Một số vấn đề về phương trình sai phân dạng Xn+1 = α + (Xn - 1)/Xn

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn làtrung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.. 13 1.4.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS Nguyễn Văn Khải

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Khải, người

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luậnvăn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng sauđại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán và các khoa phòng chức năng củatrường, các Thầy, Cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt

là các Thầy, Cô giáo khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đãgiảng dạy, hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường.Tôi xin cảm ơn các bạn học viên và người thân trong gia đình đã giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà nội, tháng 6 năm 2016Tác giả luận văn

Dương Thị Minh Thu

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn làtrung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin camđoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồngốc

Hà nội, tháng 6 năm 2016Tác giả luận văn

Dương Thị Minh Thu

Mục lục

1.1 Giới hạn 3

1.2 Sai phân 4

1.2.1 Sai phân 4

1.2.2 Tính chất của sai phân 5

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính 6

1.3.1 Phương trình sai phân 6

1.3.2 Nghiệm 7

1.3.3 Nghiệm tổng quát ˜xn 8

1.3.4 Nghiệm riêng x∗n 9

1.3.5 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một 10

1.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 12

1.4.1 Định nghĩa 12

1.4.2 Nghiệm 13

1.4.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên 17

1.5 Tính ổn định và tính hút của điểm cân bằng 18

1.5.1 Định nghĩa sự ổn định và sự ổn định tuyến tính 18 1.5.2 Tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương 26

2 Một số vấn đề về phương trình sai phân dạng xn+1 = α + xn−1 x n 31 2.1 Trường hợp α < 0 31

2.1.1 Sự ổn định tuyến tính hóa 31

2.1.2 Tính hút toàn cục 33

2.1.3 Tính dao động 38

2.2 Trường hợp α ≥ 0 40

2.2.1 Phương trình tuyến tính hóa 40

2.2.2 Bán chu kì của (2.12) 44

2.2.3 Trường hợp 0 ≤ α < 1 46

2.2.4 Trường hợp α = 1 46

2.2.5 Trường hợp α > 1 47

• On the recursive sequence xn+1 = α + xn−1

x n , Alaa E Hamza, Journal

of Mathematical Analysis and Applications

• On the recursive sequence xn+1 = α+xn−1

xn , A.M Amleh, E.A Grove,

G Ladas, Journal of Mathematical Analysis and Applications

tôi đã chọn đề tài : "Một số vấn đề về phương trình sai phândạng xn+1 = α + xn−1

x n "

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về phương trình sai phân dạng xn+1 = α + xn−1

x n

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về phương trình sai phân nói chung và phương trình sai phân

xn+1 = α + xn−1

xn nói riêng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Phương trình sai phân xn+1 = α + xn−1

x n Phạm vi nghiên cứu: Phương trình sai phân

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của giải tích toán học để tiếp cận vấn đề

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Luận văn là một tài liệu bước đầu về phương trình sai phân

xn+1 = α + xn−1

x n

7 Cấu trúc luận văn

Luận văn được trình bày gồm 2 chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kiếnthức chuẩn bị về sai phân và một số tính chất của sai phân; phươngtrình sai phân tuyến tính cấp n, cấp 1, cấp 2; một số khái niệm chung

về sự ổn định của phương trình sai phân

Chương 2: Một số vấn đề về phương trình sai phân dạng

xn với các điều kiện ban đầu x−1, x0 là các số thực âm

• Trường hợp α ≥ 0 chúng ta nghiên cứu tính ổn định toàn cục,đặc trưng giới hạn và tính tuần hoàn tự nhiên của nghiệm dương củaphương trình sai phân xn+1 = α + xn−1

xn với các điều kiện ban đầu x−1,

x0 là các số thực dương

Định nghĩa 1.2.1 Ta gọi sai phân cấp 1 của hàm số x(n) = xn với

n ∈ Z (hoặc n thuộc tập con nào đó của Z) là hiệu:

∆xn = xn+1− xn.Định nghĩa 1.2.2 Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân củasai phân cấp 1 của xn và bằng qui nạp ta được sai phân cấp k của hàm

xn là sai phân của sai phân cấp k − 1 của hàm số đó

Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm xn là:

∆2xn = ∆(∆xn)

= ∆xn+1 − ∆xn

= xn+2− xn+1− (xn+1 − xn)

= xn+2− 2xn+1 + xnSai phân cấp 3 của hàm xn là:

∆3xn = ∆(∆2xn)

= ∆2xn+1 − ∆2xn

= xn+3 − 2xn+2+ xn+1− (xn+2 − 2xn+1+ xn)

= xn+3 − 3xn+2+ 3xn+1 − xnQui nạp sai phân cấp k của hàm xn là

1.2.2 Tính chất của sai phân

Tính chất 1 Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị củahàm số

Tính chất 3 Sai phân cấp k của đa thức bậc m là

(i) Đa thức bậc m − k, nếu k < m

(ii) Hằng số, nếu k = m

1.3.1 Phương trình sai phân

Định nghĩa 1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thứctuyến tính giữa sai phân các cấp:

F (xn, ∆xn, ∆2xn, , ∆kxn) = 0 (1.2)trong đó, xn hiểu là sai phân cấp 0 của hàm xn, cấp lớn nhất của cácsai phân (ở đây là bằng k), là cấp của phương trình sai phân; hàm phảitìm là xn = x(n)

Định nghĩa 1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là mộtbiểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khác nhau

aoxn+k + a1xn+k−1 + + akxn = fn (1.3)trong đó a0, a1, , ak với a0 6= 0, ak 6= 0 là các hằng số hoặc các hàm sốcủa n, được gọi là các hệ số của phương trình sai phân; fn là một hàm

số đã biết của n, được gọi là vế phải ; xn là hàm cần tìm, được gọi là ẩn.Phương trình (1.3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp

k (còn gọi là bậc k), để tính được xn, ta phải cho trước k giá trị liên tiếpcủa xn, rồi tính các giá trị còn lại của xn theo công thức truy hồi (1.3).Định nghĩa 1.3.3

Nếu fn ≡ 0 thì (1.3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuầnnhất

Nếu fn 6≡ 0 thì (1.3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính khôngthuần nhất

Nếu fn ≡ 0 và a0, a1, , ak là các hằng số; a0 6= 0, ak 6= 0 thì phươngtrình (1.3) trở thành:

˜x1 = x1, , ˜xk−1 = xk−1

Định lý 1.3.5 Nghiệm tổng quát xn của (1.3) bằng tổng ˜xn và x∗n, với

˜xn là nghiệm tổng quát của (1.4) và x∗n là một nghiệm riêng bất kì của(1.3) :

xn = ˜xn+ x∗n.Định lý 1.3.6 Nếu xn1, xn2, , xnk là k nghiệm độc lập tuyến tính của(1.4) thì nghiệm tổng quát ˜xn của (1.4) có dạng:

˜

xn = C1xn1 + C2xn2 + + Ckxnktrong đó C1, C2, , Ck là các hằng số tùy ý

Bây giờ ta tìm nghiệm ˜xn của (1.4) và x∗n của (1.3) Vì phương trìnhthuần nhất (1.4) luôn có nghiệm xn = 0, nên để tìm nghiệm tổng quát,

ta tìm xn của (1.4) dưới dạng xn = Cλn , C 6= 0, λ 6= 0

Thay xn = Cλn vào (1.4) và ước lượng cho Cλn 6= 0 ta được:

Lλ = aoλk + a1λk−1+ + ak = 0 (1.5)Phương trình (1.5) được gọi là phương trình đặc trưng của (1.4).Nghiệm ˜xn của (1.4) và x∗n của (1.3) phụ thuộc cốt yếu vào cấu trúcnghiệm của (1.5)

λj2 = rnn cos nϕ, λj3 = rnn2cos nϕ, , λjs = rnns−1cos nϕ

¯

λj2 = rnsin nϕ, ¯λj3 = rnn2sin nϕ, , ¯λjs = rnns−1sin nϕ

Khi đó ta ta có:

Ta xét các trường hợp sau đây:

Trường hợp 1 : fn là đa thức bậc m của n ; m ∈ N :

fn = Pm(n)

• Nếu các nghiệm λ1, λ2, , λk là các nghiệm thực khác 1 của phươngtrình đặc trưng (1.5) thì:

x∗n = Qm(n), m ∈ N

trong đó Qm(n) là đa thức cùng bậc m với fn

• Nếu phương trình đặc trưng (1.5) có nghiệm λ = 1 bội s thì:

x∗n = nsQm(n), m ∈ N

trong đó Qm(n) là đa thức của n cùng bậc m với fn

Trường hợp 2 : fn = Pm(n) βn, trong đó Pm(n) là đa thức bậc m củan; m ∈ N

• Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng (1.5) đều là các nghiệmthực khác β, thì x∗n có dạng:

x∗n = Qm(n)βntrong đó Qm(n) là đa thức cùng bậc với fn

• Nếu phương trình đặc trưng (1.5) có nghiệm λ = β bội s thì tìm x∗ndưới dạng

x∗n = nsQm(n)βntrong đó Qm(n) là đa thức của n cùng bậc với fn

Trường hợp 3 : fn = α cos nx + β sin nx với α, β là hằng số

Trong trường hợp này, nghiệm riêng x∗n được tìm dưới dạng:

x∗n = a cos nx + b sin nx

Trường hợp 4 : fn = fn1 + fn2 + + fns

Trong trường hợp này ta tìm nghiệm riêng x∗ni ứng với từng hàm fni,

i = 1, 2, , s; Nghiệm riêng x∗n ứng với hàm fn sẽ là x∗n = x∗n1 + x∗n2 + + x∗ns, do tính tuyến tính của phương trình sai phân

Để chi tiết các vấn đề nêu ở trên, ta nghiên cứu phương trình saiphân tuyến tính cấp một và cấp hai

1.3.5 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một

1.3.5.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.3.8 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một có dạng:

axn+1+ bxn = fn (a 6= 0, b 6= 0)hoặc

fn là hàm đã biết của n, gọi là vế phải; xn được gọi là ẩn

Nếu fn ≡ 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất.Nếu fn 6≡ 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính không thuầnnhất

1.3.5.2 Nghiệm

Nghiệm tổng quát của (1.6) có dạng:

xn = ˜xn + x∗ntrong đó ˜xn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tínhthuần nhất và có dạng:

˜n = Cλn , với λ = −b

a hoặc λ = q.

Vậy ta cũng có thể viết ˜xn = Cqn, C 6= 0 còn x∗n là một nghiệm riêngbất kì của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất

1.3.5.3 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n của phương trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất

Phương pháp 1: Phương pháp chọn (phương pháp hệ số bất định)(i) fn là đa thức bậc m của n: fn = Pm(n)

• λ 6= 1 thì x∗n được tìm dưới dạng đa thức cùng bậc m với fn

x∗n = Qm(n); Qm(n) là đa thức bậc m của n

• λ = 1 thì ta có x∗n = nQm(n); Qm(n) là đa thức bậc m của n.(ii) Nếu fn = αβn (αβ 6= 0), thì tìm x∗n dưới dạng :

(iii) fn = α sin nx + β cos nx, α2 + β2 6= 0, x 6= kπ, k ∈ Z

Khi đó: x∗n = A sin nx + B cos nx

Phương pháp 2 : Phương pháp biến thiên hằng số

Xét phương trình

axn+1 + bxn = fn.Phương trình này có nghiệm

˜n = Cλn với λ = −b

a .

Để tìm nghiệm riêng, ta xem C biến thiên theo n, có nghĩa là C làmột hàm của n và tìm x∗n = Cnλn Thay vào phương trình sai phân, tađược:

aCn+1λn+1 + bCnλn = fn

1.3.5.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số biến thiên

Xét phương trình sai phân cấp một với hệ số biến thiên

xn+1 = qnxn + fn, n = 0, 1, 2, (1.7)

x0 = atrong đó qn và fn là các hàm số của n

Để tìm nghiệm của (1.7) ta dựa vào định lý sau đây

Định lý 1.3.9 Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân không thuầnnhất (1.7) xn có dạng:

xn = ˜xn +x∗ntrong đó ˜xn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tínhthuần nhất tương ứng

xn+1 = qnxncòn x∗n là một nghiệm riêng tùy ý của (1.7)

1.4.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có dạng:

axn+2 + bxn+1+ cxn = fn (1.8)

1.4.2.1 Nghiệm tổng quát xen của phương trình thuần nhất

(i) Nếu phương trình đặc trưng

có hai nghệm thực phân biệt λ1 6= λ2 thì

e

xn = Aλn1 + Bλn2trong đó A, B là hai hằng số tùy ý

(ii) Nếu phương trình đặc trưng (1.10) có nghiệm thực kép λ1 = λ2 = λthì

e

xn = (A + Bn)λntrong đó A, B là hai hằng số tùy ý

(iii) Nếu phương trình đặc trưng (1.10) có nghiệm phức

λ = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ)

với i2 = −1, r = |λ| = px2 + y2, ϕ = arc = arctgy

xthì (1.10) có nghiệm phức liên hợp

¯

λ = x − iy = r(cos ϕ − i sin ϕ)với i, r, ϕ đã nói ở trên

Khi đó nghiệm tổng quát xen của (1.9) có dạng:

e

xn = rn(A cos nϕ + B sin nϕ)Trong đó A, B là các hằng số tùy ý

1.4.2.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n

Phương pháp 1: Phương pháp chọn (còn gọi là phương pháp hệ sốbất định)

Xét các trường hợp sau:

(i) fn là đa thức bậc k của n: fn = Pk(n)

• Nếu phương trình đặc trưng (1.10) không có nghiệm λ = 1 thì

x∗n = Qk(n)trong đó Qk(n) là đa thức bậc k của n

• Nếu phương trình đặc trưng (1.10) có nghiệm đơn λ = 1 thì

x∗n = nQk(n)

• Nếu phương trình đặc trưng (1.10) có nghiệm kép λ = 1 thì

x∗n = n2Qk(n)

(ii) fn = Pk(n)βn, trong đó Pk(n) là đa thức bậc k của n

• Nếu phương trình đặc trưng (1.10) không có nghiệm λ = β thì

x∗n = Qk(n)βntrong đó Qk(n) là đa thức bậc k của n

• Nếu phương trình đặc trưng (1.10) có nghiệm đơn λ = β thì

x∗n = nQk(n)βn

• Nếu phương trình đặc trưng (1.10) có nghiệm kép λ = β thì

x∗n = n2Qk(n)βn

(iii) fn = Pm(n) cos βn + Ql(n) sin βn

trong đó Pm(n) và Ql(n) là các đa thức bậc m, l của n Kí hiệu

k = max[m, l]

• Nếu α = cos β ±i sin β, với i2 = −1 không là nghiệm của phươngtrình đặc trưng (1.10) thì tìm x∗n dưới dạng:

x∗n = Tk(n) cos βn + Rk(n) sin βntrong đó Tk(n), Rk(n) là các đa thức bậc k của n

• Nếu α = cos β ± i sin β, với i2 = −1 là nghiệm của phương trìnhđặc trưng (1.10) thì tìm x∗n dưới dạng:

x∗n = nTk(n) cos βn + nRk(n) sin βntrong đó Tk(n), Rk(n) là các đa thức bậc k của n

Phương pháp 2: Phương pháp biến thiên hằng số

Xét phương trình sai phân

xn+2 = pnxn+1 + qnxn + fn (1.11)

có phương trình sai phân thuần nhất tương ứng là:

xn+2 = pnxn+1 + qnxn (1.12)Nếu un, vn là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (1.12) thì ta tìmnghiệm riêng của (1.11) dưới dạng

x∗n = Anun + Bnvntrong đó An, Bn là hai hàm số của n Thay x∗n vào (1.11), ta được:

vì un+2 = pnun+1 + qnun theo giả thiết un là nghiệm của (1.12).

Theo công thức sai phân của tích

4anbn = bn+14an+ an4bn

ta có:

4(un+14An) = un+242An+ 4un+14Anvà

4(un+14An)+4(vn+14Bn)+un+14An+vn+14Bn+qnunAn+qnvnBn = fnhay

4(un+14An+vn+14Bn)+(un+14An+vn+14Bn)+qn(unAn+vnBn) = fn.Suy ra

Từ đó x∗n = Anun + Bnvn

Đặc biệt, nếu phương trình có hệ số hằng số thì phương trình đặctrưng

λ2 − λp − q = 0

có nghiệm λ1, λ2 với λ1λ2 = −q Do vậy:

(i) Nếu λ1 6= λ2 là các nghiệm của phương trình đặc trưng thì hainghiệm độc lập tuyến tính của phương trình sai phân thuần nhấtlà:

un = λn1, vn = λn2.Khi đó: Wn =

λn+11 λn+12

λn1 λn2

un = λn, vn = nλn.Khi đó: Wn =

... phương

(ii) Xét phương trình sai phân

yn+1+ 2yn − 2yn−1 =

Phương trình đặc trưng phương trình sai phân là:

λ2 +. .. có dạng:

xn = exn+ x∗ntrong exn nghiệm tổng quát phương trình sai phân nhấttương ứng

xn+2 =. .. x0, x−1

∈ I phương trình sai phân

(iv) Điểm cân ¯x (1.16) gọi ổn