TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 4SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ HỌC TẬP MÔN TOÁN CHO HỌC SINH TRƯỜNG THP
Trang 1TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KINH NGHIỆM DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ HỌC TẬP MÔN TOÁN CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 4
Người thực hiện: Đỗ Thị Diệp Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ, NĂM 2016
Trang 22.3.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 15
2.4 Kết quả kiểm nghiệm 18
Trang 31 PHẦN MỞ ĐẦU
Toán học là một môn khoa học tự nhiên lâu đời, được xem là nền tảng của tưduy, là môn cơ sở để phát triển những hệ thống kiến thức mới, việc học tốt môntoán sẽ góp phần phát triển trí tuệ cho học sinh một cách tốt nhất, mở ra nhiều
cơ hội cho các em trong các kì thi cũng như việc lựa chọn định hướng nghềnghiệp sau này Tuy nhiên, để học tốt được môn toán thì cũng không phải là dễdàng, với đa phần học sinh thì môn toán là một môn học khó, khô khan làm chocác em cảm thấy chán nản, mệt mỏi Đặc biệt, một trong những phần được coi làkhó nhằn của môn toán là phần hình học không gian, đây là phần xuất hiện hầuhết trong các kì thi ở bậc học THPT đặc biệt là kì thi Tốt nghiệp THPT quốc gia.Nội dung thi của phần hình học không gian thường rơi vào hai phần cơ bản làtính thể tích và tính khoảng cách, do thời lượng có hạn nên trong SKKN này tôi
sẽ trình bày những kinh nghiệm tôi có được khi dạy học các bài toán về khoảngcách Mặc dù bài tập phần này được đánh giá là tương đối khó với học sinhnhưng trong sách giáo khoa Hình học 11, cả cơ bản và nâng cao bài “Khoảngcách” được viết rất đơn giản Thực tế dạy học cho thấy, đứng trước một bài toántính khoảng cách học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu, dùng đến phươngpháp nào, tại sao lại nghĩ đến vẽ đường này, kẻ đường kia… Một số học sinhkhá hơn thì mày mò tìm ra cách giải, có khi được khi không Bài làm thì rời rạc
và thường tốn nhiều thời gian nên khi học các em đều cảm thấy hoang mang, lolắng Nhiều em thấy khó quá còn xác định không học phần này Là giáo viêndạy toán tôi đã phải trăn trở và suy nghĩ rất nhiều chính vì thế tôi quyết định viếtSKKN với nội dung “Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách
trong hình học không gian nhằm nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4” thông qua việc nghiên cứu tài liệu
và việc đúc rút từ những kiến thức, kinh nghiệm mà tôi có được trong quá trìnhdạy học một cách có hệ thống để chia sẻ với bạn bè đồng nghiệp và quan trọnghơn cả là làm tư liệu dạy học cho bản thân Nhằm giúp HS có thể giải được cácbài toán về tính khoảng cách làm cho các em học tốt hơn, cảm thấy hứng thú và
Trang 4tự tin hơn khi học về phần hình học không gian nói riêng và môn toán nóichung.
2 NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận
Trong khi học môn toán, việc tìm ra quy luật phương pháp chung để giải
quyết một bài toán là việc vô cùng quan trọng vì nó giúp ta có định hướng đểtìm lời giải cho một lớp các bài toán tương tự nhau Trong dạy học giáo viên cóvai trò cần thiết điều khiển cho HS thực hiện và luyện tập những hoạt độngtương thích với nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động cơ, có hướngđích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công Dovậy trang bị về phương pháp cho HS là một nhiệm vụ quan trọng của người giáoviên Thấy được điều đó nên khi dạy học đến phần tính khoảng cách tôi sẽhướng dẫn các em tìm ra phương pháp làm cho từng dạng bài tập, để rồi các em
sẽ vận dụng các phương pháp đó vào việc giải bài tập
Khi làm SKKN về phần này tôi sử dụng kiến thức nền tảng là nội dung củabài “ Khoảng Cách” trong SGK hình học 11 mà chủ yếu là các khái niệm
* Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm O và đường thẳng a Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên a.
Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O
đến đường thẳng a Kí hiệu d(O, a)
* Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm O và mặt (α) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (α) Khi
đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến
Mặt phẳng (α) Kí hiệu d(O, (α))
* Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song:
Trang 5Cho đường thẳng song song với mặt phẳng () Khoảng cách giữa đườngthẳng và mặt phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của đến mặtphẳng () Kí hiệu d( ,( ))
* Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất
kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Kí hiệu d(( ),( ))
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Đường thẳng cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b Đường vuông góc chung cắt a tại M và cắt b tại N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Kí hiệu d(a,b)
Trong sáng kiến này tôi sẽ đưa ra các dạng bài tập về tính khoảng cách vàphương pháp chung để giải các bài tập đó
2.2 Thực trạng của vấn đề
Trường THPT Thạch Thành 4 là một trường thuộc huyện miền núi Thạch
Thành của tỉnh Thanh Hóa Trường được thành lập năm 2007, là một ngôitrường non trẻ, cơ sở vật chất còn nhiều thiếu thốn, nhưng mối quan tâm về chấtlượng học tập của học sinh luôn là một trong những ưu tiên hàng đầu của nhàtrường Vùng tuyển sinh của trường gồm 7 xã của huyện Thạch Thành, trong đó
có 4 xã là các xã đặc biệt khó khăn Do đó, điều kiện về kinh tế, cơ sở vật chất đilại còn gặp nhiều khó khăn, trình độ dân trí thấp, các bậc phụ huynh chưa thật sựquan tâm đến việc học tập của con em mình, dẫn đến các em còn lười học, ngạihọc, khi học còn học một cách đối phó, hời hợt… Những lí do này ảnh hưởngkhông nhỏ đến chất lượng dạy và học của nhà trường Mặt khác, bản thân môntoán được đánh giá là môn học khó với học sinh nói chung, còn khó hơn đối vớihọc sinh miền núi, vùng sâu vùng xa nói riêng Năm học 2015-2016 tôi được
Trang 6phân công dạy 3 lớp 12A3, 12A4, 12A5 và có may mắn được theo sát các em từnăm lớp 10 tôi nhận thấy cứ mỗi khi dạy đến phần hình học không gian là đaphần các em HS đều cho đây là phần rất khó, không làm được bài tập, dẫn đếncác em có tư tưởng ngại học, chán học, một số HS còn bỏ, không học nhữngphần liên quan đến hình học không gian Lên lớp 12 khi tiến hành ôn luyện đểchuẩn bị cho kì thi học kì và thi tốt nghiệp THPT Quốc gia sắp tới, tôi có dànhthời gian ôn tập cho các em về phần tính khoảng cách và tính thể tích thì thấyrằng thực trạng học HS học phần này là đáng báo động, cũng như khi học ở lớp
11 các em không học được, chỉ có một số rất ít làm được bài Tôi có khảo sátchất lượng của các em bằng cách cho làm bài kiểm tra với nội dung như sau:
Đề Bài: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB 5 cm, BC 6 cm, AA’ 4 cm
a Tính khoảng cách từ B đến mpACC’A’
b Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’
Kết quả thu được sau khi chấm bài kiểm tra của HS:
Lớp Làm đúng ý
a
Làm đúng
cả 2 ý Làm sai Không làm12A3 (39 HS) 12 (30,8 %) 7 (17,9 %) 27 (69,2%) 0 (0 %)12A4 (37 HS) 10 (27 %) 5 (13,5 %) 26 (70,3 %) 1 (2,7 %)12A5 (39 HS) 8 (20,5 %) 5 (12,8 %) 30 (76,9 %) 1 (2,6 %) Qua bảng trên có thể thấy số lượng HS làm đúng ý a) hay làm đúng cả 2 ý rấtthấp, còn lại là số HS làm sai chiếm tỉ lệ khá cao (69,2% - 76,9%) Trong quátrình làm bài các em còn kém về phần vẽ hình và trình bày, không nhiều em làmđúng ý a), còn ở ý b) thì các em lại lúng túng trong việc xác định đường vuônggóc chung của hai đường thẳng chéo nhau dẫn đến không giải được bài toán Rõràng chúng ta thấy thực trạng nhiều HS của chúng ta hiện nay đang xác định “bỏrơi” phần hình học không gian, số còn lại thì học cũng chưa thật sự tốt Vậy nên,làm thế nào để giúp các em học tốt phần này là nhiệm vụ cấp thiết đặt ra và cần
Trang 7phải được thực hiện ngay, đây là động cơ chính thôi thúc tôi thực hiện SKKNnày
2.3 giải pháp và tổ chức, thực hiện
2.3.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Quy trình: Quy trình tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng :
Bước 1: Xác định mp( ) đi qua O và vuông góc với đường thẳng (Hoặc xác định đường thẳng d đi qua O, đồng phẳng và vuông góc với đường thẳng
)
Bước 2: Xác định giao điểm H của mp( ) và đường thẳng (Hoặc xác địnhgiao điểm H của hai đường thẳng d và )
Suy ra d(O, ) OH
Bước 3: Tính độ dài đoạn OH (dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác…)
Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng2a, ABC 60 0;SA 2a và SA ABCD
a Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng SC
b Tính khoảng cách từ Otới đường thẳng SB
Giải:
a Tính khoảng cách từ O tới SC
Bước 1: Trong mp(SAC), kẻ đường thẳng d đi
qua O và vuông góc với đường thẳng SC
Bước 2: Xác định giao điểm I của đường thẳng
d và SC Ta có d(O, SC) OI
J
O C B
D A
S
I K
H
Trang 8Bước 3: Tính độ dài đoạn OI:
Do SAC vuông cân tại A SA AC 2a nên OIC vuông cân tại I
Vậy OI OC a 2
22
hay d O, SC a 2
2
b Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng SB
Bước 1: Xác định mp( ) đi qua O và vuông góc với SB:
- Trong mpABCD kẻ OJ AB Vì SA OJ nên OJ SAB hay OJ SB
- Trong mp(SAB) kẻ JH SB Khi đó ta có SBOJH hay mp(OJH) là
BJ 4JH
3a 24
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a
Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA a Gọi I là trung điểm của
SC và M là trung điểm đoạn AB Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM.
Trang 9Bài 2 Cho hai tia chéo nhau Ax và By hợp với nhau góc 600, nhận AB alàm đoạn vuông góc chung TrênBy lấy điểm C sao choBC a Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng Ax.
2.3.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Quy trình: Quy trình tính khoảng cách từ một điểm A đến mp( )
Bước 1: Xác định mp( ) đi qua A và vuông góc với mp( )
Bước 2: Xác định đường thẳng AH kẻ từ A và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng( ) và ( ) ,H Suy ra d(A, (a)) AH
Bước 3: Tính độ dài đoạn AH (dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác…)
Ví dụ 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳngA’BD
Giải:
Bước 1: Xác định mặt phẳng đi qua A và vuông góc
với mpA’BD : là mp OAA’
- Gọi O là giao của AC và BD
- Vì AA’ABCD nên AA’ BD
Mặt khác, AO BD suy ra DBOAA’ hay
A’BD OAA’
Bước 2: Xác định đường thẳng kẻ từ A và vuông góc với giao tuyến OA’ của hai mặt phẳngA’BD và OAA’ là đường thẳng AH
- Trong mpOAA’ kẻ AH OA’
- Khi đó AHA’BD hay d A, A’BD AH
Bước 3: Tính độ dài đoạn AH
O
A' B'
B
C'
C
A D
D'
H
Trang 10- Xét OAA’ vuông tại A có:
a Tính khoảng cách từ điểm D đến mp(ABC)
b Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(DBC)
Giải:
a Tính khoảng cách từ điểm D đến mp(ABC)
Bước 1: Xác định mặt phẳng đi qua D và vuông góc
với mp(ABC) là mp(DAC)
Bước 2: Xác định đường thẳng DO kẻ từ D và vuông góc với giao tuyến ACcủa hai mặt phẳngABC và DAC , O AC Suy ra d D, ABC DO
Bước 3: Tính độ dài đoạn DO: Vì DAC đều cạnh 2a, đường cao DO nên
DO a 3 Vậy d D, ABC a 3
b Tính khoảng cách từ O đến mpDBC
Bước 1: Xác định mặt phẳng đi qua O và vuông góc với mpDBC : là mp
DOI với I là trung điểm cạnh BC
Bước 2: Xác định đường thẳng OH kẻ từ O và vuông góc với giao tuyến DI của hai mặt phẳng DBC và ODI , H DI Suy ra d O, DBC OH
I
O
B D
H
Trang 11Bước 3: Tính độ dài đoạn OH: Xét ODI vuông tại O ta có:
Bài 1: Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau cắt nhau theo giao
tuyến Lấy A, B thuộc , AB a Lấy C, D lần lượt thuộc mặt phẳng (P) và
(Q) sao cho AC, BD vuông góc với và AC BD a Tính khoảng cách từ A đến (BCD).
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB3a,
4
BC a , mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC); SB 2a 3,
Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Ví dụ 1 : Ta có thể giải bài toán trong ví dụ 1 phần khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng dựa vào công thức thể tích như sau:
Ta có: VA.A’BD 1SABD.AA’
3
1
S d A, A’BD3
Trang 12
Ví dụ 2 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 Gọi M, N,
P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN)
PC / /(AMN) d (P,(AMN)) d (C,(AMN))
O B
D
C
A
S
Trang 13- Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh O trên một đường
thẳng đến một vị trí thuận lợi O', ta quy việc tính d(O,( )) về việc tính
d(O',( )) Ta thường sử dụng những kết quả sau:
Kết quả 1: Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng () và M, N thì
nếu I là trung điểm của MN thì d(M;( )) d(N;( ))
- Ta thường sử dụng phép trượt đỉnh về điểm là chân đường cao
Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh
bằng a, SA a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
H G
D
C B
A S
Trang 15Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
3 , BC= 4a, (SBC) (ABC), SB=2a 3 ,
từ B đến mặt phẳng (SAC).
Bài 2: Cho hình chóp SABC, góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 60 0
Hai tam giác ABC và SBC đều cạnh a Tính thể tích hình chóp SABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)
2.3.3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song:
Trang 162 2 2 2
a OH
Góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 300
Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng
(A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’ Tính
khoảng cách giữa hai mặt đáy
Giải:
Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’) cho nên H làtrung điểm của B’C’ Do (ABC) // (A’B’C’) nên d((ABC), (A’B’C’)) = d(A,(A’B’C’)) mà AH (A’B’C’) nên d(A, (A’B’C’)) = AH Vì AA’ tạo với đáy
một góc bằng 300 nên AHA’ có AH = AA' a
Trang 17Vậy d((ABC), (A’B’C’)) =a
2.
Bài
tập tự luyện :
Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1 Một mặt phẳng bất
kì đi qua đường chéo B’D Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và(A’BC’)
2.3.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Quy trình: Quy trình tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
Bước 1: Xác định mp( ) chứa đường thẳng b và song song với đường thẳng
D S
H
Trang 18Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng AC tới mpS, Dx :Tính d A, S, Dx
Bước 2.1: Xác định mặt phẳng đi qua A và vuông góc với mp(S,Dx): là mp(SAI).
Trong mpABCD kẻ AI vuông góc với Dx tại I Vì SADx nên
S
H
K
Trang 19Giải:
Bước 1: Xác định mặt phẳng chứa cạnh SB và song song với cạnh AD: là mp
SBC Suy ra d(AD, SB) d AD, SBC
Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng AD tới mp(SBC): Tính d(I, SBC ) , với I là trung điểm cạnh AD
Bước 2.1: Xác định mặt phẳng đi qua I và vuông góc với mp(SBC): là mp(SIJ), với J là trung điểm cạnh BC
Bước 2.2: Xác định đường thẳng IH kẻ từ I và vuông góc với giao tuyến SJcủa hai mặt phẳngSBC và SIJ , H SJ
Suy ra d I, SBC IH
Bước 2.3: Tính độ dài đoạn IH:
Vì SOC vuông tại O nên SO SO2 OC2
2
2 2a a 62a
a 6
22
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B,AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng
Trang 20(ABC) Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC,
cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính thể
tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với
DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a 3 Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
2.4 Kết quả kiểm nghiệm
Sau khi dạy xong chuyên đề tôi nhận thấy dần dần các em học hiểu bài hơn,nhiều em đã có thể tự mình làm được các bài tập tự luyện Sau đó tôi có cho các
em làm bài bài kiểm tra thời lượng 45 phút với nội dung:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a Gọi G là trọng tâm của tam giác đáy ABC.
a) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng đáy (ABC)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SG
Kết quả thu được như sau:
Từ kết quả thu được ta nhận thấy số lượng học sinh làm đúng ý a) và làmđúng cả 2 ý tăng lên rõ rệt (cao nhất là lớp 12A3 làm đúng ý a) chiếm 56,4%,làm đúng cả 2 ý chiếm 46,2%, lớp 12A5 làm đúng ý a) chiếm 43,6%, làm đúng
cả 2 ý chiếm 30,8%) Số lượng học sinh làm sai giảm đã được giảm đáng kể.Qua chấm bài tôi nhận thấy nhiều em đã biết cách tính khoảng cách từ một điểm
