Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình vô tỉ bằng phương pháp nhân lượng liên hợp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NGA SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP

Người thực hiện: Lê Diễm Hương Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

THANH HÓA NĂM 2016

MỤC LỤC

Trang

1 Mở đầu….……….…… …3

1.1 Lí do chọn đề tài……….3

1.2 Mục đích nghiên cứu……….….3

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….3

1.4 Phương pháp nghiên cứu………3

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm… ……… ……….….4

2.1 Cơ sở lí luận……… ………… ………4

2.2 Thực trạng của đề tài……… 4

2.3 Giải pháp thực hiện………5

2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan……… 5

2.3.2 Các kỹ thuật nhân lượng liên hợp……….… 6

2.3.2.1 Kỹ thuật nhóm các số hạng…… ……….…6

2.3.2.2 Kỹ thuật thêm bớt hằng số ….……… ……… 9

2.3.2.3 Kỹ thuật thêm bớt ẩn số……….……… …….………… 14

2.3.3 Bài tập tự luyện………… ……… 20

2.4 Kết quả nghiên cứu……… …….…22

3 Kết luận và kiến nghị……….….22

Tài liệu tham khảo……… 23

1 MỞ ĐẦU

1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình toán THPT Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương

trình vô tỉ là một nội dung khó đối với học sinh Đứng trước bài toán này các em

sẽ có nhiều phương pháp giải khác nhau như biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ,đánh giá… Song có một cách giải quyết bài toán này rất hữu dụng và phù hợpvới tư duy của các em học sinh đó là nhân lượng liên hợp Nhân liên hợp là mộttrong những phương pháp cơ bản thường dùng để giải quyết phương trình vô tỉ,mấu chốt của nó là đưa biểu thức ra khỏ căn để tạo nhân tử chung Đó là bướcthành công đầu tiên trong quá trình giải quyết các bài toán về phương trình, hệphương trình, bất phương trình vô tỉ Là một trong những khó khăn thách thứcđối với các em học sinh trong quá trình tiến tới kỳ thi THPTQG hiện nay với đòihỏi mức độ phân hóa cao

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đứng trước những vấn đề trên trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng họcsinh khá, giỏi, tôi đã luôn trăn trở và đi tìm những thuật giải, những hướng đi cụthể để giải quyết những vấn đề đó Nhưng chúng ta đã biết không có một chìakhoá vạn năng nào có thể “mở khoá” được mọi bài toán Trong khi đó việcgiảng dạy toán học nói chung và trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán nói riêng,việc làm cho học sinh giải quyết được vấn đề đặt ra của bài toán một cách sángtạo, hoàn chỉnh là rất cần thiết Trong bài viết này, dựa trên kinh nghiệm một sốnăm giảng dạy, luyện thi Đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi toán, tôi xin nêulên một hướng giải quyết bài toán giải phương trình, hệ phương trình và bất

phương trình với đề tài “ RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNGPHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP”

nhằm làm cho học sinh nâng cao khả năng tư duy, phát triển trí tuệ đồng thời bồidưỡng niềm đam mê toán học cho các em học sinh

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Nội dung là các bài toán về giải phương trình, hệ phương trình, bất phươngtrình vô tỉ trong chương trình môn Toán của THPT

- Một số bài tập nâng cao, đề thi học chọn học sinh giỏi tỉnh và các đề thi đạihọc những năm gần đây của Bộ GD & ĐT

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

* Phương pháp:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận chung

- Phương pháp khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp, so sánh, đúc rút kinh nghiệm

* Cách thực hiện:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trìnhgiảng dạy

- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp các lớp khối THPT ở những năm học qua

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy

và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào

tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức

phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đờisống của con người Toán học là một môn học quan trọng và khó, kiến thứcrộng, không ít học sinh ngại học môn này

- Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học

ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từngdạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải

có tư duy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học vànghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổthông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợpcác cách giải

- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đínhgiúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bàitoán về khó về phương trình, hệ phương trình và bất phương trình vô tỉ

Khi gặp một bài toán về giải phương trình, hệ phương trình và bất phươngtrình vô tỉ chúng ta có rất nhiều hướng tiếp cận để tư duy ra lời giải Tuy nhiênvới những bài toán hay và khó, lối tư duy theo hướng bó hẹp trong khuôn khổkiến thức của chương hay kiến thức của SGK sẽ khiến học sinh khó khăn tìm rahướng giải quyết Vì tính chất phân loại của đề thi hiện nay, bài toán giảiphương trình, hệ phương trình, bất phương trình nói chung và bài toán giảiphương trình, hệ phương trình và bất phương trình vô tỉ nói riêng đã đặt ra mộtyêu cầu cao hơn ở học sinh Để giải quyết được bài toán, học sinh không chỉnắm được cách giải của các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình cơbản mà phải biết kết hợp thành thạo các cách giải tổng quát mà các em họcđược Tạo nên một sự liên kết chặt chẽ giữa các mặt kiến thức nhất là kiến thứcgiữa các cấp học giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gâynên sự hứng thú tích cực trong học tập, làm cho các em chủ động hơn trongviệc tiếp thu và lĩnh hội tri thức, giúp các em không ngừng tìm tòi thêm nhiềucách giải mới, khắc phục được tâm lý lo sợ khi gặp bài toán khó là mục tiêuquan trọng nhất trong hoạt động dạy học của mỗi giáo viên

Trong giới hạn của SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh giải thành thạo một

số phương trình, hệ phương trình bằng “ Ba kỹ thuật nhân lượng liên hợp”.

2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Qua việc khảo sát khảo sát rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPTNga Sơn cũng như các trường Thp trong địa bàn huyện Nga Sơn và trong quátrình kiểm tra khảo sát định kỳ học tập, trong quá trình luyện đề ôn thi đại học

và ôn thi THPTQG hai năm gần đây tôi nhận thấy học sinh khi gặp câu giải

phương trình, hệ phương trình, bất phương trình thường không định hướng đượccách giải hoặc thậm chí bỏ qua câu này Điều một phần thấy khó do yếu tố tâm

lí của học sinh nghĩ rằng đây là bài toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nênchủ quan không học, không làm Điều đó dẫn đến một sự thật đáng buồn, phầnlớn học sinh dự thi đại học đều bỏ qua hoàn toàn câu này hoặc chỉ biến đổitương đương…không định hướng Một điều đáng ngạc nhiên là những năm gầnđây trong các đề thi đại học cũng như thi chọn học sinh giỏi tỉnh thường áp dụnghai phương pháp giải cơ bản là phương pháp hàm số, phương pháp nhân lượngliên hợp và đặc biệt các em cũng có được kỹ năng sử dụng MTBT cần thiết đểgiúp các em đoán được một số nghiệm “đẹp” của một số phương trình vô tỉ Lúcnày vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõ cho họcsinh phương pháp giải toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với từng loạitoán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận có logic giúp các emhọc sinh có thêm tự tin để giải quyết được những bài toán khó này Đó là mụcđích của đề tài “ RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNGTRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNGPHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP” mà tôi hướng đến

2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng

nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra ba hướng giải quyết vấn đề giải phương trình và hệphương trình bằng kỹ thuật nhân lượng liên hợp để giúp học sinh có những kỹnăng cần thiết trong quá trình ôn tập và thi THPTQG đó là sử dụng ba kỹ thuậtnhân lượng liên hợp

Đối với mỗi kỹ thuật, tôi hướng dẫn cho học sinh phương pháp làm cụ thể,dồng thời lấy các ví dụ có tính đặc trưng để học sinh nắm vững cách giải, nhữngdạng bài tập có nhiều cách làm tôi đều giải mẫu một bài theo những cách làm đó

để học sinh áp dụng làm tương tự các bài khác

Để minh họa cho những dạng này, tôi đều đưa ra những bài toán nằm trongcác Đề thi đại học những năm gần đây hoặc nằm trong các đề thi chọn học sinhgiỏi tỉnh Với mỗi bài toán như vậy tôi dẫn ra những cách giải phù hợp với nộidung chương trình đang học và học sinh có con đường tổng quát cho các bàitoán tương tự

2.3.1.Hệ thống kiến thức liên quan

2.3.1.1 Định lí Bézout

Số dư khi chia đa thức f x  cho nhị thức x a bằng giá trị của f x tại x a

Nếu x a là một nghiệm của đa thức P x   0 thì P x( ) (  x a P x ) ( ) 1

Từ đây ta có nhận xét : Nếu x x 0 là một nghiệm của phương trình f x   0

thì ta có thể đưa phương trình f x   0 về dạng x x 0.f x1  0và khi đó việcgiải phương trình f x   0 quy về giải phương trình f x 1  0

2.3.1.2 Một số hằng đẳng thức hay sử dụng

Từ một số hằng đẳng thức hay sử dụng như:

2.3.2 Các kỹ thuật nhân lượng liên hợp

2.3.2.1 Nhân lượng liên hợp bằng cách nhóm các số hạng trong phương trình, bất phương trình

a) Phương pháp: Quan sát các số hạng có trong phương trình để tìm mối liên

hệ giữa chúng, sau đó nhóm lại rồi nhân lượng liên hợp để làm xuất hiện nhân

tử chung.

b) Ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 10x  1 3x 5  9x  4 2x 2 (1)

* Phân tích: Ta thấy (10x 1) (9  x 4) (3  x 5) (2  x 2)  x 3 Từ đó cho ta nghĩđến việc nhóm các số hạng rồi sử dụng nhân lượng liên hợp

Kết luận : Phương trình có một nghiệm duy nhất x = 3

Ví dụ 2 : Giải phương trình sau : x2 16x 18  x2 1 2  x 4 1 

* Phân tích: Ta nhận thấy 2x 42 2x2  16x 18  2x2  1 từ đó ta nghĩ đếnviệc nhóm kết hợp hai số hạng  2 

2 2

2 2

1 1 2 4 2 16 18

2 4 2 16 18 1

2 4 2 16 18

2 1 1

2 2x  16x 18  x  1  4 2x  16x 18 x  1 Phương trình vô nghiệm

Kết luận : Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x = 1 và x = -1

Ví dụ 3 : Giải phương trình sau : 3 2  x 2 2x x 6 (1)

Ví dụ 6 : Giải hệ phương trình sau :    

* Phân tích: Ta nhận thấy phương trình (2) trong hệ là một biểu thức bậc hai

nên bằng phương pháp hằng số biến thiên ta dễ dàng tìm được mối liên hệ giữa biến x và biến y Từ đó ta có lời giải như sau.

Lời giải :

+ Điều kiện :

3 2 0

x y

Với y 3 không thỏa mãn điều kiện

Với y x  1 thế vào phương trình (1) của hệ ta được :

Vậy x  4 y 5

Kết luận : Hệ có một nghiệm duy nhất (4 ; 5)

2.3.2.2 Nhân lượng liên hợp bằng cách thêm bớt hằng số

a) Phương pháp: Dự đoán một nghiệm của phương trình (Chẳng hạn

nghiệm x x 0) Sau đó ta tiến hành thêm bớt hằng sốrồi nhân lượng liên hợp để xuất hiện nhân tử chung x x 0

* Cách đoán nghiệm : Dùng chức năng SOLVE của MTBT hoặc chọn các số x0

thuộc điều kiện của phương trình sao cho f x 0 Z ( Tức f x 0 là một số chính phương)

+ Ta đi tìm số cần thêm bớt: Ta có 3x  0 1 16 4  nên biểu thức 3x 1 cầnthêm hằng số -4; Tương tự biểu thức  6 x cần thêm hằng số 1.

  nên (2) vô nghiệm

+ Kết luận : Phương trình (1) có một nghiệm x = 5

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: x2  12 5 3   x x2  5 1 

Suy ra phương trình (2) vô nghiệm

+ Kết luận phương trình có một nghiệm : x = 2

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

3 3x  2 x 3x 2 2 2  x2  1(1)

* Phân tích: Dựa vào đk : 2

Suy ra A > 0 tức là vế trái của (2) luôn dương nên (2) vô nghiệm

+ Kết luận: Phương trình (1) có một nghiệm : x = 2

Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

x x x

+ ĐK : x > - 4

1 4 4

x

x

x x

(Vì vế trái của PT (2) luôn dương với mọi x > -4)

+ Kết luận : Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là x  3

Ví dụ 5 : Giải hệ phương trình sau :      

* Phân tích: Từ phương trình (1) của hệ ta có thể sử dụng kỹ thuật nhân liên

hợp nhóm hai số hạng có mặt ngay trong phương trình từ đó biến đổi để sử dụng phương pháp hàm số Đây là sự kết hợp thông dụng giữa hai phương pháp này để giải quyết các bài toán về phương trình, hệ phương trình và bất phương trình vô tỉ hiện nay.

Hàm số f(t) luôn đồng biến trên R

Từ đó suy ra : x  1 y thay vào phương trình (2) của hệ ta được :

Ta nhận thấy từ (3) có vế trái luôn dương nên suy ra vế phải dương từ đó có x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là : 2;3

2.3.2.3 Nhân lượng liên hợp bằng cách thêm bớt ẩn số

a) Phương pháp: Về cơ bản phương pháp này giống phương pháp hằng số Tuy

nhiên thường được áp dụng cho phương trình có từ hai nghiệm trở lên ta phải tìm các biểu thức chứa ẩn số cần thêm bớt để sau khi nhân liên hợp đưa được về phương trình chứa nhân tử chung là một biểu thức f(x) mà nghiệm của phương trình là nghiệm của f(x)= 0.

* Chú ý: Việc kiểm tra nghiệm cụ thể của phương trình có thể sử dụng chức nắng SLOVE của MTBT: Chẳng hạn nhập f(x)= 0 tìm được nghiệm x1 sau đó ta lưu nghiệm này vào biến A( x1Shift STO A) sau đó nhập f(x):x x 1nhấn tiêp lệnh Shift SLOVE = máy tính sẽ báo nghiệm nữa (nếu có)…

- Ta cần tìm hai số a b, sao cho:

PT : 3x  1 (ax b) 0  nhận x = 0 và x = 1 làm nghiệm, từ đó thay vào ta giảiđược a b11



 Vậy x 1 là biểu thức cần thêm cho 3x 1

- Tương tự :  x 2 là biểu thức cần thêm cho 5x 4

(Vì vế trái của (2) luôn dương nên (2 ) vô nghiệm)

+ Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x = 0; x= 1

* Chú ý: Tôi lưu ý cho học sinh khi gặp phương trình có dạng:

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 5x2  2x  1 2x2   1 x 1 3  x 3(1)

Tôi hướng dẫn học sinh giải bằng hai cách : nhân lượng liên hợp bằng cách thêm bớt hằng số và bằng cách thêm bớt ẩn số để học sinh thấy được ưu điểm và nhược điểm của từng phương pháp để từ đó các em có định hướng tốt hơn trong việc lựa chọn lời giải hợp lí.

Bình luận: Sử dụng kỹ thuật thêm bớt hằng số dễ thực hiện tuy nhiên việc xử

lý các phương trình tích nhận được sẽ gây “khó khăn” không ít cho học sinh trong quá trình đánh giá.

 Cách 2:(Sử dụng kỹ thuật thêm bớt hằng ẩn số)

+ Phân tích: Đoán nghiệm: x 0 2

2 2

Dễ thấy phương trình (2) vô nghiệm với mọi x 1

Kết luận: Vậy phương trình có một nghiệm x = 2

Bình luận: Cách giải thứ hai ta chỉ mất một chút thời gian đi phân tích nhưng

lại thu được một phương trình tích còn lại khá hiệu quả và nhanh chóng kết luận nghiệm.

a b

+ Kết luận: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : x = 1; x = -2.

Ví dụ 4: Giải phương trình: 5x2  16x  7 (x 1) x2  3x 1 0 

* Phân tích : Dùng chức năng SOLVE ta có thể tìm ra các nghiệm của phương trình nhưng các nghiệm này “không đẹp” x1  0,7921748723;x2  1, 441391109; Nhưng ta có thể xử lí theo hướng sau:

2 2

2 2

3 1 2 3

6

x  x  x  x 

* Bình luận: Để tìm ra thừa số 3x2  15x 10ta làm như sau:

Phương trình tương đương

2 2

có thể giải theo cách trên.

Ví dụ 5: (Đề thi chọn HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2015 - 2016)

* Phân tích : Ta nhận thấy đây là một hệ phương trình nửa đối xứng nên ta bắt

đầu phân tích và đánh giá từ PT (1) của hệ

- Ta đoán được phương trình có một nghiệm x = 1

- Ta đi tìm các số a b c d, , , sao cho hệ phương trình sau nhận x = 1 là nghiệm:

a b c d

Dễ thấy vế trái của phương trình (5) luôn âm nên PT (5) vô nghiệm

Vậy phương trình có một nghiệm x = 1

Dấu bằng xảy ra khi x = y Suy ra TH1

Kết luận: Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất (1; 1)