- Prove the lema which is basic of approximation function by affine functions theorem

Let f be a proper closed convex function on n

R Then, for every point

x t0, 0epif , there exists R n,R such that

T x f x T x t x f

- Prove the existence of subdifferential of convex function f

Let f R: n R   be a proper convex function Then

(i) If xdomf then f x  

(ii) If x intdomf then f x  , com-p c, then xri domf 

- Scalarization vector optimization problems

(i) Let   0 R p Then every global minimal solution of the one objective problem

 

min  T F x :xDR n

is a global Pareto optimal solution to (VP) problem

(ii) Let 0 0 R p Then every global minimal solution of the one-objective problem

 

min  T F x :xDR n

Is a global weakly Pareto optimal solution to (VP)

12 Practical applicability:

13 Further research directions:

Application of separation theorems to infinite dimensions space

Find functional separation two sets

14 Thesis-related publications:

Le Dung Muu, Vector (multiple objective) optimization Theory, Methods and Applications,University ò Nmur, Belgium 2007

Le Dung Muu, Introduction to Optimization Methods (in Vietnamese) Hanoi

Scientific Publishers 1998

Le Dung Muu, (with N V Quy) Method for finding global optimal solution

to linear programs with equilibrium constraints Institute of Mathematics, preprint

38/2000 Acta Mathematica Vietnamica (accepted)

Date: / /2012

Signature:

Trịnh Hữu Trang