Luận văn Nghiên cứu một số giao thức trong tính toán hình học đa bên an toàn

Mët sè thuªt to¡n v giao thùc bê trñ.. Giao thùc vectì trëi.. Giao thùc h¼nh håc hai b¶n an to n.. Giao thùc chùa iºm hai b¶n an to n.. Giao thùc giao nhau hai b¶n an to n.. Giao thùc tr

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

LÍI CƒM ÌN

Luªn v«n n y ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2

º ho n th nh ÷ñc luªn v«n n y tæi ¢ nhªn ÷ñc r§t nhi·u sü ëngvi¶n, gióp ï cõa nhi·u c¡ nh¥n v  tªp thº

Tr÷îc h¸t, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n th¦y gi¡o TS Tr¦nV«n Dông  Gi£ng vi¶n tr÷íng HGTVT H  Nëi ¢ nhi»t t¼nh gióp ï,trüc ti¸p ch¿ b£o, h÷îng d¨n tæi trong suèt qu¡ tr¼nh thüc hi»n luªn v«ncao håc

Xin còng b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi c¡c th¦y cæ gi¡o trongtr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2, ng÷íi ¢ em l¤i cho tæi nhúng ki¸nthùc bê trñ, væ còng câ ½ch trong nhúng n«m håc vøa qua

Công xin gûi líi c¡m ìn ch¥n th nh tîi Ban Gi¡m hi»u, Pháng  ot¤o sau ¤i håc, Khoa To¡n tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ t¤o

i·u ki»n cho tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp

Cuèi còng tæi xin gûi líi c¡m ìn ¸n gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi

¢ luæn b¶n tæi, ëng vi¶n v  khuy¸n kh½ch tæi trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n

· t i nghi¶n cùu cõa m¼nh

H  Nëi, th¡ng 06 n«m 2017

T¡c gi£

Nguy¹n Thà Ng¥u

LÍI CAM OANTæi xin cam oan:

Nhúng sè li»u v  k¸t qu£ nghi¶n cùu tr¼nh b y trong luªn v«n n y l 

ho n to n trung thüc, cõa tæi khæng vi ph¤m b§t cù i·u g¼ trong luªt

sð húu tr½ tu» v  ph¡p luªt Vi»t Nam Måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»nluªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v  c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n

·u ÷ñc ghi rã nguçn gèc Nhúng ki¸n thùc tæi tr¼nh b y trong luªnv«n n y ch÷a ÷ñc tr¼nh b y ho n ch¿nh trong b§t cù t i li»u n o

