Tìm GTLN và GTNN của hàm nhiều biến sử dụng BĐT và tính đơn điệu của hàm số

GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTUYỂN TẬP ĐỀ THIVÀ ĐÁP ÁN ÔNLUYỆN THPT QUỐCGIA MÔN HÓA HỌC2007 2016TUYỂN TẬP ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN HÓA HỌC NB+hưa quý đọc giả, như chúng ta đã biết, kì thi Trung học phổthông Quốc gia bắt đầu từ năm 2017 sẽ đổi sang thi trắc nghiệmtất cả các môn (trừ môn Ngữ Văn) và đề thi sẽ được lấy từ ngânhàng đề thi THPT Quốc gia do Bộ biên soạn mới hoàn toàn. Nhưng thiếtnghĩ, dù Bộ có biên soạn đề thi thế nào đi nữa thì lượng kiến thức cũngsẽ xoay quanh những kiến thức ta được học ở nhà trường, như thế thìnhững câu hỏi của Bộ cũng sẽ tương tương những câu hỏi đã ra trongnhững năm trước đó. Vì thế ta có thể chuẩn bị kĩ càng kiến thức chomình bằng cách tìm hiểu và làm những đề thi của những năm trước thìchắc chắn khi vào phòng thi, bạn có thể tự tin đối diện vói cái đề mà thốtlên rằng: “Ôi dào Tưởng thế nào chứ thế này thì đối với mình là khoai”.Và để các bạn dễ dàng hơn trong việc tìm kiếm tài liệu của môn HóaHọc, tôi đã biên soạn nên cuốn sách này trên cơ sở những đề thi của Bộtừ khi môn Hóa chuyển sang thi trắc nghiệm tức năm 2007 đến nay, vàđáp án cũng được lấy từ đáp án của Bộ nên độ tin cậy là 100%. Nếu cácbạn bỏ thời gian một ngày khoảng một tiếng để làm cuốn sách này thì tôidám chắc trình độ Hóa Học của các bạn sau 3 tháng sẽ khiến bạn phảibất ngờ. Tôi đã làm và các bạn cũng hãy thử đi.Tác giảNguyễn BìnhTTrang 14 Mã đề thi 364SỞ GDĐT CẦN THƠTTLT ĐH DIỆU HIỀNSố 27 – Đường số 1 – KDC MetroNinh Kiều – TP.Cần ThơĐT: 0949.355.366 – 0964.222.333ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA THÁNG 02 2017Môn: Hóa HọcThời gian làm bài: 50 phút.Họ, tên:...............................................................Số báo danh:........................... Mã đề

Chuyên đề

TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

BẰNG CÁCH KẾT HỢP BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các biểu thức 3 biến thường được

chọn làm bài khó nhất trong kỳ thi tuyển sinh đại học những năm gần đây Phương pháp thường sử dụng

là kết hợp bất đẳng thức đại số và tính đơn điệu của hàm số để tìm GTLN và GTNN

II PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Bước 1: Biến đổi biểu thức nhiều biến về biểu thức có thể đặt ẩn phụ để đưa về một biến

Kỹ thuật biến đổi thường dùng là biến đổi đồng nhất hoặc ước lượng (giảm biến).

Bước 2: Sử dụng các bất đẳng thức đại số (bất đẳng thức cổ điển, bất đẳng thức phụ) để tìm điều kiện của

ẩn phụ (thường là điều kiện ĐÚNG).

Bước 3: Tìm GTLN, GTNN bằng cách sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu của hàm một biến

(khảo sát hàm của ẩn phụ)

Lưu ý: Với các biểu thức đối xứng 3 biến a b c (tức là các biểu thức không thay đổi với mọi hoán vị của , ,

ba biến a b c ) ta có thể đặt một trong các biểu thức sau là ẩn phụ , ,

a b c ab bc ca abc a+ + ; + + ; ; 2+ +b2 c2

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG DÙNG

đẳng thức (Điểm rơi)

III CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

1 Ba biến đối xứng

Dạng 1: Biến đổi đồng nhất

Ví dụ 1 Cho a b c không âm thỏa mãn , , a2 + + =b2 c2 3

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ab bc ca 5

a b c

Hướng dẫn giải

+ P là biểu thức đối xứng theo 3 biến , , a b c

+ Biến đổi P theo biểu thức a b c+ +

+ Đặt ẩn phụ t a b c= + + và đánh giá chính xác giá trị của biến t

t P

Dấu “=” ở vế trái của (1) xảy ra khi a b c= = =1

B3• Tìm GTNN và GTNN của hàm một biến, từ đó suy ra GTNN và GTLN của P

Xét hàm số

2 5 5 2 5 5( )

