Hướng dẫn học sinh phương pháp thay đối tượng để có một bài toán mới – chương trình toán THPT

2.3.1 Xây dựng hệ thống bài toán Hình học thông thường theohướng “thay đối tượng cơ bản” giải quyết các yêu cầu trên bằng định tính 4 2.3.2 Hướng dẫn học sinh phương pháp “thay đối tượng

2.3.1 Xây dựng hệ thống bài toán Hình học thông thường theo

hướng “thay đối tượng cơ bản” giải quyết các yêu cầu trên

bằng định tính

4

2.3.2 Hướng dẫn học sinh phương pháp “thay đối tượng để có hệ

thống bài tập mới” ở một lớp bài tập tiêu biểu.

7

2.3.3 Mở rộng đối tượng mới thông qua một số mối quan hệ

khách quan

12

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với công tác giảng

dạy ôn tập cho học sinh

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

- Mở rộng bài toán theo hướng “thay đối tượng” là một phương pháp mà

người làm toán thường sử dụng để xây dựng và hoàn thiện hệ thống bài tập,củng cố lí thuyết, làm sáng mối liên hệ giữa các phần, các nội dung kiến thứckhác nhau trong chương trình toán THPT Với học sinh để thực hiện được điềunày các em cần có lượng kiến thức đủ rộng, có trải nghiệm nhiều qua các dạngbài tập khác nhau và dưới sự hướng dẫn của thầy cô giáo thì việc vận dụngphương pháp mới có kết quả Tuy nhiên nếu trong quá trình dạy học, hướngdẫn học sinh, Giáo viên quan tâm và giúp các em cách thức tiếp cận vấn đềthường xuyên và có hệ thống thì sẽ không là vấn đề khó và xa lạ đối với các

em

- Trong dạy học chúng ta đang hướng tới việc “dạy học tích hợp” , tích

hợp các phần nội dung khác nhau trong môn học đặt ra yêu cầu trong dạy học,Giáo viên phải luôn chú ý đến mối liên hệ qua lại giữa các đối tượng, mối liên

hệ qua lại giữa các nội dung kiến thức trong chương trình ở cả lí thuyết và bàitập Giúp học sinh thấy được mối liên hệ, biết liên hệ từ đơn giản đến phức tạp,

từ cái nhìn thấy đến những điều tất yếu khách quan là một yêu cầu của việc dạytoán

- Phổ biến khi giúp học sinh tìm hiểu mở rộng, đào sâu các bài toán từ cơbản đến phức tạp, từ dễ đến khó, từ nội dung này chuyển sang nội dung khác.Xin được giới thiệu việc sử dụng phương pháp thay đối tượng ở một lớp bài

toán có tính đặc trưng trên trong bài viết: “Hướng dẫn học sinh phương pháp thay đối tượng để có một bài toán mới – chương trình toán THPT”

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Giúp học sinh nắm vững hệ thống nội dung kiến thức, biết vận dụng vàliên hệ các nội dung lại với nhau Giải quyết các yêu cầu của một bài toán vàđặt ra được các yêu cầu tương tự với một số lớp bài toán có liên quan Phương

pháp thay đối tượng, thay thế các yếu tố mới để có được cái nhìn bao quát hơnkhi làm toán.

- Với các em học sinh lớp 12 trong giai đoạn ôn tập tổng hợp, chuẩn bịcho kì thi THPTQG rất cần có cái nhìn bao quát vấn đề và xử lí các vấn đềtrong một loạt các bài toán như vậy

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Học sinh lớp 12 trong quá trình ôn tập kiến thức tổng hợp chuẩn bị chothi hết kì và thi THPT QG

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Kết hợp giữa kinh nghiệm và yêu cầu thực tế trong việc dạy học ôn tậptổng hợp cho học sinh lớp 12

- Phối hợp các phương pháp dạy học tích cực trong qúa trình thực nghiệmtrong các nhóm học tập và trên lớp

