Hướng dẫn học sinh đọc và giải các bài toán đồ thị

MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Bằng sự học hỏi và kinh nghiệm giảng dạy của mình, tôi đã mạnh dạn và kiên trìnghiên cứu những bài toán về đồ thị, từ đó phục vụ cho việc giảng dạy hiệu quả hơn,nâng

IV Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm trong công tác giáo dục 19

cho hình ảnh đồ thị, yêu cầu học sinh dựa vào đồ thị để tìm các đại lượng Lâu nay, các

em học sinh thường quen với việc đọc bài toán với đầy đủ số liệu và từ đó áp dụng cáckiến thức, kĩ năng để giải toán Khi gặp bài toán có hình ảnh đồ thị thì thường lúngtúng và không biết cách đọc, tức là không biết cách tìm số liệu từ đồ thị để giải bài tập,trong đó có những bài tập thí nghiệm Trong quá trình giảng dạy ôn thi, các thầy cô ởcác trường THPT cũng ít quan tâm và dạy cho học sinh cách đọc đồ thị, nhiều thầy côthậm chí còn lúng túng khi gặp các bài toán này Với mong muốn cung cấp cho cácthầy cô một vài kiến thức và kinh nghiệm trong việc đọc đồ thị để giải bài toán nhanh

và hiệu quả, tôi quyết định chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh đọc và giải các bài toán

đồ thị”.

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Bằng sự học hỏi và kinh nghiệm giảng dạy của mình, tôi đã mạnh dạn và kiên trìnghiên cứu những bài toán về đồ thị, từ đó phục vụ cho việc giảng dạy hiệu quả hơn,nâng cao chất lượng dạy và học của trường chúng tôi, giúp học sinh hiểu sâu hơn vàbiết cách đọc đồ thị để giải toán, một dạng bài toán rất phổ biến trong các đề thi Đạihọc cũng như thi Học sinh giỏi Đồng thời mong muốn các đồng nghiệp có thêm tàiliệu hữu ích để phục vụ tốt hơn cho công tác giảng dạy của mình

III PHƯƠNG PHÁP, ĐỐI TƯỢNG, THỜI GIAN NGHIÊN CỨU ÁP DỤNG

1 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp nêu vấn đề và giải quyết vấn đề trong giảng dạy

- Phương pháp phân tích tổng hợp

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

2 Đối tượng nghiên cứu:

Các bài toán đồ thị hình sin và không sin

3 Phạm vi và thời gian nghiên cứu:

Học sinh các lớp khối A trường THPT Triệu Sơn 2, gồm 12B4, 12B5, 12B6 năm học2014-2015; học sinh lớp 12C1 và 12C5 năm học 2015-2016 Các đội tuyển Học sinhgiỏi thi cấp Tỉnh năm học 2014-2015 và 2015-2016

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Sau đây ta sẽ biểu diễn các đồ thị dao động điều hòa, tức là đồ thị hình sin,

chung cho các bài tập chương Dao động cơ, Sóng cơ, Điện xoay chiều và Dao động

điện từ

a) Đồ thị li độ của vật dao động điều hòa

- Xét phương trình dao động điều hoà x = Acos(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và t+φ), nếu chọn gốc thời gian và φ), nếu chọn gốc thời gian và ), nếu chọn gốc thời gian và

chiều dương trục toạ độ thích hợp để φ), nếu chọn gốc thời gian và = 0 Ta lập bảng giá trị sau để vẽ đồ thị của

hàm điều hoà x = Acosωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và t

Bảng biến thiên: Chọn điều kiện ban đầu sao cho   0, phương trình là

t T A t A

cos cos 

Đồ thị của dao động điều hòa là một đường hình sin nên người ta gọi dao động điều

hoà là dao động hình sin.

b) Đồ thị so sánh pha của các dao động điều hòa : x, v và a

Ta vẽ đồ thị cho trường hợp   0

T A t A

cos cos 

 thì vận tốc v  Asin tvà gia tốc a  2Acos t

ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và A

ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và 2A

O

-ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và A

- ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và 2A

tv(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và t)a(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và t)

x(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và t)

c) Đồ thị năng lượng trong dao động điều hòa

+φ), nếu chọn gốc thời gian và Thế năng và động năng biến thiên tuần hoàn theo thời gian với ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và ’ = 2ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và , f’ = 2f và T’

= T/2 Cơ năng là đại lượng bảo toàn

- Đồ thị cơ năng W là đường thẳng nằm ngang (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và do cơ năng không đổi)

1.2 Đồ thị không phải dạng hình sin

- Đồ thị không phải dạng hình sin thường đa dạng và khá phức tạp Mỗi bài toán ứng với mỗi hình đồ thị thường khác nhau, thường là đồ thị diễn tả mối liên hệ của đại lượng này theo đại lượng kia mà không phải thời gian (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và tức là không có trục thời gian)

