Giúp học sinh lớp 10 giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Các dạng phương trình vô tỉ thường gặp giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ...4 2... Tuy nhiên, trong thực tế phương trình vô tỉ rất đa dạng và phong phú.. Đối tượng nghiên cứu.. -

Trang 1

MỤC LỤC

PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

PHẦN 2 NỘI DUNG 3

I Cơ sở lí luận 3

II Thực trạng 3

III Giải pháp thực hiện 4

1 Các dạng phương trình vô tỉ thường gặp giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ 4

2 Dùng ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ 9

IV Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 16

PHẦN 3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 17

1 Kết luận 17

2 Kiến nghị 17

Trang 2

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài.

Trong chương trình môn Đại số 10, học sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn (phương trình vô tỉ) Trong thực tế các bài toán giải phương trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng Đặc biệt, trong các đề thi Đại học -Cao đẳng - Học sinh giỏi các em sẽ gặp một lớp các bài toán về phương trình vô

tỉ mà chỉ có một số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng, chưa được gọn gàng sáng sủa, thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày hoặc các em không biết áp dụng phương pháp nào

để giải

Trong SGK Đại số lớp 10, phần phương trình vô tỉ chỉ là một mục nhỏ trong

bài: "Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai" của chương IV.

Thời lượng dành cho phần này rất ít, các ví dụ và bài tập trong phần này cũng hạn chế và chỉ ở dạng cơ bản Nhưng trong thực tế, học sinh gặp nhiều phương trình vô tỉ, đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng - Học sinh giỏi luôn có bài tập về giải phương trình vô tỉ nhưng để biến đổi và giải chính xác phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có kĩ năng biến đổi toán học nhanh nhẹn và thuần thục

Trong SGK Đại số lớp 10 chỉ đưa ra dạng cơ bản: AB, phần bài tập cũng chỉ nêu những bài tập nằm trong dạng này Tuy nhiên, trong thực tế phương trình vô tỉ rất đa dạng và phong phú Trong quá trình học Toán ở lớp 11 và 12, khi gặp phải những bài toán đưa về phương trình và bất phương trình vô tỉ, đa số học sinh đều lúng túng, thường giải sai và thậm chí không biết cách giải Đặc biệt, các đề thi Đại học - Cao đẳng - Học sinh giỏi các em sẽ gặp phương trình

vô tỉ ở nhiều dạng khác nhau chứ không chỉ nằm trong khuôn khổ dạng trên Vì vậy, việc giúp cho các em có kĩ năng tốt, cũng như cung cấp thêm các phương

pháp giải phương trình vô tỉ là rất cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện

nay Một điều rất quan trọng là trong quá trình giải phương trình vô tỉ thì phương pháp đặt ẩn phụ là một trong những phương pháp hữu hiệu nhất - Từ thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 ở trường THPT 4 Thọ Xuân cùng với kinh

nghiệm trong thời gian giảng dạy Tôi xin đưa ra đề tài: "Giúp học sinh lớp 10

giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ".

- Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh các dạng phương trình vô tỉ thường gặp giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ và đặc biệt là định hướng cho học sinh khi nào dùng ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ

2 Mục đích nghiên cứu

Thiết kế, xây dựng cách giải các phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ

3 Đối tượng nghiên cứu.

- Phương trình vô tỉ (Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn)

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

- Nghiên cứu tài liệu và các công trình nghiên cứu về phương trình vô tỉ

Trang 3

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về các phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ

4.2 Phương pháp chuyên gia

Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài

4.3 Phương pháp thực tập sư phạm

Thực nghiệm sư phạm ở trường THPT 4 Thọ Xuân, tiến hành theo quy trình của đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu quả của đề tài nghiên cứu

4.4 Phương pháp thống kê toán học

Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được

Trang 4

PHẦN 2 NỘI DUNG

I Cơ sở lí luận.

Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy

và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức

phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này

Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình vô tỉ

Trong sách giáo khoa Đại số 10 chỉ nêu phương trình dạng

)

(x

f = g(x) và trình bày phương pháp giải bằng cách biến đổi hệ quả, trước khi giải chỉ đặt điều kiện f(x) 0 Nhưng chúng ta nên để ý rằng đây chỉ là điều

kiện đủ để thực hiện được phép biến đổi cho nên trong quá trình giải học sinh

dễ mắc sai lầm khi lấy nghiệm và loại bỏ nghiệm ngoại lai vì nhầm tưởng điều

kiện f(x) 0 là điều kiện cần và đủ của phương trình.

Tuy nhiên khi gặp bài toán giải phương trình vô tỉ, có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ năng phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơn giản

II Thực trạng.

Học sinh trường THPT 4 Thọ Xuân chủ yếu là con em của các gia đình thuần nông, điều kiện kinh tế còn nhiều khó khăn nên việc học tập của các em còn nhiều hạn chế Kiến thức THCS còn non yếu, tiếp thu bài còn chậm, chưa tự hệ thống được kiến thức Khi gặp các bài toán về phương trình vô tỉ chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi đặt điều kiện và biến đổi, trong khi đó phương trình loại này có rất nhiều dạng Nhưng bên cạnh đó chương trình đại số 10 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho phần này là rất ít

Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bày cách giải đặt điều kiện và lấy nghiệm sai ở phần này

Trang 5

III Giải pháp thực hiện.

1 Các dạng phương trình vô tỉ thường gặp giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Dạng 1: Phương trình chứa f(x) và f(x)

Cách giải:

- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa

- Bước 2: Đặt f x( ) t , (t 0)

- Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình theo ẩn t, giải tìm t

- Bước 4: Với t tìm được thỏa mãn t 0, thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình ban đầu và kết luận

Ví dụ 1 Giải phương trình: x2  5x  4 5 x2  5x 28 0,(1) 

Giải:

+ Điều kiện: x2  5x 28 0  luôn đúng với mọi  x R

+ Đặt x2  5x 28 t,(t 0) 

+ Phương trình (1) trở thành: 2 3

8

t







Do t 0 nên t 3 loại

+ Với t  8 x2  5x 28 8 

9

x







Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 4 và x = -9

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

5x  10x   1 7 2x x

2, (4  x)(6 x) x2  2x 12

Dạng 2: Phương trình a( f(x)  g(x)) b  f(x) g(x)  c 0

Cách giải:

- Bước 2: Đặt f x( )  g(x) t , (t 0)

- Bước 4: Với t tìm được thỏa mãn t 0, thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình ban đầu và kết luận

Trang 6

Ví dụ 2 Giải phương trình: x  3 6  x (x 3)(6 x) 3    (2).

Giải:

+ Điều kiện:    3 x 6

+ Đặt x  3 6  x t ,(t 0) 

t

(x 3)(6 x)

2

t 

+ Phương trình (2) trở thành: 2 1

3

t







+ Với t  3 x  3 6  x  3 3

6

x x







Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 6 và x = -3

1, x 1  7  x (x 1)(7 x) 1   

2, x  2 2  x 5 (4 x  2  2

Dạng 3: Phương trình dạng a( f(x)  g(x)) b  f(x) g(x)  c 0

Cách giải:

- Bước 2: Đặt f x( )  g(x) t

- Bước 4: Với t tìm được thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình ban đầu và kết luận

Ví dụ 3 Giải phương trình: x  1 4  x 2 (x 1)(4 x) 3 0     (3)

Giải:

+ Điều kiện:    1 x 4

+ Đặt x  1 4  x t

t

+ Phương trình (2) trở thành: t2  t 2 0 

Trang 7

2

1

t t







+ Với t  1 x  1 4  x  1

2

3.

x





 







 



+ Với t  2 x  1 4  x  2

2

1 2

3 2

x

x x x









 











 





Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 3 và x = 3

2

2, (2 3 )(1 3 )  x  x  2 3  x 1 3  x

Dạng 4: Phương trình dạng a( f(x)  g(x)) b  f(x) g(x) c(f(x) g(x)) d 0   

Cách giải:

- Bước 2: Đặt f x( )  g(x) t(tìm điều kiện của t nếu có)

Trang 8

- Bước 4: Với t tìm được thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình ban đầu và kết luận

Ví dụ 4 Giải phương trình: x  1 2x  3 3x 2 (x 1)(2 x 3) 16    (4)

Giải:

+ Điều kiện: x 1

+ Đặt x  1 2x  3 t t(  0).

+ Phương trình (2) trở thành: t2  t 20 0 

 t t54





+ Với t  5 x  1 2x  3 5

2

7

3

x x

x





 



Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 3

Ví dụ 5 Giải phương trình: 3 x  2 6 2  x 4 x 2  4 10 3   x(5)

(Đề thi đại học khối B năm 2011)

Giải:

+ Điều kiện:  2  x 2

+ Đặt x  2 2 2  x t

+ Phương trình (2) trở thành: t2  3t 0

 t t03





+ Với t  0 x  2 2 2x  3 0

2 2 2 6

5

x

+ Với t  3 x  2 2 2x  3 3

Trang 9

2 2 2 3

Phương trình này vô nghiệm vì  2  x 2

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 6

5

1,2 x  3 1  x 4 x 3 1   x  3x 7 0 

2, x  3 5 3  x 10 x 3 3   x  7x  4 0

Dạng 5: Phương trình a f(x) b g(x) c f(x) g(x)

Cách giải:

- Bước 2: Đặt f x( ) a, g x( ) b, (a 0,b 0)

- Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình đẳng cấp theo ẩn a và b

- Bước 4: Với a và b tìm được thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình ban đầu và kết luận

Ví dụ 6 Giải phương trình: 2x2  3x 2x x 1 x2  1  0(6)

Giải:

+ Điều kiện:  1 x

+ Đặt x2   1 a, x  1 b, (a, b 0) 

+ Phương trình (2) trở thành: 2a2 ab 6b2  0





 



+ Với 2a 3 ,b ta có:

2 2

(t/ m) 8

x



Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 9 161

8



Trang 10

1, 3  2 

5 x   1 2 x  2

2 x  8 3  x  2x 1

2 Dùng ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ.

Phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ là một phương pháp vô cùng quan trọng, tuy nhiên ngoài những dạng cụ thể để đặt ẩn phụ thì một câu hỏi đặt ra là khi nào dùng ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ và đặt ẩn phụ như thế nào là thuận tiện nhất Để giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ thành công thì điều quyết định đó là tìm ra các mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán được gắn kết với nhau như thế nào Mặt khác khi đặt ẩn phụ phải thu được phương trình có thể giải được như: Phương trình bậc hai, bậc

ba, phương trình đẳng cấp, phương trình tích

Để hiểu rõ hơn phần này ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1 Giải phương trình: x2  3x 2 2  x2  x 2 2  x (1).

* Phân tích hướng giải: Với phương trình này, ta sẽ tìm các mối liên hệ giữa

các đại lượng với nhau để từ đó tìm ra cách đặt ẩn phụ Ta để ý thấy trong hai căn thì hệ số của x2 và hệ số tự do băng nhau (bằng -2) do đó ta liên tưởng đến phép chia hai vế của phương trình cho x, ta thu được phương trình:

Rõ ràng đến đây ta đã thấy sự liên hệ giữa các đại lượng trong phương trình nên

ta hoàn toàn có thể đặt ẩn phụ để giải phương trình này

Cách giải:

- Điều kiện: 3 17; 2.

2

- Ta có: (1) x 3 2 2 x 1 2 2

-Đặt x 2 t

x

  , khi đó (1') trở thành:

2

1

t





 



Trang 11

- Với 2 2

x

 x 2 hoặc x 1 (loại vì không thỏa mãn điều kiện (*))

Vậy phương trình có một nghiệm là: x 2

* Nhận xét: Việc đi tìm mối liên hệ giữa các đại lượng ở phương trình này là

một hướng đi rất quen thuộc trong những hướng đi tìm ẩn phụ ở các bài toán phương trình vô tỉ trong các kỳ thi Việc phát hiện ra chia hai vế của phương trình cho biến x để tìm ẩn phụ xuất phát từ ý tưởng các hệ số đối xứng, như trong ví dụ 1 là số -2

Ví dụ 2 Giải phương trình: 2 3 3 x 2 3 6 5   x 8 0  (2).

(Đề thi đại học khối A năm 2009)

* Phân tích hướng giải: Ở phương trình này ta thấy có chứa hai căn bậc khác

nhau do đó chúng ta không thể sử dụng phép nâng lên lũy thừa để giải, nên ta nghĩ đến việc đặt hai ẩn phụ để giải phương trình Để ý thấy trong căn là các nhị thức bậc nhất nên ta dễ dàng tìm được mối liên hệ giữa các ẩn phụ Vì vậy ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình này

Cách giải:

- Điều kiện: 6.

5

- Đặt:

3

x v





- Khi đó ta được hệ:

2 3 3 2 8







2 3

8 2 3

8 2

3 2 4

u v

u u

u

v









 









 





- Với

3

2

x



Vậy phương trình có một nghiệm là: x 2

* Nhận xét: Với những phương trình vô tỉ chứa nhiều căn thì ta có thể đặt nhiều

ẩn phụ để chuyển về hệ phương trình

Trang 12

Ví dụ 3 Giải phương trình: 10x2  3x 5  17 x4  15x2  25 (3).

* Phân tích hướng giải: Quan sát bài toán này, ta thấy hình thức phương trình

quen thuộc nhưng nếu ta dùng phương pháp lũy thừa để giải quyết thì khó đạt được kết quả vì sẽ tạo ra phương trình bậc 4 có nghiệm vô tỉ Do đó để giải bài toán này, ta thử xem có thể đặt ẩn phụ được không ?

Trước hết ta cần tìm mối liên hệ giữa các đại lượng trong phương trình

Ta có:

x  x   x  x   x  x   x  x  x x  x

Vì vậy, đại lượng trong căn được biểu diễn thành tích của x2  5x 5

và x2  5x 5

Do đó ta thử tìm xem đại lượng ngoài căn có liên quan đến hai biểu thức trên không ? Theo cách xác định hệ số bất định

Ta có: 10x2  30x 50 m x( 2  5x 5) n x( 2  5x 5)

 10x2  30x 50 (  m n x ) 2  5(m n x )  5(m n )(*)

Đồng nhất hệ số hai vế của (*) ta được:

10

2 6

8 10

m n

n

m n

m

m n

 













Điều đó có nghĩa là: 10x2  30x 50 8(  x2  5x 5) 2(  x2  5x 5)

Đến đây ta đã tìm ra được mối liên hệ giữa các đại lượng có trong phương trình

Cách giải:

- Điều kiện:  x R.

- Ta có: (3)  8(x2  5x 5) 2(  x2  5x 5) 17 (x  2  5x 5)(x  2  5 x 5) 

- Đặt 22 5 5 (t 0).

t

  Khi đó phương trình trên trở thành:

2

8

t







 



+ Với

2

2 2

6

x











Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	518,5 KB