H  Nëi, th¡ng 06 n«m 2017

T¡c gi£

Nguy¹n Thà Ng¥u

Möc löc

Líi mð ¦u 3

Ch÷ìng 1 C¡c ki¸n thùc cì sð 7

1.1 Sè håc Modulo 7

1.2 Chú k½ i»n tû DSA 16

1.3 M¢ hâa Elgamal 18

Ch÷ìng 2 Mët sè giao thùc t½nh to¡n h¼nh håc a b¶n an to n 21

2.1 C¡c kh¡i ni»m v  mæ h¼nh 21

2.2 Mët sè thuªt to¡n v  giao thùc bê trñ 23

2.2.1 M¢ Pallier 23

2.2.2 Giao thùc trëi 26

2.2.3 Giao thùc vectì trëi 29

2.3 Giao thùc t½ch væ h÷îng 32

2.4 Giao thùc h¼nh håc hai b¶n an to n 39

2.4.1 Giao thùc chùa iºm hai b¶n an to n 39

2.4.2 Giao thùc giao nhau hai b¶n an to n 41

Ch÷ìng 3 Mët sè v½ dö giao thùc t½nh to¡n h¼nh håc a b¶n an to n 45

3.1 Mët sè v½ dö m¢ çng c§u 45

3.1.1 V½ dö m¢ Pallier 45

3.1.2 V½ dö giao thùc kiºm tra b¬ng nhau ri¶ng t÷ 46

3.1.3 V½ dö giao thùc trëi 48

3.1.4 V½ dö giao thùc vectì trëi 49

3.1.5 Giao thùc truy·n khæng bi¸t 50

3.2 V½ dö giao thùc t½ch væ h÷îng 54

3.2.1 V½ dö giao thùc t½ch væ h÷îng hai b¶n an to n 1 54

3.2.2 V½ dö giao thùc ho¡n và 55

3.2.3 V½ dö giao thùc t½ch væ h÷îng hai b¶n an to n 2 57

3.3 V½ dö b i to¡n chùa iºm 59

3.4 V½ dö b i to¡n giao cõa hai a gi¡c 60

3.5 ¡nh gi¡ t½nh an to n 63

K¸t luªn 65

Danh möc t i li»u tham kh£o 66

LÍI MÐ †U

1 L½ do chån · t i

Trong cuëc sèng ng y nay, nhu c¦u trao êi thæng tin, dú li»u giúac¡c cì quan, tê chùc, cæng ty, luæn ái häi ng y c ng cao, ch½nh v¼ vªyvi»c giú b½ mªt c¡c thæng tin l  mët trong nhúng v§n · quan trång h ng

¦u, khi thüc hi»n k¸t nèi m¤ng nëi bë cõa c¡c cì quan, tê chùc, cæng tyvîi Internet, Ng y nay, c¡c bi»n ph¡p an to n thæng tin cho m¡y t½nhc¡ nh¥n công nh÷ c¡c m¤ng nëi bë ¢ ÷ñc nghi¶n cùu v  triºn khai.Tuy nhi¶n, v¨n th÷íng xuy¶n câ c¡c m¤ng bà t§n cæng, câ c¡c tê chùc bà

¡nh c­p thæng tin, g¥y n¶n nhúng hªu qu£ væ còng nghi¶m trång, khi

â ái häi nhúng ng÷íi tham gia giú b½ mªt ph£i thªt sü tin t÷ðng v onhau, mët quy¸t ành cõa ng÷íi n y công ph£i l  sü quy¸t ành cõa t§tc£ nhúng ng÷íi tham gia Hi»n nay ¢ câ nhi·u bi»n ph¡p nh¬m n¥ngcao b£o mªt v  an to n thæng tin nh¬m phöc vö cho nhu c¦u v  möc

½ch cõa con ng÷íi trong vi»c giú b½ mªt, giao thùc chia s´ b½ mªt l  mëttrong nhúng bi»n ph¡p giú b½ mªt ÷ñc £m b£o an to n Bði trong chias´ b½ mªt th¼ thæng tin quan trång khæng giao cho mët ng÷íi n­m giú,

m  thæng tin â ÷ñc chia th nh nhi·u m£nh, trao cho méi ng÷íi giúmët m£nh hay mët sè m£nh, thæng tin quan trång ch¿ ÷ñc xem l¤i, khitªp nhúng ng÷íi ÷ñc ch¿ ành tr÷îc ·u nh§t tr½ V¼ vªy m  mët ng÷íitham gia giú b½ mªt cõa ri¶ng m¼nh v  khæng thº bi¸t ÷ñc b½ mªt cõang÷íi kh¡c Do â nâ £m b£o vi»c t½nh to¡n a b¶n ÷ñc an to n.Giao thùc trong t½nh to¡n h¼nh håc a b¶n an to n l  mët l¾nh vücmîi m´ cõa an to n b£o mªt thæng tin, nh÷ng hùa hµn s³ mang ¸n

nhúng ùng döng rëng kh­p ð t§t c£ c¡c l¾nh vüc, c¡c ng nh ngh· c¦n

£m b£o giú b½ mªt

Ch¯ng h¤n, mët ng÷íi câ mët iºm v  ng÷íi kia câ mët a gi¡c lçi,hai ng÷íi c¦n xem iºm â câ n¬m trong a gi¡c lçi khæng, m  khængb¶n n o ti¸t lë thæng tin cõa m¼nh cho b¶n kia B i to¡n â thuëc l¾nhvüc t½nh to¡n h¼nh håc a b¶n an to n

÷ñc sü gñi þ cõa TS Tr¦n V«n Dông h÷îng d¨n v  nhªn th§y t½nhthi¸t thüc cõa v§n · em ¢ chån · t i Nghi¶n cùu mët sè giaothùc trong t½nh to¡n h¼nh håc a b¶n an to n º l m nëi dungcho luªn v«n

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

L m th¸ n o º chia s´ ÷ñc thæng tin mªt düa tr¶n c¡c thuªt to¡n

v  c¡c giao thùc t½nh to¡n a b¶n an to n nâi chung v  trong l¾nh vüch¼nh håc nâi ri¶ng

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu cì sð lþ thuy¸t v  mët sè giao thùc t½nh to¡n trong h¼nhhåc a b¶n an to n, cö thº ÷a ra gi£i ph¡p cho c¡c b i to¡n chùa iºm,giao hai a gi¡c lçi, t¼m c°p iºm g¦n nh§t (vîi méi tªp iºm thuëc v·mët b¶n), t¼m bao lçi chung

4 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

èi t÷ñng nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu c¡c giao thùc trong t½nh to¡n h¼nh håc a b¶n an to n v ùng döng

Ph¤m vi nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu tr¶n cì sð to¡n håc v  tr÷íng sè modulo, c¡c giao thùc

t½nh to¡n a b¶n an to n v  c¡c v½ dö minh ho¤.

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu lþ thuy¸t, k¸t hñp vîi c¡c gi£i ph¡p thüc t¸ v  ¡p döng

v o thüc ti¹n cuëc sèng

6 Dü ki¸n âng gâp mîi

Têng quan v· cì sð lþ thuy¸t T½nh to¡n h¼nh håc a b¶n an to n v tr¼nh b y gi£i ph¡p thæng qua c¡c giao thùc v  c¡c t½nh to¡n cö thº vîi

sè li»u cõa m¼nh

Ch÷ìng 1 C¡c ki¸n thùc cì sð

Ch÷ìng n y s³ tr¼nh b y c¡c l½ thuy¸t º bê trñ v  x¥y düng c¡c giaothùc t½nh to¡n h¼nh håc a b¶n an to n nh÷: modulo, c¡c b i to¡n logaritríi r¤c, c¡c ành l½ Euler, Fermat; Chú k½ i»n tû DSA, m¢ Elgamal

1.1 Sè håc Modulo

C¡c sè nguy¶n tè v  nguy¶n tè còng nhau

ành ngh¾a 1.1 Cho sè nguy¶n d÷ìng n, hai sè nguy¶n a, b ÷ñc gåi

l  çng d÷ theo mæ-un n n¸u chóng câ còng sè d÷ khi chia cho n i·u

n y t÷ìng ÷ìng vîi hi»u a − b chia h¸t cho n

K½ hi»u a, b çng d÷ theo mæ-un n l : a ≡ b(modn)

T½nh ch§t 1.1.1 Modulo sè håc công nh÷ sè håc b¼nh th÷íng, bao gçmc¡c ph²p to¡n cëng, nh¥n câ t½nh giao ho¡n, k¸t hñp v  ph¥n phèi M°tkh¡c, gi£m méi gi¡ trà trung gian trong suèt qu¡ tr¼nh t½nh to¡n b¬ngc¡ch thay c¡c sè b¬ng c¡c sè t÷ìng ÷ìng vîi chóng theo modulo:

(a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n

(a − b) mod n = ((a mod n) − (b mod n)) mod n

(a.b) mod n = ((a mod n).(b mod n)) mod n

(a.(b + c)) mod n = ((a.b) mod n) + ((a.c) mod n) mod n

ành ngh¾a 1.3 Sè nguy¶n tè còng nhau

Hai sè nguy¶n d÷ìng a, b ÷ñc gåi l  nguy¶n tè còng nhau n¸u ÷îcchung lîn nh§t cõa chóng b¬ng 1

K½ hi»u: Gcd(a, b) = 1 ho°c ng­n gån l  (a, b)=1

V½ dö 1.3 21 v  25 l  hai sè nguy¶n tè còng nhau v¼ Gcd(21, 25) = 1.C¡ch d¹ nh§t º t½nh to¡n ra ÷îc sè chung lîn nh§t cõa hai sè l  nhí

v o thuªt to¡n Euclid

ành ngh¾a 1.4 Sè nghàch £o modulo

N¸u sè nguy¶n d÷ìng n v  sè nguy¶n a nguy¶n tè còng nhau th¼tçn t¤i duy nh§t mët sè x ∈ {0, 1, 2, , n − 1} sao cho a.x ≡ 1(modn).

