Một hướng giải nhanh trắc nghiệm về tích phân

Đối với các câu hỏi về nguyên hàm tích phân, có rất nhiều câu hỏi liên quan đến việc vận dụng các công thức cơ bản của phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần mà học s

1 MỞ ĐẦU

Lí do chọn đề tài

Trong năm học qua, đây là năm đầu tiên thi đại học toán bằng trắc nghiệm Đối với các câu hỏi về nguyên hàm tích phân, có rất nhiều câu hỏi liên quan đến việc vận dụng các công thức cơ bản của phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần mà học sinh không thể sử dụng máy tính để kiểm tra kết quả Thực tế nhiều em phản ứng không nhanh đối với các dạng câu hỏi này

Để giúp các em tự tin, tiếp cận và nâng cao năng lực giải toán trắc nghiệm tích phân, tôi đã nghiên cứu và viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “ Một hướng giải nhanh trắc nghiệm về tích phân”

Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh nhận dạng, giải nhanh một số dạng tích phân bằng phép biến đổi vi phân, kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần

Bồi dưỡng cho học sinh các kĩ năng của toán học, nâng cao năng lực tư duy, sáng tạo của bản thân trong học toán nói chung và nâng cao khả năng giải bài toán tích phân trong các đề thi THPT Quốc gia nói riêng

Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp sử dụng phép biến đổi vi phân, phương pháp tích phân từng phần, ứng dụng tích phân vào các bài toán thực tế

Phương pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu và viết đề tài, tôi đã sử dụng các phương pháp sau:

Phương pháp điều tra khảo sát thực tế và thu thập thông tin, đàm thoại, vấn đáp ( nghiên cứu phân phối chương trình, lấy ý kiến của giáo viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp)

Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết ( nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, chuyên môn liên quan đến đề tài.)

Phương pháp thống kê và xử lí số liệu ( tiến hành thực hiện đề tài trên một

số lớp giảng dạy, phân tích và đánh giá kết quả đề tài qua việc thống kê và xử lí

số liệu bài kiểm tra)

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Toàn nghành giáo dục hiện nay đã và đang thực hiện nhiệm vụ học tập và giảng dạy với phương pháp dạy học tích cực lấy người học là trung tâm Các em học sinh tiếp thu tri thức, phát triển bản thân trở thành chủ thể tích cực, sáng tạo Các em biết vượt qua khó khăn, sự thiếu tự tin( sợ sai), hứng thú tiếp cận tri thức, biết dựa trên kiến thức đã biết, tìm hiểu, khai thác, sáng tạo tìm ra những vấn đề mới Các em có khả năng tự học, tự nghiên cứu và tìm ra kiến thức dựa trên những kĩ năng toán học như đặc biệt hóa, tương tự hóa, khái quát hóa,

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

-Đặc điểm tình hình của nhà trường

Trường THPT Bỉm Sơn là trường có bề dày kinh nghiệm, thành tích trong công tác giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia cũng như ôn thi đại học với thế mạnh là các môn tự nhiên Trường có đội ngũ giáo viện giỏi, nhiệt tình, tâm huyết với công tác chuyên môn, Các em học sinh đa phần là ngoan, chịu khó, thông minh với khả năng tư duy tốt

Thực trạng của vấn đề “ Một hường giải nhanh trắc nghiệm về tích phân” tại trường THPT Bỉm Sơn là:

Về kiến thức: Học sinh chưa nắm vứng bản chất các phép biến đổi vi phân,

kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh khi sử dung phương pháp tích phân từng phần

Về kỹ năng: Học sinh chưa biết cách tính nhanh các bài toán tích phân, thay vào đó lại quá lạm dụng máy tính dẫn đến thiếu sáng tạo trong quá trình giải

Cụ thể: trong đề kiểm tra kiến thức về nguyên hàm tích phân ở hai lớp

12 ;12A A ( THPT Bỉm Sơn, năm học 2013-2014) có các bài toán:

Đề 1:

Câu 1: Cho

3

0 ( ) 27

f x dx=

∫ Tính

1

0 (3 )

I =∫ f x dx

Câu 2: Tính tích phân ( )

ln3

3

x

x

e dx

e +

Đề 2:

Câu 1: Tính tích phân

2

2 1

2.x x − 1dx

∫

Câu 2: Tính tích phân 2 ( )

4

cosx.ln sinx dx

π

Qua khảo sát 86 học sinh của 2 lớp có được kết quả như sau:

được câu nào 2 câu được câu 1 được câu 2

Qua kết quả bài làm và thời gian giải bài tập của các em, bộc lộ những nhược điểm sau:

* Chưa nhận dạng: nếu ( ) ( )

b

b a a

f x dx F x=

(u( )) ( ( )) (u( ))

b

b a a

f x d u x =F x

* Chưa nhận biết được u'( ) ( )x d x =d(u( )x +c) , với u'( )x thường là các hàm dễ tìm được nguyên hàm, xuất hiện trong bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

* Chưa áp dụng được ngay công thức tích phân từng phần.

Để giúp các em có kỹ năng giải và tính nhanh các bài tập về nguyên hàm

tích phân, tôi mạnh dạn lựa chọn và nghiên cứu vấn đề “ Một hướng giải

nhanh trắc nghiệm về tích phân”

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Giải pháp tổ chức thực hiện

- Bổ sung, hệ thống các kiến thức cơ bản, liên quan mà học sinh cần sử dụng

- Yêu cầu học sinh nhận diện dạng toán thông qua ví dụ, phân tích hình thành phương pháp giải

- Đưa ra các bài toán mới để học sinh củng cố kiến thức và kĩ năng Học sinh phân tích, trình bày lời giải Hướng dẫn các em hình thành, sáng tạo bài toán tương tự

- Áp dụng kĩ năng đặc biệt hóa, hướng dẫn các em sáng tạo bài toán mới Thực hiện nghiên cứu và ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy tôi chia nội dung thành ba phần dạy cho học sinh vào ba buổi, mỗi buổi ba tiết

2.3.2 Hệ thống các kiến thức cơ bản.

a) Phép tính vi phân.

Nếu hàm số f có đạo hàm f’ thì tích f x'( ) ∆x gọi là vi phân của hàm số

( )

y= f x Kí hiệu d f x( ( )) f'(x) dx = hay dy= y dx'

b) Sự tồn tại nguyên hàm.

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp

0dx C=

∫

dx x C= +

∫

1

1 1

x

x dxα α C α

α

+

+

∫

0du C=

∫

du u C= +

∫

1

1 1

u

u duα α C α

α

+

+

∫

ln

∫

e dx e= +C

∫

,( 1; 0) ln

x

a

∫

cosxdx sinx C= +

∫

sinxdx= −cosx C+

∫

2

1

dx tanx C

∫

2

1

dx cotx C

sin x = − +

∫

1 ln

∫

e du e= +C

∫

,( 1; 0) ln

u

a

∫

cosudu= sinu C+

∫

sinudu= − cosu C+

∫

2

1

tan

∫

2

1

cot

sin u = − +

∫

c) Một số phương pháp tính tích phân.

* Phương pháp đổi biến số:

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức sau đây:

( )

( ) ( ( )) '( ) ( )

u b b

f u x u x dx= f u du

∫ ∫ , trong đó hàm số u u x= ( ) có đạo hàm liên tục trên K,

hàm số y= f u( ) liên tục và sao cho hàm hợp f u x( ( )) xác định trên K; a và b là hai số thuộc K

* Phương pháp tích phân từng phần

Cơ sở của phương pháp là công thức sau:

( ) '( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) '( ) ( )

b a

u x v x dx= u x d v x =u x v x − u x v x dx

có đạo hàm liên tục trên K và a, b là hai số thuộc K

2.3.3 Sử dụng phép biến đổi vi phân để tính tích phân có dạng

( ( )) '( )

b

a

f u x u x dx

∫

* Để học sinh vận dụng thành thạo công thức:

( )

( ) ( ( )) '( ) ( )

u b b

f u x u x dx= f u du

tác giả không đưa ngay ra ví dụ minh họa Trước khi cho các em luyện tập, cần hướng dẫn các kỹ năng sau:

a) Viết lại hàm số cần tìm nguyên hàm về dạng f u x u x( ( )) '( ), và nhận dạng hàm số u x'( ).( u x'( )thường là các hàm số dễ tìm được nguyên hàm, xuất hiện trong bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp)

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

1) 4 2

0

tan x

dx cos x

π

tan

x

x cos x = cos x , trong hai hàm tan x và 2

1

cos x thì hàm

số 2

1

cos x dễ tìm được nguyên hàm Vậy 2

1 '( )

u x

cos x

=

2)

3

2 0

4

1

x dx

x +

x

x

4 1

x + và x thì hàm

số x dễ tìm được nguyên hàm Vậy u x'( ) =x

3) 3 ( )2

1

1

ln x dx

x

∫ Ta có 1( )2 1 ( )2

lnx lnx

x và ( )2

ln x thì hàm

1

xdễ tìm được nguyên hàm Vậy u x'( ) 1

x

b) Kỹ năng biến đổi u x dx d u x'( ) = ( ( )) =d u x( ( ) C) +

tan

tan tan

x

cos x

=

2

2

+

3 ( )2 3( )2

1

lnx dx lnx d(ln )x

c) Kỹ năng chuyển đổi nguyên hàm của hàm số sơ cấp sang nguyên hàm

của hàm số hợp

0 2

tan

tan tan

x x

cos x

π

2

0

1

1 2

2

x

+ +

3 ( )2 3( )2 ( )3 3 ( )3

1

ln ln 3 1

x

d) Bài tập minh họa.

Bài 1: Cho

3

0 ( ) 27

f x dx=

1

0 (3 )

I =∫ f x dx

A I = 9 B I = 3 C I = 27 D I = 18

Hướng dẫn:

(3 ) (3 ) (3 ) (u) (u) 9

I =∫ f x dx= ∫ f x d x = ∫ f d = Đáp án đúng là A Bài 2 : Cho ( )

ln3

3

x

x

e

dx a b e

= + +

A S = 3 B S= 2 C S= 1 D S= 4

Hướng dẫn:

) 1

ln 3 2

0 3

1

1 1

2

x x

x

e e

e

−

− +

là A

Bài 3: Tính tích phân

2

2 1

2.x x − 1dx

∫ bằng cách đặt u x= 2 − 1 , mệnh đề nào dưới đây đúng:

A

3

0

2

I = ∫ udu B

2

1

I =∫ udu C

3

0

I =∫ udu D

2

1

1 2

I = ∫ udu

Hướng dẫn:

2.x x − 1dx= x − 1 (d x − = 1) udu

Bài 4: Cho 1 3( 4)3

0

b

A 1 B -1 C 2 D -2

Hướng dẫn: 1 3( 4)3 1( 4)3 4 ( 4)4 1

0

1

x

Bài 5: Cho 2

0 1 sin

cosx

dx a b x

π

= + +

A ln 2 B -ln 2 C 2 D 0

0

1 (sin 1) ln sin 1 ln 2

1 sin 1 sin

cosx

π

là A

Bài 6: Cho

0

ln(2 ) 2

dx

−

A 2 B -2 C ln2 D –ln2

1 0

ln 2

ln(2 ) d(ln(2 ))

x

−

đúng là A

Bài 7: Cho 3

1

2 3 0 x a b

x e dx

c

−

=

A 9 B -1 C 1 D -9

0

Nhận xét: Các bài tập minh họa trên đều rất khó có thể tìm đáp án đúng bằng máy tính, còn các em giải bằng phương pháp đặt u u x= ( ) thì giải sẽ mất thời

gian đổi cận, tính du của tích phân hơn.

2.3.4 Phương pháp tích phân từng phần.

*Để học sinh vận dụng thành thạo công thức:

( ) '( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) '( ) ( )

b a

u x v x dx= u x d v x =u x v x − u x v x dx

ví dụ minh họa Trước khi luyện tập, cần lưu ý các em:

a) Phương pháp tích phân từng phần tỏ ra rất hiệu quả khi giải một số tích

phân mà hàm số dưới dấu tích phân là tích của hai hàm khác nhau và v x'( )

thường là hàm số dễ tìm được nguyên hàm, đặc biệt tác giả khuyến khích các

em trực tiếp vận dụng công thức (**)

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

1

0

. x

A=∫x e dx

2

1 ln

B=∫x xdx 2

0

C x sinxdx

π

=∫

Giải :

1 0

A=∫x e dx=∫xd e =x e −∫e dx e= − − =e

2 1

x

2 0

2

C x sinxdx xd sinx x sinx sinxdx

b) Dấu hiệu nhận biết hàm v x'( )

1) ( ) ( )

b

a

p x q x dx

∫ , trong đó p x( ) là một

đa thức, q x( ) là một hàm số lượng

giác

2) ( ) (e )

b

x a

p x q dx

∫ , trong đó p x( ) là một

đa thức

3) ( ) (e )

b

x a

p x q dx

∫ , trong đó p x( ) là một

hàm số lượng giác

4) ( ).ln ( )

b

k

a

p x q x dx

∫ , trong đó p x( ) là

một đa thức, hoặc là một hàm số lượng

giác

1) Ta có v x'( ) q(x) =

2) Ta có v x'( ) q(x) =

3) Ta có v x'( ) q(e ) = x hoặc v x'( ) = p(x)

4) Ta có v x'( ) = p(x)

c) Vì v x dx d v x'( ) = ( ( ) +c) , công thức (**) có thể viết lại như sau :

( ) '( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) '( ).( ( ) )

b a

u x v x dx= u x d v x + =c u x v x − u x v x +c dx

số bất kỳ và theo một “ thói quen” ta thường chọn c= 0 Nhưng đôi khi việc chọn c= 0 lại làm cho '( ).( ( ) )

b

a

u x v x +c dx

∫ khó tính toán Vì c là hằng số bất kỳ

nên căn cứ vào mỗi bài toán cụ thể, ta có cách xác định số c sao cho

'( ).( ( ) )

b

a

u x v x +c dx

Ví dụ 1: Tính

3

2 1

ln ( 10)

x

x

= +

∫ ( Báo toán học tuổi trẻ, đặc san số 10) Nếu biến đổi

2

x

3

1

1 1

.

10dx

x x+

∫ ( giải mất thời gian hơn) Vì vậy, tác giả hướng dẫn các em theo cách :

3 1 2

1 297

ln

10 13

=

Ví dụ 2: Tính 2

0 ln(1 sin )

π

2 0

ln(1 sin ) ln(1 sin ) ( 1) ( 1) ln(1 sin )

π

= 2ln 2 1 −

d) Bài tập minh họa.

Bài1 : Cho 4

0

1 sxdx

x co

a b

π

π

= −

A -32 B 8 C 4 D 32

0

1 sxdx d(sinx) sinx sinxdx

8 4

B

4

.ln 2 , sin

x

x

π

π

π

2

P= m n+

A P= 1 B P= 0,75 C P= 0, 25 D P= 0

(Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD-ĐT Quảng Nam)

Hướng dẫn:

2 2

4

1 ( cot ) ( cot ) cot (sin )

x

π π

π

( ) 2

4

1

π π

Bìa 3 : Xét các mệnh đề sau :

1 2x dx= − 2 x− +C

−

∫

(II) ∫2 ln(x x+ 2)dx=(x2 − 4 ln() x+ − 2) ∫(x− 2)dx

(III) 2

x

∫

Số mệnh đề đúng là : A 2 B 0 C 3 D 1

(Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD-Bắc Ninh)

1 2x dx= − 2 1 2x d − = − 2 − x C+

2 ln(x x+ 2)dx= ln(x+ 2) (d x − = 4) x − 4 ln(x+ − 2) (x− 2)dx

(2 )

x

Vậy đáp án đúng là A

Bài 4: Tính tích phân

1

0 ln( 1)

E=∫ x+ dx

A E= 2 ln 2 2 + B E= 2 ln 2 1 + C E= 2 ln 2 2 − D E= 2 ln 2 1 −

(Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD-Quảng Ninh)

0

ln( 1) ln( 1) ( 1) 1 ln( 1) 2.ln 2 1

Vậy đáp án đúng là D

Bài 5: Biết 4( )

0

1

1 x cos xdx2

a b

π

π

∫ Giá trị của tích a b. bằng:

A 32 B 2 C 4 D 12

(Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-lần 3, THPT Quảng Xương I-Thanh Hóa)

Hướng dẫn:

4 0

án đúng là A

Bài 6 : Tính tích phân

2 3 1

ln x

x

=∫

A 3 2ln 2

16

I = +

B 2 ln 2

16

I = −

C 2 ln 2

16

I = +

D 3 2ln 2

16

I = −

(Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD TPHCM)

Hướng dẫn :

2 1

Nhận xét : Đề tiết kiệm thời gian và nâng cao năng lực giải toán thì các em phải nắm vứng bản chất các phép biến đổi vi phân, kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh khi sử dung phương pháp tích phân từng phần.

