Sử dụng phương pháp trục số giải nhanh bài tập về dấu cho học sinh khối 10, ứng dụng ôn thi THPT quốc gia phần tính đơn điệu, cực trị của hàm số

Với sự thay đổi đó đòi hỏi mỗi giáo viên cần xác định, lựa chọn và vận dụng phương pháp dạy học một cách phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh để phát huy được tính chủ động, tíc

MỤC LỤC

Phần 1 Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Đối tượng nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

5 Những điểm mới của SKKN

Phần 2 Nội dung

1 Cơ sở lí luận

2 Thực trạng vấn đề

3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Phần 3 Kết luận và kiển nghị

1 Kết luận

2 Kiến nghị

Danh mục đề tài đã được xếp loại cấp tỉnh

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong thời kỳ hội nhập kinh tế hiện nay của nước ta, cùng với sự phát triển vượt bậc của khoa học đòi hỏi hệ thống GD&ĐT phải xác định lại mục tiêu và phương pháp giáo dục theo hướng đào tạo ra những con người có năng lực, có tư duy sáng tạo, có kĩ năng thực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, có tính tổ chức

kỉ luật… Chính vì vậy, trong những năm gần đây Bộ GD&ĐT đã không ngừng có những sự thay đổi, điều chỉnh Liên quan đến bộ môn Toán, từ năm học 2016-2017

đề thi THPT quốc gia sẽ 100% câu hỏi trắc nghiệm (50 câu hỏi và thời gian là 90 phút) Với sự thay đổi đó đòi hỏi mỗi giáo viên cần xác định, lựa chọn và vận dụng phương pháp dạy học một cách phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh để phát huy được tính chủ động, tích cực của học sinh trong quá trình học, củng như học sinh làm quen, làm được, làm nhanh, làm đúng các bài tập trắc nghiệm Thế nên phương pháp dạy học rất được chú trọng và xem như là nhiệm vụ hàng đầu để đưa kiến thức đến được với học sinh

Trường THPT Quan Sơn là trường miền núi cao, cơ sở vật chất, trang thiết bị phục vụ cho công tác giảng dạy còn nhiều thiếu thốn, chất lượng đầu vào còn thấp, học sinh chủ yếu học được các môn Xã hội, các môn Tự nhiên, đặc biệt là Toán để truyền đạt được kiến thức đến học sinh là điều vô cùng khó

Bài toán về dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai (Đại số 10, ban cơ bản) là bài toán hay, khó và có ứng dụng trong việc giải các bài bất phương trình, xét tính đơn điệu của hàm số, tìm cực trị của hàm số Bài toán này xuyên suốt

cả bậc học THPT và có trong đề thi THPT Quốc Gia.Từ những lý do trên, củng như kết quả đạt được khi giảng dạy học sinh lớp 10A3, 10A7 (năm học 2016-2017), ôn thi THPT Quốc Gia lớp 12A3, 12A4 (năm học 2016-2017) tôi mạnh dạn đưa ra đề tài sáng kiến kinh nghiệm:

“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TRỤC SỐ GIẢI NHANH

BÀI TẬP VỀ DẤU CHO HS KHỐI 10-ỨNG DỤNG ÔN THI THPT QUỐC GIA PHẦN TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ”.

Phương pháp này nhằm góp phần thực hiện yêu cầu đổi mới nội dung và phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh, phù hợp với câu hỏi trắc nghiệm

2 Mục đích nghiên cứu

Thiết kế, xây dựng và sử dụng phương pháp vào dạy “Bài 3: Dấu của nhị

thức bậc nhất, Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai – Chương IV- Đại số 10 – ban cơ bản Dạy học sinh 12 và ôn thi THPT Quốc Gia phần tính đơn điệu và cực trị của hàm số” Nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học Đại số 10, vận dụng vào làm các bài

toán trắc nghiệm về tính đơn điệu, cực trị của hàm số có trong đề thi THPT Quốc Gia

3 Đối tượng nghiên cứu

3.1 Đối tượng: Học sinh khối 10, học đại số phần dấu của nhị thức bậc nhất

và dấu của tam thức bậc hai Học sinh khối 12 học giải tích, học sinh ôn thi THPT quốc gia phần tính đơn điệu và cực trị của hàm số

