Hoạt động giải bài tập toán học là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tu duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng d
Trang 1Mục lục
A ĐẶT VẤN ĐỀ……… 2
I Lí do chọn đề tài ……… 2
II Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm……… 2
III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……… 2
IV Phương pháp nghiên cứu………2
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ……… … 3
I Cơ sở lý luận……… 3
II Thực trạng và giải pháp……… 3
1 Hệ thống kiến thức toàn chương………3
2 Một số kiến thức áp dụng ….……… 3
3 Một số bài tập vận dụng……… ……… 5
4 Bài tập ……… ……… 16
III Kiểm nghiệm của đề tài……….……… 19
C KẾT LUẬN……… 19
Trang 2A ĐẶT VẤN ĐỀ
I Lí do chọn đề tài
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạng hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Hoạt động giải bài tập toán học là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tu duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn, là điều kiện tốt các mục đích dạy hoc ở trường phổ thông
Số phức là một nội dung mới được đưa vào giảng dạy ở bậc THPT (bắt đầu từ chương trình phân ban 2006) và được giảng dạy ở lớp 12 Các bài tập trong sách giáo khoa được phân theo nội dung bài học, chưa thành các dạng
cụ thể, ở mức độ vận dụng thấp Phân loại bài tập về số phức thành các dạng toán và đưa ra một số bài tập phong phú giúp ích cho nhiều học sinh khi học nội dung này khi kết hợp khéo léo, linh hoạt các kiến thức liên kết với nhau như công thức cấp số cộng, cấp số nhân, công thức nhị thức Newtơn, bất đẳng thức Bun-nhi-a-cốp-xki, bất đẳng thức hình học trong tam giác…khi học nội dung này từ đó rèn luyện các kỹ năng, nhận dạng tốt để tìm ra kết quả bài toán về số phức trong thời gian ngắn nhất
Để rèn luyện năng lực tư duy, nắm vững kiến thức, kỹ năng và vận dụng tìm nhanh đáp số phần bài tập trắc nghiêm về phần số phức cho học sinh, các em có thể phát huy được tính sáng tạo và tư duy logic của mình, từ
đó các em học sinh giải được nhanh các bài toán liên quan liên quan đến số phức trong đề thi THPT Quốc gia, tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình: “XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG CAO
VỀ SỐ PHỨC ”
II Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các em học sinh trung học phổ thông có cái nhìn toàn diện hơn về số phức và từ đó hình thành kĩ năng vận dụng linh hoạt hơn trong việc giải các bài tập vận dụng cao
III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu cách vận dụng các kiến
thức phổ thông để hình thành một số bài tập vận dụng cao về số phức.
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình Giải tích lớp 12
IV Phương pháp nghiên cứu
Thông qua những ví dụ cụ thể với cách tiếp cận khái niệm, cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh vận dụng được các kĩ năng đã có Các khái niệm và ví dụ minh họa trong đề tài này được lọc từ các sách giáo khoa, sách bài tập và sáng tạo Trong các tiết học trên lớp tôi đã dạy bài trên
để học sinh biết vận dụng linh hoạt các kiến thức có liên quan
Trang 3B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I Cơ sở lý luận.
Trong đề tài này sử dụng các hệ thống khái niệm, bài tập được chuẩn bị
từ SGK, sách bài tập và sáng tạo trên cơ sở các kiến thức học sinh đã biết
II Thực trạng và giải pháp.
1 Hệ thống lại kiến thức toàn chương
1.1 Khái niệm số phức
* Định nghĩa 1: Một số phức là một biểu thức dạng a bi+ , trong đó a ,
b là các số thực và số i thoả mãn i2 = − 1 Kí hiệu số phức đó là z và viết
z a bi = +
i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần
ảo của số phức z a bi = +
Tập hợp các số phức được kí hiệu là C
* Chú ý:
+ Mỗi số thực a đều được xem như là một số phức với phần ảo b= 0 + Số phức z a bi = + có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo + Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo
*Định nghĩa2: Hai số phức z a bi= + (a, b∈R) và z'= +a b i' ' (a ,'b' ∈ R)được gọi là bằng nhau nếu : a a= ' và b b= ' Khi đó, ta viết: z z= '
1 2 Biểu diễn hình học số phức
Mỗi số phức z a bi= + (a, b∈R) được biểu diễn bởi một điểm M a b( ; )
trên mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại mỗi điểm M a b( ; ) biểu diễn một số phức z a bi= +
Mặt phẳng toạ độ với việc biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức Trục Ox gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo
1.3 Phép cộng và phép trừ số phức:
* Định nghĩa 3 : Tổng của hai số phức z1= +a b i1 1 và
z = +a b i (a1,b1,a2,b2∈R) là số phức z1+ =z2 (a1+a2) (+ b b i1+ 2)
* Tính chất của phép cộng số phức:
i, (z1+z2)+ = +z3 z1 (z2+z3) với mọi z1,z2,z3∈C
ii, z1+ = +z2 z2 z1 với mọi z1, z2 ∈C
iii, z+ = + = 0 0 z z với mọi z∈C
iv, Với mỗi số phức z a bi= + (a, b∈R), nếu kí hiệu số phức − −a bi là −z thì
ta có: z+ − = − + =( )z z z 0 Số −z được gọi là số đối của số phức z
*Định nghĩa 4: Hiệu của hai số phức z1= +a b i1 1 , z2 = +a2 b i2 (
∈
2
2
1
1 ,b,a ,b
a R)là tổng của hai số phức z1 và −z2, tức là:
1 ( 2) 1 2 ( 1 2) ( 1 2)
z + −z = − =z z a −a + b b i−
*Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:
Mỗi số phức z a bi= + (a, b∈R) được biểu diễn bởi M a b( ; ) cũng có nghĩa là véctơ OMuuuur
Khi đó nếu u uur uur,
theo thứ tự biểu diễn số phức z z, thì:
Trang 4+ uur uur1+u2 biểu diễn số phức z1+z2
+ uur uur1−u2 biểu diễn số phức z1−z2
1.4 Phép nhân số phức:
*Định nghĩa 5: Tích của hai số phức z1 = +a b i1 1 , z2 = +a2 b i2 (
∈
2
2
1
1 ,b,a ,b
a R) là số phức: z z1 2 =a a1 2−b b1 2 +(a b1 2+a b i2 1)
*Nhận xét: + Với mọi số thực k và mọi số phức z a bi= + (a, b∈R), ta có: kz k a bi= ( + )=ka kbi+ và 0.z z= 0 0 = với mọi z∈C
*Tính chất của phép nhân số phức:
i, z z1 2 = z z2 1 với mọi z1, z2∈C
ii, z.1 1 = z z= với mọi z∈C
iii, (z z z1 2) 3= z z z1.( 2 3) với mọi z1,z2,z3∈C
iv, z z1.( 2+z3)= z z1 2+z z1 3 với mọi z1,z2,z3∈C
1.5 Số phức liên hợp và mô đun của số phức:
*Định nghĩa 6: Số phức liên hợp của số phức z a bi= + (a, b∈R) là
a bi− và được kí hiệu là z Như vậy, ta có: z a bi a bi= + = −
*Nhận xét:
+ Số phức liên hợp của z lại là z, tức là z z= Do đó ta còn nói z và z là hai số phức liên hợp với nhau
+ Hai số phức là liên hợp với nhau khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau qua trục Ox
*Tính chất:
i, Với mọi z1, z2∈C ta có: z1+ = +z2 z1 z2 ; z z1 2 = z z1 2
ii, ∀z∈C, z a bi= + (a, b∈R), số z z. luôn là một số thực và z z a = 2+b2
*Định nghĩa 7: Mô đun của số phức z a bi= + (a, b∈R) là số thực không
âm a2+b2 và được kí hiệu z : z = z z = a2+b2
-Nếu z=a+bi có biểu diễn hình học là M(a;b) thì z = OM = a2 +b2
-Nếu z1, z2 có biểu diễn hình học là M1, M2 thì M1M2 = z1 −z2
1.6 Phép chia cho số phức khác 0
Trang 5* Định nghĩa 8: Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là 1 2
z z
z
Thương z'
z của phép chia số phức z' cho số phức z khác 0 là tích của z' với
số phức nghịch đảo của z, tức là z' z z' 1
z
−
= Như vậy, nếu z≠0 thì 2
z z z
z = z
*) Tính chất môđun của số phức
'
z
z = z ; z z1 2 = z z1 2 ; z1+z2 ≤ z1 + z2
2 Một số kiến thức áp dụng
- Bất đẳng thức: Bun-nhi-a-cốp-xki cho 4 số thực (ab+cd) 2 ≤ (a2 +b2 )(c2 +d2 ) Dấu đẳng thức xảy ra khi ad=bc
- Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d ( 1 ) (2 1 ( 1) ).
S = u +u = u + −n d
- Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q
là
1
1 1
−
−
=
q
q
u
S
n
=
−
=
k
k k n k n
b a
0 )
- Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp
+ Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0
+ Phương trình đường tròn : (x-a)2 +(y-b)2 =R2
+ Phương trình đường Elip: 2 1
2 2
2
= +
b
y a
x
3 Một số bài tập vận dụng
Dạng 1 Tính các biểu thức của số phức.
Ví dụ 1: Tính các giá trị của các biểu thức sau
a) S1= 1+i+i2+ i3+….+i2017 bằng
A 1 B.i C -1 D 1+i
b) S2 = 2+i +(1+i)2 +(1+i)3 +… +(1+i)2017
A 22017 -i B 22017i C 21009- i D 21009+ i
c) S3 = 1-i +2i2 -3i3+ 4i4-5i5 + …-2015 i2015
A.-1007+1008i B.1008-1007i C.1005-1004i D.1004+1008i
2016
2014 2016
8 2016
6 2016
4 2016
2
1 −C +C −C +C − −C +C
A 0 B 21008 C -21008 D 22015
Trang 6Hướng dẫn
a) S1= 1+i+i2+ i3+….+i2017 là tổng của 2018 số hạng đầu của cấp số nhân có công bội q=i , u1=1 nên
i i
i i
i
+
=
−
−
−
=
−
−
=
−
1
) 1 ( 1 1
) ( 1 1
1 1
1009 1009
2 2018
Chọn D.
b) S2 = 2+i +(1+i)2 +(1+i)3 +… +(1+i)2017 =1 +(1+i)+(1+i)2 +(1+i)3 +…
+(1+i)2017 là tổng của 2018 số hạng đầu của cấp số nhân có công bội q=1+i ,
u1=1 nên
i i
i i i
i i
i i
i
−
−
=
−
−
=
−
+
−
= +
−
+
−
504 2 1009 1009
1009 2 2018
) 1
(
1
) 1
(
1
.
1
Chọn C
c) Ta có : i = i4m+1, i2 = i4m+2 = -1, i3= i4m+3= -i , i4= i4m+4 = 1 với mọi m∈N. Khi đó
S3 = 1-i +2i2 -3i3+ 4i4-5i5 + …-2015 i2015 = 1 –(1+5+9+…+2013) i +
(2+6+10+…+ 2014) i2 -(3+7+11+…+2015) i3+ (4+8+…+2012) i4
i
i i
1008 1007
1 ) 2012 4
( 2
503 )
2015 3
( 2
504 ) 1 ).(
2014 2
( 2
504 )
2013 1
.(
2
504
1
+
−
=
+ +
+ +
− +
+ +
−
=
Chọn A.
d) Ta có ( 1 +i) 2016 = (( 1 +i) 2 ) 1008 = ( 2i) 1008 = 2 1008 (1) mà
2016
2016 2016 1 1 2 2 3 3 4 4 2016 2016
2016 2016 2016 2016 2016 2016 0
2016 2016 2016 2016 2016 2016
k
−
=
∑
Từ (1) và (2) suy ra S4=1 2016 2 1008
2016
2014 2016
8 2016
6 2016
4 2016
2
Chọn B
Ví dụ 2 a) Cho 2 số phức z1 ,z2 thỏa mãn z1 = z2 = 1 và z1 −z2 = 3
Khi đó giá trị z1 +z2 bằng A 0 B.2 C 1 D.3 b) Cho 3 số phức z1 ,z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 +z2 + z3 =0 Khi đó giá trị 2
3
2 2
2
1 z z
z + + bằng A.0 B.1 C.-1 D.3
c) Cho hai số phức z1 ,z2 thỏa mãn z1 = z2 = z1 −z2 = 1
Tính giá trị biểu thức .
2
1 2 2
2
1
+
=
z
z z
z P
Trang 7A P=1-i B P= -1-i C.P=-1 D P=1+i
Hướng dẫn
a) Đặt z1 = x1 +y1i(x1,y1 ∈R), z2 = x2 +y2i(x2,y2∈R), từ
2
2 2
2 1
2 1 2
1 = z = ⇔ x + y =x + y =
3 ) (
2 3
) (
) (
2
2 2
2 1
2 1
2 2 1
2 2 1 2
1 − z = ⇔ x −x + y − y = ⇔ x + y +x + y − x x + y y =
z
2
1 2 1 2
1
−
= +
⇔ x x y y nên
2
2 2
2 1
2 1
2 2 1
2 2 1 2
1 +z = x +x + y + y = x + y + x + y + x x + y y =
Chọn C.
