Bất đẳng thức tích chập suy rộng KontorovichLebedev – Fourier và ứng dụng

Vì vậy, vấn đề xây dựngtích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier mới không chỉ làm phongphú lý thuyết về tích chập, kết hợp được các biến đổi tích phân có liên quan là Kontorovich

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

——————————-PHẠM VĂN HOẰNG

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG

KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

LỜI CAM ĐOAN 3

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 5

MỞ ĐẦU 8

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 15 1.1 Không gian Lebesgue Lp(Ω) và Lp(Ω; ρ) 15

1.2 Biến đổi tích phân Fourier 17

1.2.1 Định nghĩa và tính chất 17

1.2.2 Bất đẳng thức tích chập Fourier 18

1.3 Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev 20

1.3.1 Tích chập Kontorovich-Lebedev 24

1.3.2 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev 25

1.4 Trường nhiễu xạ sóng âm, sóng điện từ với biên hình nón tròn 27 1.4.1 Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm 27

1.4.2 Biểu diễn thế Debye của trường nhiễu xạ sóng điện từ 32 Chương 2 BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV-FOURIER 34 2.1 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier cosine 34

2.1.1 Định nghĩa 34

2.1.2 Tính chất toán tử 36

2.1.3 Tính không có ước của không 42

2.2 Biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier 44

2.3 Phương trình vi-tích phân liên quan tích chập suy rộng 49

Chương 3 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV 53 3.1 Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier 53

3.1.1 Bất đẳng thức kiểu Young 53

3.1.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh 57

3.2 Bất đẳng thức đối với tích chập Kontorovich-Lebedev 62

3.2.1 Bất đẳng thức kiểu Young 62

3.2.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh 66

3.2.3 Bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược 68

3.3 Phương trình vi-tích phân liên quan đến toán tử Bessel 74

Chương 4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 82 4.1 Trường nhiễu xạ sóng âm với trở kháng dạng nón 82

4.1.1 Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm theo tích chập suy rộng 83

4.1.2 Tính bị chặn của trường nhiễu xạ sóng âm trên các không gian Lp(R+), p > 1 84

4.1.3 Ước lượng tại lân cận đỉnh nón 87

4.2 Thế Debye của trường nhiễu xạ sóng điện từ 88

4.2.1 Xác định hàm phổ của thế Debye trường nhiễu xạ 91

4.2.2 Biểu diễn thế Debye trường nhiễu xạ theo tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier 91

4.2.3 Ước lượng địa phương 92

4.3 Phương trình dạng parabolic 93

4.3.1 Phương trình parabolic tuyến tính liên quan tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev 94

4.3.2 Phương trình parabolic phi tuyến liên quan tích chập Kontorovich-Lebedev 102

KẾT LUẬN 106

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 107

TÀI LIỆU THAM KHẢO 108

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫncủa các thầy PGS TS Nguyễn Xuân Thảo và PGS TS Trịnh Tuân Tất cảcác kết quả được trình bày trong Luận án là hoàn toàn trung thực và chưatừng được các tác giả khác công bố trong bất kỳ công trình nào

Hà Nội, Ngày 10 tháng 10 năm 2017

LỜI CẢM ƠN

Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình củacác thầy PGS TS Nguyễn Xuân Thảo và PGS TS Trịnh Tuân Tác giả xinđược bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy, những người

đã dẫn dắt tác giả từ những bước đi đầu tiên trên con đường nghiên cứu,động viên tác giả vượt qua khó khăn trong quá trình làm NCS

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và các thànhviên trong Seminar Giải tích-Đại số trường ĐHKHTN-ĐHQGHN, SeminarGiải tích Trường ĐHBK Hà Nội, những người luôn gần gũi, giúp đỡ và tạođiều kiện thuận lợi để tác giả học tập và trao đổi chuyên môn

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy GS TSKH VũKim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người đã luôn động viên và cho tácgiả nhiều ý kiến quý báu trong quá trình học tập

Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả

đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộmôn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học Tácgiả xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến TS Nguyễn Thanh Hồng (ĐHSP

Hà Nội), TS Nguyễn Hoàng Thoan (Viện Vật lý kĩ thuật, ĐHBK Hà Nội),

TS Tưởng Duy Hải (Khoa Vật lý, ĐHSP Hà Nội) về những giúp đỡ trongquá trình làm NCS Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo SởGiáo dục và Đào tạo Hà Nội, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp thuộc TổToán-Tin, Trường THPT Kim Liên đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trìnhtác giả được học tập, công tác và hoàn thành Luận án

Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu nặng đến gia đình, bố

mẹ, vợ con, các anh chị em Niềm tin yêu và hi vọng của mọi người là nguồnđộng viên và là động lực to lớn để tác giả vượt qua mọi khó khăn trong suốtquá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận án

Tác giả

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

• F là biến đổi tích phân Fourier (xem trang 17)

• Fc là biến đổi tích phân Fourier cosine (xem trang 17)

• Fs là biến đổi tích phân Fourier sine (xem trang 18)

• ∆ω là toán tử Laplace-Beltrami trên mặt cầu S2 (xem trang 29)

• E là trường sóng điện (xem trang 32)

• H là trường sóng từ (xem trang 32)

• D∞1 là toán tử vi phân bậc vô hạn được xác định bởi công thức (xemtrang 44)

• D∞ là toán tử vi phân bậc vô hạn được xác định bởi công thức (xemtrang 44)

• B là toán tử vi phân Bessel (xem trang 75).