Từ bảng biến thiên suy ra: 5 3 ( ) 14

3 ≤ f t ≤ 3 , ∀ ∈ t  3;3 ⇒5 33 ≤ ≤P 143 (2)

Dấu “=” ở VT của (2) xảy ra khi a= 3; b c= =0 và các hoán vị

Dấu “=” ở VP của (2) xảy ra khi a b c= = =1

2

t∈ − 

+ Kết quả

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2 đạt khi a= ±1;b c= =0 và các hoán vị

Giá trị lớn nhất của biểu thức P là 7

3 đạt khi

33

a b c= = = ± r

Ví dụ 2 Cho các số thực không âm x y z thỏa mãn , , 3(x2+ +y2 z2)+xy yz zx+ + =12

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

+ P là biểu thức đối xứng theo 3 biến , , x y z

+ Biến đổi biểu thức P theo x2+ +y2 z2

+ Đặt ẩn phụ t x= 2+ +y2 z2 và đánh giá chính xác giá trị của biến t

Do x2+ + ≥y2 z2 xy yz zx+ + nên từ giả thuyết ta lại suy ra được

12 3(≤ x2 + +y2 z2)+x2 + +y2 z2 ⇒x2+ + ≥y2 z2 3

⇒24 5(− x2 + +y2 z2) 9≤

⇒ 24 5(− x2+ +y2 z2) 3≤ (2)

Dấu “=” ở (2) xảy ra khi x y z= = =1 Suy ra: t≤3

Suy ra: 2≤ ≤t 3 Vậy t∈  2;3

B3• Tìm GTNN và GTNN của hàm một biến, từ đó suy ra GTNN và GTLN của P

Từ bảng biến thiên suy ra: 2≤ f t( ) 4≤ , ∀ ∈  t 2;3 ⇒ ≤ ≤2 P 4 (3)

Dấu “=” ở VT của (3) xảy ra khi đạt khi x=2;y z= =0 và các hoán vị

Dấu “=” ở VP của (3) xảy ra khi đạt khi x y z= = =1

B4•Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2 đạt khi x=2;y z= =0 và các hoán vị

Giá trị lớn nhất của biểu thức P là 4 đạt khi x y z= = =1 r

Ví dụ 3 Cho a b c là các số thực dương thỏa mãn , , a b c+ + =3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2

+ P là biểu thức đối xứng theo 3 biến , , a b c

+ Biến đổi biểu thức P theo a2+ +b2 c2

+ Đặt ẩn phụ t a= 2 + +b2 c2 và đánh giá chính xác giá trị của biến t

Suy ra: 3≤ <t 9 Vậy t∈ 3;9)

B3• Tìm GTNN của hàm một biến, từ đó suy ra GTNN của P

2

Từ bảng biến thiên suy ra: ( ) 7

+ P là biểu thức đối xứng theo 3 biến , , x y z

+ Biến đổi biểu thức P theo xy yx zx+ +

+ Đặt ẩn phụ t xy yx zx= + + và đánh giá chính xác giá trị của biến t

Do 1 ( )2 3

3

xy xz zx+ + ≤ x y z+ + = (2)

Dấu “=” ở (2) xảy ra khi x y z= = =1 Suy ra: t≤3

Suy ra: 2≤ ≤t 3 Vậy t∈  2;3

B3• Tìm GTLN và GTNN của hàm một biến, từ đó suy ra GTLN và GTNN của P

Từ bảng biến thiên suy ra: 2 ( ) 1

Dấu “=” của VP ở (2) xảy ra khi x=2;y=1;z=0và các hoán vị

B4•Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2− đạt khi x y z= = =1

Giá trị lớn nhất của biểu thức P là 1

+ Khai triển và thu gọn (x y z+ + )2−xy yz− +2 sẽ được biểu thức có liên quan đến xy yz+ +2zx

+ Đặt ẩn phụ t xy yz= + +2zx và đánh giá chính xác giá trị của biến t

Từ bảng biến thiên suy ra: f t( )≥ −3, ∀ ∈ − +∞t  1; ) ⇒ ≥ −P 3 (2)

