Một số kỹ năng giải hệ phương trình

Hệ đối xứng loại I, hệđối xứng loại II, hệ đẳng cấp và nhiều hệ phương trình không mẫu mực khác thìhọc sinh không được tìm hiểu chính thức trong chương trình học, ở nhà trường cóchăng th

A MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Với tư tưởng dạy học sinh không chỉ dạy kiến thức cho các em, mà cần dạy

cả phương pháp suy luận, khả năng vận dụng, khả năng kết nối các môn khoahọc, hướng tư duy khái quát và cả sự phát minh khoa học

Người thầy phải thực hiện điều đó và hướng dẫn hoc sinh thực hiện ngaytrong mỗi tiết học Tất nhiên để làm được, chính người thầy phải có những khảnăng trên, cùng với sự yêu nghề và đam mê khoa học, đồng thời phải có phươngpháp tạo ra tình huống có vấn đề cho hoc sinh, và từ đó đưa tư tưởng phát minhvào trong tiết học, với những xuất phát điểm phải từ trong SGK rồi sau đó pháttriển các bài toán, các dạng toán lên để đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh

Hệ phương trình là một nội dung quan trọng trong chương trình toán cơ sởcũng như phổ thông Hệ phương trình có nhiều dạng và cách giải khác nhau Đơngiản nhất là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ ba phương trình bậc nhất ba

ẩn Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn học sinh được học ở cấp hai, đến lớp 10được ôn tập lại và học hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn Hệ đối xứng loại I, hệđối xứng loại II, hệ đẳng cấp và nhiều hệ phương trình không mẫu mực khác thìhọc sinh không được tìm hiểu chính thức trong chương trình học, ở nhà trường cóchăng thì biết được thông qua tài liệu tham khảo, tự học

Chính vì vậy bồi dưỡng học sinh giỏi không đơn thuần chỉ cung cấp chocác em hệ thống các bài tập càng nhiều, càng tốt, càng khó càng hay mà phải cần

rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh Dạng toán giải Giải hệ phương trình

là một mảnh đất rất thuận lợi cho chúng ta thực hiện công việc này

2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:

Ở các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh thi vào trung học phổ thôngmôn Toán Huyện Hậu Lộc nhiều năm đạt kết quả rất cao nhưng một số nămkhông tốt Đó là một điều mà người giáo viên đứng lớp lúc nào cũng phải suynghĩ, băn khoăn, trăn trở, tìm hiểu nguyên nhân, lý do tại sao kết quả không đượcbền vững Để chất lượng đội tuyển bền vững bản thân thiết nghĩ chương trình dạy

học cũng là một phần rất quan trọng trong quá trình dạy học Trong đó mảng Giải

hệ phương trình bất cứ năm nào thi học sinh giỏi cấp Tỉnh cũng có Nhưng

chương trình sách giáo khoa THCS chỉ đưa ra một số dạng rất đơn giản không

đáp ứng được yêu cầu đòi hỏi của các cuộc thi Cho nên bản thân mạnh dạn tìm

tòi nghiên cứu đưa ra “một số kỹ năng giải hệ phương trình” nhằm đáp ứng tốt

và bền vững quá trình ôn thi học sinh giỏi cấp Tỉnh và cấp cao hơn nữa

B NỘI DUNG

1.CƠ SỞ LÝ LUẬN:

Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khảnăng tư duy Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được nhữngkiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đăt kiến thức nâng cao)

2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Trong các buổi học thông qua các tình huống có vấn đề hoặc các bài tậpđưa ra, người thầy phải hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng bài toán, biết nhìnbài toán dưới nhiều góc độ

Để cụ thể hoá điều trên, tôi đă trình bày trong đề tài này: Xuất phát từ môtbài toán bất kỳ yêu cầu học sinh phải phán đoán đưa ra nhận xét và hướng giảiquyết Tìm ra nhiều cách giải thú vị gây hứng thú trong học tập

Qua bài kiểm tra tôi thấy đây là 10 học sinh trong đội tuyển Toán chính thức.Nhưng chất lượng bài làm không cao Nếu làm được bài thì lập luận thiếu chặtchẽ Cho nên từ đó tôi mới phân dạng để học sinh dễ tiếp thu:

1 Hệ phương trình đối xứng loại I:

- Nhận dạng: Đổi chỗ hai ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các

phương trình cũng không thay đổi

- Cách giải: Biến đổi đưa về dạng tổng - tích.

