Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học phẳng có sử dụng tính chất của đường tròn

Một phần kiến thức rất quan trọng trong phần này là các kiến thức về: Viết phương trình đường thẳng, viết phương trình đường tròn, xác định tọa độ điểm có sử dụng các tính chất của đường

Mục lục

1 : Mở đầu 2

1.1 Lí do chọn đề tài 3

1.2 Mục đích nghiên cứu 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

2 : Nộ dung sáng kiến kinh nghiệm 4

2.1 Cơ sở lí luận của SKKN 4

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN 4

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

1 Trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về đường tròn 4

2 Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi 6

3 Một số bài toán cơ bản 7

4 Một số bài tập tự luyện… 17

2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và Nhà trường 18

3 : Kết luận và kiến nghị 19

3.1 Kết luận 19

3.2 Kiến nghị 19

1 MỞ ĐẦU

Trong đề thi THPT QG(ở những năm trước), phần kiến thức về "Phươngpháp tọa độ trong mặt phẳng" là câu ở mức (điểm 8); Trong các kỳ thi chọn HSGcấp tỉnh thì đây là câu ở mức (điểm 16-18) Hầu hết các học sinh ở các trườngTHPT, nhất là học sinh học ở các trường miền núi thường gặp khó khăn khi làmcâu này Trong thực tế giảng dạy tôi thấy, muốn cho học sinh đạt được điểm 8 trởlên trong kỳ thi THPT QG và đạt giải cao trong kỳ thi HSG cấp tỉnh thì phải hướngdẫn các em học tốt các nội dung trong câu này Một phần kiến thức rất quan trọng

trong phần này là các kiến thức về: Viết phương trình đường thẳng, viết phương

trình đường tròn, xác định tọa độ điểm có sử dụng các tính chất của đường tròn.

Với mong muốn các học sinh của mình sẽ làm tốt trong các kỳ thi THPT QG và đạtgiải cao trong kỳ thi chon HSG cấp tỉnh tôi mạnh dạn đưa ra sáng kinh nghiệm:

“RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG CÓ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG TRÒN”

Do khả năng còn hạn chế; kinh nghiệm chưa nhiều và hạn chế về số trang nêntrong SKKN của tôi có thể có những phần chưa hoàn chỉnh Rất mong được sựđóng góp quí báu của quí thầy cô

Tôi xin chân thành cảm ơn!

1.1 Lí do chọn đề tài

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là phần kiến thức mà các em được học

từ năm lớp 10 với các nội dung khá cơ bản và đơn giản Nhưng trong các kỳ thi THPT QG và thi HSG cấp tỉnh thì đây là câu ở mức “vận dụng thấp và vận dụng cao”

Đối với học sinh miền núi nơi Tôi trực tiếp giảng dạy, Tôi thấy ít học sinh

làm chọn vẹn được câu này trong các kỳ thi

Hiện tại chưa có tài liệu nào bàn sâu về vấn đề: Chia phần kiến thức này thành các dạng: - Có sử dụng tính chất của đường tròn

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài này nghiên cứu, tổng kết về lớp các bài toán viết phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, xác định tọa độ điểm có sử dụng đến tính chất của đường tròn

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Tôi nêu lên phần lí thuyết và một số tính chất hay của đường tròn

- Nêu lên bài toán cơ bản và cách suy nghĩ để giải bài toán này

- Một số bài tập vận dụng và nâng cao

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

2.1 Cơ sở lí luận của SKKN

- Một học sinh không thể học “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” tốt khi

không nắm vững các tính chất hay về đường tròn, về các đa giác…

- Một học sinh không thể học “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” tốt khikhông nắm vững các bài toán cơ bản về viết phương trình đường thẳng, phươngtrình đường tròn, phương trình chính tắc của e líp và xác định tọa độ điểm

- Một học sinh không thể học “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” tốt nếu

không có kỹ năng phân tích đề, không có kỹ năng vẽ hình và khả năng tự giải quyếtvấn để

……

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

- Thực trạng chung: Hầu hết các học sinh có cảm giác sợ hình và ngại học

hình, nhất là các tính chất hình học phẳng mà các em được học từ cấp hai

- Thực trạng đối với giáo viên: Do đây là phần kiến thức khó dạy, học sinh

lại không hứng thú học, vì vậy một số giáo viên không mặn mà khi dạy phần kiếnthức này

- Thực trạng đối với học sinh: Hầu hết học sinh chưa có cách học tốt khi gặp

phần kiến thức này và luôn có cảm giác “sợ học hình” Vì vậy hầu hết các em đềuhọc chưa tốt phần kiến thức này

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

1/ Trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về đường tròn.

Ví dụ như:

 Phương trình đường tròn

 Vị trí tương đối của một điểm đối với đường tròn và các tính chất đặc biệt

- Trong phần này phải nhấn mạnh cho học sinh nắm vững một số tính chấtsau:

 Nếu điểm M nằm trong đường tròn C I R ,  thì mọi đường thẳng qua điểm M

đều cắt C I R ,  tại hai điểm phân biệt A B, Nhưng để đoạn AB ngắn nhất thì đường thẳng đó phải vuông góc với IM tại M

(Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh tính chất này để ghi nhớ vận dụng)

I

B M

♥ Tứ giác MAIB nội tiếp

♥ MI là đường phân giác của AMB

♥ Khi MAMB thì tứ giác MAIB là hình vuông

…

I M

♥ Tam giác IAB có diện tích lớn nhất khi nào?

♥ Nếu  qua M đồng thời cắt C I R ,  tại hai điểm phân biệt A B, và AB k

thì đường thẳng  cách I một đoạn bằng bao nhiêu?

…

B A

I

M

 Vị trí tương đối của một đường thẳng đối với đường tròn và các tính chấtđặc biệt

 Vị trí tương đối của hai đường tròn

2/ Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi.

H? Yêu cầu bài toán là gì?

H? Để thực hiện yêu cầu đó ta có những hướng suy nghĩ nào?

H? Giả thiết bài toán cho gì?

H? Với giả thiết đó, ta có mấy cách giải quyết bài toán này và ta sẽ làm bài nàytheo cách nào? vì sao?

Khi gặp khó khăn, ta tiếp tục đặt câu hỏi?

H? Ta gặp khó khăn ở đâu?

H? Có phần giả thiết nào chưa sử dụng không?

H? Ta đã gặp bài toán nào tương tự bài này chưa?

 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này

+/ Câu trả lời mong muốn

a/ Từ AB k , chỉ ra được khoảng cách từ I đến  Chuyển bài toán đã cho

về bài toán quen thuộc “viết phương trình đường thẳng qua M x M;y M đồngthời cách I một đoạn cho trước”

b/ Đường thẳng  cần lập sẽ qua M x M;y M và vuông góc với IM tại M

I

B M

A

 Yêu cầu học sinh làm bài toán cụ thể

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho   C : x 12y 32  25và điểm M2; 1   Viết phương trình đường thẳng  qua M2; 1   đồng thời cắt  C tại hai điểm A B,sao cho:

b/ Diện tích tam giác IAB lớn nhất

c/ Diện tích tam giác IAB bằng S0

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này

+/ Câu trả lời mong muốn:

a/ Từ AB k 0 k 2R , ta tìm được khoảng cách từ I đến  Chuyển bàitoán đã cho về bài toán quen thuộc “viết phương trình đường thẳng qua M x M;y M

đồng thời cách I một đoạn cho trước”

IAB

AB, quay lại “bài toán 1”

“Ở câu c phải lưu ý thường có 2 số đo góc BIA”

B A

I

M

 Yêu cầu học sinh làm bài toán cụ thể.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho   C : x 12y 22  5 và điểm M6; 2 Viết phương trình đường thẳng  qua M2; 1   đồng thời cắt  C tại hai điểm A B,sao cho:

a/ AB  10

b/ Diện tích tam giác IAB lớn nhất

c/ Diện tích tam giác IAB bằng 5 3

4

Hướng dẫn:

a/  1 :x 3y 0 à v  2 :x 3y 12 0 

b/ Từ diện tích tam giác IAB lớn nhất ta tính được AB  10, quay lại câu a.

c/ Diện tích tam giác IAB bằng 5 3

4 , ta chỉ ra được AIB 60 0 hoặc

a/ Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

b/ Góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này

+/ Câu trả lời mong muốn:

Trong cả hai ý, học sinh lập luận để tính được khoảng cách từ M đến tâm I ,khi đó bài toán đã cho trở về bài toán quen thuộc

 Yêu cầu học sinh làm bài toán cụ thể.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho   2  2

C x  y   x y   Xác địnhtọa độ điểm M thuộc  sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) đồng thời: a/ Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

b/ Hai tiếp tuyến đó tạo với nhau một góc bằng 60 0

Kết quả mong muốn:

a/ Lập luận chỉ ra MI là đường chéo của hình vuông(I là tâm của  C )

b/ Chia thành 2 trường hợp, Lập luận chỉ ra được độ dài MI

+/ E và H đối xứng nhau qua M

+/ H và D đx nhau qua BC

c/ Gọi N P, lần lượt là trung điểm của AB AC I, ; là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP CMR:

+/ O là trực tâm của tam giác MNP

+/ I là trung điểm của OH.(OH  3OG

 

2OI



) d/ Gọi A B C', ', ' lần lượt là chân đường cao hạ từ A B C, , xuống cạnh đối diện CMR:

+/ AO vuông góc với B C' '

+/ BO vuông góc với A C' '

+/ CO vuông góc với A B' '

e/ CMR 6 điểm M N P A B C, , , ', ', ' cùng năm trên một đường tròn(Đường tròn

Ole đi qua 9 điểm)

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

 Yêu cầu học sinh chứng minh và ghi nhớ các tính chất hay trong bài toán 4

 Yêu cầu học sinh làm ví dụ cụ thể.

Ví dụ cụ thể 1: “Đề thi HSG lớp 12 cấp trường năm học 2015-2016”

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là

3x 5y 8 0,  x y  4 0  Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D4; 2   Viết phương trình

các đường thẳng AB, AC; Biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.

* Yêu cầu học sinh nêu lên cách nghĩ, cách làm của mình:

Câu trả lời mong muốn:

 Học sinh 1: Vận dụng tính chất b, bài toán 4 một cách linh hoạt:

- Xác định được tọa độ điểm

M

E

H

M K D I A

C B

- Viết phương trình đường thẳng AD

- Xác định được tọa độ điểm A

- Xác định được tọa độ điểm H

- Xác định được tọa độ điểm E

- Xác định được tọa độ điểm I

- Viết phương trình đường tròn C I R IA ,  

- Xác định được tọa độ điểm B C,

Đáp số: AB x y: 3   4 0;  AC y:   1 0.

 Học sinh 2.

- Xác định được tọa độ điểm M

- Viết phương trình đường thẳng AD

- Xác định được tọa độ điểm A

- Viết phương trình đường trung trực của đoạn BC

- Viết phương trình đường trung trực của đoạn AD

- Xác định được tọa độ điểm I

- Viết phương trình đường tròn C I R IA ,  

- Xác định được tọa độ điểm B C,

  Viết phương trình đường thẳng BC

* Yêu cầu học sinh nêu lên cách nghĩ, cách làm của mình:

Câu trả lời mong muốn:

Học sinh biết vận dụng sáng tạo “tính chất d” trong “bài toán 4”

- Gọi B C', ' lần lượt là hình chiếu của B C, lên AC AD, Ta chứng minh được

D

I A

C B

- Viết được phương trình đường tròn  C : x 12y 33  10

- Tìm được tọa độ điểm B 2;0 , C2; 4  BC x y:    2 0

A

D J

I

C

P

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

 Yêu cầu học sinh chứng minh và ghi nhớ kết quả của bài toán

Kết quả mong đợi: BCDDACEPC suy ra điều phải chứng minh

 Yêu cầu học sinh làm bài tập vận dụng(Thi chọn đội tuyển trường THPT

Cẩm Thủy 1, năm học 2015-2016)

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I D, là điểm chính giữa củacung BC(không chứa A); Hai đường thẳng AB CD, cắt nhau tại P4;5 Đườngthẳng AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác APC tại E Xác định tọa độ các đỉnhcủa tam giác ABC biết đường tròn ngoại tiếp tam giác APC có phương trình

x  y  và ID x:  2y 10 0 

* Yêu cầu học sinh nêu lên cách nghĩ, cách làm của mình:

Câu trả lời mong muốn:

- Chứng minh được PE BC// (đây là bước mấu chốt của bài toán này)

- Suy ra PEID, xác định được tọa độ điểm E, viết được phương trình PC, tìm được tọa độ điểm C, tìm được điểm B, tìm được tọa độ điểm A

A

D I

Kết quả mong đợi:

- Ta dễ chứng minh được DB DC

- Chứng minh được DB DI

- Suy ra điều phải chứng minh

 Yêu cầu học sinh làm bài tập vận dụng.(HSG cấp trường khối 11, năm

học 2016-2017)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn ( ) C có phương

trình ( )2 ( )2

x 3 - + - y 2 = 25 và điểm ( 1; 1)A - - Gọi B và Clà hai điểm phân biệt

thuộc đường tròn ( )C ( B C, khác A ) Viết phương trình đường thẳng BC, biết( )1;1

I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

* Yêu cầu học sinh nêu lên cách nghĩ, cách làm của mình:

Câu trả lời mong muốn:

- Gọi D là giao điểm thứ hai của đường thẳng AI với  C Chứng minhđược D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCI

- Viết được phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BCI là

x 62y 62  50

- Đáp số BC: 3x 4y 17 0 

4/ Một số bài tập tự luyện

Bài 1: “Đề HSG tỉnh Thanh hóa năm học 2012-2013”

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm G1; 2 Phương trình đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB AC, và chân đường cao

hạ từ A đến cạnh BC của tam giác ABC là x 32y 22  25. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Đáp số: (x 3) 2  (y 10) 2  100.

Bài 2: “Bộ đề thi Tự luận Toán học: Nguyễn Văn Nho – Lê Bảy - Nguyễn Văn

Thổ”

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Gọi M N, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BC, BD và

P là giao điểm của hai đường thẳng MN, AC Biết đường thẳng AC có phương trình x y  1 0  , M0; 4 , N2;2 và hoành độ điểm A nhỏ hơn 2 Tìm tọa độ các điểm P A B, ,

là tâm đường tròn (C). Đường thẳng  đi qua M( 1 ;  3 ) cắt (C) tại hai điểm A

và B Viết phương trình đường thẳng  biết tam giác IABcó diện tích bằng 8 và

cạnh AB là cạnh lớn nhất.

ĐS: Có hai đường thẳng  thỏa mãn là y 3  0 và 4x 3y 5  0

Bài 4:“Kiểm tra đội tuyển HSG lớp 12, năm học 2014-2015”

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho   2 2

Bài 5:“Tuyển tập các đề thi thử ĐH-CĐ trên báo THTT năm 2012”

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) ( )2 ( )2

đường thẳng D :y- = 3 0 Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của ( )C , các đỉnh N và P thuộc D, đỉnh M và trung điểm cạnh MN thuộc ( )C Tìm tọa độ điểm P

ĐS: Có 2 điểm P cần tìm là: (P - 1;3) và (P 3;3)

2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp

và nhà trường

Với cách làm trên tôi đã chia sẻ trong tổ chuyên môn và áp dụng vào giảng

dạy cho các học sinh khá giỏi trong trường Tôi thấy, với cách phân chia các dạng toán như vậy và cách hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tự đặt câu hỏi, tự trả lời những câu hỏi của mình trong quá trình làm một bài toán nói chung và nhất là trong bài hình học sẽ làm cho học sinh có cảm giác không sợ khi gặp bài toán hình học tổng hợp Với cách làm đó Tôi thấy học sinh học hình học tốt hơn nhiều, điểm thi THPT QG của các em có nhiều điểm cao hơn; trong kỳ thi HSG cấp tỉnh Nhà trường đạt nhiều giải cao hơn ở bộ môn Toán Cụ thể như sau:

Qua hai năm kiểm tra đối chứng, thu được kết quả sau:

* Về thi HSG cấp tỉnh môn Toán và MTCT môn toán

* Về kết quả thi THPT QG đối với môn toán.

(Điểm 7,8)

Thi THPT QG(Điểm >9)

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận.

Như vậy trong thực tiễn dạy học Tôi thấy, việc phân các dạng toán hợp

lí và hướng dẫn cho học sinh cách suy nghĩ: Tự đặt câu hỏi - tự giải quyết

vấn đề, Giáo viên chỉ làm cố vấn trong quá trình học sinh thực hiện Tôi

thấy học sinh có tiến bộ rõ rệt trong tư duy nói chung và nhất là trong tư duy

hình học

Qua quá trình áp dụng SKKN này vào giảng dạy ở Nhà trường Tôi

thấy học sinh của mình giải quyết khá tốt câu “ Phương pháp tọa độ trong

mặt phẳng” ở kỳ thi HSG giỏi cấp tỉnh và thi THPT QG, vì thế đã nhiều em

đạt điểm cao hơn trong kỳ thi THPT QG, trong kỳ thi HSG cấp tỉnh đạt

nhiều giải cao hơn, đặc biệt năm học 2016-2017 Nhà trường đã có em đạt

giải Nhất môn toán với số điểm cao nhất tỉnh

Trong chuyên đề này, không thể tránh khỏi mhững thiếu sót và hạn

chế Rất mong được sự góp ý của quý bạn đọc, các thầy cô giáo, các bạn

đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

3.2 Kiến nghị Không