Dấu “=” ở (2) xảy ra khi 0, 2

+

=+ + +

3 4( )

a b c= = = r

Ví dụ 7 Cho các số thực không âm x y z thỏa mãn , , x2 + + =y2 z2 27

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1( )2 4 ( )3 3( )

Giá trị lớn nhất của biểu thức P là 27 12 3 9 34

Dấu “=” ở VP của (2) xảy ra khi x y z= = =3

Dạng 2: Biến đổi ước lượng (đánh giá)

Ví dụ 8 (Đề thi THPTQG 2015). Cho các số thực a b c, , ∈   1,3 và thỏa mãn điều kiện a b c+ + =6

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

- P là biểu thức đối xứng theo 3 biến , , a b c

- Nhớ lại rằng P có thể biểu diễn theo các biểu thức đối xứng cơ bản: a b c+ + hoặc abc hoặc

ab bc ca+ +

- Phân tích dữ kiện a b c, , ∈   1,3 và thỏa mãn điều kiện a b c+ + =6, kết hợp với biểu thức P định ra các

hướng đi

- Đặt ẩn phụ hợp lý, tìm điều kiện ẩn phụ để biểu diễn biểu thức P (hoặc ước lượng biểu thức P ) thành

biểu thức một biến sau đó sử dụng công cụ đạo hàm để giải quyết

2

52

P

ab bc

t t t

ca

+

−+

144'( )

2

Từ bảng biến thiên suy ra: ( ) (11) 160

B4•Kết luận

Giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 160

11 r

Ví dụ 9. Cho a b c không âm thỏa mãn , , a b c+ + =1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3(a b2 2 +b c2 2+c a2 2) 3(+ ab bc ca+ + ) 2+ a2+ +b2 c2

Dấu “=” ở VP của (1) xảy ra khi 1

3

a b c= = = Vậy 0;1

3

t∈   

B3• Tìm GTNN của hàm một biến, từ đó suy ra GTNN của P

− (Sử dụng TABLE của MTCT đánh giá)

Sử dụng đạo hàm cấp hai để xét dấu f t '( )

f t − 0

'( )

f t 0

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2 đạt khi a=1;b c= =0 và các hoán vị r

Ví dụ 10. Cho các số thực x y z, , ∈( )0;1 thỏa mãn xyz= −(1 x)(1−y)(1 )−z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x= 2+ +y2 z2

Hướng dẫn giải

+ Đặt t x y z= + + với t∈( )0;3

+ Xét hàm số ( ) 4 3 2 2 2

27

f t = − t + − +t t với t∈( )0;3 + Kết quả:Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 3

4 đạt khi

1 2

x y z= = = r

Lời giải

B1• Biến đổi biểu thức P về biểu thức có thể đặt ẩn phụ

Ta có: xyz= −(1 x)(1−y)(1 )− ⇔z xy yz zx+ + =2xyz− + + +1 (x y z)

Suy ra: P x= 2+ + = + +y2 z2 (x y z) 2(2 − xy yz zx+ + )

= + +(x y z) 2 22−  xyz− + + +1 (x y z)

= −2 2(x y z+ + + + +) (x y z) 42− xyz

3 2 2 2( ) ( ) 4 3 x y z x y z x y z  + +  − + + + + + −     ≥ (1)

Dấu “=” ở (1) xảy ra khi 1 2 x y z= = = Đặt t x y z= + + thì 4 3 2 2 2 ( ) 27 P≥ − t + − + =t t f t

B2• Tìm điều kiện ĐÚNG cho biến t Do x y z, , ∈( )0;1 ⇒ < <0 t 3 Vậy t∈( )0;3 B3• Tìm GTNN của hàm một biến, từ đó suy ra GTNN của P Xét hàm số ( ) 4 3 2 2 2 27 f t = − t + − +t t với t∈( )0;3 , ta có '( ) 4 2 2 2 9 f t = − t + −t , 3 '( ) 0 2 3 t f t t  =  = ⇔  =  Bảng biến thiên

t 0 3

2 3

'( ) f t − 0 +

( ) f t 2 1

3

4

Từ bảng biến thiên suy ra ( ) 3 3 2 4 f t ≥ f   =   , ∀ ∈t ( )0;3 3 4 P ⇒ ≥ (2)

Dấu “=” ở (2) xảy ra khi 1

x y z= = = r

Ví dụ 11 Cho các số thực dương x y z thỏa mãn , , x y z+ + ≤1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3( 2 2 2) 5

B2• Tìm điều kiện ĐÚNG cho biến t

Do x y z, , >0 thỏa mãn x y z+ + ≤1 nên 0< ≤t 1 Dấu “=” xảy ra khi 1

t 0 1

'( ) f t −

( ) f t +∞

29

8

Từ bảng biến thiên suy ra: ( ) (1) 29, (0;1 8 f t ≥ f = ∀ ∈t  29 8 P ⇒ ≥ (1)

Dấu “=” ở (1) xảy ra khi 1 3 x y z= = = B4•Kết luận Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 29 8 đạt khi 1 3 x y z= = = r Ví dụ 12. Cho các số thực dương x y z thỏa mãn , , x y z+ + ≤3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 9 ( )( )( ) x y z P y z x x y y z z x xyz = + + + + + + + Hướng dẫn giải + Đánh giá 27 3 ( ) P x y z x y z ≥ + + + + + + Đặt t x y z= + + với t∈(0;3 + Xét hàm số ( ) 3 92 8 f t t t = + với t∈(0;3 + Kết quả: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 4 đạt khi x y z= = =1 r Lời giải B1• Biến đổi biểu thức P về biểu thức có thể đặt ẩn phụ Do 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x y z y + + z + + x + ≥ + + 2 2 2 x y z x y z y z x ⇒ + + ≥ + + Theo Cauchy thì 3 3 2( ) ( )( )( ) 3 3 x y z x y z x y y z z x+ + + +xyz≤ + +   + + +      9 93 3 ( )( )( ) 2( ) 3 3 x y y z z x xyz x y z x y z ⇒ ≥ + + + +  + +   + +  +         Suy ra: 93 3 2( ) 3 3 P x y z x y z x y z ≥ + + +  + +  + + +         

B2• Tìm điều kiện ĐÚNG cho biến t

Do x y z, , >0 thỏa mãn x y z+ + ≤3 nên 0< ≤t 3 Dấu “=” xảy ra khi x y z= = =1

4

Từ bảng biến thiên suy ra: f t( )≥ f(3) 4,= ∀ ∈t (0;3 ⇒ ≥P 4 (1)

Dấu “=” ở (1) xảy ra khi x y z= = =1

B4•Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 4 đạt khi x y z= = =1 r

Ví dụ 13 Cho các số thực dương x y z thỏa mãn , , xyz=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 1 1 3 2

Từ bảng biến thiên suy ra: f t( )≥ f(3) 3= + 2,∀ ∈t 3;+∞) ⇒ ≥ +P 3 2 (1)

Dấu “=” ở (1) xảy ra khi x y z= = =1

B4•Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 3+ 2 đạt khi x y z= = =1 r

Ví dụ 14 Cho các số thực dương x y z thỏa mãn , , xyz=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (x y y z z x)( )( ) 72 1

x y x

Hướng dẫn giải

Từ bảng biến thiên suy ra: f t( )≥ f(3) 44,= ∀ ∈t 3;+∞) ⇒ ≥P 44 (1)

Dấu “=” ở (1) xảy ra khi x y z= = =1

B4•Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 44 đạt khi x y z= = =1 r

Ví dụ 15 Cho x y z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện , , xyz=1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

12

t x

=+ thì P≤ 2 2 1t+ − =t f( )t

B2• Tìm điều kiện ĐÚNG cho biến t

B3• Tìm GTLN của hàm một biến, từ đó suy ra GTLN của P

Xét hàm số f t( )= 2 2 1t+ −t trên nữa khoảng 0;1

P

⇒ ≤ (1)

Dấu “=” ở (1) xảy ra khi x y z= = =1

B4•Kết luận

Giá trị lớn nhất của biểu thức P là 3 2

2 đạt khi x y z= = =1 r

2 Ba biến không đối xứng

Ví dụ 16 Cho x y z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện , , x2+ + =y2 z2 2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2

9

11

z x

++ + ++ + +

+

Hướng dẫn giải

+ Biểu thức không có tính đối xứng theo 3 biến Tuy nhiên điều kiện và mẫu số của số hạng thứ 2

trong biểu thức P lại có tính đối xứng, giả thiết gợi lên ý tưởng về các hằng đẳng thức

+ Cần đánh giá ước lượng hai số hạng thứ nhất và thứ ba trong biểu thức P để được biểu thức đối xứng

ba biến Cụ thể đánh giá các biểu thức x2+ + +yz x 1 và yz với lưu ý đến việc sử dụng điều kiện

B4•Kết luận

Giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 5

9 r

Ví dụ 17 Cho x y z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện , , x2 + + =y2 z2 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

+ Biểu thức thứ 1 và 2 có tính đối xứng theo hai biến x y ,

+ Sử dụng bất đẳng thức đại số và điều kiện đánh giá hai biểu thức thứ 1 và 2 nhằm đưa về hàm theo

x y

x +xy + y +xy ≥ x +xy y +yx ≥ x +xy y+ +xy = + ≥ x +y (1)

Dấu “=” ở (1) xảy ra khi x y= Kết hợp với điều kiện x2+ + =y2 z2 1, ta được:

B2• Tìm điều kiện ĐÚNG cho biến z

Do x y z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện , , x2+ + =y2 z2 1 nên 0< <z 1

f z

z z

Ví dụ 18 Cho x y z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện , , xy yz zx+ + =1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

+ Biểu thức thứ 1 và 2 có tính đối xứng theo hai biến x y ,

+ Sử dụng bất đẳng thức đại số và điều kiện đánh giá hai biểu thức thứ 1 và 2 nhằm đưa về hàm theo

biến z

1

21

z P

B2• Tìm điều kiện ĐÚNG cho biến t

Do x y z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện , , xy yz zx+ + =1 nên z≥0

Suy ra: t≥1 Vậy t∈ +∞1; )

B3• Tìm GTLN của hàm một biến, từ đó suy ra GTLN của P

Cho x y z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện , , xy yz zx+ + =1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2

Kết quả: Giá trị lớn nhất của biểu thức P là 10 đạt khi x y= = 10 3;− z=3r

Ví dụ 19 Cho x y z là các số thực dương và thỏa mãn x z, , ≥

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Vì abc=1, c≥1 nên ab≤1 Suy ra:

+

=

B2• Tìm điều kiện ĐÚNG cho biến c

c

+

=+ trên nữa khoảng  +∞1; )

Ta có: '(c) 2

2(1 ) 1

c f

−

=+ + ; f c'( ) 0= ⇔ −2 c = ⇔ =0 c 4

Từ bảng biến thiên suy ra: f(c)≤ f( )4 = 5, ∀ ∈ +∞t 1; ) ⇒ ≤P 5 (1)

Dấu “=” ở (1) xảy ra khi 1 , 4

Ví dụ 20. Cho x y z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và , , x≥y x, ≥z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a + + ≥ +

21

11

1

với a>0,b>0 và ab≥1

t t f

+

++

=

1

232)

Từ bảng biến thiên suy ra: ( ) ( )2 34

IV CÁC BÀI TOÁN CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1 Cho x y z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện , , x y z+ + = 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( )3 2 2 2 ( 2 2 2) ( )

+ Lập bảng biến thiên của f t( )= − +t3 3t với t∈   0;1

+ Kết quả: Giá trị lớn nhất của biểu thức P là 2 đạt khi 3

+ Lập bảng biến thiên của hàm số f t( )= −t t với t∈ +∞1; )

+ Kết quả: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 0 đạt khi 1, 2

Bài 5 Cho x y z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện , , 5(x2+ +y2 z2)=6(xy yz zx+ + ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= 2(x y z+ + −) (y2+z2)

+ Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) 2 1 4

2

f t = −t t với t∈0;+∞)+ Kết quả: Giá trị lớn nhất của biểu thức P là 3

2 đạt khi

11;

2

x= y z= = r

Bài 6 Cho x y z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện , , x2+ + =y2 z2 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

t

f t

t t

Bài 7 Cho x y z là các số thực thỏa mãn điều kiện , , x y z+ + =0 và x2+ + =y2 z2 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

“THỬ SỨC VỚI GTLN & GTNN”

(Thời gian làm 1 bài là 60 phút)

Bài 1 (1 điểm) Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

)1)(

1)(

1(

21

1

2 2

=

c b a c

b a

Bài 2 (1 điểm) Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn : ( 4 4 4) ( 2 2 2)

9 a + +b c −25 a + +b c +48=0Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a b c ab bc ca

+ +

= + + + +

Bài 4 (1 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 7 (1 điểm) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn c=min{a b c, , }

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 21 2 2 1 2 a b c

Bài 8 (1 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c+ + =1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: