ĐÁNH GIÁ độ PHỨC tạp của THUẬT TOÁN THÔNG QUA các ví dụ

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình tham gia giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Tin học thì việc đánh giá độ phức tạp của thuật toán là một công việc hết sức quan trọng.. Khi tiếp xú

MỤC LỤC

A Phần mở đầu 1

I Lý do chọn đề tài 1

II Mục đích của đề tài 1

III Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu 1

VI Điểm mới trong kết quả nghiên cứu 2

B Nội dung 3

I Khái niệm độ phức tạp của thuật toán 3

II Đánh giá độ phức tạp của thuật toán 3

2.1 Quy tắc đánh giá độ phức tạp thuật toán 3

2.2 Đánh giá độ phức tạp của thuật toán thông qua đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh hóa năm học 2016-2017 5

C Phần kết luận 13

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong quá trình tham gia giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Tin học thì việc đánh giá độ phức tạp của thuật toán là một công việc hết sức quan trọng Khi tiếp xúc trực tiếp với các giáo viên và học sinh phổ thông trong địa bàn tỉnh Thanh Hóa thì gần như có rất nhiều thầy cô và các em học sinh chưa hiểu rõ về cách đánh giá độ phức tạp của thuật toán Trong các kỳ thi học sinh giỏi, nếu một thuật toán cho ra một kết quả đúng nhưng thời gian thực hiện thuật toán đó lớn hơn thời gian quy định thì bài làm đó sẽ không được điểm tối đa Thông thường giới hạn thời gian của mỗi test trong kỳ thi chọn học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa là 1giây (1s/1test) Với lại trên thực tế, tài liệu viết về cách đánh giá độ phức tạp của thuật toán còn hạn hẹp và việc tự đọc để hiểu tài liệu

đó còn gặp nhiều khó khăn

Từ các lí do trên, tôi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm “ ĐÁNH GIÁ

ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN THÔNG QUA VÍ DỤ ”, để giúp giáo viên và học sinh có thể hiểu rõ hơn về cách đánh giá độ phức tạp của thuật toán

II MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI

Việc đánh giá độ phức tạp của thuật toán là hết sức quan trong trọng các kỳ thi học sinh giỏi và rất cần thiết Đề tài này sẽ giúp giáo viên và học sinh có một tài liệu có thể tự đọc và hiểu được cách đánh giá độ phức tạp của thuật toán Từ

đó khi giải quyết một bài toán trong các kỳ thi học sinh giỏi: với cách làm của mình như thế thì tính được độ phức tạp là bao nhiêu? Khi biết đánh giá được độ phức tạp của bài toán thì sẽ biết bài đó mình được tầm bao nhiêu điểm?

III NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Viết sáng kiến kinh nghiệm thường xuyên liên tục cũng là nhiệm vụ chính trị của mỗi giáo viên, nhưng cần phải lựa chọn phương pháp nghiên cứu đúng đắn và phù hợp với nhà trường trung học phổ thông Sáng kiến kinh nghiệm

đang trình bày của tôi dựa theo các luận cứ khoa học hướng đối tượng, cụ thể: thuyết trình, quan sát, điều tra cơ bản, phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm,v.v… phù hợp với bài học và môn học thuộc lĩnh vực Tin học

IV ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Giúp cho hầu hết học sinh sau khi làm bài thì có thể biết mình được bao nhiêu điểm Ngoài ra, tôi mạnh dạn trình bày sáng kiến kinh nghiệm này còn để phục vụ cho giáo viên trong quá trình dạy đội tuyển và rèn luyện cho học sinh cách đánh giá độ phức tạp của thuật toán

B PHẦN NỘI DUNG

I KHÁI NIỆM ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN

Nói về độ phức tạp của thuật toán thì độ phức tạp về thời gian là quan trọng nhất, bởi vì nếu một thuật toán cho ra một kết quả đúng nhưng thời gian thực hiện thuật toán cần một khoảng thời gian lớn đến nỗi không thể chấp nhận được (Ví dụ bài toán tháp Hà Nội nếu dùng đệ quy để tính toán thì với tốc độ máy tính hiện nay phải giải nó khoảng vài ngàn năm) Do đó yêu cầu thời gian được đưa ra đầu tiên Thuật toán được gọi là hay thì phải có thời gian thực hiện ngắn và tiết kiệm tài nguyên máy tính Sự hao phí tài nguyên máy tính liên quan đến phần cứng máy tính Vì vậy mà những thuật toán đưa ra thường lấy thời gian để tính độ phức tạp hơn là tài nguyên (vì mỗi máy khác tài nguyên) Vì vậy,

độ phức tạp của thuật toán là thời gian thực hiện của thuật toán Ký hiệu độ phức tạp của thuật toán là O lớn Ta có tính chất O(f(x)+g(x))=max (O(f(x)), O(g(x)))

II ĐÁNH GIÁ ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN

2.1 Quy tắc đánh giá độ phức tạp thuật toán

Ở đây chúng ta hiểu nôm na là đánh giá về mặt thời gian Và cách hiểu thông thường nhất chính là số lần lặp tối đa của một đoạn chương trình

- Ví dụ 1: Xét câu lệnh x:= x+1;

Độ phức tạp của câu lệnh trên là O(1) Vì đây là câu lệnh đơn nó được thực hiện 1 lần

- Ví dụ 2: Xét câu lệnh sau:

For i:= 1 to 10 do x:= x+ 1;

Câu lệnh trên được lặp 10 lần, mỗi lần lặp thì nó thực hiện một lệnh đơn

x:= x+1 suy ra câu lệnh trên có độ phức tạp là O(10)

- Ví dụ 3: Xét câu lệnh sau:

For i:= 1 to n do x:= x+ 1;

Câu lệnh trên được lặp n lần, nên độ phức tạp của thuật toán là O(n).

- Ví dụ 4: Xét câu lệnh sau:

For i:= 1 to n do

For j:=1 to n do x:= x+ a;

Đây là 2 câu lệnh For lồng nhau, nên nó lặp n2 lần, suy ra độ phức tạp của thuật toán là O(n2)

- Ví dụ 5: Xét đoạn chương trình sau:

x:= 1; //O(1) for i:= 1 to n do x:= x+i; //O(n) for i:= 1 to n do

for j:= 1 to n do x:= x+1; //O(n 2 )

Độ phức tạp của đoạn chương trình trên là max(O(1), O(n), O(n2)) = O(n2)

- Ví dụ 6: Xét đoạn chương trình tìm kiếm nhị phân sau:

dau:=1; cuoi:= n;

while dau <= cuoi do

begin giua:=(dau+cuoi) div 2;

if a[giua] = tim then

begin

writeln(’tim thay’);

break;

end else

if a[giua] > tim then

else dau:= giua +1;

end;

Câu lệnh dau:=1; cuoi:= n; là câu lệnh đơn có độ phức tạp là O(1) Còn cả khối lệnh phía sau là đoạn tìm kiếm nhị phân trên mảng có n phần tử a[1], a[2], a[3], a[n] Nó cứ chia đôi ra để tìm Suy ra số lần tối đa của việc chia đôi ra chính là độ phức tạp của thuật toán Giả sử số lần chia đôi là k, thì ta

dễ dàng thấy 2k = n Từ đây là suy ra k = log2n Độ phức tạp của đoạn chương trình trên là O(log2 n) hay nói một cách ngắn gọn là O(log n)

- Ví dụ 7: Xét đoạn chương trình sắp xếp sau:

For i:= 1 to n-1 do

For j:=i+1 to n do

If a[i]>a[j] then

Begin

Tg:= a[i];

A[i]:= a[j];

A[j]:= tg;

End;

Ta thấy đoạn chương trình trên có cấu trúc for lồng nhau, còn sau lệnh for

là các câu lệnh đơn

 Khi i=1 thì nó lặp n-1 lần;

 Khi i=2 thì nó lặp n-2 lần;

 Khi i=3 thì nó lặp n-3 lần;



 Khi i=n-1 thì nó lặp 1 lần;

Vậy số lần lặp tối đa của đoạn chương trình trên là: (n-1) + (n-2) + (n-3) + + 2 + 1 Đây là tổng các số tự nhiên từ 1 đến n-1 Áp dụng công thức cấp số

cộng ta được kết quả là ( 1)

2

n n 

Vậy độ phức tạp của thuật toán là O( ( 1)

2

n n 

) Khi n lớn thì ta có thể thấy độ phức tạp này sấp sĩ bằng O(n2)

2.2 Đánh giá độ phức tạp của thuật toán thông qua đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh hóa năm học 2016-2017

Như chúng ta đã biết trong các kỳ thi học sinh giỏi, thì 1 giây thì máy tính chạy được tầm 5.108 phép tính Vì vậy nếu đề bài cho giới hạn của N ≤ 105 thuật toán của chúng ta làm phải bé hơn hoặc bằng O(nlog n) thì mới chạy được hết tất cả các test (có giới hạn 1s/1test) Còn nếu ta làm thuật toán có độ phức tạp là O(n2) thì không ăn hết được tất cả các test trong 1 giây Ta chỉ cần tính đơn giản,

khi n=105 thì n2=1010, mà theo trên thì 1010 phép tính thì nó không thể chạy trong

1 giây

Bài 1: (5 điểm) Tổng nguyên tố

Cho số nguyên dương N (N ≤ 105)

Yêu cầu: Tìm số các cặp số nguyên dương x, y sao cho:

- x, y là 2 số nguyên tố.

- x + y = N

- x ≤ y

Dữ liệu vào: Vào từ file văn bản BAI1.INP gồm một số duy nhất N.

Kết quả: Đưa ra file văn bản BAI1.OUT một số là số các cặp số tìm được.

Ví dụ:

Code :

const fi='bai1.inp';

fo='bai1.out';

var n,i,j: longint;

res: longint;

function ngto(x: longint): boolean; //O( x-1)

var i: longint;

begin

ngto:= true;

for i:= 2 to trunc(sqrt(x)) do

if x mod i = 0 then

begin

ngto:= false;

break;

end;

end;

BEGIN

assign(input, fi); reset(input);

assign(output, fo); rewrite(output);

readln(n);

res:=0;

for i:=2 to n div 2 do

if ngto(i) and ngto(n-i) then inc(res);

writeln(res);

close(output);

END.

Rễ dàng nhận thấy độ phức tạp của thuật toán là O(( 1

2

n

 )* 1

2

n

 )) Hay

có thể hiểu ngắn gọn là O(n n)

Bài 2: (5 điểm) Kí tự khác nhau

Cho xâu S chỉ gồm các kí tự là chữ cái tiếng anh và các chữ số (có phân

biệt chữ in hoa, in thường)

Yêu cầu: Hãy xác định số kí tự khác nhau trong xâu S và mỗi kí tự xuất hiện

bao nhiêu lần

Dữ liệu vào: Vào từ file văn bản BAI2.INP gồm 1 dòng duy nhất là xâu kí tự S

(có độ dài không quá 255)

Kết quả: Kết quả ghi ra file văn bản BAI2.OUT gồm:

- Dòng đầu ghi số kí tự khác nhau

- Các dòng tiếp theo, mỗi dòng ghi một kí tự xuất hiện trong xâu S và số lần xuất hiện của nó Các kí tự đưa ra theo thứ tự chữ cái in hoa, in thường, chữ

số Các chữ cái, chữ số đưa ra theo thứ tự từ điển

Ví dụ:

A 2

B 2

C 2

z 1

1 2

9 1

Code :

const fi='bai2.inp';

fo='bai2.out';

var dem: array['0' 'z'] of longint;

st: string;

res,i: longint;

ch: char;

BEGIN

assign(input, fi); reset(input);

assign(output, fo); rewrite(output);

readln(st);

for ch:='0' to 'z' do dem[ch]:=0; //O(75)

for i:= 1 to length(st) do inc(dem[st[i]]); //O(length(st))

res:=0;

for ch:='0' to 'z' do //O(75)

if dem[ch]>0 then inc(res);

writeln(res);

for ch:= 'A' to 'z' do //O(26)

if dem[ch]>0 then writeln(ch,' ',dem[ch]);

for ch:= '0' to '9' do //O(10)

if dem[ch]>0 then writeln(ch,' ',dem[ch]);

close(output);

END.

Ở đây chúng ta phải nhớ một số ký tự trong bảng mã ASCII để tính số lần lặp của các câu lệnh Câu lệnh for ch:='0' to 'z' do dem[ch]:=0; nó lặp 75 lần (Vì ký tự O trong trong bảng mã là 48, ký tự z trong bảng mã là 122) Tương tự thì ta có độ phức tạp của các câu lệnh như code ở trên Suy ra độ phức tạp của code trên là O(length(st)) = O(255)

Bài 3: (4 điểm) Hẹn gặp

Thành phố Gloaming (Hoàng hôn) nổi tiếng với đường dẫn vào công

viên thành phố Các bức tượng tuyệt đẹp theo chủ đề thần thoại Hy lạp – La mã đặt dọc theo con đường thẳng có một sức hút không cưỡng được với mọi khách

du lịch Còn khi những tia nắng cuối cùng trong ngày miễn cưỡng rời khỏi bầu trời thì sương mù dày đặc, như một tấm voan trắng mềm mại từ từ rũ xuống

Bây giờ đứng cách quá r mét là đã không nhìn thấy mặt nhau và các bức tượng

trở thành nơi lý tưởng cho các đôi nam nữ thanh niên hẹn hò

James Bond cần gặp gấp 2 điệp viên nội tuyến của mình để nhận các mật báo khẩn Không muốn 2 người này nhìn thấy nhau, Bond hẹn gặp mỗi người ở

một bức tượng sao cho khoảng cách giữa chúng lớn hơn r Trên đường có n bức tượng, bức tượng thứ i ở vị trí cách đầu con đường d i mét i = 1 ÷ n, 1 ≤ d 1 < d 2 <

.< d n ≤ 109

Yêu cầu: Hãy xác định James Bond có bao nhiêu cách chọn địa điểm.

Dữ liệu vào: Vào từ file văn bản BAI3.INP:

- Dòng đầu tiên chứa 2 số nguyên n và r (1 ≤ n ≤ 3×105, 1 ≤ r ≤ 109)

- Dòng thứ 2 chứa n số nguyên d 1 , d 2 , , d n

Kết quả: Đưa ra file văn bản BAI3.OUT một số nguyên là số cách chọn

địa điểm tìm được

Ví dụ:

4 4

Rằng buộc:

- Có ½ số test tương ứng với ½ số điểm có 104 < n ≤ 3×105

Code :

const fi='bai3.inp';

fo='bai3.out';

maxn= 300001;

var d: array[1 maxn] of longint;

res: int64;

i,n,r,kq: longint;

dau,cuoi,giua: longint;

BEGIN

assign(input, fi); reset(input);

assign(output, fo); rewrite(output);

readln(n,r);

for i:= 1 to n do read(d[i]);

res:=0;

for i:=1 to n-1 do

begin

dau:=i+1; cuoi:= n; kq:=n+1;

while dau <= cuoi do

begin

giua:=(dau+cuoi) div 2;

if d[giua]- d[i]> r then

begin

cuoi:=giua -1;

kq:= giua;

end

else dau:= giua +1;

end;

res:= res+n-kq+1;

end;

writeln(res);

close(output);

END.

Độ phức tạp của code trên là O((n-1)log(n)) hay nói ngắn gọn hơn là O(nlog(n))

Bài 4: (3 điểm) Tập số

Cho số tự nhiên N (1 ≤ N ≤ 106) và một tập A chỉ gồm các số tự nhiên

khác nhau được xác định như sau:

- 1 thuộc A.

- Nếu k thuộc A thì 2k+1 và 3k+1 cũng thuộc A.

Yêu cầu: Giả sử tập A đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần Hãy tìm phần tử

thứ N của tập A

Dữ liệu vào: Vào từ file văn bản BAI4.INP gồm 1 dòng duy nhất chứa số N Kết quả: Ghi ra file văn bản BAI4.OUT gồm 1 số duy nhất là phần tử thứ

N của tập A tìm được.

Ví dụ:

Rằng buộc:

- Có 13 số test tương ứng với 13 số điểm có N ≤ 104

- Có 3 số test tương ứng với 3 số điểm có 104 < N ≤ 106

Code :

const fi='bai4.inp';

fo='bai4.out';

maxn= round(7e7); // Nghĩa là maxn = 7.10 7

var i,n: longint;

a: array[1 maxn] of boolean;

dem: longint;

BEGIN

assign(input, fi); reset(input);

assign(output, fo); rewrite(output);

readln(n);

for i:= 1 to maxn do a[i]:= false;

a[1]:= true;

for i:=1 to maxn div 2 do

if a[i]=true then

begin

if 2*i+1<= maxn then a[i*2+1]:= true;

if 3*i+1<= maxn then a[i*3+1]:= true;

end;

dem:= 0;

for i:= 1 to maxn do

if a[i]=true then

begin

inc(dem);

if dem = n then

begin

writeln(i);

break;

end;

end;

close(output);

END.

Rễ dàng nhận thấy độ phức tạp của code trên là O(maxn) = O(7.107)

Bài 5: (3 điểm) Xâu con

Một xâu kí tự gọi là xâu nhị phân nếu nó chỉ chứa hai kí tự ‘0’ hoặc ‘1’

Xâu v gọi là xâu con của xâu S nếu xâu v khác rỗng và được tạo bởi các kí

tự liên tiếp trong xâu S (thứ tự giữ nguyên) Hai xâu con u và v của xâu S là

khác nhau nếu nó có độ dài khác nhau hoặc được tạo từ các kí tự ở vị trí khác

nhau trong xâu S Ví dụ: xâu “010” có các xâu con là “0”, “1”, “0”, “01”, “10”,

“010”

Yêu cầu: Cho trước một xâu nhị phân S và số nguyên dương k, hãy đếm xem có

bao nhiêu xâu con của xâu S chứa đúng k kí tự ‘1’.

Dữ liệu vào: Vào từ file văn bản BAI5.INP gồm:

- Dòng 1 chứa một số nguyên k (0 ≤ k ≤ 106)

- Dòng 2 chứa xâu nhị phân S có độ dài không quá 106

Kết quả: Ghi ra file văn bản BAI5.OUT một số nguyên duy nhất là kết quả tìm

được

Ví dụ:

2 01010

4

Rằng buộc:

- Có 3 số test tương ứng với 3 số điểm có độ dài xâu nhị phân ≤ 104

- Có 23 số test tương ứng với 23 số điểm có 104 < độ dài xâu nhị phân ≤

106

Code:

const fi = 'BAI5.INP';

fo = 'BAI5.out';

maxn = 1000010;

var k, n, i : longint;

st: ansistring;

f: array[0 maxn] of longint;

res: int64;

left, right: longint;

procedure tinh; //O(n)

var i: longint;

begin

f[0]:=0;

for i:= 1 to n do

if st[i] = '1' then f[i]:= f[i-1]+1

else f[i]:= f[i-1];

end;

procedure timl; //O(log(n))

var dau, cuoi, giua: longint;

begin

dau:=i; cuoi:= n; left:= -1;

while (dau<=cuoi) do

begin

giua:= (dau+cuoi) div 2;

if f[giua]-f[i-1]=k then

begin

left:= giua;

cuoi:= giua -1;

end

else if f[giua]-f[i-1] > k then cuoi:= giua -1

else dau:= giua +1;

end;

end;

procedure timr; //O(log(n))

var dau, cuoi, giua: longint;

begin

dau:=left; cuoi:= n; right:= -1;

while (dau<=cuoi) do

begin

giua:= (dau+cuoi) div 2;

if f[giua]-f[i-1]=k then

begin

right:= giua;

dau:= giua +1;

end

else if f[giua]-f[i-1] > k then cuoi:= giua -1

else dau:= giua +1;

end;

end;

BEGIN

assign(input, fi); reset(input);

assign(output, fo); rewrite(output);

readln(k);

readln(st);

n:= length(st);

tinh;

res:=0;

for i:=1 to n do //O(n)

begin

timl; //O(log(n))

if left<>-1 then //O(1)

begin

timr; //O(log(n))

res:= res+ right-left+1; //O(1)

end;

end;

writeln(res);

close(output);

END.

Độ phức tạp của thủ tục procedure tinh; là O(n), của procedure timl;

là O(log(n)), của procedure timr; là O(log(n)) Suy ra độ phức tạp của cả chương trình là O(nlog(n))