Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT Quan Sơn và qua trao đổi với đồng nghiệp công tác ở các trường khác tôi nhận thấy, khả năng vận dụng giải “Bài toán thực tế” của học sinh còn rất hạn
Trang 1Mục lục
Phần I MỞ ĐẦU 1
1 Lí do chọn đề tài 1
2 Mục nghiên cứu 1
3 Đối tượng nghiên cứu 1
4 Phương pháp nghiên cứu 2
Phần II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3
1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3
2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 5
3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề 6
4 Hiệu qủa của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động của bản thân , đồng nghiệp và nhà trường 17
Phần III KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 18
1 Kết luận 18
2 Kiến nghị 18
Trang 2Phần I MỞ ĐẦU
1 Lí do chọn đề tài
Việt Nam đang trong quá trình hội nhập với thế giới và quá trình toàn cầu hóa cũng như chúng ta đang trong quá trình công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước tiến tới tự động hóa Điều đó đòi hỏi đội ngũ cán bộ, công nhân phải có năng lực chuyên môn vững vàng, óc tư duy sáng tạo, tính kỷ luật cao
Để đáp ứng nhu cầu lao động của xã hội những năm qua Bộ Giáo Dục & Đào Tạo đã và đang cải cách giáo dục để đào tạo ra nguồn nhân lực dồi dào đảm bảo về chất và lượng Việc đổi mới trên nhiều phương diện về nội dung, chương trình, phương pháp dạy và học cũng như phương pháp kiểm tra đánh giá
Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của học sinh Phù hợp đặc điểm của từng lớp học, từng môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh
Năm học 2016-2017 Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo thay đổi hình thức thi THPT Quốc Gia, trong đó môn toán thi trắc nghiệm với 50 câu thời gian 90
phút “Bài toán thực tế” cũng được đưa vào nhiều trong các đề thi thử nghiệm
của Bộ và các đề thi thử của các trường THPT trên toàn quốc Theo tôi, việc đưa các bài toán thực tế vào đề thi là rất cần thiết, vì như vậy học sinh sẽ hiểu hơn về các ứng dụng thực tế của toán học
Bài toán thực tế là một dạng toán lạ và khó hiểu đối với học sinh nhất là những học sinh ở vùng cao Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT Quan Sơn và qua trao đổi với đồng nghiệp công tác ở các trường khác tôi nhận thấy, khả năng
vận dụng giải “Bài toán thực tế” của học sinh còn rất hạn chế, thường mắc
nhiều sai lầm Điều này đòi hỏi chúng ta tìm nguyên nhân, đưa ra giải pháp khắc phục nhằm tạo ra hứng thú cho học sinh trong học tập góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học ở bộ môn toán Đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Quan Sơn sử dụng giá trị lớn nhất giá - trị nhỏ nhất của hàm số để giải bài toán thực tế mang tính tối ưu ” là nhằm giúp học sinh vượt qua khó
khăn trở ngại, ngày càng yêu thích, học tập và đặc biệt là môn Toán, cũng như giúp các em có nền tảng kiến thức vững chắc hơn để học tốt các phần toán thực
tế khác
2 Mục nghiên cứu
Để cảm nhận được những ứng dụng thực tiễn của toán học từ đó làm cho các em có hứng thú hơn với môn học này
3 Đối tượng nghiên cứu
Học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia
Trang 34 Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài;
- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS);
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin;
- Phương pháp quy lạ về quen
Trang 4Phần II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Có rất nhiều bài toán thực tế mà việc giải nó lại quy về việc tìm GTLN – GTNN của một hàm số nào đó Ví dụ như làm thế nào để xây một bể nước dung tích là V mà tiết kiệm vật liệu nhất, hay để làm một đường dây dẫn điện mà chi phí thấp nhất…Trong đề tài này tôi đưa ra một ví dụ cụ thể và tập trung vào phân tích bài toán, từ đó rút ra quy trình chung để giải chúng
Có nhiều cách để tìm GTLN – GTNN của hàm số, trong đề tài này tôi sử dụng công cụ đạo hàm để phù hợp với học sinh ôn thi quốc gia năm nay
Nhắc lại về khái niệm GTLN – GTNN và các dạng toán
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D
- Nếu thì M được gọi là GTLN của hàm số trên tập
D, ký hiệu:
- Nếu thì m được gọi là GTNN của hàm số trên tập
Dạng 1 Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên miền các định hay một
khoảng
Phương pháp
- Tìm tập xác định
- Tính y’
- Giải phương trình y’ = 0 (các điểm tới hạn) và tính giá trị tại các điểm tới hạn
- Lập bảng biến thiên, căn cứ bảng biến thiên GTLN,GTNN [6]
Dạng 2 Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một đoạn ?
Phương pháp
- Tính y’
- Giải phương trình y’ = 0, để tìm các nghiệm
- GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa tìm được
- GTNN là số bé nhất trong các giá trị vừa tìm được [6]
1.1 Bài toán
Trang 5Một người thợ xây cần xây một bể chứa 108m3 nước, có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông và không có nắp Hỏi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của lòng bể bằng bao nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất? Biết thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ dày của thành bể và đáy như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích là bằng nhau [6]
1.2 Phân tích
Toán học hóa
* Nhận xét rằng, vì “độ dày của thành bể và đáy là nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên cùng một đơn vị diện tích là bằng
nhau” nên số viên gạch cần dùng để xây sẽ ít nhất khi tổng diện tích bề mặt các
thành và đáy của lòng bể là nhỏ nhất
* Bài toán giờ trở thành tìm kích thước của hình hộp chữ nhật để tổng diện tích của mặt đáy và 4 mặt xung quanh là nhỏ nhất
* Gọi chiều dài, chiều rộng, chiều cao của bể là x, y, z(x, y, z > 0) Vì đáy
là hình vuông nên chiều dài và chiều rộng bằng nhau Tức là x = y Theo giả thuyết thì bể nước có thể tích là 108m3 nên ta có:
xyz = 108
* Gọi S là tổng diện tích bề mặt của bể nước, ta có: Việc cần làm bây giờ là ta đi tìm x để hàm số S đạt GTNN
Trang 61.3 Tìm GTNN của hàm số.
Bài toán trở thành:
Ta có:
Bảng biến thiên:
x 0 6
S’(x) - 0 +
S(x)
108
Do đó hàm số S(x) đạt GTNN khi x = 6
Vậy chiều dài, chiều rộng, chiều cao của bể lần lượt là: 6m, 6m, 3m
1.4 Quy trình chung
Qua phân tích trên, chúng ta có thể rút ra một quy trình chung để giải quyết các bài toán thực tế mang tính tối ưu như trên theo các bước sau:
Bước 1 Toán học hóa bài toán
Thực chất là đại số hóa, gọi các đại lượng cần tìm và đã cho trong bài toán
Từ điều kiện của bài toán thiết lập được một hàm số phụ thuộc vào một biến
Bước 2 Tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số trên, tùy theo yêu cầu của
bài toán
Chúng ta thường dùng công cụ đạo hàm ở bước này, mặc dù có thể sử dụng công cụ khác
Bước 3 Kết luận bài toán ban đầu.
2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Quan Sơn đặt trên vùng có điều kiện kinh tế đặc biệt khó khăn, trình độ dân trí còn thấp, phụ huynh hộc sinh chưa nhận thức được tầm quan trọng việc học tập của con cái nên chưa có sự quan tâm và đầu tư đúng hướng Năng lực học tập của học sinh còn hạn chế do đầu vào lớp 10 quá thấp, khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo của học sinh gần như chưa có Đa số học sinh chưa có đầy đủ đồ dùng học tập, sách giáo khoa, sách tham khảo Ngoài
Trang 7thời gian tới trường các em còn phải giúp cha mẹ công việc gia đình, có những
em còn là lao động chính nuôi sống cả gia đình không có thời gian học tập Nên các khái niệm các em thường nắm không vững , hay quên và khó vận dụng lý thuyết vào việc giải bài tập Đa số học sinh khi học môn toán thường đặt ra câu hỏi “thưa cô học phần này có ứng dụng gì vào thực tế?” khi tôi giải thích ra thì thấy các em rất hứng thú
Với thực trạng như vậy để giúp học sinh phát huy năng lực tư duy logic, trừu tượng, tạo hứng thú trong học tập Bổ sung kiến thức cho các em có đủ kiến thức để các em có thể học tốt các phần sau Tôi xin giới thiệu đề tài:
“Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Quan Sơn sử dụng giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải bài toán thực tế mang tính tối ưu”
3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
Để tạo hứng thú cho học sinh cũng như giúp các em có thể vận dụng lí thuyết vào việc giải nhanh các bài tập, trong quá trình giảng dạy và đặc biệt là trong các tiết ôn tập, tôi thường giúp học sinh hệ thống lại các kiến thức liên quan, sau đó thực hiện từ các ví dụ từ dễ đến khó Giúp học sinh một mặt củng
cố kiến thức cơ bản cũng từ đó hình thành phương pháp giải cho mỗi dạng toán
mà các em không thấy bị ngợp hoặc thấy khó quá mà bỏ cuộc
Để cho các em dễ hình dung tôi chia dạng toán này thành các dạng sau:
Dạng 1 Bài toán về quãng đường
Ví dụ 1 Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên
bờ biển đến một điểm B trên một hòn đảo Hòn đảo cách bờ biển 6km Giá để xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km dưới nước B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển Khoảng cách
từ A đến B’là 9km Vị trí điểm C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất Khi đó C cách A một đoạn bằng:
A 6,5km B 6km C 0km D 9km [5]
Hướng dẫn giải
Đặt B’C = x km;
Chi phí xây dựng đường ống là:
Để chi phí thấp nhất, thì C(x) phải nhỏ nhất
Hàm C( x), xác định và liên tục trên và
B’
’’
B
6km
x km
Trang 8Ta có:
Vậy chi phí thấp nhất khi x = 2,5 Vậy C cần cách A một khoảng 6,5 km
Chọn A
Ví dụ 2: Ngọn hải đăng ở vị trí A có khoảng cách đến bờ biển là AB 5 km
,trên bờ biển có một cái kho ở vị trí Ccách Bmột khoảng 7 km Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến Mtrên bờ biển với vận tốc 4km h/ sau đó đi bộ đến Cvới vận tốc 6 km h/ Vị trí điểm M cách Bmột khoảng bao nhiêu để người
đó đến kho nhanh nhất?
A 0 km B 7 km C km D km [4]
Hướng dẫn giải
Đặt BM = x (km) (0 < x < 7)
Thời gian đi bộ từ M đến C là:
Thời gian đi từ A đến kho là:
Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh nhất khi km
Chọn C
Ví dụ 3 Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý Đồng
thời cả hai tàu cùng khởi hành, một chạy về hướng nam với 6 hải lý/ một giờ, còn tàu kia chạy về vị trí hiện tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lý/ một giờ Hãy xác đinh thời điểm mà khoảng cách hai tàu là lớn nhất [6]
Hướng dẫn giải
Trang 9Tại thời điểm t sau khi xuất phát khoảng
cách giữa hai tàu là d
Ta có:
Suy ra
Áp dụng đạo hàm lập bảng biến thiên ta được d nhỏ nhất khi (giờ), khi đó
ta có hải lý
Các bài tập tương tự
Bài 1 Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn
đảo ở C Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km Khoảng cách từ B đến A là
4 km Mỗi dây điện đặt dưới nước mất 5000 USD, còn đặt trên mặt đất mất 3000 USD Hỏi điểm S trên bờ biển cách A Mỗi dây điện đặt dưới nước mất 5000 USD, còn đặt trên mặt đất mất 3000 USD Hỏi điểm S trên bờ biển cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến
C là ít tốn kém nhất [6]?
A 15/4km C 13/4 km
B 5/2km D 19/4km
Bài 2 Một ngọn Hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB là
5 km Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km Người canh Hải đăng có thể chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km/h Tính độ dài đoạn BM để người đó đến kho nhanh nhất
A km B km C km D km [6]
Dạng 2 Bài toán diện tích hình phẳng
Ví dụ 1 Cho hình chữ nhật có diện tích bằng 100 (cm2) Hỏi mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để chu vi của nó nhỏ nhất?
A. B C D Đáp án khác[6]
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là: x (cm) và y (cm) (x, y > 0)
B C
A 1
d
Trang 10Chu vi hình chữ nhật là: P = 2x + 2y
Theo đề bài thì: xy=100 hay Do đó với x > 0
Lập bảng biến thiên ta được Pmin = 40 khi x = 10, y = 10 Chọn A
Ví dụ 2 Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng,
biết người con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 800 (m) Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất?
A B C D Đáp án khác[6]
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là: x (cm) và y (cm) (x, y > 0)
Diện tích miếng đất: S = xy
Theo đề bài thì: 2(x + y) = 800 hay y = 400 – x Do đó S = x(400-x) với x > 0 Đạo hàm: S’(x) = -2x + 400 Cho S’(x) = 0 thì x = 200
Lập bảng biến thiên ta được Smax = 40000 khi x = 200 và y = 200 Chọn A
Ví dụ 3 Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho
trước là 180 mét thẳng hàng rào Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào và rào thành mảnh đất hình chữ nhật Hỏi mảnh đất hình chữ nhật được rào có diện tích bằng bao nhiêu?
A Smax = 3600 m2 B Smax = 4000 m2
C Smax = 8100 m2. D Smax = 4050 m2 [6]
Hướng dẫn giải
Gọi x là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và y là chiều dài cạnh vuông góc với bờ giậu (x, y > 0), theo bài ra ta có x + 2y = 180 Diện tích của mảnh đất là:
S = y(180 – 2y) với y > 0 Ta có: S’(y) = 180 – 4y S’(y) = 0 thì y = 45 Vậy Smax = 4050 m2 khi x = 90 m, y = 45 m Chọn D
Ví dụ 4 Cần phải làm cái cửa sổ mà phía trên là hình bán nguyệt, phía
dưới là hình chữ nhật, có chu vi là a (m) (a là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt ).Hãy xác định các kích thước của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất?
A Chiều rộng bằng , chiều cao bằng
B Chiều rộng bằng , chiều cao bằng
C Chiều rộng bằng , chiều cao bằng
D Đáp án khác [6]
A
B I
J
Trang 11Hướng dẫn giải
Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt Ta có chu vi của hình bán nguyệt
là , tổng 3 cạnh của hình chữ nhật là Diện tích cửa sổ là:
Dễ thấy S lớn nhất khi - x hay
Vậy để diện tích cửa sổ lớn nhất thì kích thước của nó là: chiều cao bằng , Chiều rộng bằng Chọn A
Các bài tập tương tự
Bài 1 Người ta sử dụng một tấm bìa cứng hình chữ nhật có diện tích là
400cm2 để làm bìa cho một quyển sách Lề trái và lề phải là 3,5cm, lề trên và lề dưới là 2cm (như hình vẽ) Để có được phần diện
tích phần viết chữ (phần gạch sọc) lớn nhất thì
bìa cứng này có chiều rộng bằng bao nhiêu?
A C
B D [4]
Bài 2 Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa
đường tròn bán kính 10 cm, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn
A 80 cm2 B 100 cm2 C 160 cm2 D 200 cm2[6]
Bài 3 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 16 cm Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất
C
B A
G
E
x cm cmc
m H
F
3 cm
2 cm
Trang 12A 7cm B 5cm C cm D cm [6].
Dạng 3 Bài toán liên quan đến diện tích, thể tích.
Ví dụ 1 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt ở bốn
góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng
x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không
nắp Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
A x 6cm B x 3cm C x 2cm D x 4cm [3].
Hướng dẫn giải
Ta có, thể tích hình hộp nhận được là: V = Bh = x( 12-x) = 12x – x2
Sử dụng đạo hàm ta có: V’ = 12 – 2x
Vmax khi x = 6 Chọn A
Ví dụ 2 Một bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nắp dạng
hình hộp chữ nhật có thể tích 3200cm3, tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng 2 Hãy xác định diện tích của đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?
A 1200 cm2 B 160 cm2 C 1600cm2 D 120 cm2[6]
Hướng dẫn giải
Gọi x, y (x, y > 0)lần lượt là chiều rộng, chiều dài của đáy hố ga
Gọi h là chiều cao của hố ga ( h > 0) Ta có h = 2x
Thể tích của hố ga là:
Diện tich toàn phần của hố ga là:
Để tiết kiệm nhiên liệu nhất thì diện tích toàn phần của hố ga là nhỏ nhất
Sử dụng đạo hàm ta có nhỏ nhất là 1200 khi x = 10 y = 16
Vậy diện tích đáy hố ga là: xy = 160 cm2 Chọn B