+ Đặt S= +x y P xy; =

+ Giải hệ với ẩn S; P với điều kiện có nghiệm (x; y) là 2

4

+ Tìm nghiệm (x; y) bằng cách thế vào phương trình X2 −SX P+ = 0

2 Hệ phương trình đối xứng loại II.

- Nhận dạng: Đổi chỗ hai ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các

phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia)

- Cách giải: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, lúc nào cũng đưa được về

Lưu ý: Ta sẽ làm tương tự đối với dạng đẳng cấp bậc ba và bậc bốn

4 Sử dụng phương pháp thế tạo phương trình đẳng cấp (đồng bậc).

Phương pháp giải: Sử dụng kỹ thuật đồng bậc, tức là:

Hệ

( ; )

( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )

Phân tích: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ không thay đổi và trật tự các

phương trình trong hệ cũng không thay đổi ⇒ đây là hệ đối xứng loại I vàphương pháp giải là biến đổi về tổng và tích

x y

Phân tích: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ không thay đổi và trật tự các

phương trình trong hệ cũng không thay đổi ⇒ đây là hệ đối xứng loại I Nhưngtrong hệ phương trình có chứa x; y, nên ta sẽ đặt s= x+ y p; = xyhoặc ta cóthể đặt u= x v; = y , rồi sau đó đặt s; p theo u, v cũng được kết quả tương tự

Lời giải: Điều kiện x y; ≥ 0 Đặt u= x ≥ 0;v= y ≥ 0

u v

y y

x y

=



 =



So với điều kiện, nghiệm hệ là S = ( ; )x y ={(1; 4);(4;1)}

Bài toán 3: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Nếu thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ không thay đổi và phương

trình này trở thành phương trình kia⇒ đây là hệ đối xứng loại II (lấy vế trừ vế).Ngoài ra nếu quy đồng thì đây là hệ đẳng cấp bậc ba (đặt x ty= )

Lời giải 1: Xem đây là hệ phương trình đối xứng loại II.

Vậy tập nghiệm của hệ là S = ( ; )x y ={(1;1)}

Lời giải 2: Xem đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc ba.

Phân tích: Thoạt nhìn thì bài toán này gần giống như hệ đối xứng loại II, nhưng

không phải Theo kinh nghiệm của tôi, đối với hệ gần giống đối xứng loại II mà

có chứa căn thức ta sẽ vừa cộng, vừa trừ để tạo hệ mới Từ đó định hướng tạophương trình đẳng cấp (nhân hợp lý tạo đồng bậc) hoặc phương trình vô tỷ giảiđược (hoặc đưa về tích)

Lời giải: Điều kiện: x y, ≥ 0. Do x= =y 0 không là nghiệm nên xét x y, > 0.

Ghi chú: Ngoài nhân chéo để được phương trình đẳng cấp ta có thể dùng phương

pháp thế với mục đích tạo ra phương trình bậc cao một ẩn mà trọng tâm đó làphương pháp thế cụm tạo thành phương trình đẳng cấp, nó là tiền đề cơ bản, côngđoạn nhỏ để giải các dạng toán

Bài toán 6: Giải hệ phương trình:

2

( 1)( 1) 3 4 1 (1)

( 1) 1 (2)

Phân tích: Nhận thấy (2) có hạng tử y+ 1 và (1) cũng có chứa hai hạng tử ấy nên

sẽ rút nó ở phương trình (2) và thế vào phương trình (1) sẽ thu được phương trìnhbậc cao với ẩn x Từ định hướng này, ta có lời giải chi tiết như sau:

Lời giải: Do x= 0 thì (2) vô nghiệm nên xét x≠ 0

2 1 (2) y 1 x

x y

13 6

6 13

x y

x y

Nhận xét: Sau khi biến đổi

Bài toán 8: Giải hệ phương trình:

2 2

2 (1)

( )(4 y -2xy)=2y (2)

x y

= −



 = −

Vậy tập nghiệm của hệ là S = ( ; )x y = − −{( 1; 1);(1;1)}

Bài toán 9: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Phương trình (1) có vế trái là bậc 3, vế phải là tích bậc nhất (x y− ) với

lượng (2xy+ 3) Nếu lượng này biến đổi được thành bậc hai, sẽ thu được phương

Vậy tập nghiệm của hệ là S = ( ; )x y ={(2;1);( 2; 1) − − }

Nhận xét: Giải hệ phương trình đưa về tích số là một dạng toán thường xuyên

xuất hiện trong các kỳ thi Để đưa về tích số ta có thể sử dụng một số kỹ thuậtnhư: Kỹ thuật tách, ghép, nhóm và tam thức bậc hai, ký thuật liên hợp, kỹ thuậtdùng phương pháp cộng

