Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán có nội dung thực tế ôn thi THPT quốc gia

Chính vì thế cácbài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học toán là không thể không đề cập đến.Vai trò toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện ở sự tiến bộ trong

MỤC LỤC

1/ Lý do chọn đề tài ……… 1

2/ Mục đích nghiên cứu……… 1

3/ Đối tượng nghiên cứu……… 2

4/ Phương pháp nghiên cứu………. 2

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2 1/Cơ sở lí luận của vấn đề……… 2

2/Thưc trạng của vấn đề cần nghiên cứu……… 2

3/Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề…… 3

Bài toán 1: Lãi suất ngân hàng 3 Công thức 1: Tiền gửi hàng tháng……… 3

Công thức 2: Gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng……… 4

Công thức 3: Vay vốn trả góp ……… ……… 5

Công thức 4: Tăng lương theo kì hạn……… 6

Bài toán 2: Bài toán thực tiễn gắn với lao động và sản suất 7 Nhóm 1: Bài toán về quãng đường………. 7

Nhóm 2: Bài toán diện tích hình phẳng……… 8

Nhóm 3: Bài toán liên hệ diện tích, thể tích 10

Nhóm 4: Bài toán liên quan đến mũ, loga 14

Nhóm 5: Bài toán ứng dụng tích phân, mối quan hệ đạo hàm-nguyên hàm………

15 III KẾT LUẬN 20 1/ Kết quả thu được……… 20

2/ Bài học kinh nghiệm rút ra……… 20

3/Kiến nghị , đề xuất……… 20

I PHẦN MỞ ĐẦU

I.1/ Lý do chọn đề tài

Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiên bộ,hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới Chính vì thế cácbài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học toán là không thể không đề cập đến.Vai trò toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện ở sự tiến

bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản suất và đời sống xãhội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tựđộng hóa trong sản suất, mở rộng phạm vị ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếucủa mọi khoa học tiến tới cuộc cách mạng 4.0

Toán học có vai trò như vậy không phải ngẫu nhiên mà chính sự liên hệ thườngxuyên với thực tiễn lao động sản suất của con người và ngược lại toán học là công

cụ đắc lực khám phá thế giới tự nhiên

Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống và lao động sản suấtcòn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông đặc biệt làchương trình lớp 12, như vậy trong quá trình giảng dạy toán, nếu muốn tăng cườngrèn luyện khả năng và ý thức ứng dụng toán học cho học sinh nhất thiết phải mởrộng phạm vi ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý vàthường xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm chotoán học không trừu tượng, khô khan và nhàm chán Học sinh biết vận dụng kiếnthức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại Qua

đó làm tăng thêm nổi bật nguyên lý “ Học đi đôi với hành” Giáo dục kết hợp với laođộng sản suất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dụcgia đình và giáo dục xã hội

Nội dung chương trình toán lớp 12 là nội dung vô cùng quan trọng nó có vị tríquyết định trong kì thi THPT Quốc gia năm 2017 và những năm tiếp theo, theo lộtrình đổi mới toàn diện giáo dục Việt Nam Năm 2017 kì thi THPT Quốc gia cũng

có nhiều điểm mới đặc biệt bài thi môn toán thi theo hình thức trắc nghiệm kháchquan Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở các trường THPT mới chỉ tập trung rènluyện cho học sinh vận dụng tri thức toán học ở kỹ năng vận dụng tư duy tri thứctrong nội bộ toán học là chủ yếu còn kỹ năng vận dụng tri thức trong toán học vàonhiều môn khác nhau trong đời sống thực tiễn chưa được quan tâm đúng mức vàthường xuyên, chưa nói đến là kỹ thuật làm bài trắc nghiệm, đặc biệt khi giải bàitoán có nội dung thực tiễn mất quá nhiều thời gian đọc đề và suy luận

Với những lý do như trên tôi chọn đề tài:

‘‘ MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TẾ ÔN THI THPT QUỐC GIA ”

I.2/ Mục đích nghiên cứu:

- Giúp học sinh đạt kết quả cao trong kì thi THPT Quốc gia năm 2017

- Phát huy kĩ năng vận dụng toán học vào các bài toán thực tế trong đời sống lao động và sản suất

- Tạo và định hướng giải các bài toán có nội dung thực tiễn trong thời gian ngắn nhất

I.3/ Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh có lực học từ trung bình khá môn toán trở lên trong chương trình THPT

áp dụng cho học sinh khối 12

I.4/ Phương pháp nghiên cứu:

Tổng hợp có suy luận logic hình thành công thức tổng quát

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

II.1/Cơ sở lí luận của vấn đề.