3.2 Phạm vi: Trường THPT Quan Sơn

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Đại số 10 (Phần dấu của nhị thức bậc nhất, dấu của tam thức bậc hai), chương trình Giải tích 12 (Phần tính đơn điệu, cực trị của hàm số)

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về các phương pháp, biện pháp thiết kế và sử dụng phương pháp theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh, phù hợp với

đề thi trắc nghiệm

4.2 Phương pháp chuyên gia

Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến làm

cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài

4.3 Phương pháp khảo sát thực tế

Thực nghiệm sư phạm lớp 10A3, 10A7 (năm học 2016-2017), ôn thi THPT Quốc Gia lớp 12A3, 12A4 (năm học 2016-2017) trường THPT Quan Sơn, tiến hành theo quy trình của đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu quả của đề tài nghiên cứu

4.4 Phương pháp thống kê toán học

Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được.

PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

1.1 Một số khái niệm cơ bản

+) Nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc nhất đối với ẩn x là biểu thức dạng

f(x) = ax + b ( a, b hằng số, a0)

+) Tam thức bậc hai: Tam thức bậc hai đối với ẩn x là biểu thức dạng

2

( )

f x ax bx c (a,b,c hằng số, a0)

1.2 Dấu của nhị thức bậc nhất

f(x) = ax + b cùng dấu với a khi x > b

a

 ;

f(x) = ax + b trái dấu với a khi x < b

a



Ví dụ 1: Xét dấu của f(x) = 3x – 5

+) f x ( ) 0 khi x > 5

3 ; +) f x ( ) 0 khi x < 5

3 .

1.3 Dấu của tam thức bậc hai: f x( ) ax2 bx c ( a0),  b2  4ac

2

b x a





khi x1  x x2 trong đó x x x1 , ( 2 1 x2 ) là hai nghiệm của f(x)

Ví dụ 2: Xét dấu của f x( ) x2  5x 6

f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x 1 2 và x 2 3, hệ số a  1 0

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau

x   2 3 

f(x) + 0 - 0 +

( ) 0

f x  khi x   ( , 2)hoặc x (3,);

( ) 0

f x  khi x (2,3)

1.4 Dấu của tích, thương các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai

Ví dụ 3: ( vd2_tr 91_ sgk đại số 10_cơ bản ) Xét dấu biểu thức

f(x) = (4 1)( 2)

3 5

x

 

Giải theo sách giáo khoa:

f(x) không xác định tại x=5

3

Các nhị thức có nghiệm viết theo thứ tự tăng dần -2, 1

4 , 5

3

2

4x-1 - - 0 + +

x+2 - 0 + + +

-3x+5 + + + 0

-( ) 0

f x  khi x    ( , 2)hoặc ( , )1 5

4 3

( ) 0

f x  khi ( 2, )1

4

x   hoặc ( ,5 )

3

Ví dụ 4: Xét dấu biểu thức

2

( 3 4 1)( 2)

( )

4 4

f x



 

Giải theo sách giáo khoa:

f(x) không xác định tại x=2

Các nhị thức có nghiệm viết theo thứ tự tăng dần 1

3 , 1,2

3

 3x2  4x 1 - 0 + 0 -

x2  4x 4 + + + 0 +

-( ) 0

f x  khi ( ,1)1

3

( ) 0

f x  khi ( , )1

3

2 Thực trạng vấn đề

2.1 Thực trạng chung:

Trường THPT Quan Sơn là trường miền núi cao, kinh tế đặc biệt khó khăn, trình độ dân trí còn thấp, phụ huynh học sinh còn chú trọng vấn đề làm ăn, chưa thực sự quan tâm đến Giáo dục, họ chưa nhận thức được tầm quan trọng của việc học tập của con cái nên chưa có sự quan tâm và đầu tư đúng hướng Chính vì vậy năng lực học tập của học sinh còn hạn chế, chất lượng đầu vào lớp 10 thấp Học sinh đi học chủ yếu mượn sách giáo khoa nhà trường, không có sách tham khảo, nâng cao nào Ngoài thời gian tới trường các em còn làm thêm giúp gia đình Vì vậy nên không có nhiều thời gian dành cho học tập, trong khi từ năm học

