Phát triển bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng từ những dấu hiệu đặc trưng

Bên cạnh đó có bộ phận học sinh cótinh thần tự giác cao, ham học hỏi tìm tòi, ngoài việc tiếp thu kiến thức trên lớp các em còn tìm thêm kiến thức trong các tài liệu tham khảo nhưng kết

I LÝ DO CHON ĐỀ TÀI

Toán học là một trong những môn khoa học góp phần đào tạo nên những conngười toàn diện, hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng của con ngườilao động trong thời đại đổi mới

Để nâng cao chất lượng giáo dục, đổi mới phương pháp dạy học, phát huy tínhtích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh đó cũng là một quá trình trăn trở của nhàgiáo dục, đòi hỏi người thầy phải có một trình độ lành nghề cao, hiểu rõ tâm lý lứatuổi của học sinh, để từ đó có biện pháp giáo dục thích hợp nhằm nâng cao chấtlượng giáo dục Cần phải dạy các em hoạt động độc lập, sáng tạo phát huy tính tíchcực trong học tập, khắc phục lối truyền thụ một chiều, cách học thụ động có tưtưởng ỷ lại

Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học theo phương phápđổi mới tôi trình bày sáng kiến kinh nghiệm của tôi nhằm tăng cường tính tự giác,tích cực, độc lập sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập qua việc giải toán Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán ở trường THPT Nguyễn Quán Nho tôithấy đa số học sinh chưa có tinh thần tự giác, sáng tạo trong học tập, gặp vấn đềkhó thì ỷ lại gây cản trở việc đào sâu suy nghĩ Bên cạnh đó có bộ phận học sinh cótinh thần tự giác cao, ham học hỏi tìm tòi, ngoài việc tiếp thu kiến thức trên lớp các

em còn tìm thêm kiến thức trong các tài liệu tham khảo nhưng kết quả đạt đượcchưa cao đó là vì các em chưa biết biết đặt tình huống có vấn đề từ những kiến thức

cơ bản hay bài toán đã biết, các em mới dừng lại ở việc cố gắng giải quyết một bàitoán mà chưa suy nghĩ đến việc giải một bài toán là giải quyết một lớp bài toán liênquan Các em chưa biết sắp xếp các bài toán thành dạng , thành một lớp bài quen

thuộc ví dụ các em học phần ‘phương pháp tọa độ trong mặt phẳng’ đa số học đều

cho là khó mà phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là phần hết sức quantrọng trong quá trình học toán và phát triển tư duy

Vì vậy tôi trình bày đề tài “ Phát triển bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng

từ những dấu hiệu đặc trưng ” mong góp một phần nào đó khắc phục hiện trạng

trên

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích khi vận dụng tính chất đặc trưng để giải quyết một lớp bài toán là làmcho hiệu quả của quá trình dạy học ngày càng cao

III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Đối tượng: Học sinh lớp 10 Trường THPT Nguyễn Quán Nho

VI: CÁCH TIẾP CẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

I Cơ sở lý luận

- Đi từ đơn giản đến phức tạp, từ những vấn đề đã biết đến những vấn đề chưa biết.

- Xây dựng cách xắp xếp các bài toán thành một lớp các bài toán, hình thành kĩ

năng phân dạng và nhận dạng

- Học sinh được hoạt động trong học tập, lĩnh hội kiến thức một cách tự nhiên, biết

đặt ra tình huống có vấn đề và cố gắng giải quyết vấn đề

- Tạo cho học sinh cách giải quyết vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau, không

dừng lại ở việc giải quyết vấn đề một cách đơn lẻ mà giải quyết vấn đề một cách có

hệ thống, suy nghĩ để giải quyết triệt để vấn đề

a) Bước 1: Nhận dạng bài toán

Đứng trước một bài toán hình học phẳng, học sinh phải hiểu được yêu cầu của

đề toán, phải biết được mình đang làm việc với bài toán ở mức độ nào, cần phảivận dụng kiến thức, tính chất hay phát hiện dấu hiệu nào đó đã biết

b) Bước 2: Vẽ hình, phát hiện tính chất đã biết và vạch ra hướng giải quyết

Đây là khâu quan trọng và khó đối với cả thầy và trò trong giải bài toán hìnhhọc phẳng Học sinh phải huy động các kiến thức có liên quan đến bài toán rồi lựachon trong đó những kiến thức gần gũi nhất, có khả năng tiếp cận tốt nhất đến bàitoán, mò mẫm dự đoán

Vạch ra các hướng giải quyết có thể để từ đó lựa chon cách giải phù hợp, biếtloại bỏ các hướng không phù hợp, đặc biệt biết phát hiện tính chất quen thuộc để ápdụng

Từ hình vẽ nhận định ra dấu hiệu đặc trưng, dự đoán và thực hiện chứng minh

dự đoán đó hoặc xét một vài trường hợp đặc biệt, bài toán tương tự, bài toán kháiquát,…

Người giáo viên cần động viên tất cả học sinh tham gia một cách tích cực và tựgiác bằng các câu hỏi gợi ý, thông minh, phù hợp với trình độ của học sinh Tiếnhành khéo léo là nghệ thuật dạy học của người thầy

c) Bước 3: Giải bài toán nhận được

Sau khi vạch được hướng giải quyết, giáo viên cần đòi hỏi học sinh phải thể

hiện trên văn bản và chỉ chấp nhận đánh giá học lực của học sinh dựa trên bài làmcủa các em hoặc cho các em ghi nhớ tính chất, dấu hiệu đặc trưng để vận dụng vàolàm bài thi trắc nghiệm

d) Bước 4: Kiểm tra kết quả và phân tích sai lầm.

- Cần rèn luyện học sinh thói quen kiểm tra lại lời giải của bài toán, xét xem có sailầm hay thiếu sót gì không Việc kiểm tra nên được tiến hành thường xuyên

- Khả năng mắc sai lầm của học sinh trong giải bài toán hình học phẳng là nhiều.

Vì vậy phân tích sai lầm của học sinh cũng là một hoạt động đặc biệt quan trọng và

lí thú đối với người giáo viên

e) Bước 5: Mở rộng bài toán.

Nhiều giáo viên không chú trọng bước này, như vậy đã không tận dụng hết khảnăng của học sinh, mọi định hướng trong khi giải toán, để phát triển năng lực, trítuệ của học sinh Mở rộng bài toán làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụngnhững quy tắc suy đoán như tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa … cho họcsinh thấy sự phong phú, hấp dẫn của một bài toán, một lớp bài toán có cùng cáchgiải và không cùng cách giải, đồng thời khuyến khích học sinh tập dượt sáng tạotoán học

II Cơ sở thực tiễn

- Là một bộ phận quan trọng trong chương trình toán phổ thông Dạy phần phương

pháp tọa độ trong mặt phẳng có một vị trí quan trọng Kết quả của việc dạy cóthành công hay không thể hiện ở chỗ học sinh có giải được bài toán và khai thácbài toán hay không Tuy nhiên sự phản hồi này hiện nay chưa đạt được kết quảmong muốn, thể hiện cở chỗ:

- Học sinh chưa có thói quen giải một bài toán là giải một lớp bài toán, khai thác

tính chất quen thuộc vào giải bài toán nên khi thay giả thiết bài toán thì không vậndụng được tính chất đã biết để giải

Nguyên nhân của tình trạng trên là do học sinh nắm các tính chất hình học trongmặt phẳng còn hạn chế, việc vẽ hình và khai thác hình vẽ

Sáng kiến kinh nghiệm“ Phát triển bài toán hình học phẳng từ những dấu hiệu đặc trưng ” giúp học sinh khắc phục thực trạng trên.

III Giải pháp và tổ chức thực hiện Thực hiện theo 3 hoạt động

Hoạt động 1: Học sinh độc lập giải một số bài toán cơ bản:

Hoạt động 2: Một số tính chất cơ bản trong tam giác :

Hoạt động 3: Khai thác bài toán từ dấu hiệu cơ bản, xây dựng một lớp bài toán từ

dấu hiệu đặc trưng đó

(*) Cụ thể:

1 ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN

Hoạt động 1: Học sinh độc lập giải một số bài toán cơ bản:

Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:

1) Đường thẳng đi qua hai điểm A(-1;2), B(1;3)

2) Đường thẳng đi qua M(-2;1) và song song với đường thẳng 2x – 5y + 1 = 0.3) Đường thẳng đi qua N(7;4) và vuông góc với đường thẳng (d): 3x + 4y – 12 = 0.4) Đường thẳng đi qua điểm M(2;4) và hợp với đường thẳng (d): x 3y 4  0 mộtgóc 600

Hoạt động 2: Một số tính chất cơ bản trong tam giác :

+ Bài toán liên quan đến đường cao của tam giác sử dụng quan hệ vuông góc + Bài toán liên quan đến đường trung tuyến sử dụng tính chất trung điểm

+ Bài toán liên quan đến đường phân giác trong sử dụng tính đối xứng

Bài 1: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(-4;-5) và hai đường

cao hạ từ A,C lần lượt có phương trình: 5x + 3y – 4 = 0, 3x + 8y + 13 = 0

HD:

Bước 1: Viết phương trình đường

thẳng BA, BC Sử dụng bài toán

viết phương trình đường thẳng đi

qua một điểm và vuông góc với

một đường thẳng

Bước 2: Tìm tọa độ điểm A, C và

viết phương trình đường thẳng

AC:

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có C(-1;-2), đường

trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt là 5x + y – 9 = 0 và x+3y– 5 =0.Tìm tọa độ các đỉnh A và B

3

4  b b

làtrung điểm BC M thuộc đường

thẳng AM ta có 5(

0 9 2

Bài 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(0;3), phương trình hai

đường phân giác trong xuất phát từ B và C lần lượt là (dB): x – y = 0,

(dC): x + 2y – 8 = 0

HD:

Bước 1: Lấy A1, A2 lần lượt đối xứng

với A qua (dC), (dB) thì A1, A2 thuộc

BC

Bước 2: Viết đường thẳng BC và tìm

tọa độ hai điểm B,C

Bước 3: Viết phương trình các cạnh

AB: 2x + y – 3 = 0

AC: 22x – 19y + 57 = 0

BC: 34x + 5y – 39 = 0

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, biết rằng hình chiếu

vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phân giác trong góc

A có phương trình x – y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình

4x + 3y – 1 = 0 Tìm tọa độ điểm C

HD:

Bước 1: Tìm tọa độ điểm H’ đối

xứng với H qua phân giác góc A

suy ra H’ thuộc AC

Bước 2: Viết phương trình AC qua

H’ vuông góc với đường cao kẻ từ

B Từ đó suy ra tọa độ điểm A

Bước 3: Viết phương trình đường

cao CH suy ra tọa độ điểm C(

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đỉnh C(-4;1), phân giác trong góc A có

phương trình x + y – 5 = 0, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và xA > 0 Viết phương trình cạnh BC

HD:

Bước 1: Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng với C

qua đường phân giác góc A

Bước 2: Điểm A(a;5-a), cho AC.AC'  0

suy ra tọa độ điểm A

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB,

gọi tọa độ điểm B theo đường thẳng AB

24

2

1



S ABC suy ra tọa độ điểm B

Bước 4: Kiểm tra vị trí tương đối của B,C so với đường phân giác loại bớt một điểm B, từ đó suy ra phương trình đường thẳng BC: 3x – 4y + 16 = 0

Hoạt động 3: Khai thác bài toán từ dấu hiệu cơ bản.

D

ấu hiệu 1 : Bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác và tâm đường tròn

ngoại tiếp của tam giác

Cho tam giác ABC có trực tâm

H, tâm đường tròn ngoại tiếp I

3) Kéo dài AH cắt đường tròn tại

điểm thứ hai H’ Ta có H và H’ đối

xứng với nhau qua đường thẳng

BC

Bài toán 1: (Đề khối D 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có

A(3;-7) trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0) Xác định tọa độ đỉnh

C biết xC>0

Bước 1: HS xác định được dấu hiệu bài toán có liên quan đến trực tâm H và tâm

đường tròn ngoại tiếp I của tam giác nên chứng minh tứ giác BHCA’ là hình bìnhhành

Bước 2: M là trung điểm của BC ta có AH  2IM suy ra M(-2;3)

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng BC qua M và nhận IM làm véc tơ pháptuyến.

Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có H(3;-2), I(8;11),

K(4;-1) lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, chân đường cao kẻ từ A củatam giác ABC Tìm tọa độ các điểm A,B,C Biết xC > 0

HD:

Bước 1: HS xác định được dấu hiệu

bài toán có liên quan đến trực tâm H

và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam

giác nên chứng minh tứ giác BHCA’

là hình bình hành

Bước 2: Chứng minh H’ đối xứng với

H qua BC suy ra tọa độ của H’(5;0)

Bước 3: Viết phương trình đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán

kính R = IH’ là: (x-8)2 + (y-11)2 = 130

Phương trình đường thẳng BC: x + y –

3 = 0 suy ra tọa độ của B(-1;4), C(1;2)

Gọi M(0;3) là trung điểm của BC ta có AH  2IM suy ra A(19;14)

Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết phương trình

đường thẳng BC: 2x + y – 4 = 0 và đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC có phươngtrình x2 + y2 -6x – 6y + 8 = 0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giácABC

HD: HS xác định dấu hiệu bài toán như các bài trên

H’ đối xứng với H qua đường thẳng BC mà H’ thuộc đường tròn (I,R) nên H thuộcđường tròn (I’,R) với (I,R) đối xứng với (I’,R) qua đường thẳng BC

+ Đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC có I’(3;3), bán kính R = 10 Lấy I đốixứng với I’ qua đường thẳng BC được I(-1;1)

+ Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: (x + 1)2 + (y – 1)2 = 10

Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi

E,F lần lượt là chân đường cao hạ từ B,C, đỉnh A(3;-7) Xác định tọa độ hai điểmB,C biết trung điểm của BC là điểm M(-2;3) và đường tròn ngoại tiếp tam giácAEF có phương trình (x – 3)2 + (y + 4)2 = 9

HD

Bước 1: HS xác định được dấu hiệu bài toán có liên quan đến trực tâm H và tâm

đường tròn ngoại tiếp I của tam giác nên chứng minh tứ giác BHCD là hình bìnhhành

Bước 2: Đường tròn ngoại tiếp

tứ giác AEHF có tâm I(3;-4) nên

; 65 2

( ), 3

Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có M(3;-1) là trung

điểm của BC Đường thẳng chứa đường cao đỉnh B đi qua E(-1;-3), đường chứa

cạnh AC đi qua F(1;3) Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C biết đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC có đường kính AD với D(4;-2) Đáp số: A(1;1), B(2;-2), C(5;1) Bài toán 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm là

2;1 ,

H tâm đường tròn ngoại tiếp là I1 ; 0 và trung điểm của BC nằm trênđường thẳng có phương trình x 2y 1 0  Tìm tọa độ các đỉnh B C, biết rằngđường tròn ngoại tiếp tam giác HBC đi qua điểm E6  ; 1 và hoành độ điểm B

nhỏ hơn 4

Đáp số: B2 ; 3,C4 ;  1

Bài toán 7: Cho tam giác ABC có trực tâm H thuộc đường thẳng (d): 5x – 3y – 2 =

0 Đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC có phương trình 2 2 3 5 4 0

M Hãy tìm tọa độ ba đỉnh A,B,C biết điểm H có hoành độ dương

Đáp số: A(2;3), B(5;-3), C(-2;0) hoặc A(3;0), B(4;0), C(-2;0) D

ấu hiệu 2 : Bài toán liên quan đến tâm đường tròn nội tiếp của tam giác và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

Cho tam giác ABC có I, E lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tamgiác ABC ta có tính chất đặc trưng sau

1) Chứng minh được tam giác

A’BE cân tại A’

2) A’ là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác BEC (A’B=A’C=A’E)

3) Đường thẳng BC là giao của

hai đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC và BCE

Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa

độ Oxy cho A(-1;-1) và đường

tròn (T): (x – 3)2 + (y - 2)2 = 25

B,C là hai điểm phân biệt thuộc (T) (B,C không trùng với A) Viết phương trình đường thẳng BC biết tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là E(1;1).

HD:

Bước 1: Nhận thấy điểm A thuộc đường tròn (T) nên bài toán có liên quan đến tâm

đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bước 2: Kẻ đường phân giác trong góc A cắt đường tròn tại điểm thứ hai A’ và

chứng minh A’B=A’C=A’E suy ra Đường thẳng BC là giao của hai đường trònngoại tiếp tam giác ABC và BCE

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AE cắt đường tròn (T) tại điểm thứ hai A’

Viết phương trình đường tròn tâm A’ bán kính A’E và suy ra phương trình đườngthẳng BC

+ Đường tròn  T có tâm I(3;2) bán kính là R 5

Ta có AE: x – y = 0 khi đó đường thẳng AE cắt đường tròn  T tại A'(A' khác A)

có tọa độ là nghiệm của hệ    

1

1 0

Vậy phương trình đường thẳng BC: 3x 4y 17 0 

Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tâm

I(3;5) và ngoại tiếp đường tròn tâm K(1;4) Đường tròn tiếp xúc với cạnh BC vàcạnh AB,AC kéo dài(đường tròn bàng tiếp góc A) có tâm F(11;14) Viết phươngtrình đường thẳng BC và phương trình đường cao AH của tam giác ABC

HD:

Bước 1: Nhận thấy bài toán có liên quan đến tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bước 2: Kẻ đường phân giác

trong góc A cắt đường tròn

tại điểm thứ hai D và chứng

minh DB=DC=DK suy ra

Đường thẳng BC là giao của

hai đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC và BCK

Bước 3: Điểm F nằm trên

đường phân giác trong góc A

và nằm trên đường phân giác

ngoài của hai góc B,C

FC

KC  và KB  FB nên tứ

giác BKCF nội tiếp đường tròn đường kính KF cũng là đường tròn ngoại tiếp tamgiác tam giác BKC suy ra D là trung điểm của KF

Bước 4: Tọa độ điểm D(6;9) => ID = 5

+ Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: (C) ( 3 ) 2 ( 5 ) 2 25

Điểm A là giao điểm của FK và đường tròn (C) suy ra phương trình đường cao AH

Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn

tâm K(2;1) Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phươngtrình: 2x + y – 10 = 0 và D(2;-4) là giao điểm thứ hai của AK với đường tròn ngoạitiếp tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết B có hoành độ âm

và B thuộc đường thẳng có phương trình x + y + 7 = 0

HD:

Bước 1: Nhận thấy bài toán có liên quan đến tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC