Rèn luyện cho hoc sinh kĩ năng vận dụng các tứ diện cơ bản và kết hợp với bài toán tỉ số khoảng cách để giải một số bài toán tìm khoảng cách

Trong việc học toán, học sinh cần tìm ra được phương pháp, nắm bắt quy luật và bản chất của một vấn đề, đặc biệt là loại toán tính khoảng cách trong hình học không gian.. Bài toán tìm kh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT DƯƠNG ĐÌNH NGHỆ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KĨ NĂNG VẬN DỤNG TỨ DIỆN CƠ BẢN VÀ BÀI TOÁN TỈ SỐ KHOẢNG CÁCH ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN

KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Lê Văn Lâm Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2016

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Thực tiễn dạy học nói chung và dạy toán nói riêng, đòi hỏi người thầy phải

thực sự là người dẫn dắt, định hướng và khơi dậy trong học sinh niềm say mê, hứng thú học tập và ưa khám phá để các em tự tìm tòi, tự phát hiện ra vấn đề và tự giải quyết vấn đề

Trong việc học toán, học sinh cần tìm ra được phương pháp, nắm bắt quy luật và bản chất của một vấn đề, đặc biệt là loại toán tính khoảng cách trong hình học không gian Học sinh thường sợ những bài toán hình học không gian vì nó rất trừu tượng Vì vậy, nhiều em chán nản, không muốn học hoặc tệ hơn nữa là không học hình học không gian nói chung và dạng toán tìm khoảng cách nói riêng Vì vậy, khi gặp dạng toán này học sinh thường rất lúng túng và không biết hướng giải quyết

Bài toán tìm khoảng cách là một bài toán khó đối với đại đa số các em học sinh và thường có mặt trong các kì thi thi đại học, học sinh giỏi Trong các bài toán tìm khoảng cách, có nhiều bài toán mà nếu giải bằng phương pháp tìm hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng, phương pháp tọa độ… thì sẽ rất phức tạp và đòi hỏi học sinh phải mất nhiều thời gian để suy nghĩ mới giải quyết được Nhưng trong nhiều trường hợp bài toán tính khoảng cách nhờ việc vận dụng tứ diện vuông và kết hợp bài toán tỉ số khoảng cách là rất nhẹ nhàng, nhanh gọn và hiệu quả Đặc biệt là các bài toán phức tạp

Để những học sinh không thuộc đối tượng học sinh khá, giỏi giải được dạng toán tìm khoảng cách trong không gian, tôi đã tiến hành khảo sát, triển khai thực

hiện đề tài: Rèn luyện cho hoc sinh kĩ năng vận dụng các tứ diện cơ bản và kết hợp với bài toán tỉ số khoảng cách để giải một số bài toán tìm khoảng cách

2 Mục đích nghiên cứu

Rèn luyện cho hoc sinh kĩ năng vận dụng các bài toán về tứ diện cơ bản, kết hợp với bài toán tỉ số khoảng cách để những học sinh không thuộc đối tượng học sinh khá, giỏi vẫn có thể giải được dạng toán tìm khoảng cách trong không gian

3 Đối tượng nghiên cứu.

Học sinh lớp 11 THPT Dương Đình Nghệ

4 Phương pháp nghiên cứu.

Đề tài đã sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp

b

a

j

h

B

A

K H

A

H

A

H

B NỘI DUNG

1 Cơ sở lý thuyết.

Đề tài vận dụng các bài toán cơ bản sau để giải quyết một số bài toán tìm khoảng cách

1 Bài toán 1

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc Đặt OA = a, OB

= b, OC = c Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là khoảng cách từ

O đến AK (với K là hình chiếu của O trên BC) và 12 12 12 12

c b a

(Bài tập 17 tr103, SGK nâng cao hình học lớp 11)

Sau đây ta đưa ra bài toán khái quát của Bài

toán 1 bằng cách thay giả thuyết OA, OB, OC

đôi một vuông góc bằng giả thuyết hai trong

ba cạnh đó vuông góc

2 Bài toán 2

Cho tứ diện OABC Có OA vuông góc với mặt phẳng

(OBC) Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)

là khoảng cách từ O đến AK (với K là hình chiếu của O trên BC).

Bằng cách đặc biệt hóa Bài toán 2 ta được nhiều bài toán Bây giờ ta xét một trường hợp đặc biệt tam giác OBC vuông ở C

3 Bài toán 3

Cho tứ diện OABC có OA vuông góc

với mặt phẳng (OBC), OC vuông góc

với BC Khi đó khoảng cách từ O đến mặt

phẳng (ABC) là khoảng cách từ O đến AC

4 Bài toán 4

Cho mf (P) và hai điểm M , N không nằm trên mf (P) Gọi IMN(P) Khi

đó ta có d d M N P P MI NI

)) (

; (

)) (

; (

.

