Rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 THPT thông qua kĩ thuật gỡ nút thắt và tạo nút thắt trong bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số1

Các phương pháp giải hệ rất đa dạng: phương pháp đặt ẩn phụ, phân tích thành nhân tử, biến đổi tương đương,… Phương pháp hàm số là một trong số những cách giải được áp dụng phổ biến.. Do

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Khi giải một bài toán vấn đề khó khăn nhất là giải thích được tại sao lại xuất hiện những yếu tố không có sẵn trong quá trình giải toán để đi đến lời giải Phải có một quá trình suy luận logic nào đó để dẫn tới sự xuất hiện của yếu tố đó trong khi giải toán Quá trình xuất hiện lời giải và xuất hiện lời giải tối ưu để lại nhiều kinh nghiệm quý, nếu GV biết khai thác một cách hợp lí để dạy cho học sinh quá trình tư duy ấy thì chắc chắn việc học của học sinh sẽ mang tính chủ động, sáng tạo hơn

Xu hướng ra đề thi Đại học hiện nay chú trọng nhiều đến tính sáng tạo của học sinh, vì vậy trong đề thi không có nhiều bài toán mà rõ ràng về mặt đường lối giải toán Thực tiễn đó yêu cầu học sinh phải được trang bị đầy đủ kiến thức, đặc biệt là khả năng suy luận logic tìm kiếm lời giải

Trong đề thi tuyển sinh đại học các năm gần đây thường xuyên xuất hiện bài toán giải hệ phương trình Đối với đa số học sinh thì đây là bài toán khó Phần lớn các em đều lúng túng khi đứng trước việc phải lựa chọn phương pháp giải quyết vấn đề sao cho hướng đi trở nên hợp lí và dễ dàng nhất có thể Các phương pháp giải hệ rất đa dạng: phương pháp đặt ẩn phụ, phân tích thành nhân

tử, biến đổi tương đương,… Phương pháp hàm số là một trong số những cách giải được áp dụng phổ biến Tuy nhiên, việc sử dụng phương pháp này để giải quyết vấn đề thường được học sinh áp dụng một cách máy móc Đa số không có

kĩ năng tốt trong việc phân tích bài toán và nhận dạng một cách nhạy bén hàm

số được sử dụng Do đó, tôi đã tiến hành khảo sát, triển khai thực hiện đề tài:

“Rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 THPT thông qua kĩ thuật gỡ nút thắt và tạo nút thắt trong bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh hình thành kĩ năng nhận biết được các dạng toán sử dụng phương pháp hàm số, rèn luyện cách lựa chọn hàm số và hướng đi phù hợp cho mỗi bài Nâng cao năng lực sáng tạo, khả năng khái quát hóa thông qua việc biến đổi sáng tạo các hệ phương trình dựa trên các hàm số lựa chọn

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh lớp 12 THPT, sau khi học sinh học tính đồng biến, nghịch biến chương 1- hàm số (Giải tích lớp 12)

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận, đọc tài liệu liên quan đến hệ phương trình giải bằng phương pháp sử dụng tính biến thiên của hàm số

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó Chẳng hạn, quy trình bốn bước để giải một bài toán gồm :

• Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

• Bước 2: Xây dựng thuật giải

• Bước 3: Thực hiện thuật giải

• Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Để giải hệ phương trình theo phương pháp hàm số ta thực hiện theo một trong các hướng sau:

Hướng 1:

Bước 1: Đưa một trong hai phương trình hoặc cộng, trừ các phương trình của hệ để đưa về dạng : (1)

Bước 2 : Xét hàm số

Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến

Bước 3 : Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất ( mà ta nhẩm được)

Hướng 2:

Bước 1 : Đưa một trong hai phương trình hoặc cộng, trừ các phương trình của hệ để đưa về dạng (1)

Bước 2 : Xét hai hàm số và

Dùng lập luận để khẳng định là hàm đồng biến (nghịch biến) và

là hàm nghịch biến (đồng biến)

Bước 3 : Lúc đó nếu phương trình (1) có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất

Hướng 3:

Bước 1: Đưa một trong hai phương trình hoặc cộng, trừ các phương trình của hệ để đưa về dạng

Bước 2 : Xét hàm số : Dùng lập luận để khẳng định hàm số

Hệ thống bài tập giải hệ phương trình dựa trên tính biến thiên được sử dụng phổ biến trong các đề thi Tuy nhiên việc giải quyết vấn đề theo hướng này khiến học sinh gặp nhiều khó khăn và là một bài toán khó.Vì vậy tôi sử dụng hệ thống bài tập có sự sắp xếp hợp lí về mức độ cũng như các dạng, chủ yếu sử dụng hướng thứ 3, nhằm:

- Rèn luyện kĩ năng nhận biết hàm số khi giải bài toán hệ phương trình bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu

- Phát triển tư duy sáng tạo, khái quát hóa thông qua sự phát triển hệ thống bài tập theo các mức độ khác nhau dựa trên cơ sở hàm số được chọn

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

a Thuận lợi

Việc giải hệ phương trình thường áp dụng những kĩ năng biến đổi đại số quen thuộc mà học sinh đã được rèn luyện từ cấp 2, cho nên khi giảng dạy hệ phương trình thường dễ tạo hứng thú học tập cho các em thông qua các bài tập đơn giản

b Khó khăn

Qua khảo sát thực tế, học sinh trường THPT nói chung và học sinh trường THPT Lê Viết Tạo nói riêng (có chất lượng đầu vào thấp), kỹ năng giải các dạng toán khó như hệ phương trình là rất hạn chế Điều này gây khó khăn trong việc giảng dạy của giáo viên, khiến học sinh cảm thấy nản chí, muốn bỏ cuộc khi đứng trước một bài toán giải hệ phương trình

2.3 Các giải pháp để giải quyết vấn đề

Từ thực tế học sinh trường THPT Lê Viết Tạo với đa số còn hạn chế về tư duy hệ thống và khái quát hoá cũng như kỹ năng giải hệ phương trình, trên cơ sở

đó tôi đã tiến hành thực nghiệm và áp dụng đề tài

2.3.1 Kỹ thuật gỡ nút thắt hàm số khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình

a Kiến thức cơ bản

*Tính đơn điệu của hàm số

Xét hàm số liên tục trên khoảng (a,b)

i Định nghĩa:

- Hàm số được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a,b) khi và chỉ khi với mọi x1, x2 thuộc khoảng (a,b), thì

- Hàm được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a,b) khi và chỉ khi với mọi

ii Tính chất:

-Tính chất 1: Nếu hàm chỉ tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a,b) thì

khi và chỉ khi

- Tính chất 2: Nếu hàm chỉ tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a,b) thì phương trình có không quá 1 nghiệm trong khoảng (a,b)

iii Định lí:

- Hàm số được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a,b) khi và chỉ khi với mọi x thuộc khoảng (a,b), , dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm

- Hàm số được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a,b) khi và chỉ khi với mọi x thuộc khoảng (a,b), , dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm

hàm số Tập xác định của các hàm số đó quyết định đến một bước quan trọng của bài toán là kết luận về tính đơn điệu của nó

b Các ví dụ.

Ví dụ 1 Tìm hàm số trong các phương trình sau:

a

Mục đích của ví dụ này là yêu cầu gỡ nút hàm số cho các phương trình

Phân tích

+Cần phân li hai ẩn sang hai vế của mỗi phương trình

+Từ đó nhận dạng, dự đoán hàm số cần sử dụng

+Đối với câu a, ta dựa vào vế đơn giản hơn là vế chứa biến y để đưa ra hàm số, sau đó biến đổi vế chứa biến x, để đơn giản, học sinh có thể đặt

+ Đối với câu b, sử dụng hàm số theo biến x, bên vế còn lại để dễ biến đổi, ta có thể dùng công cụ máy tính nhẩm nghiệm để so sánh x và y, chẳng hạn: x=0 thì (máy tính cầm tay hỗ trợ công đoạn này), do đó bên vế còn lại biến đổi làm xuất hiện y + 2 Ngoài ra học sinh có thể tìm ra biểu thức

bằng cách đặt và tìm hằng số a bằng cách đồng nhất thức(chỉ cần đồng nhất hệ số tự do của vế chứa y)

Lời giải.

a

Xét hàm số:

b

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình:

Phân tích Xét phương trình đa thức

+ Giữ nguyên vế đơn giản nhất ( vế phải)

+

+ Việc tìm a có thể dựa vào đồng nhất thức hoặc dùng máy tính để so sánh 2 ẩn x, y, khi đó ta tìm được

Lời giải

Đk:

Thay vào (2) ta có:

Do a>0, ta có a = 2.

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình 22 22 ( )( 2)

2





Phân tích Nếu thay vào phương trình thứ nhất thì ta sẽ được hằng đẳng thức Lời giải.

Thay 2 x  vào phương trình thứ nhất ta được2 y2

2 2x y  (y x xy x)(   y ) 2 2x  y  y x  2x   (1)x 2y y

Xét hàm số f t( ) 2 t t t3,   có f t'( ) 2 ln 2 3 t  t2    suy ra 0, t f t( )

đồng biến trên  (1)  f x( )f y( )  thế vào pt thứ hai ta đượcx y

1

x y  Vậy tập nghiệm của hệ là S = (1;1); ( 1; 1)  

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình

2

2 2

(4 1) ( 3) 5 2 0 (1)







Lời giải.

ĐK:

3

2

x x

 





(1)  (4x2 1)2x(2y 6) 5 2 y 0

(2 ) 1 (2 )x x  5 2y 1 5 2 y (2 ) 2x x 5 2y 5 2y

(2 ) ( 5 2 )

   với f t( )  t3 t f t'( ) 3     t2 1 0, t  f t( ) đồng biến trên  Vậy (2 ) ( 5 2 ) 2 5 2 5 4 2, 0

2

x

f x f  y  x  y  y  x

Thế vào pt (2) ta được

2 2

2 5 4

2

x

x      x    g x 

Với

2 2

x

g x  x      x  x 

 

Hàm số nghịch biến do g’(x)<0 trên

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình

2 2



Phân tích Ta có thể giải hệ trên bằng phương pháp đưa về dạng tích Tuy nhiên

ta muốn giải hệ này bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Hàm

số f t( )  không đơn điệu trên toàn trục số, nhưng nhờ có (2) ta giới hạnt3 3t

được x và y trên đoạn  1;1 .

Lời giải.

Từ (2) ta có x2 1,y2  1 x y,   1;1

Hàm số f t( )  có t3 3t f t'( ) 3     t2 3 0, t ( 1;1) f t( ) đồng biến trên đoạn  1;1 x y  ,  1;1 nên (1)  f x( )f y( )  thế vào pt (2) ta đượcx y

2

2

x y  Vậy tập nghiệm của hệ là S = 2; 2 ; 2; 2

Nhận xét: Trong trường hợp này ta đã hạn chế miền biến thiên của các biến để

hàm số đơn điệu trên đoạn đó

Ví dụ 6 Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm







Lời giải.

Điều kiện 1  x 1, 0 y 2

(1) x3 3x  (y 1) 3(3  y 1)

Hàm số f t( )  nghịch biến trên đoạn [ 1;1]t3 3t 

nên ( )f x f y(       1) x y 1 y x 1 Thế vào pt (2) ta được x2  2 1 x2 m (3)

Hệ có nghiệm  Pt (3) có nghiệm x  1;1

2

1

1

x



g x    x g(0)2, ( 1) 1g  

Pt (3) có nghiệm x  1;1        2 m 1 1 m 2

Ví dụ 7 Giải hệ phương trình

2 2

1 3

1 3

y x







Lời giải Trừ vế hai pt ta được

2 1 2 1 3 3y x 2 1 3x 2 1 3y

x x   y y     x x    y y  

( ) ( )

f x f y với f t( ) t t2   1 3t ( ) 1 2 3 ln3 0,

1

t

t

t

( )

f t

 đồng biến trên  Bởi vậy ( )f x f y( )  thế vào pt thứ nhất ta x y được x x2    1 3x 1 3x x2  1 x g(0)g x( ).

Với g x( ) 3 x x2  1 x  2 

2

1

x



 2 

2

1

1

x



x    và x x  2 1 1 Suy ra g x( ) đồng biến trên  Bởi vậy ( )g x g(0) x 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 0

Ví dụ 8 Giải hệ phương trình  ln(1x2  12x xy) ln(120y2y)0 x y (1)(2)

Lời giải ĐK: x 1, y 1

(1)  ln(1  x) x ln(1  y) y f x( )f y( ) với

( ) ln(1 ) , ( 1; )

f t   t t t  

1

t



nghịch biến trên khoảng (0;)

TH 1 ,x y  ( 1;0) hoặc x y  , (0; ) thì ( )f x f y( ) x y

Thế vào pt (2) ta được x y 0 (không thỏa mãn)

TH 2 x ( 1;0), y  hoặc ngược lại thì (0; ) xy 0 x2  12xy20y2 0

TH 3 xy 0 thì hệ có nghiệm x y 0 Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y 0

Ví dụ 9 (Đại học khối A năm 2012) Giải hệ phương trình sau:

Phân tích.

+ Cái hay của bài toán nằm ở chỗ: sau khi gỡ được nút hàm số thì ta lại

gặp khó khăn trong việc chứng minh cho hàm đơn điệu Điều này khiến nhiều bạn bỏ cuộc, suy nghĩ sang hướng khác vì cho rằng hàm số này không sử dụng được

+ Vấn đề này đòi hỏi ta phải chú ý đến việc tìm điều kiện cho ẩn đặc trưng t, và một cái khó nhìn nữa là điều kiện của t không đơn thuần chỉ là việc dựa theo điều kiện của hai ẩn x, y từ đầu, mà là phải dựa vào đánh giá phương trình (2)

Lời giải.

Bảng biến thiên:

t -3 1

f’(t) + 0 - 0 +

f(t)

-

Ta đi tìm điều kiện của t

Ví dụ 10 Giải hệ phương trình:

Phân tích.

+Chia hai vế của (1) cho , (2) cho rồi cộng vế theo vế của hai

phương trình mới ta sẽ gỡ được nút hàm số của bài

Lời giải.

HD:

Như vậy việc gỡ nút trong nhiều bài tập là tương đối phức tạp, không chỉ dựa trên một phương trình mà còn có thể kết hợp nhân, chia, cộng, trừ các phương trình Để tìm hiểu về “nguồn gốc của những cái nút” ấy, ta đi tìm cách

tự tạo ra một số nút thắt

2.3.2 Kỹ thuật tạo nút thắt hàm số cho một số bài toán giải hệ phương trình

Mục đích của nội dung này là giúp học sinh làm quen với một số kỹ thuật tạo nút hàm số để tạo ra các dạng đề thi quen thuộc, ở các mức độ khó, dễ khác nhau Từ cách tư duy này học sinh có thể hiểu được một số ý tưởng ra đề để

“đón đầu” được xu thế của người ra đề

Để nắm được kĩ thuật sáng tạo hệ phương trình, học sinh cần phải được rèn luyện nhuần nhuyễn các kĩ năng như: thêm-bớt, quy lạ về quen,

hàm số f(t) đồng biến trên

Ta có

f x x x  x  x x

f y  y y  y   y

Ta có phương trình

Kết hợp với một phương trình khác nhận (x,y)=(3,1) là nghiệm, chẳng hạn phương trình:

Ta có hệ

Như vậy để giải phương trình (1), ta xét hàm số f(t)=t3+t, chứng minh hàm

số y=f(t) đồng biến trên Biến đổi phương trình (1) để được:

Thế vào pt(2) ta được:

2

2

3

x

x









Xét PT (3) Với x≥2 thì VT≤3/2,VP≥5 Vậy phương trình (3) vô nghiệm

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x,y)=(3,1)

* Để làm cho bài toán trở nên khó hơn ta xét hàm số f(t) với biểu thức theo

t phức tạp hơn, chẳng hạn:

( 2 3) (2 3) 2 3 2 3 (2 y 4) 2 3

Từ đó ta có Pt:

2

4 6 4 1 (y 2) 2 3

(2 1) ( 2 3)

Kết hợp với một phương trình khác nhận là nghiệm, chẳng hạn phương trình:

2

y x y   x  

Ta có hệ:

2





Như vậy để giải hệ phương trình (II), ta xét hàm số , chứng minh hàm số y=f(t) đồng biến trên Biến đổi phương trình đầu để được:

Thế vào pt sau ta được:

2

2

1

1 11

x

x







Vậy hệ có 2 nghiệm (1;3) và (1 11;6 2 11)

2

Ví dụ 2 Ta xét hàm số khác, chẳng hạn ta xét hàm số

2

2

4

t

t

Suy ra f(t) đồng biến trên R

Ta có:

2 2

Từ đó ta có phương trình:

Kết hợp với một phương trình khác nhận là nghiệm, chẳng hạn PT:

3

2x 3 2y  1 3 0

Ta có hệ:

3





Như vậy để giải hệ phương trình (III), ta xét hàm số

2

2

4

t

t

đồng biến trên Biến đổi phương trình đầu để được:

Thế vào pt sau ta được:

2

   

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

* Để làm cho bài toán trở nên khó hơn ta xét hàm số f(t) với biểu thức theo t phức tạp hơn, chẳng hạn:

Kết hợp với một phương trình khác nhận làm nghiệm, chẳng hạn phương trình:

2

y y

Ta có hệ:

2

1 1

2

y y









(IV)

Như vậy để giải hệ phương trình (IV), ta xét hàm số

2

2

4

t

t

 , hàm số y=f(t) đồng biến trên  Biến đổi phương trình sau để được:

Thế vào pt đầu ta được:

2

2 1

1 1

2

 

 



   

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Ví dụ 3 Sau đây ta sẽ xây dựng hệ phương trình giải được bằng phương pháp

hàm số mà phải kết hợp cả hai phương trình trong hệ

Đầu tiên ta sẽ xây dựng hệ phương trình giải được bằng cách chỉ nhân một phương trình của hệ với hằng số và kết hợp với phương trình còn lại Chẳng hạn

trên 

;

Khi đó

(2) Cho x=1 thì y=1

Từ đó ta xét hệ phương trình

3





Để giải hệ trên ta lấy phương trình đầu nhân 2 trừ đi phương trình sau và biến đổi để đưa về phương trình dạng (1), với có

t

   nên hàm số f(t) đồng biến trên Khi đó ta có Thay vào phương trình đầu của hệ ta có x=1, suy ra y=1

* Bây giờ ta sẽ xây dựng hệ phương trình giải bằng cách nhân cả hai phương trình của hệ với hằng số và kết hợp hai phương trình mới lại với nhau

đồng biến trên 

Ta có:

Khi đó ta biến đổi PT (1) sao cho hai vế của PT (1) bằng nhau khi thay cặp số (1,1) vào, chẳng hạn ta có thể biến đổi như sau:

(1) 8x 8x 12y 4 27y  54y 27y12x  12.

Từ đó ta có hệ :

2

3

2







Để giải hệ phương trình trên , ta lấy PT (3) nhân 2 trừ PT (4) nhân với 3 ta được PT (2), biến đổi PT (2) về PT(1)

trên

Thế vào PT (3) ta được là nghiệm của hệ

Bài tập đề nghị

Bài toán: Giải các hệ phương trình sau:

11

12