Mà
2 3 1 3 2 1 2 3 1 3 2 1
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1 3 2 1
0
0
z z z z z z z z z z z z
z z z z z z
Do đó 2z1 +z22+z32 =(z1+z2+z3)2−2(z z1 2+z z2 3+z z1 3) 0= 2−2.0 0.=
Chọn A.
c)Từ giả thiết, ta có z1 = z2 = z1−z2 =1 1 1 1 1
2
z
z
1
2
2
x
=
Khi đó
w
= + = + ÷ + − ÷ = −
Dạng 2 Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức.
Trang 8Ví dụ 3 Trong mặt phẳng Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn bởi số phức w
thỏa mãn điều kiện w=(1-2i)z +3
a) Biết z là số phức thỏa mãn z− 1 − 3i = z− 2i
A Đường thẳng 4x-6y+8=0 B Đường thẳng 3x-5y-2=0
C Đường thẳng 4x-5y +7=0 D Đường thẳng 6x-2y-43 =0
b) Biết z là số phức thỏa mãn z+ 2 = 5
A Đường tròn (x-1)2+(y-4)2 =125 B Đường tròn (x-5)2 + (y-5)2 =125
C Đường tròn (x+1)2 +(y-2)2=125 D Đường thẳng x=2
Hướng dẫn
Gọi z = x+ yi(x,y∈R),có biểu diễn hình học là M1(x;y) trong mặt phẳng tọa
độ , Gọi w= x' +y'i(x,y∈R),có biểu diễn hình học là M(x’;y’) trong mặt phẳng tọa độ
5
6 ' ' 2 5
3 ' 2 ' 3
) )(
2 1 ( ' '
− +
=
−
−
=
⇔ + +
−
= +
⇔
y x y
y x x yi
x i i
y x
a)
) 2 ( 0 5 2
2
) 2 ( )
3 ( ) 1 ( )
2 ( )
3 ( ) 1 ( 2 3
=
−
+
⇔
− +
=
− +
−
⇔
− +
=
− +
−
⇔
−
=
−
−
y
x
y x y
x i
y x i y x
i z
i
z
Thay (1) vào (2) ta được − − + + − − 5 = 0 ⇔
5
6 ' ' 2 2 5
3 ' 2 '
Vậy quỹ tích của số phức z nằm trên đường thẳng 6x-2y-43 = 0
Chọn D.
a)
Cách1
z+ = ⇔ − + + + − i = ⇔ x − y + + x y+ − =
Suy ra (x’-1)2 +(y’-4)2 =125
Vậy quỹ tích điểm M biểu diễn bởi số phức w là đường tròn
(x-1)2 +(y-4)2 =125 Chọn C.
Cách 2
Vậy quỹ tích điểm M biểu diễn bởi số phức w là đường tròn
(x-1)2 +(y-4)2 =125 Chọn C
Nhận xét Cho số phức Z thỏa mãn z−a−bi =r khi đó quỹ tích của số phức
Trang 9fi e z
di
c
w= ( + ) + + nằm trên đường tròn được xác định
r d c bi a z di c i f ad bc e bd
ac
w
bi a z di c i f ad bc e bd ac
w
fi e i ad bc bd ac bi a z di c w fi e z
di
c
w
)
( ) (
) )(
( ) (
) (
) (
) )(
( )
(
2
2 +
=
−
− +
= + +
− +
−
−
−
− +
= + +
− +
−
−
⇔
+ + +
+
− +
−
− +
=
⇔ + + +
=
Vậy quỹ tích biểu diễn bởi số phức w nằm trên đường tròn tâm
I(ac-bd+e;bc+ad+f) ,bán kính R= c2 +d r2
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z− 4 + z+ 4 = 10
a) Tìm quỹ tích điểm biểu diễn bởi số phức z là
A Là một đường thẳng B là một đường tròn tâm I(4;-4), bán kính r=10 C.Là đường Elip: 1
9 25
2 2
= + y
x
D Là đường Elip: 1
16 25
2 2
= + y
x
b) Từ đó tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của z lần lượt là
A 10 và 4 B 5 và 4 C 4 và 3 D.5 và 3
Hướng dẫn
Gọi z= x+ yi(x,y∈R),có biểu diễn hình học là M (x;y) trong mặt phẳng tọa độ, F1(-4;0), F2(4;0)
Từ
− + + = ⇔ − + + + + =
Nên tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường Elip có a=5,c=4,
b2=a2-c2=9 , có phương trình chính tắc là 1
9 25
2 2
= + y
x
Chọn C
b) max z =OA OA= ' = =a 5, min z =OB OB= ' = =b 3 Chọn D.
