Một số kỹ thuật đặc biệt giải hệ phương trình

Phần giải hệ phương trình là phần rất nhiều vấn đề và rất nhiều bài tập phong phú điển hình là các bài toán vận dụng cao quyết định điểm 9 trong đề thi đại học nhiều năm qua, trong đề tà

MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐẶC BIỆT GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A ĐẶT VẤN ĐỀ I/ Lời mở đầu.

Căn cứ vào chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng và nhà nước Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn của trường THPT Hoàng Lệ Kha năm học 2015 – 2016

Trong quá trình giảng dạy, tôi được nhà trường tin tưởng giao cho dạy các lớp mũi nhọn, đối tượng học sinh chủ yếu là học sinh khá, giỏi Chính vì vậy ngoài việc giúp các em nắm chắc kiến thức cơ bản tôi còn phải bồi dưỡng các

em tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh và đặc biệt tôi coi việc bồi dưỡng cho các em ôn thi đại học là nhiệm vụ quan trọng số một

Trong các nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần hệ phương trình đóng vai trò quan trọng trong việc phân loại học sinh ở mức độ vận dụng cao Phần giải

hệ phương trình là phần rất nhiều vấn đề và rất nhiều bài tập phong phú điển hình là các bài toán vận dụng cao quyết định điểm 9 trong đề thi đại học nhiều năm qua, trong đề tài của mình tôi chọn vấn đề là một số kỹ thuật đặc biệt giải

hệ phương trình

Từ lý do chọn đề tài, từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học, cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy Tôi đã tổng hợp, khai

thác thành chuyên đề: ‘‘Một số kỹ thuật đặc biệt giải hệ phương trình’’.

Trong chuyên đề này tôi chỉ xây dựng bài toán giải hệ phương trình theo nhiều góc độ khác nhau mang tính phát hiện giúp người đọc có cái nhìn tổng quan, có sự phân biệt khá rõ nét

Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho học sinh một số phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể phát hiện và giải quyết một số hệ phương trình hay và khó, thường làm phức tạp vấn đề hay không giải được Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các học sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động khi gặp một số bài toán giải hệ phương trình

II Thực trạng vấn đề nghiên cứu

1 Thực trạng vấn đề

Hiện nay khi gặp một số các bài toán tìm giải hệ phương trình, một số học sinh chưa tìm ra cách giải hoặc nếu có tìm ra cách giải thì thường làm phức tạp hóa bài toán nên khó kết thúc bài toán

2 Hệ quả của thực trạng trên

Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian để biến đổi bài toán, hoặc không giải được Một số học sinh do năng lực

tư duy hạn chế chưa biết cách chọn phương pháp cho phù hợp Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Các giải pháp thực hiện.

Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh biết phải sử dụng

kiến thức nào phù hợp Sau đó giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phù hợp

II Biện pháp tổ chức thực hiện.

Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức về bất đẳng thức cơ bản, các hằng đẳng thức, các cách phân tích Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình để học sinh vận dụng

Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài toán về hệ phương trình khá hay

và thực sự khó khăn khi học sinh chưa tiếp cận

1 Kiến thức toán có liên quan

- Bất đẳng thức Côsi

- Bất đẳng thức Buanhiacopski.

- Bất thức tam giác

- Bất đẳng thức cơ bản

- Các bài tóan phân tích đa thức thành nhân tử

- Tính đồng biến và nghịch biến của hàm số

2 Một số kỹ thuật thường gặp và phương pháp giải

a Kỹ thuật xét tổng và hiệu

khi thấy C là nhân tử của (A-B) Dựa vào đó ta xét tổng hoặc hiệu để rút thế

hợp lý đưa về phương trình một ẩn

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

.







Phân tích bài toán

Nhận thấy phương trình đầu ta có A B− = (y− + − + 3x 4) (y 5x+ = − 4) 8x có

liên quan đến 4

Lời giải Điều kiện: 3 4 0; 5 4 0; 3; 2.

y− + ≥x y+ x+ ≥ y≥ − x≥

4

Suy ra:

2

2

x

Thay vào phương trình thứ 2 ta có:

2

2

x x

x x

− + + +

x

x x

− + + +

8

Vậy hệ có hai nghiệm là (7 17 5 3 17; );(7 17 5 3 17; )

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình

.

x x y x x y







Phân tích bài toán

Phương trình thứ hai có A B− = y x( − − 1) (x2 −y) =x y x( − ) có thể rút gọn với

C=x x

y+ x− ≥ x≥ y≤ y x− ≥ x − ≥y

Từ phương trình 2 ta có:

2 2

2

y x x y x y x y x

y x x y

y x x y

Suy ra:

2

2

2

y x x y x x

x x y

y x x y

x

− +





2

y x x

Thế vào phương trình thứ nhất ta có:

x + − + − + + =x x x x − +x

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

x + − ≤x + + − ⇒ x + − ≤x +

Suy ra : x2 + − + − + + ≤ +x 1 x2 x 1 x 1.

x+ ≤ + + −x x ⇒ + ≤x x − + ⇒x x + − + − + + ≤x x x x − +x

Dấu đẳng thức xảy ra khi x= ⇒ = 1 y 0.

Đối chiếu điều kiện hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 0)

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình

2 2

2

y

y







Phân tích bài toán

Trong phương trình thứ hai có A B− = (5x y+ − − − + 5) (1 x y) 6( = x− 1) có nhân tử

chung là 6, khi đó ta thực hiện theo tổng hiệu

Lời giải Điều kiện 1; 2 2;5 5 0;1 0

2

x≥ y≠ ± x y+ − ≥ − + ≥x y

6

+ − + − +

x y x





2

7

5.

x

y

y x

≤





Từ phương trình đầu ta có

2

Đẳng thức xảy ra khi x= =y 5.

Đối chiếu điều kiện hệ có nghiệm duy nhất x= =y 5.

b Kỹ thuật đánh giá giải hệ phương trình

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

1 2

2

9

xy





Phân tích bài toán: Phương trình đầu là đẳng thức rất đẹp mà dấu

bằng chỉ xẩy ra khi x=y Ta sử dụng Bunhiacopxki ta có

2

Sau đó ta xét hiệu : 2 2

Lời giải Điều kiện 0 1;0 1.

1 2

+

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

2

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

2 2

Lại có :

2

(1 2 )(1 2 )(1 2 )

(1 2 )(1 2 )(1 2 )

0 (1 2 )(1 2 )(1 2 )

xy y xy x x y x y

xy y xy x x y

x y xy

=

=

Dấu đẳng thức xẩy ra khi x= y

1 2

+

Thế vào phương trình thứ hai ta có :

x − x = ⇔ x − x + = ⇔ =x ±

36

x= =y ±

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình

2

x x y x





Phân tích bài toán: Trước hết ta sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm

như sau: Từ phương trình 2 ta có :

2

40

x x y

x

+

=

x= ⇒ =y

Lời giải Điều kiện: 1

14

x≥ .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

x x

+

2

y x− ≤ + −

Ta có :

2 2

2

40

2

x

y x

x x

+

 + − ≤





2

x

x− ≤ ⇒ = ⇒ =x y

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ( ;1 3).

8 2

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình

2

 + − = − − −





Phân tích bài toán: Từ phương trình thứ hai ta rút

2

ta nhẩm được nghiệm x= 1;y= − 3.

Lời giải Điều kiện : − −y2 4y− ≥ 2 0;10 4 − x− 2x2 ≥ 0.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

x + x− = − −y y− ≤ − − − ⇒x + x− ≤− − −

Ta có :

2

x x y y





Suy ra x= 1;y= − 3.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 1;y= − 3.

c Kỹ thuật hàm số

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

x







Phân tích bài toán Từ phương trình thứ nhất ta đặt t =x2 − 2y và đưa phương trình về dạng f u( ) = f v( ) với hàm f t( ) nghịch biến trên ¡

Lời giải Điều kiện 2y− 2x+ ≥ 4 0.

Đặt t =x2 − 2y, phương trình thứ nhất trở thành

+ +

+ = + (*)

Xét hàm số : ( ) 4 3

7

u

u

Vì hàm ( ) 4.( ) ; ( ) ( )1 3

7

u

u

biến trên ¡

Từ phương trình (*) ta có t+ = ⇔ = ⇒ 2 2t t 2 2y x= 2 − 2

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta có :

4x+ = 4 4x+ 4 x − 2x+ ⇔ 2 4x− = − + (x 1) (x− 1) + 1 (**)

Đặt: s x= − 1 phương trình (**) trở thành

2 2

2

s

s

s s

−

−



+ − =



Ta xét hàm số ϕ ( ) 4s = −s 4 −s− 2s trên ¡

Ta có : ϕ '( ) (4s = s+ 4 ).ln 4 2 2(ln 4 1) 0; −s − ≥ − ≥ ∀ ∈s ¡

2

s= ⇒ = ⇒ = −x y .

Đối chiếu điều kiện hệ có nghiệm duy nhất (1; 1).

2

−

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình





Phân tích bài toán Từ phương trình đầu ta có thể phân tích thành nhân

tử như sau (y+ 1)(x4 + 4y2 − = 1) 0, có hai trường hợp khi y= − 1 là dễ dàng cho

nghiệm của hệ, còn trường hợp còn lại ta sử dụng hàm số khá đặc biệt để giải quyết trọn vẹn bài toán

Lời giải

Từ phương trình thứ nhất ta có:

1

y

x y

= −



*) Với 2 2 0

2 2

x

x

=



= − ⇒ + = + ⇔  = ±

 Suy ra hệ có nghiệm (0; 1);( 2 2; 1) − ± −

x

x y

y

− ≤ ≤



 + = ⇒ − ≤ ≤

Phương trình thứ 2 tương đương :

(8y − 6y+ + 1) (4 x + − 1 x ) 0 = ⇔g y( ) + f x( ) 0 =

g y = y − y+ f x = x + −x

Ta có

[-1;1]

1 1

[- ; ]

2 2

1

2

x

y

f x f

g y g

∈

∈

2

x= y= − .

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là (0; 1);( 2 2; 1);(0; 1)

2

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình

2 2

7

2

x y xy x y





 + + − − + =



Phân tích bài toán Ở bài này ta thấy phát hiện lời giải là khá khó khăn,

ở đây ta sử dụng tích hai hàm hai biến tương ứng là x y, nhưng phải dựa vào phương trình thứ hai để giới hạn miền của x y, khi đó bài toán xử lý rất đẹp

Lời giải

3

x

≤ ≤ .

Coi phương trình thứ hai là phương trình bậc hai ẩn x suy ra 1 7

3

y

≤ ≤ .

Trên các miền vừa tìm được ta có phương trình thứ nhất trở thành :

2

1 2

x

y

=



Vì hàm số f t( ) 2t 1

t

= − đồng biến trên (0; +∞ ).

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (2 ;1)

d Kỹ thuật phân tích thành nhân tử

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

xy x y xy x y y

x y xy x x







Phân tích bài toán Thay y x= vào phương trình thứ nhất ta thấy hai

vế bằng nhau, khi đó ta tạo nhân tử chung là (x y− ) phần còn lại khá phức tạp

nhưng kết hợp với phương trình thứ hai ta sẽ có được biểu thức luôn dương

Lời giải Điều kiện x≥ 0;y≥ 0;xy+ − (x y)( xy− ≥ 2) 0.

Phương trình thứ nhất tương đương

xy x y xy y x y

x y

xy x y xy y

+

0(*)

x y

y xy

x y

xy x y xy y

=







(vì y= 0 không thỏa mãn hệ).

*) Với y x= thế vào phương trình hai ta có :

2

x x x

2

x= =y x= =y +

*) Từ phương trình hai ta có :

Suy ra vế trái (*) luôn dương

2

x= =y x= =y +

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình

.

x x x xy y y y







Phân tích bài toán Thay y x= vào phương trình thứ nhất ta thấy hai vế bằng nhau, khi đó ta tạo nhân tử chung là (x y− ) phần còn lại khá phức tạp

nhưng sử dụng tam thức bậc hai ta có biểu thức luôn không âm suy ra được

,

x y thử lại phương trình đầu

Lời giải Điều kiện 2

1 0

xy + ≥ Phương trình thứ hai tương đương với

y x

x y x xy y x y

x xy y x y

=





*) Với y x= thế vào phương trình đầu ta có

2x − 6x− = 2 7 x + ⇔ 1 2(x − + −x 1) 4(x+ = 1) (x+ 1)(x − +x 1)

1

x

x x

+

− +

Phương trình (*) trở thành 2

2

4

t

t

= −



 =



2

x= =y ± .

*) Ta có :

2 2 4 5 7 0 2 ( 4) 2 5 7 0

x +xy y+ − x− y+ = ⇔x + −y x y+ − y+ =

x ∆ = − y− ≤ suy ra

y= ⇒ =x không thỏa mãn phương trình đầu.

2

x= =y ± .

e Kỹ thuật rút thế

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

3

y x

y x x





Phân tích bài toán Từ phương trình hai ta có 3 = −y 4x3 +x thế vào phương trình một ta được phương trình tích (x y+ )(2x2 − 2xy+ 2y2 − = 1) 0, khi

đó y= −x ta xử lý dễ dàng, còn 2x2 − 2xy+ 2y2 − = 1 0 ta kết hợp với phương trình đầu ta được hệ phản đối xứng

Lời giải

Từ phương trình hai ta có 3 = −y 4x3 +x thế vào phương trình một ta được phương trình tích

y x

x y x xy y

x xy y

= −





*) Với y= −x thế vào phương trình đầu ta có

3 3 3 3

x= − ⇒ =y

−

*) Với 2x2 − 2xy+ 2y2 = 1 kết hợp với phương trình đầu ta có hệ

x xy y

y x







Đặt x= −t ta có hệ :

Giải hệ này vô nghiệm

−

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình

2

3







Phân tích bài toán Bài toán này cho ta kỹ thuật thế cực kỳ khéo léo từ

phương trình đầu ta có được 2x− 4y+ = 2 ( y2 + + 1 y) 2thế vào phương trình thứ hai cho ta phương trình rất quen thuộc và áp dụng hàm số ta sẽ rút x theo y

Lời giải

Điều kiện : x− 2y+ ≥ 1 0.

Từ phương trình đầu ta có :

2x− 4y+ = 2 ( y + + 1 y)

Thế vào phương trình thứ hai ta có :

(x− + 1) (x− 1) + = 4 2y+ (2 )y + 4

Xét hàm số f t( ) = +t t2 + 4 trên ¡

1

t

t

= + > ∀ ∈

Suy ra hàm số đồng biến trên ¡ nên ta có :

x− = y⇒ =x y+

y= ⇒ =x

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ( ; )5 3

3 Bài tập vận dụng

Bài 1 Giải hệ phương trình

.

x x y y x

x y x y







Bài 2 Giải hệ phương trình

5 3

2

x y







Bài 3 Giải hệ phương trình

2

3

.







Bài 4 Giải hệ phương trình

.







Bài 5 Giải hệ phương trình

2 2 3

1

3

2

x x y x x







Bài 6 Giải hệ phương trình

2

x y x y

x y







Bài 7 Giải hệ phương trình

2 3

.

3

y

x x



+ = +



Bài 8 Giải hệ phương trình

2 3

2

.







Bài 9 Giải hệ phương trình

.

x y x xy y

x y

x xy x xy x







Bài 10 Giải hệ phương trình

3

2 2

.







Bài 11 Giải hệ phương trình

28

.

x y y

x y xy y







Bài 12 Giải hệ phương trình

2

.







Bài 13 Giải hệ phương trình

.







Bài 14 Giải hệ phương trình

2

2 2 1

( ) 2

.

x y

y x

x y







Bài 15 Giải hệ phương trình

.

x x y y x

x y x y







Bài 16 Giải hệ phương trình

3 2 2

3

1

.

x x y x x y







Bài 17 Giải hệ phương trình

3

3 3

.







Bài 18 Giải hệ phương trình

2

2 2

.

x xy y

x +





=



Bài 19 Giải hệ phương trình

2

.







Bài 20 Giải hệ phương trình

2

.

x y x y







C KẾT QUẢ

I Kết quả nghiên cứu

Thông qua hệ thống các bài toán trên, ta thấy khi gặp các vấn đề trở nên đơn giản hơn rất nhiều, dễ vận dụng, không quá phức tạp với học sinh

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bài tập trên, học sinh đã biết vận dụng một cách linh hoạt, vào các bài toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh không còn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán này nữa Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn

II Kiến nghị

Hằng năm, những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo, nhất là các sáng kiến đổi mới phương pháp giảng dạy cần được tập hợp trong một kỷ yếu khoa học của Sở GD& ĐT và tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh và

phụ huynh được tham khảo

MỤC LỤC

A ĐẶT VẤN ĐỀ Trang 1.

I Lời mở đầu Trang 1.

II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trang 1.

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trang 2.

I Các giải pháp thực hiện Trang 2.

II Biện pháp tổ chức thực hiện Trang 2.

1 Kiến thức chuẩn bị Trang 2.

2 Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải Trang 3.

3 Bài tập vận dụng………Trang15.

C KẾT QUẢ Trang 18.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa hình học 12 Nâng cao

2 Sách giáo khoa Đại số - Giải tích 12 Nâng cao

3 Sách bài tập Đại số - Giải tích 12 Nâng cao

4 Hàm số tập 1 Tác giả: Phan Huy Khải

5 Hàm số tập 1 Tác giả: Trần Phương

6 Báo toán học và tuổi trẻ

7 Các đề thi đại học môn toán từ 2002 - 2015

8 Nguồn khác: Internet

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05

năm 2016

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung

của người khác

Mai Văn Ngọc