Sè x n y ÷ñc gåi l  nghàch £o cõa a theo modulo n v  kþ hi»u x =

V½ dö 1.4 Nghàch £o cõa 5 modulo 17 l  7 v¼ 35 ≡ 1(mod17) Vªy

T½nh ch§t 1.1.2 Sè nghàch £o modulo câ c¡c t½nh ch§t sau

theo modulo n v  ch¿ ÷ñc x¡c ành khi b câ nghàch £o theo modulo

n

* Gi£ sû d = Gcd(a, n) Ph÷ìng tr¼nh çng d÷ ax = b mod n cânghi»m x, n¸u v  ch¿ n¸u d chia h¸t b, trong tr÷íng hñp c¡c nghi»mn¬m trong kho£ng 0 ¸n n − 1, th¼ c¡c nghi»m çng d÷ theo modulon

èi vîi óng mët sè gi¡ trà i n o â s³ thäa m¢n i·u ki»n ia mod n = 1.Vªy ta t¼m ÷ñc i l  ph¦n tû nghàch £o cõa a v  i l  duy nh§t

H» qu£ 1.1 N¸u nh÷ p l  sè nguy¶n tè, th¼ b§t ký sè a sao cho 0 < a < pluæn tçn t¤i ph¦n tû nghàch £o theo modulo p.

H m Euler t¤i sè nguy¶n d÷ìng n, kþ hi»u ϕ(n) ÷ñc t½nh b¬ng sè c¡c

sè nguy¶n tø 1 ¸n n m  nguy¶n tè còng nhau vîi n

Ta cæng nhªn mët sè t½nh ch§t quan trång cõa h m Euler



pk



B£ng d÷îi ¥y tr¼nh b y 30 gi¡ trà ¦u ti¶n cõa ϕ(n) Gi¡ trà ϕ(1) l khæng x¡c ành, nh÷ng coi r¬ng nâ b¬ng 1.

Mët sè gi¡ trà cõa h m Euler ϕ(n)

ành lþ 1.3 (ành lþ Euler) N¸u n l  sè nguy¶n d÷ìng b§t k¼ v  a

¥y l  têng qu¡t hâa cõa ành lþ nhä Fermat, v¼ n¸u n = p l  sènguy¶n tè th¼ ϕ(p) = p − 1.

nguy¶n tè còng nhau vîi n

aaϕ(n)

Suy ra

a1a2 aϕ(n) ≡ (aa1)(aa2) (aaϕ(n)) ≡ aϕ(n)a1a2 aϕ(n)(modn)

ành lþ n y câ thº ÷ñc sû döng º d¹ d ng gi£n ÷îc vîi mæun nr§t lîn ành lþ Euler công l  ành lþ cì b£n cõa c¡c h» thèng m¢ hâaRSA

ành lþ ph¦n d÷ Trung Hoa

ành lþ ph¦n d÷ trung hoa l  t¶n ng÷íi ph÷ìng t¥y °t cho ành

lþ n y Ng÷íi Trung Quèc gåi â l  b i to¡n H n T½n iºm binh Töctruy·n r¬ng khi H n T½n iºm qu¥n sè, æng cho qu¥n l½nh x¸p h ng 3,

h ng 5, h ng 7, rçi b¡o c¡o sè d÷ Tø â æng t½nh ÷ñc ch½nh x¡c qu¥n

sè ¸n tøng ng÷íi

ành lþ ph¦n d÷ Trung Hoa ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau:

Chùng minh:

Câ hai v§n · c¦n chùng minh: Tr÷îc ti¶n l  sü tçn t¤i nghi»m cõa

b i to¡n v  sau â l  chùng minh t½nh duy nh§t cõa nghi»m

B¥y gií chóng ta chùng minh sü tçn t¤i nghi»m v  t½nh duy nh§tnghi»m

Theo lþ thuy¸t çng d÷ tçn t¤i u v  v sao cho

hiºn nhi¶n theo bê · Berzout ð tr¶n Nh÷ vªy tçn t¤i x thäa m¢n h»ph÷ìng tr¼nh çng d÷ tr¶n

B¥y gií ta s³ chùng minh t½nh duy nh§t cõa nghi»m Thªt vªy, gi£

Do æi mët nguy¶n tè còng nhau n¶n ta ph£i câ x ≡ x0(modm1 mn).