• KL là biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev (xem trang 8, 22, 23)

• Kν(z) là hàm Macdonald (xem trang 20)

• L là toán tử vi phân bậc hai được xác định bởi công thức

• Lp(R+), 1 6 p < ∞, là không gian các hàm số f xác định trên R+, thoảmãn

• L∞(R+) là không gian gồm các hàm bị chặn theo chuẩn ess sup trên R+

kf k∞ = ess sup |f | := inf{M > 0 : µ(x ∈ R+ : |f (x)| > M ) = 0, h.k.n.}

f (z)g(z)

≤ M < ∞ với mọi z thuộcvào một lân cận của a

• f (z) = ◦(g(z)), z → a, có nghĩa là lim

z→a

f (z)g(z) = 0.

• f (z) ∼ g(z), z → a, có nghĩa là lim

z→a

f (z)g(z) = 1.

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Bên cạnh những biến đổi tích phân nổi tiếng có vai trò quan trọng tronggiải tích toán học nói riêng và các ngành khoa học nói chung như các biến đổitích phân Fourier, Laplace, Mellin, Hankel , những năm 38-39 của thế kỷtrước, hai nhà toán học Nga là Kontorovich M.I và Lebedev N.N trong khinghiên cứu bài toán về nhiễu xạ sóng điện từ với biên hình nêm đã xây dựngbiến đổi tích phân mà sau này được gọi là biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev (xem [29, 30, 67]) Các tính chất của biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev trong không gian L1, L2, công thức biến đổi ngược và các ứng dụngđược nghiên cứu sau đó bởi Lebedev N.N., Sneddon I.N., Lowndes J.S., JonesD.S (xem [24, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 57])

Ảnh của hàm f qua phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, kí hiệu

là KL[f ], được xác định bởi công thức

Đến nay, những kết quả về biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev trêncác không gian hàm với hệ toạ độ trụ, hệ toạ độ cầu; không gian Lebesgue

Lp với trọng cũng như xem xét trên không gian hàm suy rộng đã khá phongphú và sâu sắc (xem [18, 20, 21, 66, 71, 81]) Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev trên không gian hai chiều, không gian nhiều chiều; biến đổi rời rạc,biến đổi hữu hạn liên quan đến biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev cũng

đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [72, 78, 82])

Cùng với các biến đổi tích phân kể trên, tích chập đối với các biến đổi tíchphân này đã được xây dựng và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.Năm 1998, Kakichev V.A và Thao N.X đã đưa ra định nghĩa tích chập suyrộng f ∗ h
với hàm trọng γ của hai hàm f và h đối với ba phép biến đổiγ

tích phân T1, T2 và T3 nếu f ∗ h
thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóaγ

T1 f ∗ h
(y) = γ(y) Tγ 2f
(y) T3h
(y), (0.2)

và cho điều kiện cần để xác định tích chập suy rộng khi biết một số ràng buộc

cụ thể về nhân của các biến đổi tích phân tương ứng (xem [28]) KakichevV.A cũng là nhà toán học đã xây dựng tích chập của hai hàm f, h đối vớibiến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev vào năm 1967, xác định bởi côngthức

Những kết quả về tích chập, tích chập suy rộng liên quan đến biến đổitích phân Kontorovich-Lebedev đã được nghiên cứu trong các bài báo [26,

27, 60, 63, 67, 68, 69, 70, 72, 73, 74, 76, 77, 82]

Trong Luận án này, chúng tôi tập trung nghiên cứu về tích chập suy rộngKontorovich-Lebedev - Fourier Đó là các tích chập suy rộng mà trong đẳngthức nhân tử hóa (0.2) biến đổi tích phân ở vế trái T1 là biến đổi tích phânKontorovich-Lebedev có công thức (0.1), còn T2, T3 là biến đổi tích phânKontorovich-Lebedev, Fourier sine, Fourier cosine, và T2, T3 không đồng thờicùng là biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev Cho đến nay đã có ba tíchchập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier được giới thiệu và nghiên cứutrong các bài báo [76, 77] Xem xét cấu trúc đẳng thức nhân tử hoá của tíchchập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier, chúng tôi nhận thấy tích chậpsuy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier trong trường hợp T2 = Fs và T3 = Fcvẫn chưa được xây dựng và nghiên cứu Đây cũng là trường hợp đẳng thứcnhân tử hoá có ba biến đổi tích phân khác nhau Vì vậy, vấn đề xây dựngtích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier mới không chỉ làm phongphú lý thuyết về tích chập, kết hợp được các biến đổi tích phân có liên quan

là Kontorovich-Lebedev, Fourier cosine, Fourier sine mà còn cung cấp chochúng ta thêm công cụ để giải quyết những vấn đề trong giải tích và ứngdụng