- Trong các bài toán về hình học Việc thay thế đối tượng từ điểm sang

đường, điểm sang mặt và đường sang mặt để có một bài toán mở rộng mới

là phương pháp thường được sử dụng khi xây dựng, mở rộng và nới sâu mức

độ phong phú của từng dạng bài

- Các đối tượng, các quan hệ trong hình học được nghiên cứu ở dạng hìnhgiải tích có nhiều mối liên hệ với các vấn đề trong đại số, giải tích Trên cơ sở

đó các quan hệ đại số cũng thông qua đó, dựa vào đó vận dụng các quan hệhình học để giải quyết được một số lớn các vấn đề khó

- Các bài toán tìm các điểm để có khoảng cách lớn nhất, bé nhất từ hìnhhọc thông thường đến hình giải tích trong mặt phẳng và hình giải tích trongkhông gian

- Phương trình đường (đường thẳng, đường tròn, đường cong), mặt (mặtphẳng, mặt cầu) thể hiện các tập hợp điểm Các điểm biểu diễn các đường,điểm biểu diễn các số trên hệ tọa độ Các phương trình đường, mặt là cácphương trình đại số thuần túy thường gặp

2.2 Thực trạng của vấn đề:

- Khi dạy lớp bài toán tìm các điểm thỏa mãn khoảng cách lớn nhất(hoặcnhỏ nhất) có rất nhiều dạng bài và câu hỏi khác nhau như:

+ Cho đường thẳng d và điểm A (A ∉ d) Tìm điểm

H trên d sao cho khoảng cách AH ngắn nhất

+ Cho đường tròn (C) điểm A (A ∉ (C))

Tìm điểm H trên (C) sao cho khoảng cách AH ngắn

A

H

lịch sử phát triển của bài toán, giải quyết định lượng mà thiếu đi cách nhìn đinhtính.

- Với các bài toán trắc nghiệm(thi theo hình thức mới) Việc tìm ra nhữnglời giải nhanh là hết sức khó nếu như chỉ thuần túy làm việc trên đối tượng banđầu Học sinh thiếu khả năng liên hệ từ đối tượng này qua đối tượng khác Đặcbiệt từ hình học phẳng sang không gian, từ hình học sang đại số, từ định lượng

về định tính và ngược lại thì càng ít

- Nguyên nhân chủ yếu ở đây là việc các nội dung trong chương trìnhthường thiết kế độc lập Tuy có kế thừa nhưng lại không liên tục Vì vậy việchướng dẫn cho học sinh có được cái nhìn tổng thể, khả năng liên hệ móc ngoặccác quan hệ, đối tượng trong nội hàm bộ môn giúp các em giải toán phụ thuộcvào các thầy cô giáo là chủ yếu

- Bằng cách thông qua một số bài tập cơ bản, khá điển hình Sau đây tôixin đưa ra một số giải pháp thực hiện để thay đổi một phần điểm hạn chế trên

2.3 Giải pháp thực hiện

2.3.1 Xây dựng hệ thống bài toán hình học thông thường theo hướng “thay đối tượng cơ bản” giải quyết các yêu cầu trên bằng định tính.

* Bài toán xuất phát trong mặt phẳng:

1 Cho đường thẳng d và điểm A (A ∉ d) Tìm

điểm H trên d sao cho khoảng cách AH ngắn nhất

Phương pháp giải:

- AH ngắn nhất khi và chỉ khi H là hình chiếu của A

lên d Việc tìm H có hai cách phổ biến sau:

Cách 1: Gọi tọa độ H theo d dưới dạng tham số Khi đó uuur rAH u = 0 giải phươngtrình tìm được tọa độ H

Cách 2: Viết phương trình đường thẳng (l) đi qua A và vuông góc với d Khi đó

H là giao điểm của (l) và (d)

A

H

d

2 Thay đường thẳng (d) bởi đường tròn (C) Tìm M trên (C) để AM có độdài lớn nhất (hoặc bé nhất)

Phương pháp giải:

- AM có độ dài lớn nhất (hoặc bé nhất) khi M

là giao điểm của đường thẳng

(d) qua tâm đường tròn I và điểm A(trường hợp A trùng I thì khoảng cách từ Ađến mọi điểm không đổi) Do đó cách tìm điểm M là viết phương trình đườngthẳng AI Tìm tọa độ giao điêm của đường thẳng qua AI với đường tròn Ta sẽtìm được hai điểm, trong đó một điểm có khoảng cách tới A là lớn nhất, còn mộtđiểm có khoảng cách tới A là bé nhất(so sánh kết quả để tìm ra)