Nh÷ vªy x câ d¤ng: x = 68 + 105k (k l  mët sè nguy¶n b§t ký)

C«n nguy¶n thu v  logarit ríi r¤c

ành ngh¾a 1.6 (C§p cõa mët sè nguy¶n)

Cho n > 1 v  a l  mët sè nguy¶n d÷ìng, (a, n) = 1 Sè nguy¶n d÷ìng

ành ngh¾a 1.7 (C«n nguy¶n thõy)

th¼ a ÷ñc gåi l  mët c«n nguy¶n thõy modulo n

V½ dö 1.12 3 l  mët c«n nguy¶n thõy modulo 10 v¼ (3, 10) = 1, ϕ(10) =

T½nh ch§t 1.1.3 Ta câ c¡c t½nh ch§t sau

T½nh ch§t 1: N¸u a l  c«n nguy¶n thõy (modn) th¼ måi sè còng lîp vîi

l  h» th°ng d÷ thu gån (modn) (lóc n y h = ϕ(n))

T½nh ch§t 3: N¸u p l  mët sè nguy¶n tè th¼ câ óng ϕ(p − 1) c«n nguy¶nthõy (modp)

T½nh ch§t 4: N¸u p l  mët sè nguy¶n tè l´ v  a l  mët c«n nguy¶n thõy

T½nh ch§t 5: Cho m l  mët sè nguy¶n, m > 1 khi â m câ c«n nguy¶n

l  mët sè nguy¶n tè l´)

Logarit ríi r¤c

Logarit ríi r¤c câ ùng döng trong h» mªt m¢ khâa cæng khai H» mªtm¢ Elgamal.

Cho p l  mët sè nguy¶n tè X²t nhâm nh¥n c¡c sè nguy¶n modulo p:

N¸u ta t½nh luÿ thøa bªc k cõa mët sè trong nhâm rçi rót gån theomodulo p th¼ ta ÷ñc mët sè trong nhâm â Qu¡ tr¼nh n y ÷ñc gåi l luÿ thøa ríi r¤c modulo p

Logarit ríi r¤c l  ph²p t½nh ng÷ñc l¤i

º gi£i chóng ta ph£i thæng qua ph²p thû l¦n l÷ñt t½nh lôy thøa ríi

v  t¼m ÷ñc k = 4

Nh÷ vªy b i to¡n logarit ríi r¤c l  b i to¡n khâ

1.2 Chú k½ i»n tû DSA

Chú kþ i»n tû ÷ñc sû döng trong c¡c giao dàch i»n tû Xu§t ph¡t

tø thüc t¸, chú kþ i»n tû công c¦n £m b£o c¡c chùc n«ng: x¡c ành

÷ñc ng÷íi chõ cõa mët dú li»u n o â: v«n b£n, £nh, video, dú li»u

â câ bà thay êi hay khæng

1 Chån sè nguy¶n tè 160 bit q

2 Chån mët sè nguy¶n tè L bit p, sao cho p = qz + 1 vîi sè nguy¶n z

n o â, 512 ≤ L ≤ 1024 , L chia h¸t cho 64

• T½nh gi¡ trà y = gx(modp).

º kþ mët thæng b¡o m ng÷íi sû döng thüc hi»n c¡c b÷îc sau:

- Chån khâa ng¨u nhi¶n 0 < k < q dòng xong xâa ngay v  khæng dòngnúa

ph¦n cõa khâa) v  sè b½ mªt ng¨u nhi¶n k (gi¡ trà º kþ bùc i»n) Vi»cx¡c minh câ thº thüc hi»n ÷ñc ch¿ vîi c¡c thæng tin ÷ñc cæng khai.Sinh khâa

Alice t¤o mët mæ t£ hi»u qu£ cõa mët nhâm xyclic G, c§p q vîi ph¦n tû

Alice ti¸t lë y còng vîi mæ t£ (G, q, g, y) l  khâa cæng khai Alice giú x

l  khâa ri¶ng

T¤o khâa

º m¢ hâa thæng i»p m, Alice dòng khâa cæng khai (G, q, g, y), Bob

t½nh: c2 = m0.s

Bob gûi b£n m¢ (c1, c2) = (gr, m0.yr) ¸n Alice.

÷ñc sinh r cho méi thæng i»p º l m an to n hìn â l  l½ do r ÷ñcgåi l  khâa khæng b·n

Gi£i m¢

n¸u G l  mët nhâm con cõa nhâm nh¥n c¡c sè nguy¶n mæ-un n

Thuªt to¡n gi£i m¢ t¤o ra thæng i»p dü ành

c2.t−1 = (m0.s).c1−x = m0.yr.g−xr = m0.gxr.g−xr = m0

Alice chån mët sè ng¨u nhi¶n l m khâa ri¶ng: x = 47 Cæ §y t½nh:

Khâa cæng khai cõa Alice l : (p, g, y) v  gûi ¸n Bob Khâa ri¶ng x ð

¥y ch¿ Alice bi¸t

Bob t¤o ra thæng i¶p: m = 77

Tâm t­t ch÷ìng 1: Trong ch÷ìng n y ¢ tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc

cì b£n nh÷: sè håc modulo, sè nghàch £o modulo, ành l½ ph¦n d÷ TrungHoa, ành l½ Fermat, ; chú k½ i»n tû DSA, M¢ Elgamal l m n·n t£ngcho c¡c giao thùc trong luªn v«n n y

Ch÷ìng 2 Mët sè giao thùc t½nh to¡n h¼nh

håc a b¶n an to n

2.1 C¡c kh¡i ni»m v  mæ h¼nh

Giao thùc: Tªp hñp nhúng quy t­c, quy ÷îc truy·n thæng ÷ñc gåi

l  giao thùc cõa m¤ng (protocol) Mët tªp hñp ti¶u chu©n º trao êithæng tin giúa hai h» thèng m¡y t½nh ho°c hai thi¸t bà m¡y t½nh vîi nhau

÷ñc gåi l  giao thùc C¡c giao thùc cán ÷ñc gåi l  c¡c nghi thùc ho°c

ành ÷îc cõa m¡y t½nh

Sü ph¡t triºn cõa Internet ¢ mð ra nhúng cì hëi hñp t¡c t½nh to¡n

to lîn, nìi m  c¡c c¥u tr£ líi phö thuëc v o c¡c y¸u tè ¦u v o ri¶ngcõa c¡c b¶n ri¶ng bi»t Nhúng t½nh to¡n thªm ch½ câ thº x£y ra giúa c¡chai b¶n khæng ch¥n thªt V§n · l  hiºn nhi¶n, n¸u i·u ki»n cho ph²pti¸n h nh c¡c t½nh to¡n cõa mët b¶n tin t÷ðng r¬ng s³ bi¸t c¡c ¦u v o

tø t§t c£ nhúng ng÷íi tham gia; tuy nhi¶n n¸u bèi c£nh khæng cho ph²p

i·u n y th¼ c¡c kÿ thuªt t½nh to¡n a b¶n an to n trð n¶n r§t phò hñp

v  câ thº cung c§p c¡c gi£i ph¡p húu ½ch

Trong nëi dung n y chóng tæi nghi¶n cùu c¡c b i to¡n t½nh to¡n h¼nhhåc kh¡c nhau câ thº ÷ñc gi£i quy¸t trong mët mæi tr÷íng hñp t¡c,trong â hai b¶n c¦n ph£i gi£i quy¸t mët b i to¡n h¼nh håc düa tr¶n dúli»u chung cõa hå, nh÷ng khæng muèn ti¸t lë nhúng dú li»u c¡ nh¥n cho

b¶n kia Mët sè b i to¡n chóng tæi gi£i quy¸t trong khuæn khê n y l :

B i to¡n 1: Chùa iºm

Alice câ 1 iºm z v  Bob câ mët a gi¡c P Hå muèn t¼m hiºu xemli»u iºm z n y câ n¬m b¶n trong a gi¡c P hay khæng? Alice khængmuèn Bob hay ai kh¡c bi¸t b§t k¼ thæng tin v· iºm z, v  t÷ìng tü th¸Bob khæng muèn b§t k¼ ai kh¡c bi¸t thæng tin v· h¼nh a gi¡c P Hìnth¸ núa Alice v  Bob ch¿ câ thº t¼m hiºu thæng tin v· và tr½ t÷ìng èicõa iºm z v  a gi¡c P ; v½ dö nh÷ vi»c z ð ph½a T¥y B­c cõa P ho°c z

l  g¦n mët trong c¡c ÷íng bi¶n giîi cõa P,

B i to¡n 2: Sü giao nhau

Alice câ mët a gi¡c A, v  Bob câ mët a gi¡c B; c£ hai ·u muènbi¸t li»u A v  B giao nhau? Alice khæng muèn Bob hay b§t cù ai kh¡cbi¸t b§t ký thæng tin v· h¼nh d¤ng A, công nh÷ Bob khæng muèn ti¸t lëthæng tin v· h¼nh d¤ng cõa h¼nh B Hìn núa, trong tr÷íng hñp khængc¦n ai bi¸t ÷ñc và tr½ t÷ìng èi giúa A v  B; n¸u hai vòng n y giaonhau, khæng ai bi¸t nìi chóng giao nhau

Ph¦n lîn c¡c ëng cì thóc ©y º nghi¶n cùu c¡c v§n · sü giao nhau

£m b£o ri¶ng t÷ xu§t ph¡t tø thüc t¸ ìn gi£n r¬ng hai èi t÷ñng t÷nh¥n khæng thº chi¸m còng mët và tr½ còng mët lóc Mët v½ dö trong

â hai cæng ty câ k¸ ho¤ch mð rëng thà ph¦n t¤i c¡c khu vüc nh§t ành,nh÷ng, hå khæng muèn c¤nh tranh trong khu vüc Nhúng g¼ hå thüc sümuèn bi¸t l  li»u khu vüc ÷ñc lüa chån cõa hå tròng vîi l¨n nhau haykhæng Bði v¼ thæng tin v· khu vüc ÷ñc lüa chån ri¶ng cõa m¼nh l  r§t

câ gi¡ trà cho tøng cæng ty, c£ hai ·u khæng muèn ti¸t lë cho c¡c b¶nkh¡c

B i to¡n 3: Gh²p æi g¦n nh§t

Alice câ M iºm ri¶ng trong m°t ph¯ng, Bob câ N iºm ri¶ng trongm°t ph¯ng Alice v  Bob muèn còng nhau t¼m hai iºm trong sè M + N

iºm, sao cho kho£ng c¡ch cõa chóng l  nhä nh§t

B i to¡n 4: Bao lçi

Alice câ M iºm ri¶ng trong m°t ph¯ng, Bob câ N iºm kh¡c trongm°t ph¯ng Alice v  Bob muèn còng nhau t¼m ra bao lçi cho M + N

iºm â Tuy nhi¶n, c£ Alice hay Bob khæng muèn ti¸t lë th¶m b§t kýthæng tin cho b¶n kia ngo i vi»c câ thº bi¸t ÷ñc k¸t qu£

T§t nhi¶n, c¡c b i to¡n ð tr¶n công nh÷ nhúng b i to¡n t½nh to¡nh¼nh håc kh¡c, tr÷íng hñp °c bi»t l  b i to¡n t½nh to¡n h¼nh håc ab¶n an to n Nâi chung, mët b i to¡n t½nh to¡n a b¶n an to n thäathuªn vîi t½nh to¡n mët h m vîi c¡c y¸u tè ¦u v o trong m¤ng l÷îiph¥n phèi, nìi m  méi ng÷íi tham gia n­m giú mët trong c¡c y¸u tè

¦u v o, ch­c ch­n r¬ng khæng câ nhi·u hìn thæng tin ÷ñc ti¸t lë ¸nc¡c b¶n tham gia trong qu¡ tr¼nh t½nh to¡n ngo i vi»c câ thº t½nh to¡n

tø ¦u v o v  ¦u ra cõa c¡c b¶n

2.2 Mët sè thuªt to¡n v  giao thùc bê trñ

2.2.1 M¢ Pallier

Chån hai sè ng¨u nhi¶n p v  q nguy¶n tè v  kh¡c nhau sao cho

gcd(pq, (p − 1)(q − 1)) = 1

T½nh ch§t n y ÷ñc £m b£o n¸u hai sè n y b¬ng nhau

T½nh n = pq, λ = lcm(p − 1, q − 1) vîi lcm l  bëi chung nhä nh§t

cõa a chia cho b.

Khâa m¢ cæng khai l  (n, g) v  khâa m¢ ri¶ng l  (λ, µ) vîi

C¡c ch÷ìng tr¼nh m¢ hâa Paillier khai th¡c logarithms ríi r¤c nh§t

!

2

!

Do â vîi g = n + 1, câ

Tuy nhi¶n vîi m¢ Pallier cõa hai thæng i»p, khæng câ c¡ch n o ºt½nh mët m¢ hâa cõa t½ch hai thæng i»p n y m  khæng câ khâa ri¶ng.2.2.2 Giao thùc trëi

Þ t÷ðng ch½nh cõa ph²p x¥y düng l  º ÷a b i to¡n giao thùc v· b ito¡n giao tªp hñp Chóng ta sû döng hai m¢ hâa °c bi»t, m¢ hâa 0 v m¢ hâa 1

x

bði m¢ hâa 1 v  ynyn−1 yi+1 ∈ S0

x v  S0

y câmët ph¦n tû chung

x v  S0

y.Gi£ sû (G, E, H) l  mët ch÷ìng tr¼nh m¢ hâa çng c§u nh¥n Alice

sû döng 2.n b£ng T [i, j] , i ∈ {0, 1} , 1 ≤ j ≤ n, º biºu thà ¦u v o

V¼ khi Alice khæng c¦n ph£i bi¸t r (méi möc sû döng mët r ri¶ng bi»t),

x, Bob t½nh: ct = T [tn, n] T [tn−1, n − 1] .T [ti, i]

çng c§u

Düa tr¶n ph¥n t½ch tr¶n, giao thùc ti¸n h nh nh÷ sau:

+) Ch¤y G º chån mët c°p khâa (pk, sk) cho (E, D)

+) Chu©n bà b£ng 2 × n : T [i, j], i ∈ {0, 1}, 1 ≤ j ≤ n sao cho T [xi, i] =

+) Gûi T ¸n Bob

Alice v  Bob (sð húu mët bi¸n ri¶ng t÷ l¦n l÷ñt l  x v  y), hå muènx¡c ành gi¡ trà thªt cõa thuëc “x > y” m  khæng ti¸t lë b§t ký dú li»uc¡ nh¥n cõa hå, ngo¤i trø nhúng g¼ ÷ñc hiºu ng¦m bði k¸t qu£

2.2.3 Giao thùc vectì trëi

ành ngh¾a 2.1 Vectì trëi

Cho A = (a1, a2, , an) v  B = (b1, b2, , bn) N¸u vîi måi i =

B i to¡n 4 (B i to¡n trëi vectì hai b¶n an to n) Alice câ 1

muèn bi¸t A câ trëi B hay khæng? Chó þ trong tr÷íng hñp A khæng trëi

Giao thùc: Tr÷îc ti¶n chóng ta ph¡c th£o giao thùc, sau â th£o luªnv· c¡c b÷îc chi ti¸t

Giao thùc 4 (Giao thùc vectì trëi hai b¶n an to n)

(b1, b2, , bn)

1 ¦u v o ngöy trang: Dòng k¾ thuªt ngöy trang Alice cho ¦u v o

(b01, b02, , b04n) Cho VA = (1, , 1, 0, , 0) vîi 2n sè 1 v  2n sè 0

2 Ho¡n và ri¶ng: Bob sinh ra 1 ho¡n và π v  mët vectì ng¨u nhi¶n R

khæng trëi B (chó þ: sau n y chóng ta sû döng giao thùc n y trong giaothùc giao nhau, b÷îc n y câ thº bä qua).

¦u ra: N¸u b÷îc kiºm tra trëi c¦n bà bä qua, Alice xu§t ¦u ra U v 

kiºm tra trëi

B÷îc 1: ¦u v o ngöy trang

thº mð rëng ra vîi c¡c sè khæng nguy¶n ¦u v o ngöy trang ÷ñc s­px¸p nh÷ sau:

A0 = (2a1, , 2an, (2a1 + 1), , (2an + 1), −2a1, , −2an, (2a1 + 1), ,

B0 = (2b1 + 1, , 2bn+ 1, 2b1, , 2bn, −(2b1 + 1), , −(2bn + 1), −2b1, , −2bn)

Möc ½ch cõa c¡c ¦u v o ngöy trang l  nhªn ÷ñc mët sè nh÷ nhau

khổng trởi B (chú ỵ: sau ny sỷ dửng giao thực ny giaothực giao nhau, bữợc ny cõ... gẳ ữủc hiu ngƯm bi kát quÊ

2.2.3 Giao thực vectỡ trëi

ành ngh¾a 2.1 Vectì trëi

Cho... hai b¶n an to n) Alice câ

mn bi¸t A câ trëi B hay khỉng? Chú ỵ trữớng hủp A khổng trởi

Giao thực: Trữợc tiản phĂc thÊo giao thực, sau õ thÊo luênvà cĂc bữợc chi tiát

Giao thực