2 Thực trạng vấn đề.

Khi gặp các bài toán tính khoảng cách trong không gian, học sinh thường gặp khó khăn và lúng túng khi xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng và ngại học phần này

Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung, đặc biệt là học sinh trường THPT Dương Đình Nghệ nói riêng (chất lượng đầu vào rất thấp), tư duy hệ thống, logic và khái quát của các em học sinh còn rất hạn chế

Kiến thức việc tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng hay khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thì phải tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng học sinh đã được học nhưng đa số học sinh không làm được đặc biệt là những bài toán phức tạp Vì vậy, đa số các em không giải được dạng toán này và nếu có giải được thì cũng rất khó khăn

Về phía giáo viên thì cho rằng dạng toán tìm khoảng cách này là rất khó với đối tượng học sinh không phải là học sinh khá, giỏi nên cũng không dành nhiều thời gian để giảng dạy Đa số các giáo viên khi hướng dẫn các em giải bài toán về khoảng cách đều sử dụng phương pháp: tìm hình chiếu của một điểm trực tiếp trên mặt phẳng nhưng cách tìm trực tiếp này không phải lúc nào cũng tìm thuận tiện Còn phương pháp tọa độ và tỉ số thể tích thì đối với các em hoc sinh lớp 11 chưa được học, sử dụng thể tích khối đa diện và tọa độ và đòi hỏi các em phải tư duy rất nhiều, trong khi đó tư duy của các em lại hạn chế nên các em thường lúng túng khi giải dạng toán này

O

S

3 Các dạng toán vận dụng các bài toán cơ bản trên để tìm khoảng cách

Dạng 1 Vận dụng Bài toán 1 và kết hợp với Bài toán 4.

Đối với dạng bài tập này ta nhận ra dấu hiệu trong bài toán có xuất hiện tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và việc tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (ABC) có dấu hiệu tỉ lệ với khoảng cách từ điểm O đến mp(ABC) với

ABC  I

OM   Khi đó ta sử dụng Bài toán 4

Loại 1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Ví dụ 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SC vuông góc với mặt đáy (ABCD), SC  a 2 Gọi O là giao điểm của AC và BD Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB).

Phân tích

Thay đổi tên gọi mặt phẳng đáy để tạo ra tứ diện vuông đỉnh O Bằng cách lấy I là trung điểm SA thì OI, OA, OB đôi một vuông góc Khoảng cách từ đỉnh O đến mặt phẳng (SAB) là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (IAB) và được tính theo Bài toán 1

Hướng dân

Gọi I trung điểm của SA thì OI là

đường trung bình của tam giác SAC

nên OI // SC và

2

2 2

SC

Từ đó OI  (SABCD)

Gọi d là khoảng cách từ O đến

(SAB) thì d cũng là khoảng

cách từ O đến (IAB)

Vì tứ diện OIAB có OA, OB, OI đôi một vuông góc nên theo Bài toán 1, ta có:

F A

D

C

S

H

2 2 2 2 2 2 2

2

6 2 2 2 1 1

1

1

a a a a OB OA

OI

6

6

a

d 

Ví dụ 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ở A và B, AB= BC =a, AD=2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA= a 2 Gọi H là hình chiếu vuông goc của điểm A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách

từ H đến mặt phẳng (SCD) theo a.

(Trích Câu V.b.2 đề thi Đại học khối D năm 2007).

Hướng dẫn

Trong tam giác SAB vuông tại A,

đường cao AH có SA2 SH.SB

3

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

2















a a

a AB

SA

SA SB

SA

SB

SH

 

 

2

;

;







SB

SH SCD

B

d

SCD

H

d

Gọi F là trung điểm AD Vì AD=2BC

nên AF=DF=BC Do đó AFCB là hình bình hành,

suy ra CF=AB= a , BF//CD, CF//AB CF  AD

Vì CF=AF=FD=a nên tam giác ACD vuông tại C AC  CD

Mặt khác SAABCD SACD CDSC hay tam giác SCD vuông tại C

Ta có BF//(SCD) dB;SCD dF;SCD dH SCD dF;SCD

3

2

Ta lại có       dF SCD  dASCD 

AD

FD SCD

A d

SCD F

d

; 2

1

; 2

1

;

;







2 1

Ví dụ 3

Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ với AB=a, BC=2a, ABC  60 0 Hình chiếu vuông

A

C

B

C'

B' A'

H

góc của A/ lên (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa AA/

và mặt đáy bằng 60 0 Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng A/BC.

Phân tích

Nhận thấy ABC vuông tại A nên nếu kẻ GH//AB,GK//AC thì ta có tứ diện vuông

HK

A

G / để vận dụng Bài toán 1

Hướng dẫn

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC có

0 2

2

AC   

4 2 .2 3

2

a  a  a a  a

3

AC a AC AB BC

 tam giác ABC vuông tại A

Do A/G  ABC nên ta thấy

 

AA/ ; ABC  AA/AG A/AG  60 0

3

3 2 60 tan

Đặt dG,A/BC d Kẻ GH//AB,GK//AC  GH GK Ta có GH 31ABa3 và

3

3 3

AC

GK   Do GA / GHK nên tứ diện G.A/HK là tứ diện vuông, suy ra

51

2 4

51 3 9 4

3 1 1 1

1

2 2 2 2 2 2 2

/

2

a d a a a a GK GH

G

A

Ví dụ 4

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm S trên (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác ABD, cạnh SD tạo với đáy một góc 60 0 Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a.

Phân tích

I

G

C

S

J

Vì G là trọng tâm của tam gác ADB có dấu hiệu về tỉ số, tìm khoảng cách A đến (SBC) quy về tính khoảng cách từ G đến (SBC)

Nhờ bài toán 4 về tỉ số khoảng cách mà ta không phải tìm hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (SBC), đồng thời kết hợp với Bài toán 1 vì tứ diện G.SCJ là Gtứ diện vuông GS, GC, GJ đôi một vuông góc

Hướng dẫn :

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD,

ABCD SD ABCD

Gọi I là trung điểm của AB ta có

3

5 3

và

3

15 60

tan

DG

Theo Bài toán 4 ta có    

2

;

d A SBC AC

GC

d G SBC  

d A SBC d G SBC d

Kẻ GJ//BD, JBC GJ GC mà GS GIC suy ra G.SCJ là tam diện vuông đỉnh

G Do tam giác GJC vuông cân đỉnh G nên GJ = GC

a

    

57

5 3

A

Loại 2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Ví dụ 5

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là 45 0 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.

(Trích đề thi THPT Quốc Gia 2015).

M

B

S

S

Hướng dẫn

Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC cắt AD tại M

Khi đó  

SBM dAC SB dACSBM ASBM d

AC

SBM

BM











 

;

;

;

Ta nhận thấy tứ diện S.ABM có AS, AB, AM đôi một vuông góc

Theo Bài toán 1 ta có 12 12 12 1 2

AM AB

AS

Mà SA=AC=a 2 ( vìSC,ABCD SCA 45 0);

AB = a; BM = a

10 2

5 1 1 2

1

1

2 2 2 2 2

a d a a a a

5

10

SB

Ví dụ 6

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, AB = 2a; BD = 3AC mặt bên SAB là tam cân tại đỉnh A Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của AI Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và

CD

Hướng dẫn

Tam giác SAB cân tại A suy ra SA = AB = 2a

Ta có BD 3AC  BI  3AI  3 x

Với x = AI (x > 0) Mà AI2 BI2 AB2

nên x2 3x2  4a2 xa

Khi đó 2 2 2 2 2 15 2

4

SH SA  AH  a  

15

2

a

SH

Vì CD//(SAB), dẫn đến dCD;SBdCD;SABdC;SAB

M N

B'

C

B A

Sử dụng bài toán tỉ số khoảng cách    

 

;





HA

CA SAB

H d

SAB C d

( Vì H là trung điểm của IA) haydC;SAB  4dH;SAB 4d

Gọi E là trung điểm của AB

2

3 2

1

AH

diện S.HAE vuông đỉnh H Ta có

2 2 2 2 2

2 2

28 4

3 1 4

1 4 15

1 1

1 1

1

a a a a HE

AH

SH

14

35

a

d 

7

35 2

CD

Ví dụ 7

Cho lăng trụ đứng ABCA B C' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a cạnh bên ' 2

a

AA  Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C

(Trích Câu V.b.2 đề thi Đại học khối D năm 2008) Hướng dẫn

Từ giả thuyết tam giác ABC vuông ở B

Gọi N là trung điểm của BB' thì MN là

đường trung bình của tam giác BCB'

Từ MN//CB'  CB' / /AMN

 ; '

d AM CB

 =dCB' ;AMN dB' ;AMN



Mặt khác    

'





BN

N B AMN B

d

AMN B

d

nên dAM;B'CdB;AMN d

C

D

B

A

S

I

D

J

H

K

Vì tứ diện BAMN có BA, BN, BM đôi một vuông góc nên theo Bài toán 1 ta có

7

7 7

1 1

1

1

2 2 2

2

2

a d a BM BN

BA

Ví dụ 8

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = 2a,

6 ,

a

BC  Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác BCD, biết SG=2a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a.

Hướng dẫn

Vì CD2 BC2  4a2  2a2  6a2 AC2 nên ABCD là hình chữ nhật

Kẻ đường thẳng qua B song song với AC cắt DC và

AD tại I và J

Qua G kẻ GH // IDHBI GK, / /AD K BJ  

  dẫn đến tứ diện G.SHK là

tứ diện vuông tại đỉnh G

Do AC // (SIJ) và SB SIJ, nên dAC;SBdAC;SIJdG;SIJ dG;SHKd

Do GH = AB= 2a; GK BCa 2 nên 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

1 4

1 4

1 1 1

1 1

a a a a GK GH GS

 d = a Vậy d(AC;SB) = a

Ví dụ 9

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, BC = a 3 Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC= 3IC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết AI vuông góc với SC.

Hướng dẫn

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD suy ra SO ABCD Ta có

A

D

B

C S

F

I

H M

E

a OC a BC AB

AC 2  2  2   và AI SC SOCđồng dạng AIC

5

a SC CS

CA

CO

CI











Kẻ IM//SB (MBC)  SB/ /(AIM)

d SB AI d SB AIM d B AIM

Kẻ IH//SO HOC)  IH  (ABCD)

và

3

1





SC

IC

OC

HC

Ta sử dụng bài toán về tỉ số khoảng cách    

;

2

;

d B AIM BM SI

CM IC

d C AIM   

 

B AIM  dC AIM



Mà    

 

  HA dC AMI  dH AIM 

CA AIM

H

d

AIM

C

5

6

; 5

6

;

;









 

B AIM  dH AIM d

d

5

12

; 5

12

Kẻ EH//AD ;HF//DC E,FAM  EH HF;HI HEF  Tứ diện H.IEF là tứ diện vuông tại H Ta có 12 12 12 12 252972 3533

a d a HF

HE HI

12

5 3

1 4

5 4

5

; 18

3 5 3

1 6

5 6

5

; 3

5 3

1















Vậy  

33

4 33 3

5 5

12

AI

Dạng 2 Vận dụng Bài toán 2 và kết hợp với Bài toán 4.

Loại 1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Ví dụ 10

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính

K H

A

D

S

E

(Trích đề thi Đại Học khối B năm 2013)

Hướng dẫn

Gọi H là trung điểm của AB suy ra SH  ABvà

3

3

a

SH 

Ta có    

ABCD

SH AB

SH

AB ABCD SAB















Do AB//CD AB//SCD dA;SCDdH;SCDd

Ta thấy tứ diện S HCD có cạnh bên SH vuông góc với đáy (HCD), khi đó ta sử dụng bài toán 2

Gọi K là trung điểm của CD và I là hình chiếu của H trên SK Ta có

SHK CD HI

CD

CD

SH

CD

HK

















mà HI  SK HI SCD

Khi đó d HI SH HK2. 2 a 721

HK SH

7

21

A

Ví dụ 11

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a

2

3a

SD  , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

(Trích đề thi Đại Học khối A năm 2014)

Hướng dẫn

Gọi H là trung điểm của cạnh AB suy ra SH ABCD SH HD

 SH  SD2  HD2  SH2  AD2AH2a

Ta có         2

;

;





HB

AB SBD

H

d

SBD

A

d

(H là trung điểm AB)

 dA;SBD  2dH;SBD

Ta lại nhận thấy tứ diện S.HBD là tứ diện

có SH vuông góc với mặt đáy (HBD),

A

C

B

B'

I K

do đó có thể vận dụng bài toán 2

Gọi K là hình chiếu của H trên BD

và E là hình chiếu của H trên SK Ta có

SHK BD HE

BD

SH

BD

HK

BD

















; HE SBD

HE SK HE BD













Suy ra dH;SBDHE d Ta có  2

.sin

4

a

HK HB HBD Suy ra 2. 2 3

a HK SH

HK SH



3

2

A

Ví dụ 12

Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa A’C và đáy là

0

60 Tính khoảng từ B đến mặt phẳng (ACC’A’).

(Trích đề thi Đại Học khối B năm 2014)

Hướng dẫn

Gọi H là trung điểm của cạnh AB  A/H  ABC

và A/CH  60 0 Do đó / tan / 32a

CH A CH

H

Theo Bài toán 4 ta có    

/ /

/ /

;

2

;

d B ACC A BA

HA

d H ACC A  

 ; / /  2  ; / /  2  ; /  

d B ACC A d H ACC A d H AA C

Ta nhận thấy tứ diện A / HACcó cạnh bên A/H

vuông góc với đáy (HAC) do đó có thể vận dụng bài toán 2

Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên AC; K là hình chiếu vuông góc của H trên

I

A/ Ta có

; )

( /

/ AC A HI AC HK

H

A

AC

IH

AC

















HK HK I A HK









    