Mặt khác, khi đã xây dựng được tích chập với hai hàm f, h, nếu ta cốđịnh hàm h, còn hàm f cho biến thiên trong một không gian hàm xác địnhnào đó ta sẽ nhận được biến đổi tích phân liên quan đến tích chập tương ứng,gọi là biến đổi tích phân kiểu tích chập Kết quả đầu tiên theo hướng này làbiến đổi tích phân kiểu tích chập Mellin, có công thức dạng

Một vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm khi nghiên cứu tính chất

và ứng dụng của tích chập, tích chập suy rộng là thiết lập các ước lượng liênquan đến chuẩn của tích chập Kết quả đầu tiên là bất đẳng thức đối với tíchchập Fourier của Young W.H vào năm 1912, mà sau này ta gọi là bất đẳngthức Young cho tích chập Fourier

Một dấu ấn quan trọng đối với lĩnh vực nghiên cứu bất đẳng thức tích

chập, công trình [52] của Saitoh S công bố năm 2000 đã đánh giá đượcchuẩn của tích chập (f ∗

F g) trong không gian Lp với trọng, gọi là bất đẳngthức Saitoh với tích chập Fourier (xem thêm [12, 50, 51, 52]) Khác vớibất đẳng thức Young, bất đẳng thức này đúng với mọi p > 1, nên cũngđúng với p = 2 Những kết quả tiếp theo về bất đẳng thức tích chập đãđược các nhà toán học Saitoh S., Tuan V.K., Yamamoto M., Duc D.T.,Nhan N.D.V., nghiên cứu và nhận được nhiều ứng dụng thú vị trong cáccông trình [14, 15, 25, 42, 43, 44, 54, 55, 56] Tuy nhiên, các kết quả về bấtđẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh, kiểu Saitoh ngược đối với tích chập, tíchchập suy rộng Kontorovich-Lebedev chưa có bước tiến đáng kể nào, ngoạitrừ một bất đẳng thức kiểu Young được thiết lập cho tích chập Kontorovich-Lebedev trong [68] Vì vậy, xây dựng các bất đẳng thức đối với tích chập,tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev song song với các kết quả đã nhậnđược đối với tích chập Fourier là một đòi hỏi cấp thiết đối với hướng nghiêncứu về biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev

Trong một số công trình gần đây, biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev

đã được các tác giả sử dụng để nghiên cứu các bài toán về trường nhiễu xạsóng âm, sóng điện từ với trở kháng hình nón tròn Điều thú vị là một số đạilượng vật lý cơ bản trong trường nhiễu xạ sóng âm, sóng điện từ có thể biễudiễn qua công thức tích phân Kontorovich-Lebedev (xem [7, 8, 37, 38, 83])

Từ đó cho phép ta nghĩ đến việc biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm, thếDebye của trường nhiễu xạ sóng điện từ qua tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier Hướng tiếp cận này sẽ dẫn đến những nghiên cứu mới

về các đại lượng vật lý thông qua các tính chất của tích chập suy rộngKontorovich-Lebedev - Fourier

Trong một bài báo gần đây của mình, Yakubovich S.B đã nghiên cứu mộtlớp hàm kí hiệu h(t, x, y) gọi là nhân truyền nhiệt đối với biến đổi tích phânKontorovich-Lebedev, từ đó chỉ ra với mỗi y ∈ R+ cố định, u(x, t) = h(t, x, y)

là nghiệm của một phương trình tán xạ theo hai biến (x, t) ∈ R+× R+

Từ những phân tích ở trên, như một sự tiếp nối tự nhiên và mở rộnghướng nghiên cứu, chúng tôi lựa chọn đề tài Luận án là Bất đẳng thứctích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier và ứng dụng.

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của Luận án là nghiên cứu các bất đẳng thức và biến đổi tíchphân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier

Đối tượng nghiên cứu là tích chập suy rộng, bất đẳng thức tích chập suyrộng, biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng đối với các biến đổi tíchphân Kontorovich-Lebedev, Fourier, Fourier sine, Fourier cosine và một sốứng dụng trong phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng và bàitoán Toán-Lý

Phạm vi nghiên cứu là các biến đổi tích phân, tích chập, tích chập suy rộngliên quan đến các biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, Fourier, Fouriersine, Fourier cosine

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong Luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp biến đổi tích phân,phương pháp toán tử, phương pháp giải tích hàm, sử dụng phương pháp đánhgiá bất đẳng thức tích phân Bên cạnh đó, các tính chất của các biến đổi tíchphân Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, Fourier cosine cũng được sử dụng

4 Cấu trúc và các kết quả của Luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án được chiathành bốn chương

Chương 1 trình bày các kiến thức đã biết liên quan phép biến đổi tíchphân Kontorovich-Lebedev, Fourier, Fourier sine, Fourier cosine và nhữngđịnh lý, mệnh đề có liên quan đến Luận án.