3 Thay điểm A bởi đường thẳng (l), (l) và (C) không

cắt nhau Tìm M trên (C) và N trên (l) để MN có độ dài lớn

nhất (hoặc bé nhất)

Phương pháp giải:

- MN có độ dài lớn nhất(hoặc bé nhất) khi M, N là giao

đểm của đường thẳng đi tâm đường tròn và vuông góc với đường thẳng

4 Thay điểm A và đường thẳng d

bằng hai đường tròn rời nhau Tìm trên

mỗi đường điểm M và N sao cho

khoảng cách giữa hai điểm là lớn

nhất(hoặc bé nhất)

Phương pháp giải:

- Nhận thấy MN có độ dài lớn nhất(hoặc bé nhất) khi M, N là giao đểm củađường thẳng đi qua 2 tâm với các đường tròn trên

5 Thêm giàng buộc mới cho hai điểm M, N

Tìm trên đường tròn (C ) điểm M và đường thẳng

M

- Phương pháp giải: Dựng được 2 tiếp tuyến với đường tròn, sao cho các tiếptuyến này song song với đường thẳng (l) Khi đó điểm tiếp xúc giữa tiếp tuyếnvới đường tròn là M Ta tìm điểm N trên (l) sao cho MNuuuur

cùng phương với ur

.Khi đó MN có giá trị lớn nhất(hoặc bé nhất) thỏa mãn yêu cầu bài toán

* Bài toán trong không gian:

6 Cho đường thẳng d và điểm A (A ∉ d) Tìm

điểm H trên d sao cho khoảng cách AH ngắn nhất

Phương pháp giải:

- AH ngắn nhất khi và chỉ khi H là hình chiếu của A

lên d Việc tìm H có hai cách phổ biến sau:

Cách 1: Gọi tọa độ H theo d dưới dạng tham số Khi đó uuur rAH u = 0 giải phươngtrình tìm được tọa độ H

Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d Khi đó H

là giao điểm của (P) và (d)

7 Thay đường thẳng (d) bởi mặt cầu (S).

Tìm M trên (S) để AM có độ dài lớn nhất (hoặc bé

nhất)

Phương pháp giải:

- AM có độ dài lớn nhất (hoặc bé nhất) khi M là giao điểm của đường thẳng(d) qua tâm mặt cầu I và điểm A(trường hợp A trùng I thì khoảng cách từ A đếnmọi điểm không đổi) Do đó cách tìm điểm M là viết phương trình đường thẳng

AI Tìm tọa độ giao điêm của đường thẳng qua AI với mặt cầu Ta sẽ tìm được

hai điểm, trong đó một điểm có khoảng cách tới A là lớn nhất, còn một điểm cókhoảng cách tới A là bé nhất(so sánh kết quả để tìm ra).

8 Thay điểm A bởi một đường thẳng (d) không

cắt mặt cầu (S) Tìm M trên (S), H trên (d) để MH có

độ dài bé nhất

Phương pháp giải:

- HM có độ dài bé nhất khi M một trong hai giao điểm của đường thẳng (d)qua tâm mặt cầu I và điểm H( H là hình chiếu của tâm mặt cầu lên đường thẳng(d))

9 Thay điểm A và mặt cầu (S) bằng hai mặt cầu rời nhau Tìm trên mỗi mặtđiểm M và N sao cho khoảng cách giữa hai điểm là lớn nhất(hoặc bé nhất)

Phương pháp giải:

- MN có độ dài lớn nhất(hoặc bé

nhất) khi M, N là giao đểm của đường

thẳng đi qua 2 tâm với các mặt cầu trên

10 Một số hướng phát triển khác:

- Một trong hướng mở đơn giản nhất là trong các bài toán trên các em chỉcần đổi đối tượng ban đầu bằng các đối tượng khác sẽ có được một bài toán vớicác thông số hoàn toàn mới(giữ nguyên các yêu cầu ban đầu)

