Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệmnày tôi muốn nêu ra một cách định hướng tìm lời giải bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng dựa trên bản chất hình học phẳng của bài toán đó..
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT HIỆN TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH HỌC PHẲNG ĐỂ ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN HÌNH HỌCGIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG LỚP 10
Người thực hiện: Lê Bá Tuân
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2017
Trang 2MỤC LỤC
1 MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài 1
2 Mục đich nghiên cứu 1
3 Đối tượng thời gian nghiên cứu 1
4 Phương pháp nghiên cứu 1
2 NỘI DUNG 1 Cơ sở lý luận 2
2 Thực trạng vấn đề 17
3 Các giải pháp đã tổ chức thực hiện 18
4 Hiệu quả của đề tài 18
3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1 Kết luận 19
2 Kiến nghị 19
Trang 31 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài
Trong chương trình hình học lớp 10 có một phần rất quan trọng của hình học
phổ thông đó là phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Đây là phần tiếp nối củahình học phẳng ở cấp Trung học cơ sở nhưng được nhìn dưới quan điểm đại số
và giải tích Như vậy, mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng đều mangbản chất của một bài toán hình học phẳng nào đó Tuy nhiên, khi giải các bàitoán hình học toạ độ học sinh thường không chú trọng đến bản chất hình học củabài toán ấy, một phần vì học sinh ngại hình học phẳng vì cứ nghĩ hình học phẳng
là khó, một phần vì giáo viên khi dạy cũng không chú trọng khai thác hướng dẫncho học sinh Do đó, hiệu quả giải toán không cao mà sự phân loại dạng toán,phương pháp giải toán cũng không rõ ràng Thực tế yêu cầu trong việc giảng dạychỉ phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương pháp suy luận giải toánhình học toạ độ trong mặt phẳng Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệmnày tôi muốn nêu ra một cách định hướng tìm lời giải bài toán hình học toạ độ
trong mặt phẳng dựa trên bản chất hình học phẳng của bài toán đó Vì vậy, với
trách nhiệm của mình, tôi thấy cần phải xây dựng thành chuyên đề từ đó rènluyện kĩ năng nhận dạng, nâng cao năng lực giải toán cho học sinh để các emkhông còn e ngại hay lúng túng khi gặp các dạng toán này Qua quá trình tích lũy
tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: “Phát hiện tính chất đặc trưng của hình học phẳng để áp dụng vào bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng lớp 10”
1.2 Mục đich nghiên cứu
Nhằm hệ thống cho học sinh một số dạng toán của phương pháp tọa độtrong mặt phẳng và góp phần giúp các em giải quyết tốt các bài toán về hìnhhọc giải tích
Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán Từ đó cung cấpcho học sinh một dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vàocác kì thi, đặc biệt là kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá
Kết hợp giữa định tính và định lượng nhằm giúp các em hệ thống tố hơnkiến thức đã học và giúp các em hứng thú hơn trong học toán
Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Tính chất đặc trưng của hình học phẳng, bài toán hình học giải tích trongmặt phẳng lớp 10
Một số đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá từ 2012 đến nay
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 10 và lớp 12
- Đánh giá kết quả học tập, kết quả các kì thi đại học, cao đẳng và thi họcsinh giỏi cấp tỉnh môn Toán của học sinh lớp 12A1, 12A2 năm học 2015-2016.Lớp 12A6, 12A7 năm học 2016-2017 trường THPT Yên Định 3
- Phân tích, đánh giá, tổng hợp các dạng toán liên quan đến bài toán vềphương pháp toạ độ trong mặt phẳng Đặc biệt là các bài toán, dạng toán liênquan đến hình học giải tích trong mặt phẳng trong các kì thi tuyển sinh Đại học,cao đẳng, các kì thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa trong các năm gần đây
1
Trang 42 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận
a Một số kết quả hình học phẳng thường dùng
Tính chất 1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm I, tiếp tuyến Cx tại C.
Tính chất 3 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I Có trực tâm H,
M là trung điểm của BC Khi đó AH 2IM
[5]
Tính chất 4 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I Gọi H, K lần
lượt là chân đường cao kẻ từ B, C xuống các cạnh AC, BC Khi đó IA HK [5]
Tính chất 5 Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D là giao điểm thứ hai của
đường thẳng AH với đường tròn ngoại tiếp ABC và M là giao điểm của AH với
BC Khi đó M là trung điểm của HD [5]
Tính chất 6 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp J Gọi D là giao
điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đường thẳng AJ và I
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó D là tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác JBC và IDBC [5]
Tính chất 7 Cho ABC có trực tâm H; E, D lần lượt là hình chiếu vuông góccủa C, B lên các cạnh AB và AC Gọi P là trung điểm của AH, M là trung điểmcủa BC Khi đó PM ED [5]
Tính chất 8 Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D, E, F lần lượt là chân
đường cao kẻ từ A, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB Khi đó H là tâm đườngtròn nội tiếp DEF [5]
Chú ý: 1 Cần đặc biệt chú ý quan hệ vuông góc, sự bằng nhau, quan hệ về góc
của hình vuông, hình thoi và các tam giác đặc biệt
2 Các công thức diện tích, khoảng cách, công thức tính góc, các định lýsin, cosin trong tam giác…
Trang 5b Các ví dụ điển hình
Các ví dụ một bài toán hình học toạ độ có thể được giải theo một trong ba hướngchính sau:
Hướng 1: Giải hoàn toàn theo quan điểm hình học giải tích
Hướng 2: Giải hoàn toàn theo quan điểm hình học phẳng sau đó áp dụng vào toạ độ Hướng 3: Khai thác các yếu tố hình học phẳng để giải toán hình giải tích
Mỗi hướng giải toán đều có những ưu thế riêng cho từng bài toán nhưng nóichung hướng 3 thường hiệu quả hơn cả
Dạng 1 Sử dụng quan hệ vuông góc trong giải toán
Bài toán cơ bản 1 Cho hình vuông ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của
BC và CD Chứng minh rằng AM BN
Bài toán cơ bản 2 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I Gọi H,
K lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C xuống các cạnh AC, BC Chứng minhrằng IA HK
Trang 6ABC tại A KAx 1 d
2
ACB s AB
(1)
Do BHC BKC 900 nên tứ giác BKHC nội tiếp
suy ra AKH ACB (2) (cùng bù với góc BKH)
Từ (1) và (2) KAx AKH HK / /Ax mà
IA (đpcm)
Bài toán cơ bản 3 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp J Gọi D là
giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đường thẳng AJ
và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC và IDBC
Chứng minh.
Ta có
2 2
A B DJB (góc ngoài tam giác) (1)
Từ (1) và (2) suy ra DJB DBJ hay tam giác
DJB cân tại D hay DJ=DB (3)
mà
1 2
A A DB DC
(2 góc nội tiếp bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau) (4)
Từ (3) và (4) suy ra DB=DJ=DC hay D là tâm đường tròn
ngoại tiếp JBC (đpcm)
Ta có DB DC IB IC R
nêm ID là đường trung trực của BC DI BC (đpcm)
Bây giờ ta xét một số ví dụ điển hình
Ví dụ 1 Trong mặt phẳng oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh B(0;4) Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của BC và CD Gọi ( ; )4 8
5 5
H là giao điểm của AM và
BN Xác định toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc đườngthẳng (d) : x +2y +4 =0
Hướng dẫn giải
Trang 7Ví dụ 2 Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có BC=2BA Gọi
F(1;1) là điểm trên cạnh BC sao cho 1
4
BE BC Điểm ( ; )4 8
5 5
H là giao điểm của
BD và AF Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết B nằm trên đường thẳng (d): x+2y-6=0
Hướng dẫn giải.
+ Viết PT đường thẳng AF qua H và F
+ Viết PT đường thẳng BD qua H và vuông góc với AF
+ Điểm B là giao điểm của (d) với BD Ta có 1
+ Viết PT đường thẳng AB qua B và vuông góc với BF
+ Điểm A là giao điểm của AF với AB; DCAB D
Ví dụ 3 Cho hình vuông ABCD có hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của
AB, BC, biết CM cắt DN tại (22 11; )
Trang 8Hướng dẫn giải
Ta chứng minh tam giác AIP vuông tại I MBCNCD CM DN
Tứ giác AMID nội tiếp đường tròn tâm E( với E là trung điểm của AH) suy ra
ED = EI, mà H là trung điểm của DI EH DI AH DN,
mà CM DN suy ra CM // AH, mặt khác AM // CP nên tứ giác AMCP là hìnhbình hành, do đó P là trung điểm DC tứ giác AMPD là hình chữ nhật
B
I
P H
Trang 9Ví dụ 4.Trong mặt phẳng Oxy cho ABC ngoại tiếp đường tròn tâm J(2;1) Biếtđường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác có phương trình : 2x y 10 0 vàD(2 ;-4) là giao điểm của đường thẳng AJ với đường tròn ngoại tiếp ABC Tìmtọa độ các đỉnh của ABC biết B có hoành độ âm và B thuộc đường thẳng cóphương trình x+y+7=0 (d).