- Cấp số cộng - Cấp số nhân

- Đạo hàm, bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

- Giải tam giác, cực trị trong hình học

- Kiến thức lũy thừa - hàm số mũ và logarit

- Công thức lãi kép - lãi suất ngân hàng

II.2/Thưc trạng của vấn đề cần nghiên cứu

II.2.1/Thực trạng

Bài toán có nội dung thực tiễn là một trong những lĩnh vực khá lý thú thườngxuyên được đề cập Đối với loại toán này học sinh thường hay lúng túng và khôngtìm ra con đường giải quyết và thường sợ dẫn đến không chịu làm và hay có nhữngkết luận sai lầm Trong quá trình giảng dạy của mình, có một lần tôi đưa ra cho họcsinh của mình giải toán sau :

Bạn Hồi trúng tuyển vào trường đại học Hồng Đức nhưng vì do không đủ nộp

học phí nên Hồi quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm vay 3.000.000đồng để nộp học phí với lãi suất 3% /năm Sau khi tốt nghiệp đại học bạn Hồi phải

trả góp hàng tháng số tiền T (không đổi) cùng với lãi suất 0,25%/tháng trong vòng

5 năm Số tiền T hàng tháng mà bạn Hồi phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến kết

quả hàng đơn vị) là:

A 232289 đồng B 215456 đồng C 309604 đồng D 232518 đồng

II.2.2/Kết quả thu được

Khi chấm bài của các em, tôi thấy nhiều em không làm xong bài toán Các em đa

số giải được ý sau khi học song 4 năm bạn Hồi đã nợ với số tiền.Còn lại là chưa tìm

ra được đáp án đúng

Thực ra đây là bài toán tôi thấy tâm đắc, là bài toán không khó nếu ta chỉ cần mộtchút về óc quan sát, cùng với năm vững lí thuyết về bài toán lãi suất ngân hàng( bàitoán trả góp) để đưa về công thức

Cụ thể như sau :

* Áp dụng công thức lãi kép P = a(1+r)n với a là tiền gốc ban đầu, r là % lãi suất, n là số kỳ tính lãi (tháng hay quí hay năm)

+ Đầu năm thứ nhất lấy 3 triệu lãi kép trong 4 năm 3 1 r  4

+ Đầu năm thứ hai lấy 3 triệu lãi kép trong 3 năm 3 1 r  3

+ Đầu năm thứ ba lấy 3 triệu lãi kép trong 2 năm 3 1 r  2

+ Đầu năm thứ tư lấy 3 triệu lãi kép trong 1 năm 3 1 r  1

Tổng số tiền bạn Hồi nợ trong 4 năm học là A3 1  r  1r21r31r4

Sau tháng thứ 2, còn nợ [A(1+r) - T](1+r) - T = A(1+r) 2 - [(1+r) + 1] T

Sau tháng thứ 3, còn nợ {A(1+r) 2 - [(1+r) + 1] T}(1+r) - T = A(1+r) 3 - [(1+r) 2 + (1+r) + 1] T

(  

.T = 0  T = (1 )

(1 ) 1

n n

Trong quá trình giảng dạy ở các lớp khối 12 và ôn thi đội tuyển tỉnh Casio, ôn thi

THPT Quốc gia 2017 tôi đã vận dụng ‘‘ Hướng dẫn học sinh khối 12 giải bài toán có nội dung thực tế ’’ vào học sinh trường THPT Trần Phú - Nga Sơn, các em

tiếp thu phát triển rất cao về óc quan sát, linh cảm tinh tế, kết quả thu được rất khảquan Từ đó tôi mạnh dạn đưa ra chuyên đề này gồm hai bài toán :

Bài toán 1: Lãi suất ngân hàng

Bài toán 2: Bài toán thực tiễn gắn với lao động và sản suất

II.3/ Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Bài toán 1: Lãi suất ngân hàng

Trong phần này tôi đưa ra các công thức cho từng dạng toán hướng dẫn học sinh hình thành công thức xen kẽ là lấy ví dụ

Công thức 1: TIỀN GỬI HÀNG THÁNG

Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r% một tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n thángn N *

là : S n A 1 rn 1 1 r

Hướng dẫn học sinh hình thành công thức

Gọi S n là số tiền vỗn lẫn lãi sau n tháng, A là số tiền hàng tháng gởi vào ngân hàng

Ví dụ 1 Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép là

0,6%/ tháng Biết lãi suất không thay đổi trong quá trình gửi Hỏi sau 2 năm người

đó lãi bao nhiêu?

Áp dụng với A 20.106 đồng, r 0,08, n 24 tháng, ta có số tiền lãi

Ví dụ 2 Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo

hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng.Biết sau 15 tháng người đó có số tiền

là 10 triệu đồng.Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau ?

Công thức 2: GỬI NGÂN HÀNG VÀ RÚT TIỀN GỬI HÀNG THÁNG.

Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r% một tháng.Mối tháng vào ngày ngân

hàng tính lãi, rút ra số tiền T đồng Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu?

Hướng dẫn học sinh hình thành công thức

Sau tháng thứ 1, S 1 = A(1+r) - T

Sau tháng thứ 2, S 2 = [A(1+r) - T](1+r) - T = A(1+r) 2 - [(1+r) + 1] T

Sau tháng thứ 3, S 3 = {A(1+r) 2 - [(1+r) + 1] T}(1+r) - T = A(1+r) 3 - [(1+r) 2 + (1+r) + 1] T

Sau tháng thứ n, S n = A(1+r) n - [(1+r) n-1 + (1+r) n-2 + + 1] T

Công thức số tiền còn lại sau n tháng là: 1  .1  1

n n

Ví dụ 3 Anh Hải gửi ngân hàng 20 tỷ với lãi suất 0,75% mỗi tháng Mỗi tháng vào

ngày ngân hàng tính lãi, Anh Hải đến ngân hàng rút 300 triệu đồng để chi tiêu.Hỏisau 2 năm số tiền còn lại trong ngân hàng là bao nhiêu?

A.11 tỷ B.15 tỷ C.13 tỷ D.16 tỷ

24 24

24

1,0075 1 20.10 1,0075 300.10 16,07.10

0,0075

Ví dụ 4 Bố Hồi gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,7% mỗi tháng Mỗi

tháng vào ngày ngân hàng tính lãi , Bố Hồi rút một số tiền như nhau để chi tiêu Hỏi

số tiền mỗi tháng Bố Hồi rút ra là bao nhiêu để sau 5 năm thì số tiền vừa hết?

A 300.000đ B.450.000đ C.402.000đ D.409.000đ

5.12 5.12

- Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân

hàng và rút tiền hàng tháng: 1  .1  1

n n

(   .T = 0 (n chưa biết) Ar(1+r) n = [(1+r) n -1]T  (1+r) n (T - Ar) = T

 n = log 1 r T

T Ar



 ĐK T > Ar > 0

suất là 0 , 75 %/ tháng Số tiền người đó phải trả hàng tháng (trả tiền vào cuối tháng,

số tiền làm tròn đến hàng nghìn) là:

A.3180000 B 3179000 C 75000000 D 8099000

Hướng dẫn giải:

Để hết nợ sau n tháng thì số tiền T phải trả là:

%.

75 , 0 100000000

Hướng dẫn giải:

Áp dụng CT( chú ý ) trên, n = log1,005 5,6 3005,6.0,005

  62,5 Vì n nguyên dươngnên chọn n = 63

Công thức 4: TĂNG LƯƠNG THEO KÌ HẠN

- Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng Cứ n tháng thì lương

người đó được tăng thêm r% /tháng Hỏi sau nk tháng người đó được lĩnh tất cả bao

Hướng dẫn học sinh hình thành công thức

+ Tiền lương n tháng đầu: T1 A k.

+ Tiền lương n tháng thứ hai: T2  T T1 1  7% T1 (1 r)

Ví dụ 7 Một anh công nhân được lĩnh lương khởi điểm là 700.000đ/tháng Cứ ba

năm anh ta lại được tăng lương thêm 7% Hỏi sau 36 năm làm việc anh công nhân được lĩnh tổng cộng bao nhiêu tiền (lấy chính xác đên hàng đơn vị)

%) 7 1 ( 1 1

) 1 (

12 1

12 1

12 2

T

T

Ví dụ 8 Một người được lãnh lương khởi điểm là 3 triệu đồng/tháng Cứ 3 tháng

thì lương người đó được tăng thêm 7%/ tháng Hỏi sau 36 tháng thì người đó línhđược tất cả bao nhiêu?