2.3.5 Ứng dụng các bài toán tích phân qua các bài toán thực tê.

* Đề các bài toán tính tích phân ‘gần gũi’ hơn thưc tế , các môn học khác Tác giả hướng dẫn các em lại các bài toán sau :

Bài 1 : Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian v= f t( )

Khi đó quãng đường mà vật đi được trong khoảng thòi gian từ thời điểm a đến thời điểm b là ( )

b

a

f t dt

Bài 2 : Một vật thể ℘ được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại hai điểm có hoành độ x a x b a b= ; = ( ≤ ) S x( ) là diện tích thiết diện của

℘, vuông góc với trục Ox tại x∈[ ]a b; Thể tích V của vật thể ℘được cho bởi công thức ( )

b

a

V =∫S x dx

* Bài tập minh họa.

Bài 1.Vận tốc trung bình đi xe máy trong thành phố vào khoảng 30 km/h đến 40 km/h Khi nhìn thấy chướng ngại vật, để đảm bảo an toàn, người điều khiển xe máy phải phanh để xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc

v t = − 10 5t m / s và dừng lại hẳn khi gặp chướng ngại vật Hỏi người điều

khiển xe máy phải bắt đầu phanh khi cách chướng ngại vật ít nhất một khoảng bao nhiêu mét

Hướng dẫn: Ta có: v t( ) = − = ⇔ = 10 5t 0 t 2 Từ lúc người điều khiển xe máy

phanh đến khi dừng hẳn thì đã di chuyển trong khoảng thời gian t = 0 đến t = 2 Quãng đường xe đi được trong khoảng thời gian đó là:

2 2 2

0

0

5t

S (10 5t)dt (10t ) 10

2

Do đó, cần phanh trước cách chướng ngại vật ít nhất là 10m Đáp án đúng là A Bài 2 : Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16 Ông muốn trồng hoa trên mảnh đất rộng 8m, và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là : 100.đồng /1m2 Hỏi ông

An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên mảnh đất đó ?( số tiền được làm tròn

đến hàng nghìn)

(Đề minh họa –lần 2-Bộ Giáo Dục và Đào tạo)

A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng

C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng

Hướng dẫn: Chọn câu B Xét hệ trục Oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình (E): 2 2 1

64 25

x + y = Khi đó số tiền cần dùng bằng:

4

100 2 5 1

64

x dx

−

7.653.000 đồng

( Để tính được số tiền các em dùng máy tính thì sẽ nhanh hơn, không phải giải chi tiết bằng tự luận)

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Thông qua tiến hành nghiên cứu các lóp 12 trong năm học này tôi đã thu được một số kết quả đó là đa số các em có tư duy toán học linh hoạt, sáng tạo giải nhanh trong các bài toán trắc nghiệm về tích phân Có thể nói rằng, các em hoàn toàn chủ động, tích cực trong hoạt động học tập của mình và là trung tâm của quá trình giảng dạy của thầy, cô Với cách thực hiện này, các em từng bước chinh phục được những đỉnh cao của kiến thức toán học

Sau khi áp dụng ‘ Một hướng giải nhanh trắc nghiệm về tích phân’ tôi đánh giá kết quả học tập của học sinh bằng điểm số Tôi chọn lớp 12A2 làm lớp dạy thực nghiệm và lớp 12A1 làm lớp dạy học đối chứng Kết quả sau khi kiểm tra được thống kê qua bảng sau :

Lớp Sĩ

số

Kết quả

Như vậy, qua quá trình dạy học thực nghiệm và kết quả thống kê cho thấy

đề tài nghiên cứu có tính khả thi và áp dụng rộng rãi trong việc dạy học chủ đề

‘Nguyên hàm - tích phân’

Thông qua cách áp dụng đề tài vào giảng dạy , các thầy cô càng phát huy được tính sáng tạo cùng học trò của mình, nâng cao năng lực chuyên môn và làm nhiều thêm kho tài liệu kiến thức của Nhà trường