W

2 Phương pháp đọc đồ thị để giải toán

2.1 Đối với bài toán có đồ thị hình sin, trục hoành là trục thời gian, trục tung là trục

các đại lượng phụ thuộc vào t như li độ x, vận tốc v, gia tốc a, cường độ dòng điện i,điện áp u,…Ta thường áp dụng các bước đọc đồ thị và giải như sau:

Bước 1: Dựa vào tính tuần hoàn, tức là lặp lại của hình dạng đồ thị đề tính chu kì, từ

đó suy ra tần số góc Dựa vào giới hạn của đồ thị tìm biên độ A

Bước 2: Xác định trạng thái ban đầu và tiếp theo sau đó của vật (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và hoặc sự tăng giảm

của các đại lượng) bằng cách xem xét đồ thị đi lên hay đi xuống kể từ t = 0

* Lưu ý: - Nếu từ thời điểm t = 0 mà đồ thị đi lên thì ta nói vật đi theo chiều dương

(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và hướng lên) hoặc giá trị của đại lượng tăng

- Nếu từ thời điểm t = 0 mà đồ thị đi xuống thì ta nói vật đi theo chiều âm (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và hướngxuống) hoặc giá trị của đại lượng giảm

Bước 3: Sử dụng cách giải các bài toán thông thường để giải như viết biểu thức, tính

các đại lượng liên quan

* Lưu ý : Với bài toán có từ 2 đồ thị trên cùng hình vẽ thì khi tính chu kì, ta chỉ dựa

vào tính tuần hoàn của một đồ thị, vì đề bài thường cho các vật (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và hay đại lượng) cócùng chu kì Hình chiếu của các điểm cắt nhau của hai đồ thị chính là vị trí hai vật gặpnhau (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và hoặc có cùng giá trị)

2.2 Đối với đồ thị không phải dạng hình sin thì ta phải kết hợp công thức đã có (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và hoặc

đề bài cho) và số liệu trên đồ thị để tìm ra kết quả

II ĐỌC VÀ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐỒ THỊ

1 Đồ thị hình sin

VD 1: Một dao động điều hoà có li độ x

biến đổi theo thời gian theo đồ thị bên,

viết phương trình dao động của vật

HD : Ta đọc đồ thị này như sau: Từ

đồ thị ta thấy, ở thời điểm t = 0 chất

điểm đang ở li độ x0 = - 1 cm và sau

đó đồ thị đi lên, tức là chất điểm đi

theo chiều dương

0

2

-1

-00,05x(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và cm)

t(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và s)

Với biên độ A = 2 cm Chất điểm đi từ x0 = -1 cm đến VTCB hết thời gian t = 0,05

s, ứng với góc quét là 4 rad Ta tính được chu kì T = 0,4 s

Như vậy ta đã đọc được đồ thị và chuyển bài toán đồ thị về bài toán thông thường Giải bài toán này ta được phương trình dao động của vật là:

cos

VD 2: Vận tốc của một vật dao động

điều hòa biến thiên có đồ thị như

hình vẽ Lấy  2  10 Viết phương

trình dao động của vật

HD: Ta đọc đồ thị này như sau:

- Vận tốc cực đại vmax = ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và A = 40 cm/s;

- Thời điểm ban đầu (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và t = 0) vật có vận tốc v =

3

20 cm/s và giảm xuống đến 0 rồi đến giá

trị cực tiểu vmin Tức là vật đi từ li độ x0 > 0 đến vị trí biên dương x = A rồi về đến vịtrí cân bằng theo chiều âm của trục tọa độ hết thời gian 5/12 s

12

5 4

VD 3: Một vật có khối lượng 400 g dao

động điều hòa có đồ thị động năng như hình

vẽ Tại thời điểm t = 0 vật đang chuyển

động theo chiều dương Lấy 2 10



phương trình dao động của vật

HD: Ta đọc đồ thị này như sau:

- Động năng cực đại là cơ năng W = 0,02 J

- Động năng ban đầu W0đ = 0,015 J = 43 W

v(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và cm/s)

t(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và s)0

x(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và cm)

- 6

- 8

x2

VD 4: Cho hai vật dao động điều

hòa có li độ x1 và x2 được biểu diễn

bởi đồ thị như hình vẽ Tổng tốc độ

của hai vật ở cùng một thời điểm có

giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?