Ví dụ 5 : Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ
Trang 10Hỏi hình nào biểu diễn số phức
z
i
w=
Hướng dẫn
Gọi z= x+ yi(x,y∈R),có biểu diễn hình học là M (x;y) trong góc phần tư
y x
x y
x
y y
x
yi x i yi x
i z
i
w (2 2) 2 2 2 2
+
+ +
−
= +
+
=
−
=
=
Trang 11Do x,y>0 nên ⇒
>
+
<
+
−
0
0
2 2
2 2
y x x
y x
y
điểm biểu diễn số phức w nằm trong góc phần
tư thứ 2 Chọn C
Dạng 3 Tìm số phức hoặc tìm môđun lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của số phức thỏa mãn điều kiên cho trước.
Ví dụ 6 a) Cho các số phức z,w thỏa mãn z+ 2 − 2i = z− 4i,w=iz+ 1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức w là A
2
2
B 2 2 C.2 D
2
2 3
b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z− 1 = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = z+i + z− 2 −i
A maxT=8 2 B maxT=4 C maxT=4 2 D maxT=8 c) Cho số phức z1 thỏa mãn z− 22 − z+i2 = 1và số phức z2 thỏa mãn
5
4 − =
− i
z Tìm giá trị nhỏ nhất của z1 −z2
5
5
2
B 5 C
5
5 2
D
5
5 3
Hướng dẫn
z= x+ yi(x,y∈R), từ z+ 2 − 2i = z− 4i ⇔ (x+ 2 ) 2 + (y− 2 ) 2 = x2 + (y− 4 ) 2
(x 2) (y 2) x (y 4) x y 2 y x 2
⇔ + + − = + − ⇔ + = ⇔ = − +
Nênw iz= + =1 i x yi( + ) 1 1+ = − +y xi
⇒ = + − + = + − + = − + ≥
Vậy min
2
2
=
w Chọn A
2)Đặtz= x+ yi(x,y∈R),từ
T z i z i x y i x y i
= + + − − = + + + − + −
= + + + − + − = + + + + + − − + Kết hợpvới (*), ta được T = 2x+ 2y+ 2 + 6 − 2x− 2y mà
4 16
) 2 2 6 2 2 2 )(
1 1 ( ) 2 2 6 2 2 2
2 = x+ y+ + − x− y ≤ + x+ y+ + − x− y = ⇒T ≤
T
(Áp dụng bất đẳng thức Bun-nhi-a-cốp-xki)
Trang 12Vậy max T=4 Chọn B.
3) *)Đặt z1 = x1 + y1i(x,y∈R), có biểu diễn hình học là điểm M(x1;y1), z1 thỏa
1
2 1
2 1
2 1 2
2
=
− +
⇔
= + +
− +
−
⇔
= +
−
z
suy ra điểm M thuộc đường thẳng ∆ : 2x+ y− 1 = 0
*) Đặt z2 = x2+ y i x y2 2 2( , ∈R), có biểu diễn hình học là điểm N(x2;y2), z2 thỏa mãn
2
2 2
2 2
2 2
2 − −i = ⇔ x − + y − = ⇔ x − + y − =
z
suy ra điểm N thuộc đường tròn ( C): (x-4)2 +(y-1)2 =5, tâm I(4; 1) bán kính 5
=
r Khi đó
1 2 ( 1 2 ) ( 1 2 )
5 5
z z x x y y MN IN IM IH r
IH r d I r
− = ∆ − = − =
Vậy
5
5 3 minz1 −z2 = Chọn D
Ví dụ 7: a) Cho số phức z thỏa mãn z+ 2 −i + z− 2 − 3i = 2 5 Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất z+ 1 − 2i Tính P = m +M
5
10 5 5
5
10 5
5 + C 10+ 2. D 2 10 + 2.
b) Cho số phức z thỏa mãn z− 1 −i + z− 3 − 2i = 5 Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất z Tính P = m +M
5
13 5
5
13 5
5 + C 13 + 2 D 2 13 + 2
Hướng dẫn
a) Gọi z= x+ yi(x,y∈R),có biểu diễn hình học là M(x;y) trong mặt phẳng tọa độ
Ta có
).
1 ( 5 2 ] 1 ) 2 [(
] 3 ) 1 [(
] 1 ) 2 [(
] 1 )
1
[(
5 2 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( 5 2 3 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
=
−
− + +
− +
+
− + +
+
⇔
=
− +
− +
− + +
⇔
=
−
− +
−
+
y x
y x
y x
y x
i z
i
z