- Phát triển để có những yêu cầu mới hay khác như: Thay vì tìm điểm để

có khoảng cách lớn nhất(bé nhất) Đặt ra yêu cầu tìm điểm để có tổng khoảngcách lớn nhất(bé nhất):

Ví dụ: 1 Cho đường thẳng d và hai điểm A, B(A, B ∉ d), cùng phía với (d) Tìm điểm M trên d sao cho

M

- Cũng từ đó nảy sinh nhiều ý tưởng thay thế khác, dẫn đến một loạt bài toán tìmđiểm để có tổng khoảng cách lớn nhất(bé nhất) bằng việc thay đổi đối tượng từcác bài toán xuất phát như ở Ví dụ 1

2.3.2 Hướng dẫn học sinh phương pháp “thay đối tượng để có hệ thống bài tập mới” ở một lớp bài tập tiêu biểu.

* Bài toán xuất phát:

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): x+ y -2 =0 và

điểm A(3;2) Tìm trên (d) điểm H để MH ngắn nhất

2 2

H 

  cần tìm.

- Thực hiện việc thay đối tượng như sau: Thay đường thẳng (d) bởi đường tròn

ta có bài toán sau:

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 +y2 = 1 và điểmA(3;2) Tìm trên (C) điểm H để MH ngắn nhất

- Theo hướng dẫn bài 2 mục 2.3.1

+ Phương trình đường thẳng qua A và O (tâm đường tròn) là (l): 3 ;

- Thực hiện việc thay đối tượng: Thay điểm A bởi đường thẳng (d) trong Bài 2 ta

có bài toán sau:

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 +y2 = 1 và đườngthẳng (l): x+ y -2 = 0 Tìm trên (C) điểm M và trên (l) điểm N sao cho MN ngắnnhất

- Theo hướng dẫn bài 3 mục 2.3.1

+ Phương trình đường thẳng qua O (tâm đường tròn) và vuông góc với (l) là:

- Theo hướng dẫn bài 4 mục 2.3.1

+ Phương trình đường thẳng qua hai tâm là: (a): 2 ;

+ Giao điểm của (C) và (a) là 1 2

Trên (C) lấy điểm M và trên (l) lấy điểm

N sao cho MNuuuur

cùng phương với ur

Tìm hai điểm M, N để MN có độ dài ngắnnhất

- Theo hướng dẫn bài 5 mục 2.3.1

+ Hai phương trình tiếp tuyến với đường tròn

và song song với đường thẳng (l) là:

- Thực hiện việc thay đối tượng mở rộng và không gian Oxyz

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d):

- Theo hướng dẫn bài 6 mục 2.3.1.

+ Phương trình đường thẳng qua A và O (tâm mặt cầu) là (l): 2 ;

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 = 1

và điểm A(1;2;3) Tìm trên (S) điểm H để MH ngắn nhất

- Theo hướng dẫn Bài 7 mục 2.3.1

+ Phương trình đường thẳng qua A và O (tâm mặt cầu) là (l): 2 ;

+ Gọi H(1+t,1+2t,t) là hình chiếu của O(tâm mặt cầu) lên d Khi đó(1 ,1 2 , )

OHuuur= +t + t t và OH uuuur uur. d = ⇔ = 0 t 1

Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 = 1

và mặt phẳng (P): x + y + z +3 = 0 Tìm trên (S) điểm M, trên (P) điểm H để

- Theo hướng dẫn Bài 9 mục 2.3.1

+ Nhận thấy hai đường tròn rời nhau.