Bài toán 10: Giải hệ phương trình:

Hướng 1: Nhận thấy vế trái (2) có dạng đẳng cấp nên sẽ sử dụng máy tính để

phân tích thành tích số nhóm này, tức có x2 − −xy 2y2 = − (x 2 )(y x y+ ) kế đến ta cầnphân tích vế trái theo 2 hạng tử tích này, nhưng nó đã có sẵn nếu viết

Bài toán 11: Giải hệ phương trình:

Vậy tập nghiệm của hệ là S = ( ; )x y ={(5; 2)}

Bài toán 12: Giải hệ phương trình: 3 2 2 2

Phân tích: Từ phương trình (2), nếu nhìn nhận đó là phương trình bậc 2 với ẩn là

y thì khi lập ∆ không là số chính phương nên sẽ không áp dụng phân tích đượctheo tam thức Lúc này ta nghĩ đến việc nhóm hạng tử Theo kinh nghiệm của tôi,

ta nên ưu tiên phép thử đối với hạng tử có chứa những hằng số giống nhau trước,nhận thấy nhóm 3 2

2x − 2xy= 2 (x x −y) có 2

x −y và dựa vào nó để ghép các cặp cònlại Tức 2x3 −x y x2 + + 2 y2 − 2xy y− = 2 (x x2 − +y) (x2 − −y) y x( 2 −y) có nhân tử x2 −y

1 0

1 5

5 2

Nhận xét: Kỹ thuật phân tích thành tích số bằng việc tách - ghép - nhóm hạng tử

là kỹ thuật khá cơ bản trong việc giải hệ phương trình Tôi xin trình bày thêmphương pháp phân tích đa thức 2 biến F x y( ; ) bằng máy tính bỏ túi như sau:

Bước 1: Cho biến chứa bậc cao nhất bằng 1000, chẳng hạn x= 1000 (nếu

;

x y cùng bậc thì cho x hay y gì cũng được)

Bước 2: Thế x= 1000 vào F x y( ; ) và phân tích F x y( ; ) thành nhân tử (phântích 2

ax + + =bx c a x x x x− − hoặc Hoocner đối với phương trình bậc cao).

Bước 3: Dựa vào đa thức 1000 x= trở lại F x y( ; )được biểu thức tích

* Ngoài việc kỹ thuật tách, ghép, nhóm và tam thức bậc hai để đưa về phương trình tích ta có thể sử dụng kỹ thuật liên hợp:

Bài toán 13: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Từ (1), nhận thấy (x y+ − − = − ) (x 3) y 3 có nhân tử với vế phải nên sẽ

ghép 2 căn thức lại với nhau để tiến hành liên hợp Nhưng khi liên hợp sẽ xuấthiện ở mẫu số dạng A− B nên ta phải xét lượng này có khác 0 hay chưa?

Lời giải: Điều kiện x> 0;x y+ ≥ 0 Khi đó (1) dương nên cần y> 3.

Bài toán 14: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Nhận thấy rằng phương trình (1) luôn đúng khi x= y, tức sẽ có nhân

tử là x y− Thậy vậy, nếu nhóm cụm bậc ba: 3 2 2

Kết luận, so điều kiện, tập nghiệm hệ là ( ; ) (1;1); 1 1;

* Viết lại hệ hai phương trình bậc hai với ẩn x:

Lúc đó, lấy (1’) - 2.(2’) sẽ thu được tích: (y+ 1) ( ) 0f x =

Lời giải: Lấy − 2.(2) (1) + ta được:

Nếu dấu “=” xảy ra, tứcx= =y 1 Nhưng nghiệm này không thỏa mãn (*).