2016-2017 thi THPT Quốc Gia sẽ 100% trắc nghiệm môn toán, lượng kiến thức sẽ nhiều nên việc dạy cho các em phương pháp dễ học, dễ nhớ, có sự xuyên suốt cả bậc học

là rất cần thiết và cấp bách

2.2 Thực trạng của giáo viên

Giáo viên đang quen với phương pháp giảng dạy dành cho đề thi tự luận, không ngừng cải tiến, đổi mới phương pháp dạy học để học sinh có thể trình bày bài đúng, đủ, chính xác Thì giờ giáo viên phải tìm tòi, đổi mới, học hỏi phương pháp dạy học để học sinh tìm ra đáp số đúng một cách nhanh nhất Với sự đổi mới như vậy, trong khi dạy giáo viên còn gặp nhiều khó khăn, từ việc tìm ra phương pháp, chọn phương pháp hợp lý để truyền tải kiến thức đến với học sinh Qua đó giúp học sinh nắm được phương pháp, làm được bài toán và làm nhanh Định hướng cho học sinh hiểu rõ, trắc nghiệm khác với tự luận, khi làm trắc nghiệm có

những câu ta có thể dựa vào tính chất, định lý, quy luật dựa vào phương pháp loại trừ mà ta có ngay đáp số mà không cần phải trình bày lời giải

2.3 Thực trạng của học sinh

Học sinh trường THPT Quan Sơn với đầu vào thấp, đa số là theo học khối xã hội, nên các môn tự nhiên, đặc biệt là môn toán có chất lượng học tập chưa cao Các em thích học thuộc hơn là tư duy, sáng tạo nên khi học toán các em rất thụ động, ít phát biểu Các em chưa chú trọng vấn đề học, nhiều học sinh còn nghỉ học

thường xuyên để đi làm phụ gia đình, có em bỏ học để đi chơi điện tử Chính vì

vậy mà kết quả học tập của các em rất thấp, học sinh hiểu và làm được bài tập ít, nhiều học sinh trung bình và có học sinh yếu

Qua giảng dạy thực tế cho thấy, khi giáo viên sử dụng phương pháp dễ học, dễ hiểu hay phương pháp tích cực, chủ động, các dạng bài tập có sự phân hóa phù hợp với từng đối tượng học sinh thì lớp học sẽ sôi nổi và các em sẽ phát biểu nhiều hơn

Với thực trạng như vậy tôi xin giới thiệu đề tài “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP

TRỤC SỐ GIẢI NHANH BÀI TẬP VỀ DẤU CHO HS KHỐI 10-ỨNG DỤNG

ÔN THI THPT QUỐC GIA PHẦN TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ” Đề tài sẽ là tài liệu tham khảo mới cho giáo viên và học sinh THPT.

3 Giải pháp giải quyết vấn đề

3.1 Phương pháp “Sử dụng trục số để xét dấu”

Cho hàm số ( ) ( )

( )

H x

f x

Q x

 trong đó H x , ( )( ) Q x là tích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai

Bước 1: Giải nghiệm các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai

Giả sử các nghiệm: x x1, , ,2  x n

f(x) không xác định tại các nghiệm của Q x( )

Bước 2: Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần

Giả sử: x1 x2   x n Có 3 trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Nếu các nghiệm không có 2 nghiệm nào là trùng nhau hay

1 2 n

x x  x

Thì ta chuyển sang bước 3

Bước 3: Biểu diễn các nghiệm trên trục số

Khoảng từ nghiệm lớn nhất (xn) đến dương vô cùng () cùng dấu với dấu của tích các hệ số của x có số mũ cao nhất (nhị thức bậc nhất là hệ số của x, tam thức bậc hai là hệ số của x2) Học sinh có thể đếm dấu hệ số của ẩn x có số mũ cao nhất, nếu lẻ dấu (-) thì tích mang dấu (-), nếu không có dấu, hoặc có chẵn dấu (-) thì tích mang dấu (+) Dấu của các khoảng còn lại ta áp dụng ngoài cùng trong trái (ngoài tính từ nghiệm lớn nhất đến , đổi dấu qua mỗi nghiệm tính từ nghiệm lớn nhất về  )

Ví dụ: Giả sử có trục số

Ví dụ 5: Xét dấu của f(x)

(2 1)( 2)( 3) ( )

( 1)(3 2)

f x



Giải

(*) Giải theo sách giáo khoa:

f(x) không xác định tại x=-1 và x=2

3 Các nhị thức có nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần là -2; -1; 1

2;2

3; 3

f(x)>0 khi x   ( 2; 1) hoặc ( ; )1 2

2 3

x  hoặcx (3;  );

f(x)<0 khix    ( ; 2) hoặc ( 1; )1

2

x   hoặc ( ;3)2

3

(**) Giải theo phương pháp:

f(x) không xác định tại x=-1 và x=2

3 Các nhị thức có nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: -2, -1, 1

2,2

3, 3

Ta xét dấu của tích 2.1.1.1.3 > 0 (tất cả các hệ số của x đều dương) vậy dấu của khoảng từ 3 đến dương vô cùng là dấu (+)

f(x)>0 khix   ( 2; 1) hoặc ( ; )1 2

2 3

x  hoặcx (3;  ); f(x)<0 khi x    ( ; 2) hoặc ( 1; )1

2

x   hoặc ( ;3)2

3

Ví dụ 6: Giải bất phương trình sau

2

2

( 7 10)(3 1)

Giải

f(x) không xác định tại x=3 và 1

2

x 

Các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai có nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: 1 1, , 2,3,5

3 2



Có một dấu (-) của hệ số x có số mũ cao nhất Ta có trục số biểu diễn dấu như sau:

Bpt có nghiệm trên các khoảng: 1 1

3 x 2

   và 2 x 3 và 5 x  

Nhận xét: Qua hai ví dụ trên, nếu ta lập bảng thì thời gian lập bảng đủ để ta

giải hai bài theo phương pháp trục số, và nếu nhìn vào thì trục số sẽ dễ nhìn, dễ lấy các khoảng dấu hơn là bảng

Ví dụ 7: Giải bất phương trình sau

2

2

( 1)

0 6

x x





  

Giải

f(x) không xác định tại x=2, x=-3

Nghiệm -3,-1,0,1,2

Không có dấu (-) của hệ số x có số mũ cao nhất Ta có trục số biểu diễn dấu như sau:

Bpt có nghiệm trên các khoảng:   3 x 1 và 0  x 1 và 2 x  

Trường hợp 2: Trong các nhị thức bậc nhất có hai nhị thức có nghiệm trùng

nhau hoạc tam thức bậc hai có nghiệm kép (nghiệm kép đó chính là nghiệm trùng của hai nhị thức bậc nhất, ví dụ x2  4x  4 (x 2) 2  (x 2)(x 2)), giả sử x1 =

k

x k n

Giả sử x1 x k x2 x3   x k1 x k1  x n ta chuyển sang bước 4

Bước 4: Ta biểu diễn các nghiệm trên trục số

  x1 x2 xk1 xk1 xn  

Khoảng từ nghiệm lớn nhất (x n) đến dương vô cùng () cùng dấu với dấu của tích các hệ số của x có số mũ cao nhất Dấu của các khoảng còn lại ta áp dụng

ngoài cùng trong trái Chú ý hai bên của nghiệm trùng (bên trái và bên phải) là cùng dấu.

Ví dụ: Giả sử có trục số

   x1  x2  x3 xk1  xk1 xn  

Ví dụ 8: Xét dấu của biểu thức

( 1)(3 2)( 2) ( )

(2 2)(3 2)

f x



Giải

(*)Giải theo sách giáo khoa:

f(x) không xác định tại x=1 và x=2

3 Các nhị thức có nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần là 2

3

 , 1,2

3,2

f(x)>0 khi ( 2;1)

3

x   hoặc (1; )2

3 hoặc (2;  ); f(x)<0 khi ( ; 2)

3

x     hoặc ( ; 2)2

3

(**) Giải theo phương pháp:

f(x) không xác định tại x=1 và x=2

3 Các nhị thức có nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần 2

3

 , 1,2

3,2

Ta thấy nhị thức x-1 và 2x-2 cùng nghiệm là x=1 và tất cả hệ số của x là dương nên dấu của khoảng từ 2 tới  là dấu (+), ta áp dụng ngoài cùng trong trái,

và do 1 là nghiệm trùng nên bên phải hay bên trái cùng dấu và sau đó ta lại áp dụng ngoài cùng trong trái

f(x)>0 khi ( 2;1)

3

x   hoặc (1; )2

3 hoặc (2;  ); f(x)<0 khi ( ; 2)

3

x     hoặc ( ; 2)2

3

Ví dụ 9: Xét dấu của biểu thức

f(x)=

(2 )( 2 3)(5 1)

(2 2)(1 )

2

x x

Giải

Giải theo phương pháp:

f(x) không xác định tại x=-1 và x=2

Các nhị thức có nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần -1, 1

5

 , 3

2, 2, ta thấy 2 là nghiệm trùng và các hệ số của x có lẻ dấu (-)

f(x)>0 khi x    ( ; 1) hoặc ( 1 3; )

5 2

f(x)<0 khi ( 1; 1)

5

x    hoặc ( ; 2)3

2 Hoặc (2;  )

Nhận xét: Trên bảng ta phải thể hiện đầy đủ các nhị thức, tam thức bậc hai và

nghiệm của nó còn ở trục số ta chỉ để ý đến các nghiệm

Ví dụ 10: Giải bất phương trính sau

2

2

( 5 6)(1 2 )

0

2 1



Giải

f(x) không xác định tại x = 1

Ta thấy 1 là nghiệm trùng, hệ số của x có số mũ cao nhất có lẻ dấu (-)

1

2

Bpt có nghiệm khi: 1

2

x  hoặc 2  x 3

Nhận xét: Với những câu hỏi trắc nghiệm về dấu hoạc giải bpt, ta không cần

phải trình bày phần lý thuyết “f(x) không xác định tại…, nghiệm trùng là…” mà ta

có thể quy ước ký hiệu trên trục số luôn

+) Ký hiệu  trên trục số dưới nghiệm nào nghĩa là tại nghiệm đó hàm số không xác định

+) Ký hiệu  trên trục số dưới nghiệm nào nghĩa là nghiệm đó là nghiệm trùng

Ví dụ 11: Giải bất phương trình sau

2

2

(3 5 2)(1 )

0 (4 3 )(2 1)

x x



1

Bpt có nghiệm khi: 2 4

3  x 3

Nhận xét: 2x  2 1 0 là vô nghiệm, ta củng chỉ để ý đến dấu của hệ số x2 là 2 (+) cùng với các hệ số còn lại và giải theo phương pháp

Trường hợp 3: Có nhiều hơn hai nhị thức có nghiệm trùng nhau (có thể

chung một nghiệm hoặc nghiệm trùng của các nhị thức là khác nhau)

(*) Giả sử có nhiều hơn hai nhị thức (tam thức bậc hai ta xem như là 2 nhị thức) có chung một nghiệm

+) Nếu có lẻ nhị thức có chung một nghiệm (ví dụ 3,5,7… nhị thức có chung 1

nghiệm) ta trở về trường hợp 1.

+) Nếu có chẵn nhị thức có chung 1 nghiệm (ví dụ 4,6… nhị thức có chung 1

nghiệm) ta trở về trường hợp 2.

(*) Nghiệm trùng của các nhị thức (tam thức bậc hai ta xem như là 2 nhị thức) là khác nhau.

Phương pháp giải trường hợp này là ta sử dụng tất cả các phương pháp của tất

cả các trường hợp đã học Ta xem các nghiệm trùng đó nằm trong khoảng nào? số nhị thức chứa nghiệm trùng là chẵn hay lẻ? Tích các hệ số của ẩn x là dương hay âm? Khi đó ta sẽ xét được dấu của biểu thức f(x) đã cho

3.2 Ứng dụng của sáng kiến vào giải các bài toán về tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số.

+) Khi làm bài toán về xét tính đơn điệu hay tìm cực trị của hàm số (giải tích

12), ta thực hiện theo các bước: Tính đạo hàm, tìm nghiệm của đạo hàm, lập trục số thay bảng biến thiên và kết luận

Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (bài 1a_tr 9_sgk giải tích

12_cơ bản)

yx  x 