Phương trình đường thẳng qua 2 tâm là: (d): 2 ;

- Mở rộng theo một hướng khác để phát triển bài toán từ Bài 3 Thay mối quan

hệ đơn thuần từ vuông góc sang quan hệ song song ta có bài toán:

Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): 2 2

1

x +y = và đườngthẳng (l): x+ y -2 = 0 Tìm trên (C) điểm M và trên (l) điểm N sao cho MN songsong với giá ur( )1; 2

và MN có độ dài lớn nhất

- Vấn đề ở đây là trong Bài 3 vectơ mà không nhắc đến trong đề bài chính làVTPT của đường thẳng (d) Còn ở Bài 9 ta thay VTPT bằng một vectơ cóphương không vuông góc với (d) ta được một bài toán mới- thông qua thay bằngđối tượng khác

- Ta có lời giải như sau:

+ Phương trình đường thẳng qua tâm O và

a

+ Giao điểm của (C) và (a) là 1 2

- Thực hiện việc thay đối tượng và mở rộng trong không gian ta có bài toán sau:

Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình:

- Như đã biết số phức z = x + yi được biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểmM(x;y) Những số phức thoả mãn một hay nhiều yêu cầu ràng buộc nào đó thìđiểm biểu diễn cũng thay đổi theo yêu cầu của bài toán Có thể quĩ tích điểmbiểu diễn là một đường thẳng, một đường tròn, một elip Vì thế việc thay thếcác đối tượng là hình học bằng số phức, các phương trình, bất phương trình, bấtđẳng thức về số phức là hoàn toàn khách quan.

- Xét các ví dụ sau:

Bài 11: Từ Bài 2(Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 +y2 = 1

và điểm A(3;2) Tìm trên (C) điểm H để MH ngắn nhất) Ta thực hiện việc thayđường tròn (C) bởi số phức Z thỏa mãn Z = 1 Trong các số phức trên Tìm số

z = ⇔ x +y = C Các điểm biểu diễn của Z

nằm trên đường tròn (C) có tâm O(0;0) và bán

A(2;0) Do đó để MA lớn nhất thì M là giao điểm của đường thẳng AO (qua A

và tâm O) với đường tròn (C)

+ Tìm được điểm M(-1;0) để AM có giá trị lớn nhất Do đó số phức cần tìm là z

= -1 +0.i

- Thay điểm A bằng một điểm bất kì khác Ta có bài toán khó hơn như sau:

Bài 12: Trong các số phức thỏa mãn z = 1 Tìm số phức thỏa mãn z− + 2 i có

giá trị lớn nhất(hoặc nhỏ nhất)

- Hướng dẫn:

OM

y

xA

+ Số phức z = x + yi thỏa mãn z = ⇔ 1 x2 +y2 = 1 ( )C Các điểm biểu diễn của z

nằm trên đường tròn (C) có tâm O(0;0) và bán kính R = 1

∈ và A(2;-1) Do đó để MA lớn nhất thì M là giao điểm của đường thẳng

AO (qua A và tâm O) với đường tròn (C)

- Rõ ràng là mức độ yêu cầu của bài toán được đẩy

xa và khó hơn rất nhiều Tuy nhiên dưới góc độ

phát triển từ các bài toán hình học và giải quyết

theo góc độ các hướng dẫn ta có lời giải sau

- Hướng dẫn:

+ Số phức z = x + yi thỏa mãn Z = ⇔ 1 x2 +y2 = 1 ( )C Các điểm biểu diễn của Z

nằm trên đường tròn (C) có tâm O(0;0) và bán kính R = 1

đó để kiểm tra khả năng tiếp thu cũng như khả năng phát triển vấn đề của cácem.

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với công tác giảng dạy

ôn tập cho học sinh.

- Trong quá trình triển khai thực hiện: Học sinh khá tích cực trong việctìm hiểu cách thức xây dựng và tìm ra được khá nhiều các lớp bài toán có thểvận dụng phương pháp thay đối tượng để có một bài toán mới, một yêu cầu mớinhư:

+ Phát triển yêu cầu bài toán theo hướng tìm GTNN-GTLN cuả bài toántổng khoảng cách

+ Từ hình học thông thường qua vectơ liên hệ qua tọa độ rồi phươngtrình, bất phương trình, bất đẳng thức

+ Lớp các bài toán về tích phân

+ Lớp các bài toán về biến đổi đồ thị hàm số …

- Nhiệm vụ chung, nhưng tùy vào mức độ của mỗi cá nhân Các em đều

có những hướng nghĩ phù hợp với năng lực Có em có những suy nghĩ sâu vàtáo bạo Đề xuất những cách xây dựng, cách thay mới khá hay