A.Gần 644 triệu B.Gần 623 triệuC Gần 954 triệu D Gần 700 triệu

Hướng dẫn giải

 126

36

1,07 1 3.10 12 643984245,8

0,07

Bài toán 2: Bài toán thực tiễn gắn với lao động và sản suất

Trong phần này tôi trình bày chi tiết các bài toán( theo nhóm chủ đề) có nội dung gắn liền với thực tiễn như bài toán về quãng đường,bài toán liên quan đến hóa học, vật lý, sinh học…./

Nhóm 1: Bài toán về quãng đường

Ví dụ 9 Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một

điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo Hòn đảo

cách bờ biển 6km Giá để xây đường ống trên bờ là

50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới

nước B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ

biển Khoảng cách từ A đến B’ là 9km Vị trí C trên đoạn AB’

sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất Khi đó C cách

Vậy chi phí thấp nhất khi x 2,5 Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km.

Ví dụ 10 Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách

đến bờ biển AB 5km.Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C

cách B một khoảng 7km.Người canh hải đăng có thể chèo đò

từA đến M trên bờ biểnvới vận tốc 4km h/ rồi đi bộ đến C

với vận tốc 6km h/ .Vị trí của điểm M cách B một khoảng bao

nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất?

B'

 , cho t   0 x 2 5

Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh nhất khi x= 2 5(km).

Ví dụ 11.Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn

Đảo (điểm C) biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ Ađến B là 100km, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi

km dây điện trên bờ là 3000 USD Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện

Khảo sát hàm ta được: x 45 Chọn B.

Ví dụ 12 Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý Đồng thời cả

hai tàu cùng khởi hành, một chạy về hướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu kia chạy

về vị trí hiện tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lý/ giờ Hãy xác định mà thờiđiểm mà khoảng cách của hai tàu là lớn nhất?

Áp dụng Đạo hàm ta được d nhỏ nhất

khi 7

17

t  (giờ), khi đó ta có d3,25 Hải lý

Nhóm 2: Bài toán diện tích hình phẳng

Ví dụ 13.Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng

"Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S,  là độ dàiđường biên giới hạn của tiết diện này,- đặc trưng cho khả năng thấm nước củamương; mương đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định,  là nhỏnhất) Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạngthuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật)

Ví dụ 14 Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là

hình chữ nhật, có chu vi là a m( )(a chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vihình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt).Hãy xác định các kích thước của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất?

a





Nhóm 3: Bài toán liên hệ diện tích, thể tích

Ví dụ 15 Có một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấmnhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm( )rồi gấptấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp Tìm x để hìnhhộp nhận được có thể tích lớn nhất

Hướng dẫn giải

Độ dài cạnh đáy của cái hộp: 12 2  x Diện tích đáy của cái hộp: 2

(12 2 )  x Thể tích cái hộp là: 2 3 2

(12 2 ) 4 48 144

V   x x x  x  x với x (0;6)

'( ) 12 96 144

V x  x  x  x Cho V x '( ) 0 , giải và chọn nghiệm x 2.

Lập bảng biến thiên ta được Vmax  128 khi x 2.

Ví dụ 16 Một Bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nắp dạng hình hộp

chữ nhật có thể tích 3

3200cm , tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng

2 Hãy xác định diện tích của đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

Gọi x y x y >, ( , 0) lần lượt là chiều rộng, chiều dài của đáy hố ga

Gọi h là chiều cao của hố ga (h >0) Ta có h 2 h 2 1x( )

Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm được chiếc thùng có thể tích lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là:

A 35cm; 25cm B 40cm; 20cm C 50cm;10cm D 30cm; 30cm

Hướng dẫn giải

Gọi một chiều dài là ( )x cm (0< <x 60), khi đó chiều còn lại là 60 - x cm( ) , giả sử quấn

cạnh có chiều dài là x lại thì bán kính đáy là ; 60

Lập bảng biến thiên, ta thấy 3 2 ( )

f x =- x + x xÎ lớn nhất khi x=40 60-x=20

Khi đó chiều dài là 40 cm; chiều rộng là 20 cm Chọn đáp án B

Đạo hàm lập BBT ta tìm đc f x( ) GTNN tại x 1, khi đó h 2.

Ví dụ 18.Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R = 6cm Người ta muốn

làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần cònlại thành hình nón ( Như hình vẽ) Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắtcung tròn của hình quạt bằng

I

S

Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón

Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài là x

Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2