HD: Ta đọc đồ thị này như sau:

(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và rad/s)

- Vật thứ nhất có li độ ban đầu là x01 = 0 (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và vị trí cân bằng) và đi theo chiều dương, có

- Vật thứ hai có li độ ban đầu là x02 = - A2 (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và vị trí biên) và đi theo chiều dương, có biên

độ A2 = 6 cm nên phương trình là : x 6 cos20 t  cm;

- Biên độ tổng hợp A = 10 cm nên tổng tốc độ cực đại v12max  A 200  cm/s

VD 5: Có hai con lắc lò xo giống

nhau đều có khối lượng vật nhỏ là m

= 400 g Mốc thế năng tại vị trí cân

bằng và  2  10 x1, x2 lần lượt là đồ

thị ly độ theo thời gian của con lắc

thứ nhất và thứ hai như hình vẽ Tại

thời điểm t con lắc thứ nhất có động

năng 0,06 J và con lắc thứ hai có thế

năng 0,005 J Tính chu kì của hai

(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và x2)

(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và x1)

10



10

T T/2

VD 6: Cho 3 dao động điều hòa cùng phương

cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 =

A1cos(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và t +φ), nếu chọn gốc thời gian và φ), nếu chọn gốc thời gian và 1), x2 = A2cos(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và t +φ), nếu chọn gốc thời gian và φ), nếu chọn gốc thời gian và 2) và x3 =

A3cos(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và t +φ), nếu chọn gốc thời gian và φ), nếu chọn gốc thời gian và 3) Biết A1 = 1,5A3 ; φ), nếu chọn gốc thời gian và 3 – φ), nếu chọn gốc thời gian và 1 = π

Gọi x12 = x1 +φ), nếu chọn gốc thời gian và x2 là dao động tổng hợp của dao

động thứ nhất và dao động thứ hai; x23 = x2 +φ), nếu chọn gốc thời gian và x3

là dao động tổng hợp của dao động thứ hai và

dao động thứ ba Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của li độ hai dao độngtổng hợp trên như hình vẽ Giá trị của A2 là

HD:

Cách 1: Theo đồ thị ta có: Chu kỳ dao động T = 2 s, ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và = π rad/s

Dao động x12 chậm hơn dao động x23 về thời gian là 65 - 21 = 31s = T6 tức là chậm pha hơn góc 3

Pha ban đầu của dao động x23 là φ), nếu chọn gốc thời gian và 23 = 2 và của dao động x12 là φ), nếu chọn gốc thời gian và 12 = 2 - 3 = 6Suy ra phương trình của các dao động tổng hợp:

x12 = 8cos(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và πt +φ), nếu chọn gốc thời gian và 6 ) cm; x23 = 4cos(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và πt +φ), nếu chọn gốc thời gian và 2 ) cm

Mặt khác: x1 = A1cos(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và πt +φ), nếu chọn gốc thời gian và φ), nếu chọn gốc thời gian và 1) ; x3 = A3cos(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và πt +φ), nếu chọn gốc thời gian và φ), nếu chọn gốc thời gian và 3) = 32 A1cos(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và πt +φ), nếu chọn gốc thời gian và φ), nếu chọn gốc thời gian và 1+φ), nếu chọn gốc thời gian và π) = - 32

A1cos(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và πt +φ), nếu chọn gốc thời gian và φ), nếu chọn gốc thời gian và 1) = -

x12 = 8cos(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và t )

Tại t = 5/6(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và s) thì x12= - 8 cm )

6 cos(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và 8 6

Do x12 = x1 +φ), nếu chọn gốc thời gian và x2  x12 = - 1,5x3 +φ), nếu chọn gốc thời gian và x2

x23 = x3 +φ), nếu chọn gốc thời gian và x2

5 , 1 5

, 2 5 ,

2 2 23

12

x x

x x x



Sử dụng máy tính x2 =

5 , 2 2

6 6

8   

5 37

4 (cosπt +φ), nếu chọn gốc thời gian và 0,96) cm  A2= 4,87 cm

VD 7: Một sóng hình sin đang

truyền trên một sợi dây của trục

Ox Hình vẽ mô tả hình dạng của

sợi dây tại thời điểm t1 (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và đường nét

đứt) và t2 = t1 +φ), nếu chọn gốc thời gian và 0,25 (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và s) (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và đường

liền nét) Tính vận tốc của điểm M

ở thời điểm t2

HD: Hình ảnh truyền sóng trên mặt nước cũng có dạng hình sin giống như đồ thị hình

sin, nên ta vừa áp dụng cách đọc đồ thị, vừa lưu ý các tính chất của sóng để đọc chochính xác

- Từ hình vẽ ta thấy A = 8 cm

- Từ 36 cm đến 72 cm có 6 ô => chiều dài mỗi ô là (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và 72 – 36)/6 = 6 cm

- Bước sóng bằng chiều dài 8 ô => λ = 8.6 = 48 cm

- Trong thời gian 0,25 sóng truyền được 3 ô theo phương ngang và quảng đường s =

VD 8: Một sóng hình sin đang truyền

trên một sợi dây theo chiều dương của

trục Ox Hình vẽ mô tả hình dạng của

sợi dây tại thời điểm t1 (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và đường nét

đứt) và t2 = t1 +φ), nếu chọn gốc thời gian và 0,3 (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và s) (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và đường liền

nét) Tại thời điểm t2, vận tốc của

điểm M trên dây là bao nhiêu ?