Vậy tập nghiệm của hệ là S = ( ; )x y ={(1; 1) − }

Bài toán 16: Giải hệ phương trình:

x x

Bài toán 17: Giải hệ phương trình:

do đó lấy (1) + 3.(2) sẽ thu được

phương trình tích số có dạng: (2y+ 5( ( ) 0f x = và có lời giải như sau:

Lời giải: Lấy (2).3+(1) ta được: 15x2 + 15y2 + 6xy+ 15x+ 39y+ 6x y2 + 2y3 + 35 0 =

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 1; 5

3( 16) 0 1

*) Bước 1: Tìm hai cặp nghiệm của hệ phương trình, chẳng hạn: ( ; );( ; )x y1 1 x y2 2

*) Bước 2: Tìm quan hệ tuyến tính giữa hai nghiệm này (thực chất là viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A x y B x y( ; ); ( ; ) 1 1 2 2 trong mp Oxy).

*) Bước 3: Thế quan hệ tuyến tính sao cho có lợi nhất vào hệ và phân tích thành nhân tử Từ đó xác định được biểu thức nhân vào phương trình.

Tuy nhiên, cách này sẽ không giải quyết được nếu ta không nhẩm được hai cặp nghiệm hoặc nghiệm quá lẻ không dò được bằng máy tính bỏ túi.

Bài toán 19: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Nhận thấy hệ có nghiệm: ( ; ) (0;1);(1;0)x y = Quan hệ tuyến tính giữa

hai nghiệm là: x y+ = 1 hay y= − 1 x Thay vào hệ ta được:

2

(1 ) 0 (1 ) 0

nên sẽ lấy (1) +x.(2) và phân tích sẽ được nhân tử dạng (x y+ − 1) ( ) 0f x = .

Lời giải: Lấy (1) +x.(2) ta được:

= thế vào (1) ⇔ 3y2 − 2y+ = 1 0 vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình: S = ( ; )x y ={(0;1);(1;0)}

Bài toán 20: Giải hệ phương trình:

y x

= −



 =



Với 18x2 + 15xy− 60x− 10y2 − 80y= 0, kết hợp với (1) được:

Bài toán 21: Giải hệ phương trình:

2 2 2

vẻ đứng ngoài cuộc Vì vậy sẽ tập trung vào phân tích ở vế trái của hai phươngtrình nhằm đưa 2 vế này về dạng tổng và tích của hai biểu thức x y; và vận dụngnội dung của định lý Viét Thật vậy, vế trái (1) có thể viết về tổng:

Hệ pt [ ]

( ) ( 1) 12 ( ) ( ) 12

a

a b ab

x y

x y

y x

2 17

a b

x y

x y

=



 = −

Vậy tập nghiệm là: S= ( ; )x y ={(1;0);(3; 2);(2;0);(3; 1) − − } .

KẾT LUẬN

Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, tôi nhận thấy việc dạy dạng toán giải hệphương trình có ý nghĩa thực tế rất cao Nó rèn luyện cho học sinh tư duy logic,khả năng sáng tạo, khả năng diễn đạt chính xác nhiều quan hệ toán học,… Do đókhi giải dạng toán này ở lớp 8, lớp 9 đặc biệt sau này lên THPT cho nên giáo viêncần lưu ý học sinh đọc kỹ đề bài, nắm được các mối quan hệ giữa các biến địnhhướng phân tích để học sinh có thể vận dụng hết các kỹ thuật biến đổi để có thểtiếp cận được đến lời giải Bên cạnh đó, giáo viên cũng tạo hứng thú cho học sinhtrong các giờ học, hướng dẫn học sinh cách học bài, làm bài và cách nghiên cứutrước bài mới ở nhà Do đó kết quả đội tuyển thi học sinh giỏi cấp Tỉnh năm học2015-2016 tất cả 10 em tham gia thì cả 10 em đều làm được bài hệ phương trình

Để giải tốt dạng toán hệ phương trình thì người học cần tìm hiểu rất nhiều

kỹ năng biến đối Nhưng với phạm vi trong đề tài này tôi chỉ đưa ra được một số

kỹ thuật mà thường hay dùng trong quá trình làm bài tập và có thể vận dụng để

có thể giải quyết nhiều dạng bài tập khác

Do thời gian hoàn thành đề tài này không nhiều nên còn rất nhiều thiếu sótmong quý đồng nghiệp, các em học sinh đóng góp để đề tài này hoàn thiện hơn.Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hậu Lộc, ngày 22 tháng 03 năm 2016.

Trần Văn Lực

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẬU LỘC

TRƯỜNG THCS LÊ HỮU LẬP

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀIMỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Người thực hiện: Trần Văn Lực

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Hữu Lập

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán