Một số sai lầm thường gặp của học sinh lớp 12 khi giải bài toán hình học trong không gian

Xuất phát từ các lý do trên, tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số sai lầm thường gặp của học sinh lớp 12 khi giải các bài toán hình học trong không gian”.. Không

I MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình môn toán ở trường trung học phổ thông (THPT), phần hình học không gian là một phân môn khó Hơn nữa, nó là phần không thể thiếu trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi, đề thi THPT quốc gia hiện nay Đó cũng là chủ đề tiếp nối chủ đề hình học phẳng Vì thế, việc dạy và học hình học không gian là vấn đề được rất nhiều giáo viên giảng dạy bộ môn toán quan tâm

Hình học không gian đòi hỏi ở học sinh tính sáng tạo, khả năng tưởng tượng,

…, vì thế học hình học không gian có khả năng rèn luyện kĩ năng lập luận, óc suy luận phán đoán, tư duy logic cho học sinh Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy ở phổ thông, tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học phần này, thậm chí nhiều

em cứ gặp bài toán này là bỏ ngay, không cần đọc đề Hơn nữa, hiện nay bộ môn Toán chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm thì hình học không gian lại càng không dễ dàng với nhiều học sinh có sức học bình thường, nhiều em cố gắng làm bài song tôi nhận thấy khi làm hình dưới dạng trắc nghiệm các em hay ngộ nhận kết quả, hay ngộ nhận các tính chất, dẫn đến những sai lầm đáng tiếc Chính vì thế mà mỗi lần lên lớp, bản thân tôi rất trăn trở, làm thế nào để truyền đạt cho các em dễ hiểu, làm thế nào để dạy cho các em những kỹ năng cơ bản nhất, và đặc biệt làm thế nào để khắc phục những lỗi thường gặp của các em một cách tối đa để các em có thể tự tin làm bài, tự tin tham dự các kỳ thi và đạt kết quả cao nhất có thể Xuất phát từ các lý do trên, tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài

sáng kiến kinh nghiệm: “Một số sai lầm thường gặp của học sinh lớp 12 khi giải các bài toán hình học trong không gian”.

2 Mục đích nghiên cứu

Hình học không gian là môn học về các vật thể trong không gian mà các điểm

để hình thành nên các vật thể đó lại thường không cùng nằm trong một mặt phẳng Do đó học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn trong việc vẽ hình, hoặc

vẽ hình sai, không chính xác Không những thế, do đã quen với hình học phẳng, khi chuyển sang hình học không gian, các em cũng thấy có các đối tượng như điểm, đường thẳng,… nên nhiều khi rất “vô tư” áp dụng các tính chất của hình học phẳng để làm bài Điều này dẫn đến rất nhiều sai lầm trong khi giải các bài toán về hình học không gian Vì vậy, tôi nghiên cứu đề tài này với mong muốn phát triển tư duy hình học, tư duy trừu tượng, từng bước tháo gỡ những vướng mắc, khắc phục những điểm yếu và khơi dậy niềm đam mê đối với môn học của các em, nhằm mục đích cuối cùng đó là nâng cao chất lượng dạy học nói chung

và phần hình học không gian nói riêng

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là một số sai lầm của học sinh lớp 12 khi giải toán

hình học trong không gian

4 Phương pháp nghiên cứu

• Điều tra giáo dục: Tiến hành tìm hiểu về các số liệu thông qua các bài kiểm tra của học sinh tại trường phổ thông

• Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập hình học lớp

11 và 12, đề thi THPT quốc gia năm học 2015-2016, các đề minh họa năm

2017 của bộ GD và ĐT Các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học

• Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết ôn tập buổi chiều cho học sinh lớp 12

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lý luận

1.1 Hai mặt phẳng song song 1

• Định lý:

Cho hai mặt phẳng song song Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng

cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau

1.2 Quan hệ vuông góc trong không gian 2

• Định lý ba đường vuông góc:

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng ( )α và b là đường thẳng không thuộc ( )α đồng thời không vuông góc với ( )α Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên ( )α Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( )α

Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )α thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( )α bằng 90o

Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng ( )α thì góc giữa d

và hình chiếu d’ của nó trên ( )α gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( )α .

• Hai mặt phẳng vuông góc

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

Giả sử hai mặt phẳng ( )α và ( )β cắt nhau theo giao tuyến c Từ điểm I bất kỳ trên c ta dựng trong ( )α đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong ( )β

đường thẳng b vuông góc với c Khi đó góc giữa hai mặt phẳng ( )α và ( )β là

góc giữa hai đường thẳng a và b

1 Ghi chú: Mục 1.1 tác giả trích trong TLKT số 1.

2 Mục 1.2 tác giả trích trong TLKT số 1.

Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với

nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông

Đinh lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt

phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào

nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia

Hệ quả 2: Cho 2 mặt phẳng ( )α và ( )β vuông góc với nhau Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng ( )α ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( )β thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng ( )α

1.3 Thể tích khối đa diện 3

Thể tích khối chóp: 1

3

V = Bh ( B là diện tích đáy, h là chiều cao) Thể tích khối lăng trụ: V =Bh ( B là diện tích đáy, h là chiều cao)

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong nhiều năm qua, để đánh giá khả năng tư duy trừu tượng, phẩm chất, trí

tuệ của học sinh thông qua các kỳ thi chọn học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, cao đẳng và gần đây nhất là kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia người ta đã chọn bài toán hình học không gian như một phần chung, bắt buộc cho tất cả các thí sinh

Từ thực tế giảng dạy phần hình học không gian của lớp 11 (chương II, chương III) và lớp 12 (chương I), tôi nhận thấy tồn tại một số vấn đề như sau:

Thứ nhất, phân phối chương trình chủ yếu là dạy các vấn đề lý thuyết cho học

sinh, thời lượng dành cho việc luyện tập là quá ít (chỉ có 12 tiết luyện tập trong tổng số 34 tiết ở cả hai chương I và II hình học lớp 11, 3 tiết luyện tập trong tổng

số 12 tiết ở chương I hình học lớp 12) Trong khi đó, các dạng toán về hình học không gian là quá rộng, giáo viên không thể hướng dẫn học sinh vận dụng giải hết được các dạng toán điển hình, và vì vậy cũng không thể phát hiện được hết những sai lầm mà học sinh thường gặp phải để có thể giúp các em khắc phục sai lầm đó

Thứ hai, đây là một phân môn học tương đối khó, đòi hỏi trí tưởng tượng,

năng lực tư duy và khả năng quan sát, phán đoán của học sinh khá cao Bên cạnh

đó thực tế chất lượng đầu vào của học sinh ở những vùng kinh tế thuần nông như trường tôi thì việc đầu tư và đôn đốc của cha mẹ với con em mình trong việc học tập rất hạn chế Đó cũng chính là khó khăn lớn nhất mà chúng tôi gặp phải trong quá trình dạy học

3 Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

3 Ghi chú: Mục 1.3 tác giả trích trong TLKT số 2.

Để thực hiện đề tài này, tôi đã tìm đọc rất nhiều tài liệu viết về vấn đề này, đặc biệt hơn nữa là tôi đã tiến hành nghiên cứu rất kỹ bài giải của nhiều học sinh khá

và giỏi trong các bài kiểm tra định kỳ, trong các kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp trường, các kỳ thi thử đại học, ghi chép lại để đối chiếu, so sánh,… và

từ đó nhận ra được những sai lầm mà học sinh thường gặp trong khi giải các bài toán về hình học không gian như sau:

3.1 Sai lầm do vẽ hình không đúng

Do không chú ý hết các yêu cầu về giả thiết, hoặc do những nhận định, những kết luận mà trực giác tạo ra nên dẫn đến vẽ hình sai

Dưới đây là những ví dụ thể hiện sai lầm trong vẽ hình của học sinh, cụ thể là

xác định sai hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống mặt đáy Từ đó dẫn đến sự

bế tắc trong cách giải Loại này tôi không nêu câu hỏi dạng trắc nghiệm, bởi mắc sai lầm này thì đa số các em đều bế tắc trong việc tính toán

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là một tam giác vuông có cạnh huyền

BC = a, góc nhọn B = B= α Các cạnh bên của hình chóp hợp với mặt đáy những góc bằng nhau và bằng β Tính diện tích xung quanh của khối chóp.4

Dễ dàng bắt gặp hình vẽ sai dẫn đến “bí” trong cách giải của nhiều em như sau:

Kẻ SH ⊥( ABC)

Ta có: ·SAH =SBH· =SCH· =β

Kẻ HI ⊥ AB HJ, ⊥BC HK, ⊥ AC

Từ định lí 3 đường vuông góc ta có:

⊥

⊥

⊥









xq SAB SBC SCA

AC SK

S

= + + Hình 1

*Đến đây thì bài toán đã rơi vào thế “bí” bởi vì cần phải tính được SI SJ SK, , theo , ,aα β thì đều chưa thể tính được (còn AB BC CA tính được theo ,, , a α ).

4 Ghi chú: Ví dụ 1 tác giả tham khảo đề bài trong TLKT số 3 Từ phần sai lầm thường gặp đến hết tác giả tự làm

Để có thể thực hiện bài toán trên, ta phải tính được SI, SJ, SK theo a.

Tuy nhiên, ở hình 1 không có một gợi ý liên hệ nào có thể giúp chúng ta thực hiện

việc tính toán này bởi vì đây là một hình vẽ sai do không vận dụng hết các điều

đã cho trong giả thiết

Thật vậy, hình chóp đã cho có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng nhau

SAH =SBH =SCH nên ta chứng minh được HA = HB = HC, nghĩa là chân đường cao H phải trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

Mặt khác tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp chính là trung điểm của cạnh huyền BC Do đó, chân đường cao H chính là trung điểm

của cạnh huyền BC và hình 2 dưới đây mới là hình vẽ đúng cho bài toán này.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) Ta có:

hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆ ⇒ H là trung điểm của BC

Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB, AC Ta có:

, ,

Ta tính được:

Từ đó ta được:

2

4

a

2

4

a

xq SAB SBC SCA

S

A

S

S

2

4

xq

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a Mặt bên

(SAC) của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại tạo với đáy những góc bằng 60o Tính thể tích của khối chóp.5

5 Ghi chú: Ví dụ 2 tác giả tham khảo đề bài trong TLKT số 3 Từ phần sai lầm thường gặp đến hết tác giả tự làm

• Sai lầm thường gặp

Tương tự như trên, trong lời giải của học sinh ta dễ bắt gặp các hình vẽ như hình 3) Rõ ràng hình vẽ này không thể hiện đúng giả thiết của bài toán đã cho Đây là một hình vẽ sai, người vẽ xác định hình chiếu vuông góc của S là H mà

không chú ý đến giả thiết, vì vậy dẫn đến sự bế tắc trong việc tìm kết quả

Ở bài toán này, muốn tính thể tích của khối chóp, việc quan trọng là tính được

SH Như vậy phải xác định được điểm H nằm ở vị trí nào? Nhưng hình vẽ này không thể hiện đúng giả thiết của bài toán

Thật vậy, ta có mặt bên (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC) Khi đó, nếu ta kẻ đường cao SH thì theo hệ quả 2 của định lí 1, SH phải nằm trong mặt phẳng (SAC)

Từ đó suy ra điểm H phải nằm trên AC

Mặt khác:

⇒ ∆ = ∆ ⇒ =

Nghĩa là H phải nằm trên đường phân

giác của góc B

Do ∆ABC là tam giác đều, suy ra H

chính là trung điểm của cạnh AC và ta

có hình vẽ đúng như hình 4 ở lời giải

đúng dưới đây

Hình 3

Kẻ SH ⊥(ABC).Ta có: (SAC)⊥(ABC)

Suy ra SH nằm trong (SAC) ( hệ quả 2, định lý 1)

Vậy điểm H thuộc cạnh AC

Kẻ HI ⊥ AB HJ, ⊥BC, theo định lí 3 đường vuông góc ta có

  ,  

SI ⊥AB SJ⊥BC ( Hinh 4) Mặt khác: ·SIH =SJH· =60o

⇒ ∆SIH = ∆SJH⇒IH JH=

Ta có: HJ / /AA (với A’ là trung điểm của BC).'

Ta có: 1 ' 1 3 3

4

o a

Suy ra:

2

3

ABC

SABC ABC

a

a

∆

∆

Hình 4

*Nhận xét: Những sai lầm trên đây là do thiếu một số hiểu biết cần thiết trong

việc vẽ một số hình quen thuộc, hoặc do nhầm lẫn, vận dụng không đầy đủ và chính xác những điều đã cho trong giả thiết Để khắc phục những thiếu sót này, ngoài việc nắm vững khái niệm, tính chất và vận dụng tối đa giả thiết, học sinh cần phải làm quen với một số cách vẽ những hình không gian thường gặp Sau đây là một số các hình vẽ rất hay gặp trong các đề thi hiện nay:

3.2 Sai lầm khi xác định các khái niệm hình học

Trong các bài toán hình học không gian, ta thường gặp các khái niệm:

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

- Góc giữa hai mặt phẳng

- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng,

Nếu học sinh nắm không vững các khái niệm này thì khi xác định nó trên hình

vẽ các em sẽ dễ mắc sai lầm và dẫn đến những kết quả không đúng Sau đây là một số sai lầm như vậy mà học sinh thường gặp

Ví dụ 1 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a Đường

chéo BC’ hợp với mặt bên (BAA’B’) một góc 30o Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

A 3 3 3 3

4

4

a

B

3

3 4

a

D 3 3 4

a

* Sai lầm thường gặp, đó là xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Ta

thường bắt gặp các hình vẽ và cách giải sai dưới đây dẫn đến chọn phương án sai là các phương án A và B ( thường hay xuất hiện phương án nhiễu thế này).

Thứ nhất, nhiều em chọn phương án A do cách xác định góc như hình 9 và giải

như sau:

Nối BA’ Góc giữa BC’ và mặt bên (BAA’B’) là · 'C BA (Hình 9) '

Vậy · 'C BA' 30= o

Ta có ∆A BC' ' cân đỉnh B và

·

' sin 30 sin ' '

sin 75 '

o

o o

BA C

a a

BC

=

+

Kết hợp với gt : BC = a

Tính được:

hayCC'=a 1+ 3

4

ABC

a

Hình 9

Thứ hai, có em chọn phương án B do xác định góc và giải như sau:

Góc giữa BC’ và mặt bên (BAA’B’) là · 'C BB (Hình 10) '

Vậy · 'C BB' 30= o

tan 30o

a

Diện tích đáy: 2 3

4

ABC

a

2 3 3 3 3

Từ đó người giải chọn đáp án B (sai)

Sai lầm chính của cả hai cách làm trên

là việc xác định góc giữa đường thẳng

BC’ và mặt phẳng (BAA’B’)

Hình 10 Trong các cách làm này, người giải đã không nhớ định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, bằng cảm tính đã chỉ ra luôn, điều này là không có cơ sở

Lẽ ra, ta phải đi xác định góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng, tức là phải đi xác định hình chiếu của BC’ trên (BAA’B’) Khi đó cần tìm hình chiếu của C’ trên mặt phẳng này Phân tích đến đây ta thấy ngay hình chiếu của C’ trên (BAA’B’) là trung điểm I của đoạn A’B’

Nghĩa là góc giữa BC’ và (BAA’B’) chính là · 'C BI (Hình 11).

Gọi I là trung điểm của A’B’ Suy ra

C I ⊥ A B Ta có:





Vậy góc giữa BC’ và (BAA’B’) là

góc · 'C BI =30o

Ta có:

hay: BB'=a 2 Từ đó ta có:

2

Vậy phương án đúng là C

Hình 11

Ví dụ 2 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D Dựng thiết diện của hình lập

phương với một mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh DD’, trung điểm N của cạnh D’C’ và điểm A.6 Góc giữa thiêt diện và mặt phẳng (ABCD) là

A 30o B α với tan 5

2

α =

C 45o D α với tan 5

2

α =−

phẳng nên có học sinh lựa chọn đáp án A, có học sinh lựa chọn đáp án C với lý giải như sau:

- Học sinh chọn đáp án A: Do hai mặt bên (BB’A’A) và (CC’D’D) song song

với nhau nên giao tuyến hai mặt này với mặt phẳng (AMN) cũng phải song song với nhau

Vậy thiết diện chính là hình AMNB’ (N là trung điểm D’C’)

6 Từ Ví dụ 2 đến điểm A, tác giả tham khảo đề bài trong TLKT số 3 Phần còn lại tác giả tự làm.

Do hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng đáy là AB nên góc giữa thiết diện với mặt đáy ABCD là · 'B AB=α ( Hình 12)

Ta có: sin · ' B AB = BB AB'' = BB BB' '2 = 12

Vậy góc giữa thiết diện với mặt đáy

bằng 45o Do đó chọn đáp án B (sai)

Học sinh chọn đáp án C: Tương tự

trên thì có em lại xác định góc giữa

hai mặt phẳng là góc ·DAM =β và

nhanh chóng tính được góc này là

30o tức đáp án C ( sai)

Các cách làm trên phạm phải một

sai lầm lớn Đó là cách xác định góc Hình 12

tạo bởi thiết diện với mặt đáy, đó không phải là góc α hay β như trên Nguyên nhân dẫn đến sai lầm này là do học sinh nắm không vững cách xác định góc

giữa hai mặt phẳng, nhầm lẫn với góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Hơn nữa,

các em lại càng tự tin là đúng khi mà đáp số của bài mình giải khá “đẹp”, trùng với phương án trong bài (đáp án gây nhiễu thường là vậy)

Do hai mặt bên (BB’A’A) và (CC’D’D) song song với nhau nên giao tuyến của hai mặt phẳng này với mặt phẳng (AMN) cũng phải song song với nhau

Mà MN // DC’ (tính chất đường trung bình)

DC’// AB’ (do C’B’AD là hình bình hành)

Suy ra: MN // AB’ hay B’ nằm trên mặt phẳng (AMN)

Khi đó NB’ là giao tuyến của mp(AMN) với mặt đáy (A’B’C’D’) của hình lập phương Vậy thiết diện cần dựng là AMNB’ ( Hình 13)

Trong mặt phẳng (DCC’D’), MN và DC cắt nhau tại điểm Q

Điểm Q ∈ MN nên Q ∈ (AMN), Q ∈ DC nên Q ∈ (ABCD)

Vậy Q nằm trên giao tuyến của mặt phẳng thiết diện với mặt đáy của hình lập phương

Nối AQ Từ B’ ta kẻ B’I ⊥ AQ tại I Vì:

B B⊥ ABCD ⇒BI là hình chiếu vuông góc của B’I lên (ABCD)

Mà B I' ⊥ AQ AQ, ⊂( ABCD) ⇒ BI ⊥ AQ ( Theo định lí 3 đường vuông góc)

7 Phần Lời giải đúng tác giả tham khảo trong TLKT số 5