Chương 2 xây dựng tích chập suy rộng mới đối với các biến đổi tích phânKontorovich-Lebedev, Fourier sine, Fourier cosine Nghiên cứu tính chất toán

tử của tích chập suy rộng này như sự tồn tại, tính bị chặn, đẳng thức nhân

tử hoá, đẳng thức Parseval, từ đó xây dựng biến đổi tích phân kiểu tích chậpsuy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier Nhận được điều kiện cần và đủ đểbiến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng nói trên là đẳng cấu, đẳng cự giữahai không gian L2(R+) và L2(R+; x) và ứng dụng giải một lớp phương trìnhvi-tích phân

Chương 3 nghiên cứu các bất đẳng thức về chuẩn đối tích chập suy rộngKontorovich-Lebedev-Fourier trên các không gian hàm Lp với trọng Nhậnđược các bất đẳng thức kiểu Young, bất đẳng thức kiểu Saitoh, kiểu Saitohngược đối với các tích chập suy rộng này Những bất đẳng thức đối với tíchchập Kontorovich-Lebedev cũng được giới thiệu và vận dụng để đánh giánghiệm của một lớp phương trình vi-tích phân liên quan đến toán tử Bessel.Chương 4 tìm hiểu một số ứng dụng của tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev trong nghiên cứu trường nhiễu xạ sóng âm, thế Debye của trườngnhiễu xạ sóng điện từ Nghiên cứu một lớp phương trình đạo hàm riêng dạngparabolic

5 Ý nghĩa của các kết quả của Luận án

Luận án đã xây dựng và nghiên cứu tính chất toán tử của tích chập suyrộng mới đối với ba phép biến đổi tích phân khác nhau Kontorovich-Lebedev,Fourier sine, Fourier cosine, từ đó nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểutích chập suy rộng tương ứng

Luận án đã nghiên cứu và thiết lập được những bất đẳng thức về chuẩnđối với tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier Từ đó nhận đượcứng dụng trong nhiều bài toán khác nhau: giải và đánh giá nghiệm của một

số lớp phương trình tích phân, phương trình vi tích phân, phương trình đạohàm riêng dạng parabolic; biểu diễn và ước lượng tiệm cận, ước lượng điểm,ước lượng theo chuẩn của một số đại lượng vật lý trong bài toán với trở khánghình nón tròn của nhiễu xạ trường sóng âm và sóng điện từ

Những kết quả của Luận án đã góp phần làm phong phú thêm về lýthuyết biến đổi tích phân, về biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, về

bất đẳng thức tích chập, về lý thuyết phương trình tích phân, phương trìnhvi-tích phân, phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng và đưa ramột số hướng ứng dụng trong vật lý của tích chập suy rộng Các kết quả và

ý tưởng của Luận án có thể sử dụng trong nghiên cứu các tích chập suy rộngkhác

Nội dung chính của Luận án dựa trên các công trình đã công bố, liệt kê

ở mục "Danh mục các công trình đã công bố của Luận án" Các kếtquả này đã được trình bày, báo cáo tại:

- Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, tại Nha Trang, tháng 8 năm 2013;

- Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 14, tháng 4 năm 2016;

- Hội nghị Khoa học Đại học Bách khoa Hà Nội, tháng 11 năm 2016;

- Seminar Phương trình vi phân, Viện Toán học;

- Seminar Giải tích - Đại số, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG HN;

- Seminar Giải tích, trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức đã biết

về không gian Lebesgue Lp với trọng, các biến đổi tích phân Fourier, Fouriersine, Fourier cosine Tính chất của biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev

và hàm nhân Macdonald của biến đổi tích phân này cũng được giới thiệu.Các bất đẳng thức và biến đổi tích phân kiểu tích chập đối với tích chậpFourier và tích chập Kontorovich-Lebedev Hơn nữa, chúng tôi giới thiệu một

số tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev được nghiên cứu trong thời giangần đây

Cuối Chương 1 chúng tôi trình bày một số kiến thức về trường nhiễu xạsóng âm, thế Debye của trường nhiễu xạ sóng điện từ

Các kiến thức được trình bày ở đây sẽ được dùng ở các chương tiếp theocủa Luận án

1.1 Không gian Lebesgue Lp(Ω) và Lp(Ω; ρ)

Cho Ω là một miền trong Rn và p là số thực 1 ≤ p < ∞

Định nghĩa 1.1.1 ([67]) Ta gọi Lp(Ω) là không gian các hàm f đo đượctrên Ω thỏa mãn

kf kLp(Ω) =



Z

Một số tính chất không gian Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞ (xem [2]).

Mệnh đề 1.1.1 (Bất đẳng thức Minkowski [2]) Cho f, g ∈ Lp(Ω) Khi

đó, ta có

kf + gkLp(Ω) ≤ kf kLp(Ω) + kgkLp(Ω) (1.3)Mệnh đề 1.1.2 (Bất đẳng thức H¨older [2]) Cho f ∈ Lp(Ω) và g ∈ Lp1(Ω),với p1 là số mũ liên hợp của p, tức là 1

p +

1

p1 = 1 Khi đó, ta cóZ

nếu tích phân ở vế phải của (1.5) hội tụ Ở đây, p1 là số mũ liên hợp của p,

và Ap,q(t) được xác định theo công thức

nếu ít nhất một trong các tích phân trên hội tụ tuyệt đối

Định lý Fubini cho phép chúng ta đổi thứ tự tích phân lặp theo tích phân bội

Định lý 1.1.2 ([67]) Cho hàm f (x, t) thỏa mãn |f (x, t)| ≤ F (x) với F ∈

Định nghĩa 1.1.2 ([67]) Giả sử ρ(x) là một hàm không âm trên Ω Ta gọi

Lp(Ω; ρ), 1 ≤ p < ∞, là không gian các hàm f đo được trên Ω thỏa mãn

||f ||Lp(Ω;ρ) =



Z

và ρ là hàm trọng của không gian này

1.2 Biến đổi tích phân Fourier

f (x)(cos yx − i sin yx)dx, y ∈ R

Biến đổi tích phân Fourier cosine, ký hiệu Fc, của hàm f ∈ L1(R+) đượcxác định bởi (xem [46, 57])

(Fcf )(y) :=

r2π

∞

Z

0

f (x) cos yx dx, y ∈ R+ (1.11)

Ta thấy biến đổi tích phân Fourier cosine là một trường hợp riêng của phépbiến đổi tích phân Fourier, đó chính là biến đổi tích phân Fourier của mộthàm chẵn.

Biến đổi tích phân Fourier sine, ký hiệu Fs, của hàm f được xác định bởi(xem [57])

(Fsf )(y) :=

r2π

f (x) = lim

N →∞

r2π



Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Young [80]) Cho p, q, r là các số thựclớn hơn 1 thỏa mãn 1p + 1q = 1r + 1 Khi đó, với hai hàm bất kỳ f ∈ Lp(R) và

g ∈ Lq(R), ta có bất đẳng thức

k(f ∗

F g)(x)kLr(R) ≤ kf kLp(R)kgkLq(R) (1.15)Bất đẳng thức (1.15) không đúng khi p = q = 2

Định lý 1.2.2 (Định lý Young cho tích chập Fourier [2]) Cho p, q, r

là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn 1p + 1q + 1r = 2 Khi đó, với các hàm

f ∈ Lp(R), g ∈ Lq(R), và w ∈ Lr(R), ta có

≤ kf kLp(R)kgkLq(R)kwkLr(R) (1.16)

Từ đó thấy rằng bất đẳng thức Young (1.15) là hệ quả của định lý này.Định lý 1.2.3 (Bất đẳng thức Saitoh [52]) Cho hai hàm không triệt tiêu

ρ1, ρ2 ∈ L1(R) Khi đó, với hai hàm bất kỳ F1 ∈ Lp(R, |ρ1|) và F2 ∈ Lp(R, |ρ2|),

p > 1, ta có bất đẳng thức chuẩn của tích chập Fourier trên không gian Lp(R)

k(F1ρ1) ∗

F (F2ρ2)(ρ1 ∗

F ρ2)1p −1

kLp(R) ≤ kF1kLp(R,|ρ1|)kF2kLp(R,|ρ2|) (1.17)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Fj(x) = Cjeαx, trong đó α là hằng số sao cho

eαx ∈ Lp(R, |ρj|), j = 1, 2 (nếu không thì C1 hoặc C2 bằng 0)

Khác với bất đẳng thức Young, bất đẳng thức này đúng với mọi p > 1, nêncũng đúng với p = 2 Bất đẳng thức (1.17) được gọi là bất đẳng thức Saitoh.Định lý 1.2.4 (Bất đẳng thức Saitoh ngược [53]) Cho hai hàm dươngbất kì ρ1 và ρ2 thoả mãn (ρ1∗

Fρ2) xác định trên R Khi đó, với hai hàm dươngbất kỳ F1 và F2 thỏa mãn

1.3 Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev

Ta biết, phương trình Bessel biến dạng

Kν(z) = 1

2π

I−ν(z) − Iν(z)sin νπ , ν 6= 0, ±1, ±2 , (1.21)

cos(zt)(t2 + 1)−ν−1/2dt, <ν > −1/2, (1.28)

Kν(z) =

 π2z

e−x cosh ueiyudu, x ∈ R+

Theo công thức (1.100) trong [67], ta dễ dàng nhận được ước lượng đều củahàm Macdonald Kiy(x) theo chỉ số y ∈ R+ và biến số x ∈ R+, cụ thể



Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev trên không gian L1(R+; ρ)

Sử dụng ước lượng (5.23), trang 147 trong [67],

|Kiy(z)| ≤ K0(<z), y > 0, <(z) > 0, (1.35)

ta nhận được hệ quả

|Kiy(x)| ≤ K0(x), với bất kì y ∈ R (1.36)

Theo [67], ta có ước lượng Kiy(x) với x ∈ (0; X], X > 0, khi chỉ số y → ∞

Nói riêng, L0(R+) chứa tất cả các không gian Lα,β ≡ L1(R+; Kα(βx)), với

α ∈ R; 0 < β ≤ 1 và không gian Lp(R+; x), 2 < p ≤ ∞, với các chuẩn tươngứng Ta có một số tính chất cơ bản của biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev

1) KL[f ] là hàm bị chặn trên R+, cụ thể, |KL[f ](x)| ≤ ||f ||L0 (R + ) với bất kì

x ∈ R+ và f ∈ L0(R+)

2) Nếu một dãy {fk}∞1 hội tụ theo chuẩn L0(R+) tới f thì KL[fk] hội tụ đềuđến KL[f ]

3) KL[f ] liên tục đều trên R+

4) KL[f ](y) → 0 khi y → ∞ (Bổ đề Riemann-Lebesgue)

Điểm x ∈ R+ sao cho

x+η

Z

x−η

|f (y) − f (x)|dy = ◦(η), η → 0,

gọi là điểm Lebesgue của hàm f

Mệnh đề 1.3.1 (Tính duy nhất) Nếu hai hàm f, g thuộc không gian

L0(R+) có cùng ảnh qua phép biến đổi Kontorovich-Lebedev, tức là ta cóKL[f ](y) = KL[g](y), ∀y ∈ R+, thì f = g hầu khắp nơi (h.k.n.)

Mệnh đề 1.3.2 Cho hàm f thuộc không gian L1(R+; K0(βx)) với 0 < β <

1 Với mỗi điểm Lebesgue của hàm f , ta có

Mệnh đề 1.3.3 Cho hàm f thuộc không gian L1(R+; K0(βx)) với 0 < β <

1 Nếu hàm f thoả mãn KL[f ](y) ∈ L1(R+; y sinhπy2 ) thì ta có công thứcngược

y sinh πyKiy(x)KL[f ](y)dy (1.40)

Đối với biến đổi tích phân Fourier, Định lý Wiener-Levy có vai trò quan trọng,chẳng hạn trong ứng dụng giải phương trình vi phân, phương trình tích phân(xem [17, 46]) Ta cũng có định lý kiểu Wiener-Levy cho biến đổi tích phânKontorovich-Lebedev trên không gian Lα(R+) := L1(R+, Kα(x)), α ≥ 0.Định lý 1.3.1 ([67]) Cho f thuộc không gian Lα(R+) Nếu

F (s) = λ + KL[f ](s) 6= 0với mọi số phức s trên dải đóng |<(s)| ≤ α, bao gồm cả điểm vô cùng thì tồntại duy nhất q thuộc Lα(R+) sao cho

1

λ + KL[f ](s) = λ + KL[q](s). (1.41)Biến đổi Kontorovich-Lebedev trên không gian Lp(R+; ρ), p ≥ 2Cho f ∈ L2(R+; x) Khi đó, biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev củahàm f được xác định bởi

Kiy(x)f (x)dx (1.42)

Các định nghĩa (1.38) và (1.42) tương đương nếu f ∈ L2(R+; x) ∩ L0(R+).Định lý 1.3.2 ([67]) Cho f thuộc không gian L2(R+; x) Biến đổi tích phânKontorovich-Lebedev của hàm f xác định bởi công thức (1.42) hội tụ theochuẩn trong không gian L2(R+; y sinh πy) Công thức biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược của hàm f được xác định như sau

Sự hội tụ của tích phân (1.43) theo chuẩn trong không gian L2(R+; x) Biếnđổi tích phân Kontorovich-Lebedev (1.42) là đẳng cấu, đẳng cự giữa hai khônggian L2(R+; x) và L2(R+; 2

Biến đổi f → g được xác định bởi công thức

g(x) = T1,h[f ](x) = 1

2xD

∞ 1

có dạng đối xứng

f (x) = 2

π2xD

∞ 1

Trong các bài báo [76, 77], các tác giả Yakubovich S.B và Britvina L.E

đã giới thiệu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebebdev - Fourier

−x cosh(τ +θ)− e−x cosh(τ −θ)]f (τ )h(θ)dτ dθ, x ∈ R+

(1.53)Điều kiện tồn tại và tính bị chặn của các tích chập suy rộng (1.51), (1.52),(1.53) được nghiên cứu trong các bài báo [76, 77] Hơn nữa, với điều kiện cụ

thể ta nhận được đẳng thức nhân tử hoá

π√πx

đó đẳng thức Parseval (1.57) đúng Hơn nữa, ta nhận được đẳng thức nhân

tử hoá (1.54) nếu thêm giả thiết y−1KL[h](y) = O(1), y → 0

2) Giả sử f ∈ L1(R+), h ∈ L2(R+) hoặc h ∈ L1(R+) Khi đó, đẳng thứcParseval (1.58) đúng Hơn nữa ta nhận được đẳng thức nhân tử hoá (1.55)nếu thêm giả thiết y−1(Fch)(y) = O(1), y → 0

3) Giả sử f ∈ L1(R+), h ∈ L2(R+) hoặc h ∈ L1(R+) Khi đó, đẳng thứcParseval (1.59) đúng Hơn nữa ta nhận được đẳng thức nhân tử hoá (1.56)nếu thêm giả thiết y−1(Fsh)(y) = O(1), y → 0

Bổ đề 1.3.3 ([77]) Giả sử g, h là các hàm thuộc không gian L2(R+) Khi

(1.60)

Một bất đẳng thức kiểu Young cho tích chập Kontorovich-Lebedev cũng đượcthiết lập bởi Yakubovich S.B năm 2003.

(x)K

γ+β µ

#γ+β

.(1.63)Cuối cùng, khi γ = β = ν ≤ 12, ν < µ ≤ 1, ta có

Cµ,ν,ν ≤ 22(ν−1)µ2(µ−ν)√

π Γ(ν − µ)Γ(µ − ν + 12).

1.4 Trường nhiễu xạ sóng âm, sóng điện từ

với biên hình nón tròn

Xét miền Ω trong không gian Euclide ba chiều R3 với biên là nón C Gọi

S2 là mặt cầu đơn vị có tâm là đỉnh T của nón C Ký hiệu σ = S2 ∩ C làbiên của miền Σ ⊂ S2 là phần của mặt nón C được cắt bởi mặt cầu đơn vị.Giả sử σ là trơn, tiếp tuyến của nó luôn xác định và Σ thuộc bán cầu của

0 xác định hướng từ đỉnh T tới nguồn Xác định tương tự với −→r = (r, ω),

ở đây ω = (θ, ϕ) thường được xác định trong hệ tọa độ cầu

0) = e−ikr cos η(x,x0 ) là giới hạn khi x0 là cố định và r0 → ∞

| arg(−ik)| ≤ π

Trong thực tế, điều kiện | arg(−ik)| ≤ π

2 có nghĩa là sự hấp thụ năng lượng ởngoài mặt nón Theo điều kiện Meixner, giả sử năng lượng là hữu hạn tronglân cận đủ nhỏ Vr = (r, u), u ∈ S2 \ Σ, r < r < r0 của đỉnh

Z

V r

(|G|2 + |∇(G)|2)dV < ∞ (1.67)với giá trị r0 6= 0 cố định Theo điều kiện này, ta xét

G = const + O(rh), r|∇G| = O(rh), h > −1

2,

G = O(rl), r|∇G| = O(rh), r → 0, h ≥ l > −1

2.Năm 2001, Bernard và Lyalinov (xem [7]) bằng phương pháp tách biến vàdồn biến theo tọa độ bán kính trong phương trình sóng thông qua một biểudiễn phù hợp của trường nhiễu xạ, đã đưa về xét bài toán biên trên mặt cầuđơn vị ngoài miền Σ Hàm Green G(−→r , −→r

0) được biểu diễn ở dạng tích phânkép Kontorovich-Lebedev



∆ω + ν2 − 1

4

1(iπ)

với ∆ω là toán tử Laplace-Beltrami trên S2 (xem [38])

∆ω = (sin θ)−1∂θ(sin θ∂θ) + (sin θ)−2∂ϕ2, (1.71)

Để thuận tiện, ta kí hiệu

G(−→r , −→r

0) = 1(iπ)



∆ω + ν2 − 1

4

(g + gi) = −kν sin(πν)

iπ

Kν(−ikr0)

√

−ikr0 δ(ω − ω0), (1.76)với



∆ω + ν2 − 1

4

g(ν, ω, ω0, r0) = 0 (1.77)Hàm gi trong phương trình (1.76) được biết liên hệ với hàm Green

Vì trong trường hợp sóng tới là sóng phẳng, Ui có thể được định nghĩa quagiới hạn

Pν−−|n|1

2

(− cos υ) =

√2Γ(ν − |n| + 12)

Hàm u(ω, ω0, ν) được gọi là hàm phổ và được chọn ở lớp hàm cụ thể.

Nhận xét 1.4.1 Nếu thay điều kiện biên trong (1.65) bởi

điện từ

Theo [8, 37], ta xét một mặt nón C có bề dày h sao cho h rất nhỏ so bướcsóng λ trong chân không, để phù hợp với hằng số điện môi cao giá trị thực (có thể làm cản trở quá trình truyền dẫn) Bằng cách sử dụng các phân tíchtiệm cận chuẩn (Senior Volakis, 1995; Buldyrev Lyalinov 2001), chúng ta biếtrằng mặt có bề dày nhỏ có thể coi tương đương với mặt có bề dày-không (coi

là mặt giới hạn C) ta sẽ xem xét từ đây về sau Trường sóng điện E(x) (với

eiηt- độc lập theo thời gian và giả sử được bỏ qua trong vấn đề chúng ta xemxét) và trường sóng từ H(x) thỏa mãn phương trình Maxwell (xem [8])

ikE = rot(Z0H), ikZ0H = − rot E, (1.88)với k = bu(0µ0)12 là bước sóng, và Z0 là trở kháng trong môi trường chânkhông, ở cả miền ngoài Ω1 và miền trong Ω2 Các phương trình này có thểviết lại theo các thế Debye, u1 và v1 trong miền Ω1, u2 và v2 trong miền Ω2(xem [8, 37, 39] và các tài liệu tham khảo trong đó)

E = curl curl (rer{u1, u2}) + ik curl (rer{v1, v2}) , trong miền {Ω1, Ω2} ,

(1.89)

H = curl curl (rer{v1, v2}) − ik curl (rer{u1, u2}) , trong miền {Ω1, Ω2} ,

(1.90)với r là tọa độ bán kính trong hệ tọa độ cầu với gốc tại đỉnh T của nón C,

và er vectơ bán kính đơn vị

Để thuận tiện trong trình bày, ta dùng ký hiệu

A{a, α} + B{b, β} = D trong miền {c, γ}

để thay cho Aa + Bb = D trong miền c, và Aα + Bβ = D trong miền γ.Các thế Debye được chọn thỏa mãn các phương trình Helmholtz

us

j, vjs = −2

k

r2π

với gu1, gv1, gu2, gv2 được gọi là hàm phổ

Chương 2 BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV-FOURIER

Trong chương này, chúng tôi xây dựng tích chập suy rộng đối với cácbiến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, Fourier cosine Từ đó,nghiên cứu một số tính chất toán tử của tích chập suy rộng này như sự tồntại của chúng trên những lớp không gian hàm cụ thể, tính bị chặn, đẳngthức nhân tử hoá, đẳng thức Parseval Cuối chương, chúng tôi xây dựngbiến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier vànhận được tính đẳng cấu, đẳng cự giữa không gian L2(R+) và không gian

L2(R+; x), công thức ngược của biến đổi tích phân này Các kết quả chínhcủa chương này là Định lý 2.1.1, 2.1.2, 2.2.1

Nội dung của chương này dựa vào một phần của hai bài báo [1, 2] trongDanh mục công trình đã công bố của Luận án

π2[sinh(τ + θ)e−x cosh(τ +θ)+ sinh(τ − θ)e−x cosh(τ −θ)] (2.2)

là nhân của tích chập suy rộng (2.1)

Trong các mục tiếp theo, ta sẽ chứng minh tích chập suy rộng (2.1) có đẳngthức Parseval

sinh πy(Fsf )(y)(Fch)(y), y ∈ R+, (2.4)

khi f, h thuộc không gian thích hợp, với γ(y) = 1

sinh πy là hàm trọng củatích chập suy rộng (2.1)

Công thức (2.1) có thể biểu diễn lại dưới dạng tích phân Toeplitz - Hankelnhư sau

1

x +

r1

x2 + 4

!#

.Lại có

κ(x, η0) = 1

π2 sinh η0e−x cosh η0 = 1

π2e−x cosh η0

qcosh2η0 − 1

6 1

π2e−x

uu

t14

1

x +

r1

Chứng minh Sử dụng ước lượng hàm nhân (2.6), ta có

14

Vì vậy, tích chập suy rộng (2.1) thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá (2.4) Cuốicùng, sử dụng đánh giá (2.9) ta nhận được

k(f ∗ h)kL

2 (R + ;π4x22 ) 6 kf kL 2 (R + )khkL2(R+) (2.11)Đẳng thức nhân tử hóa (2.4) đúng nếu thêm giả thiết f ∈ L1(R+)

Chứng minh Ta có ước lượng

Đối tượng nghiên cứu tích chập suy rộng, bất đẳng thức tích chập suyrộng, biến đổi tích phân... chập, tích chập suy rộng thiết lập ước lượng liênquan đến chuẩn tích chập Kết bất đẳng thức tíchchập Fourier Young W.H vào năm 1912, mà sau ta gọi bất đẳngthức Young cho tích chập Fourier

Một...

Khác với bất đẳng thức Young, bất đẳng thức với p > 1, nêncũng với p = Bất đẳng thức (1.17) gọi bất đẳng thức Saitoh.Định lý 1.2.4 (Bất đẳng thức Saitoh ngược [53]) Cho hai hàm dươngbất kì ρ1