HD: Tương tự VD 6, ta tính được bước sóng λ = 40 cm

- Hai điểm M và N lệch pha nhau

v M  maxcos2 = 27,8 cm/s

VD 9: Sóng dừng trên sợi dây đàn hồi OB chiều

dài L mô tả như hình bên Điểm O trùng với gốc

tọa độ của trục tung Sóng tới điểm B có biên độ

a Thời điểm ban đầu hình ảnh sóng là đường nét

M8

liền đậm, sau thời gian t và 5t thì hình ảnh sóng lần lượt là đường nét đứt và đườngnét liền mờ Tốc độ truyền sóng là v Tính tốc độ dao động cực đại của điểm M.

HD: - Từ hình vẽ ta thấy : Sau thời gian 5t-t = 4t điểm bụng đi từ x đến –x, như vật sau thời gian 3t, điểm bụng đi từ biên 2a đến vị trí cân bằng nên T/4 = 3t

- Như vậy tốc độ dao động cực đại của điểm M là vM(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và max) = ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và AM = 2  3va L

VD 10: Đặt điện áp xoay chiều ổn định vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và hình

vẽ) MN là đoạn mạch chứa hộp kín X Biết tụ điện có dung kháng ZC, cuộn cảm thuần có cảm kháng ZL và 3ZL = 2ZC Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của điện áp giữa hai đầu đoạn mạch AN và điện áp giữa hai đầu đoạn mạch MB như hình

vẽ Tính điện áp hiệu dụng giữa hai điểm M và N

HD: Đọc đồ thị ta thấy như sau:

100

u(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và x100V)

t(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và ms)

uAN

uMB2

VD 1: Đặt một điện áp u = U0cosωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và t (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và U0, ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và không đổi) vào hai đầu đoạn mạch RLC

nối tiếp Cho biết R= 100 , cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được Hình bên

là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất tiêu thụ điện của đoạn mạch theo độ tựcảm L Tính dung kháng của tụ điện

HD: Áp dụng công thức tính công suất :

 

2 0 2

2R Z L Z C

R U R

R U

P W (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và 1)

+φ), nếu chọn gốc thời gian và Khi L = L0 thì 300

2

2 0 max  



R

U P

P W (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và 2)Giải hệ (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và 1) và (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và 2) suy ra Z C R 2  100 2 

VD 2: Một nhà vật lý hạt nhân làm thí nghiệm

xác định chu kì bán rã T của một chất phóng xạ

bằng cách dùng máy đếm xung để đo tỉ lệ giữa

số hạt bị phân rã N và số hạt ban đầu N0 Dựa

vào kết quả thực nghiệm đo được trên hình vẽ,

VD 3: Cho mạch điện gồm R, L và C theo thứ

tự nối tiếp, cuộn dây có điện trở r Đặt vào hai

đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có giá

trị hiệu dụng không đổi, tần số f = 50 Hz Cho

điện dung C thay đổi người ta thu được đồ thị

liên hệ giữa điện áp hiệu dụng hai đầu mạch

chứa cuộn dây và tụ điện UrLC với điện dung C

của tụ điện như hình vẽ phía dưới Tính điện trở

r của cuộn dây

HD: Từ biểu thức tính điện áp:

L C rLC rLC rLC 2 2

ln(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và 1 - ΔN/NN/N0)-1

t(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và phút)

0 1 2 3 4 5 6

- Khi C  100   ( F)  Z C  100 ( )  thì U rLC cực tiểu, khảo sát hàm số có được:

r U

- Khi

2 2

2 2 L

VD 4: Lần lượt đặt vào 2 đầu đoạn mạch xoay chiều R, L, C (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và R là biến trở, L thuần

cảm) 2 điện áp xoay chiều: u1  U 2 cos( t   1 )V và u2  U 2 cos( t   2 / 2)V, người ta thu được đồ thị công suất mạch điện xoay chiều toàn mạch theo biến trở R như hình bên Biết A là đỉnh của đồ thị P(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và 2) Tính giá trị của x

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Đồ thị của một vật dao động điều hòa có dạng như hình vẽ Phương trình dao

động của vật là

A x 4 cos (ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và t ) cm

R(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và Ω))400

1000

50

x P(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và 1)

P(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và 2)A

P(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và W)