Hướng dẫn giải
Ta có JD (2 2) 2 ( 4 1) 2 5
Theo kết quả bài toán gốc thì D là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác JBC (C’) Do đó PT đường tròn (C’) :
(x 2) 2 (y 4) 2 25
Điểm { } ( ) ( ')B d C nên tọa độ điểm B là
nghiệm của hệ 2 2
7 0 (1) ( 2) ( 4) 25 (2)
Điểm B có hoành độ âm nên B(-3 ;-4)
Đường thẳng AJ qua J và D có PT : x-2=0 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
x
A y
+ Gọi M là trung điểm của BC { }M IDBC M(1; 2) C(5;0).
Ví dụ 5 ( trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hoá năm 2014)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M, N lần
lượt là trung điểm của đoạn AB và BC Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống
CM Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết ( 1; 5), ( 1;0)
B
N H
H
Trang 10Trong tam vuông BCH ta có : HN=NC (1)
Mặt khác: BH và DN song song với
Gọi D(m ; m-4) Sử dụng điều kiện HD HN 0 m 4 D(4;0)
Nhận xét H và C đối xứng qua DN tìm được C (1; 4)
Từ đó tìm được : A(0;3), ( 3; 1)B
Ví dụ 6 (Trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hoá năm 2016)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có,
B BAD ADC và A, C thuộc trục hoành Gọi E là trung điểm của đoạn
AD, đường thẳng EC đi qua điểm F ( 4;1).Tìm toạ độ các đỉnh A, C, D biết EC vuông góc với BD và điểm E có tọa độ nguyên.
Hướng dẫn giải
y=0
I
J H
C
E B(2;4)
D
A
F(-4;1)
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BE, cắt BE và BD lần lượt tại I và H; gọi J
là giao điểm của BD với CE Khi đó ta có:
Trang 11Khi đó A(4;0), (0; 2)D , đường thẳng CD có phương trình 2x y 2 0 cắt Ox tạiC(-1;0).Vậy A(4;0), (0; 2) và ( 1;0)D C là các điểm cần tìm.
Dạng 2 Bài toán liên quan đến tính chất trung điểm của đoạn thẳng
Bài toán cơ bản Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D là giao điểm thứ hai
của đường thẳng AH với đường tròn ngoại tiếp ABC và K là giao điểm của AHvới BC Chứng minh rằng K là trung điểm của HD
Từ bài toán trên ta xây dựng các ví dụ sau.
Ví dụ 1 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC nhọn có trực tâm H(5;5), phương trìnhđường thẳng chứa cạnh BC là x+y-8=0 biết đường tròn ngoại tiếp ABC đi qua
2 điểm M(7 ;3), N(4 ;2) Tìm tọa độ các đỉnh của ABC
Hướng dẫn giải.
Gọi H’ là giao điểm của AH và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo KQ bài toán gốc thì H’ đối xứng với H qua BC
+Đường thẳng (HH’) vuông góc với BC và qua H có PT x-y=0
+ Gọi A’ là chân đường cao hạ từ A { '}A AHBC A'(4;4) H'(3;3)
9
Trang 12+ Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC đi qua 3 điểm
+ AD qua D & BC có PT: x+y-2=0
+ Tọa độ điểm {A}=AM AD là nghiệm của hệ 2 0 (1;1)
+Theo KQ bài toán gốc thì D đối xứng với H qua BC H(2; 4)
Do B BC B t t( ; 4). M là trung điểm của BC nên C(7-t;3-t)
( 2; 8); (6 ;2 )
2 0 ( 2)(6 ) ( 8)(2 ) 0
Ví dụ 3 ( Trích đề thi HSG cấp tỉnh môn toán tỉnh Thanh Hoá năm 2013)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương
trình là 3x 5y 8 0, x y 4 0 Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D4; 2
Viết phương trình các đường thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B
Trang 13không lớn hơn 3.
Hướng dẫn giải
M K H
D
C B
A
Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của
BC và AD, E là giao điểm của BH và AC Ta kí hiệu n u d, d
, mà AD đi qua điểm D suy ra phương
trình của AD:1x 4 1y 2 0 x y 2 0 Do A là giao điểm của AD và
AM nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
Dạng 3 Bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Bài toán cơ bản Cho tam giác ABC cân tại A Gọi I là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC, D là trung điểm của cạnh AB, E và G lần lượt là trọng tâmcác tam giác ACD và ABC Chứng minh rằng I là trực tâm tam giác DEG
11
Trang 14là đường trung bình của ABC DM/ /BC
do đó AI DM hay GI DM (2)
Từ (1) và (2) suy ra I là trực tâm tam giác DGE
Ta xây dựng các bài toán sau đây.
Ví dụ 1 Trong mặt phẳng Oxy cho ABCcân tại A; M là trung điểm đoạn AB
4 4
5 1 ( ; )
4 4
GI KI
Trang 15Mặt khác K là trọng tâm tam giác ACM
suy ra A(4;5) và M là trung điểm của AB suy ra B(-5;2)
Ví dụ 2 Trong mặt phẳng Oxy cho ABCcân tại A; M là trung điểm đoạn AB.Biết rằng ( ; )1 5
+ PT đường thẳng AB qua M và E là: x-3y+11=0
+ Goi P là trung điểm của AC thì theo
tính chất trọng tâm tam giác ta có : 3 ( ; )5 1
MP MK P
+ Ta có A AB A a(2 11; );a C CM C c( ;1 5 ) c
+ P là trung điểm của AC a5,c1 ta được A(4 ;5), C(1 ;-4)
Chọn một tam giác nào đó giả sử A(7;5), B(-1;1), C(3;-3) Khi đó ta tìm được điểm D(3;3) Tâm đường tròn ngoại tiếp ( ; ),11 5
Trang 16Dạng 4 Bài toán liên quan đến khoảng cách
Ví dụ 1 Cho hình chữ nhật ABCD có D(4; 5), M là trung điểm đoạn AD, đường
thẳng CM có phương trình x 8y 10 0 Điểm B nằm trên đường thẳng
B
M
K
H G
Trang 17Vậy A(8; 1), B(2; 5),C( 2;1)
Ví dụ 2 Cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm của CD, đường thẳng
BN có phương trình là 13x 10y 13 0 , điểm M(-1; 2) thuộc đoạn thẳng AC saocho AC = 4 AM Gọi H là điểm đối xứng với N qua C, H thuộc đường thẳng
Trang 18Dạng 5 Bài toán liên quan đến phân giác của góc
Ví dụ 1 Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AD và BC, biết AB = BC,
AD = 7 Đường chéo AC có phương trình x 3y 3 0 , điểm M(-2; -5) thuộc đường thẳng AD Viết phương trình CD biết B(1; 1)
Hướng dẫn giải
Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ABCD nội tiếp đường tròn
Mà AB = BC = CD BAC CAD nên AC là đường phân giác trong góc BAD Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC suy ra E thuộc AD
M
Trang 19trình 3x - 4y + 1 = 0 C( 3; 2) AB 5, CD 13 suy ra ABCD không phải làhình thang cân, mâu thuẫn với giả thiết Vậy bài toán vô nghiệm.
và giải toán Cần nhấn mạnh một điều rằng, đa số các học sinh sau khi tìm đượcmột lời giải cho bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng thường không suynghĩ, đào sâu thêm Học sinh không chú ý đến bản chất hình học phẳng của bàitoán nên mặc dù làm rất nhiều bài toán hình học toạ độ nhưng vẫn không phânloại được dạng toán cơ bản cũng như bản chất của bài toán
Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên với thực trạng đã chỉ ra, thôngthường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với các bài toán có cấu trúc đơngiản Còn khi đưa ra bài toán khác một chút cấu trúc cơ bản học sinh thường tỏ
ra rất lúng túng và không biết định hướng tìm lời giải bài toán Từ đó, hiệu quảgiải toán của học sinh bị hạn chế rất nhiều Trước thực trạng đó của học sinh, tôithấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen xem xét bài toán hình họctoạ độ trong mặt phẳng theo bản chất hình học phẳng Vì vậy, song song với cáclời giải cho bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng, tôi luôn yêu cầu học sinhchỉ ra bản chất và bài toán hình phẳng tương ứng, từ đó phân tích ngược lại chobài toán vừa giải Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sẽ chỉ ra một trongnhiều nội dung được áp dụng có hiệu quả Việc đưa nội dung này nhằm khaithác các tính chất hình học phẳng để định hướng tìm lời giải bài toán hình họctoạ độ và xem việc chỉ ra bản chất hình học phẳng sẽ bổ trợ cho giải toán chứkhông phải là chúng ta đi giải một bài hình học phẳng Qua đó giúp học sinhnhận thức được rằng: “Mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng luôn chứađựng một bài toán hình phẳng tương ứng” Vì vậy phân tích bản chất của bàitoán hình học phẳng để bổ trợ cho việc giải bài toán hình học toạ độ trong mặtphẳng là một suy nghĩ có chủ đích, giúp học sinh chủ động hơn trong việc tìmkiếm lời giải cũng như phân loại một cách tương đối các bài toán hình học toạ
độ trong mặt phẳng
2.3 Các giải pháp đã tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề
1 Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (haynhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên
17
