Kinh nghiệm sử dụng tính chất tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán ở môn đại số 7

Là một giáo viênđược phân công giảng dạy môn toán 7 nhiều năm với mong muốn giúp học tròhọc tốt hơn môn toán và đạt điểm cao trong kì thi HSG cấp huyện môn Toán 7, tôi đã nghiên cứu và

I MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài:

Chủ đề tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là nội dung cơ bản củachương I đại số 7 cũng là nội dung cơ bản của chương trình toán 7 Trong quátrình giảng dạy tôi thấy học sinh vẫn còn mắc những sai lầm khi giải toán vềdạng này Ngoài ra trong các đề thi học sinh giỏi toán 7 đa số có toán về tỉ lệthức Hiện nay ngoài kiến thức và bài tập cơ bản trong sách giáo khoa và sáchbài tập chưa có tài liệu nào bàn sâu về vấn đề này một cách đầy đủ nên khi dạyphần này giáo viên dạy và ôn đội tuyển gặp không ít những khó khăn để biênsoạn cho hết nội dung của chủ đề Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đãnghiên cứu, thấy phần này hay, tâm đắc muốn trình bày một số kinh nghiệm vềnội dung kiến thức của chủ đề để giáo viên dễ dàng áp dụng trong việc giảngdạy cho học sinh

Còn đối với học sinh, thông qua hướng dẫn giải bài tập của giáo viên, giúphọc sinh rèn luyện tính tích cực, trí thông minh sáng tạo, bồi dưỡng hứng thútrong học tập, nâng cao mức độ tư duy, khả năng phân tích phán đoán, khái quátcủa học sinh đồng thời rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo trong khi làm bài tập

Trường THCS Lê Đình Chịnh của huyện Ngọc Lặc là trường tỉ lệ học sinhgiỏi tương đối cao so với mặt bằng chung của toàn huyện, có nhiều học sinh yêuthích môn Toán và dự thi học sinh giỏi cấp huyện cấp tỉnh Là một giáo viênđược phân công giảng dạy môn toán 7 nhiều năm với mong muốn giúp học tròhọc tốt hơn môn toán và đạt điểm cao trong kì thi HSG cấp huyện môn Toán 7,

tôi đã nghiên cứu và viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm : “Kinh nghiệm giải toán

về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ở môn Đại số lớp 7”.

1.2 Mục đích của sáng kiến:

Giúp học sinh đại tra hiểu được kiến thức cơ bản và vận dụng kiến thứcmột cách linh hoạt vào giải bài tập

Giúp học sinh đi thi học sinh giỏi được tiếp cận với nhiều dạng và nhiềucách giải bài toán dạng này để không còn thấy khó khăn khi gặp phải dạng bàitập này

Muốn bản thân, đồng nghiệp trong và ngoài trường tham khảo để giảngdạy được tốt hơn các bài tập về các dạng toán tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ sốbằng nhau

Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có những tính tíchcực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực hành,lòng say mê học tập và ý chí vươn lên thì đòi hỏi người giáo viên phải có mộtphương pháp dạy học đạt hiệu quả cao đối với từng bài dạy

1.3.Đối tượng nghiên cứu:

- Học sinh của lớp 7A1+7A2 trường THCS Lê Đình Chinh, Ngọc Lặc năm học2015-2016

- Giúp học sinh nghiên cứu cơ sở lý thuyết và phương pháp giải các bài tập vềcác dạng toán tỉ lệ thức tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

1.4.Phương pháp nghiên cứu:

Đề tài được viết dựa trên cơ sở thực tế hướng dẫn học sinh giải toán về tỉ lệthức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

- Nghiên cứu từ các tài liệu và sách tham khảo có liên quan

- Thông qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp, các tiết dạy phụ đạo, các tiết dạybồi dưỡng học sinh giỏi

- Hệ thống lý thuyết của từng tiết dạy, từng chủ đề về tỉ lệ thức và tính chấtcủa dãy tỉ số bằng nhau , chốt lại các vấn đề cần lưu ý, đưa ra ví dụ đã đượcchọn lọc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp

-Triển khai nội dung đề tài, kiểm tra và đối chiếu kết quả học tập của họcsinh từ đầu năm học đến cuối học kì I

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

(ta có thể suy ra ba tỉ lệ thức khác bằng cách:

- Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau

- Đổi chỗ trung tỉ cho nhau

- Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau và đổi chỗ trung tỉ cho nhau)

Tính chất 3: nếu có n tỉ số bằng nhau(n2):

3

1 2

n n

2) Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c =>

a b c

x y z

Ta còn viết x:y:z = a:b:c

Lưu ý: Nếu đặt dấu “ – ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu

“- ” trước số hạng dưới của tỉ số đó Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho tamột khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập đượcnhững tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dướicủa nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán

Chú ý: khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có:

x y z

a b c Tacũng viết: x : y : z = a : b : c

2.1.2 Thực trạng vấn đề

Khi khảo sát ở các lớp khác nhau, qua chấm bài thi tôi thấy học sinh gặpnhiều sai sót trong quá trình giải toán Ví dụ các em hay sai nhất trong cáchtrình bày lời giải , sự nhầm lẫn giữa dấu “=” với dấu “=>”giữa “=” với dấu “+”

Ví dụ: ( ) d

thì các em lại dùng dấu “=” là sai

Ví dụ: Hãy tìm x, y, z biết 4 6 12

Ở trên các em dùng dấu “=>” là sai

Ví dụ : ở bài kiểm tra khảo sát giữa học kì I toán 7 năm học 2015-2016 có bài

học sinh còn trình bày :

44 2

Ngoài ra khi làm nhiều bài tập có nhiều đáp trường hợp thì các em vẫn không xét hết các trường hợp có thể xãy ra.

Vì vậy tôi đưa ra một số dạng toán giúp các em không còn sai sót trong lời giảicủa mình :

1 Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước

2 Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.

3 Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng.

4 Tính giá trị của biểu thức

2.1.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện

Hướng dẫn vận dụng kiến thức giải bài tập một một cách chính xác,nhanh nhất ,ngắn nhất giáo viên cần giúp học sinh định hướng kiến thức,phương pháp cơ bản cần dùng để giải từng dạng toán cụ thể Để khắc sâu kiếnthức giáo viên cần chọn những bài tập mang tính chất cơ bản và mang tính pháttriển các kiến thức ở mọi khía cạnh Qua đó giúp học sinhvừa nắm được kiếnthức cơ bản vừa phát triển được tư duy, sáng tạo linh hoạt khi làm bài tạo hứngthú yêu thích môn học

2.1.3a) Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.

Phương pháp giải: tìm cách biến đổi dể trở về đẳng thức cần chứng minh

hoặc có thể đặt tỉ số cho trước bằng một hằng số k nào đó

Phương pháp 1 : Chứng tỏ tích ad bằng tích bc

Phương pháp 2 :chứng tỏ hai tỉ số có cùng giá trị Nếu trong đề bài đã cho trước

một tỉ lệ thức khác, ta có thể đặt giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ hức đã cho bằng k, rồi tính giá trị của mỗi tỉ số tỉ lệ thức phải chứng minh theo k (cách 4) cũng có

thể dùng các tính chất của tỉ lệ thức như hoán vị các số hạng , tính chất dãy tỉ số

bằng nhau, tính chất của đẳng thức… để biến đổi tỉ lệ thức đã cho đến tỉ lệ thức

phải chứng minh(cách 1,2)

Kinh nghiệm khi dạy với bài tập 1.1 giáo viên nên đưa cả 4 cách giải trên

để học sinh được biết tuy nhiên giáo viên cho học sinh nhận xét từng cách giải,

phân tích cách giải và chọn cách giải tối ưu cho bài và chọn cách giải phù hợp

với các bài tập dạng tương tự như bài tập 1.1 trên Giáo viên có thể kết luận đối

với cách 4 thì ta có thể áp dụng được nhiều bài toán chứng minh đẳng thức từ

một tỉ lệ thức cho trước.

Sau khi làm song bài tập giáo viên cho học sinh làm bài tâp 1.2 sau

Bài 1 2 Chứng minh rằng : Nếu 1

Hướng dẫn: - Làm như thế nào để xuất hiện 2015a, 2015c, 2016b, 2016d?

Muốn có 2015a, 2015c, 2016b, 2016d ta phải làm xuất hiện tỉ số nào?

Cách 2 của bài 1 gợi ý gì cho giải bài 3? Sử dụng cách 2 của bài 1 có làm đượckhông? Giáo viên hướng dẫn theo cách 2 của bài 1 và cho học sinh về nhà giảitheo cách 3

Nhận xét: Với bài toán này khi đưa ra, yêu cầu học sinh phân tích đề bài để

hiểu nội dung yêu cầu của đề bài chiều thuận: Nếu a2 bcthì

Bài 1.5: Chứng minh rằng: Nếu a c 2 (1)b và 2bd c b d (  ) (2) đk: b;d ≠ 0 thì

a c

b d

Nhận xét: ở bài toán này đề bài cho các đẳng thức từ các đẳng thức chứng minh tỉ

lệ thức, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh suy luận ngược như sau:

Muốn có

a c

hai vế cùng bằng 2bd vậy từ a c  2 b nhân cả hai vế với d ta có thể trình bày

giải như sau :

b b a





 (đề thi khảo sát chất lượng học kì I của huyện Ngọc Lặc năm học 2015-2016)

2.1.3b) Dạng 2 : Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.

Giáo viên hướng dẫn học sinh Đối với dạng bài tập này cần nhớ phương pháp giải như sau:

Phương pháp giải: giả sử phải chia số S thành ba phần x, y, z tỉ lệ với các số

Bài 2.2 Tìm ba số x, y, z, biết rằng: 2 3 4; 5

x y y z

và x + y – z = 10.(Bài trang 31 SGK toán 7 tập 1)

61-Hướng dẫn: ở bài toán này chưa cho ta một dãy tỉ số bằng nhau Vậy để xuất

hiện một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thề nào? Ta thấy ở tỉ số 3

y

và 4

y

có hai sốhạng trên giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dưới (tatìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau), ta sẽ quyđồng hai tỉ số này về cùng mẫu chung, muốn vậy ta tìm BCNN(3;4) =12 từ đómẫu chung của 3 và 4 là 12

- Trước hết ta phải biến đổi xét xem x, y, z tỉ lệ với các số nào

- Sau đó làm xuất hiện tổng : 2 x  3 y z   372

a học sinh có thể tự suy luận và tìm ra cách giải câu b, nếu học sinh không làm

đươc thì giáo viên hướng dẫn như sau : ở bài toán này giả thiết cho x + y +z =

49 nhưng các sống hạng trên của dãy tỉ số bằng nhau lại là 2x ; 3y ; 4z, làm thế

2) Chia các vế của (2) cho BCNN (2;3;4) = 12

1) Một số A được chia thành 3 phần tỉ lệ nghịc với 5 ; 2 ; 4 Biết

rằng tổng các lập phương của ba phần đó bằng 9512 Hãy tìm số A

2) Tìm ba phân số, biết rằng tổng của chúng bằng

3 3

70, các tử của chúng tỉ lệ với 3 ; 4 ; 5, các mẫu của chúng tỉ lệ với 5 ; 1 ; 2

Bài 2.7 Tìm các số a1, a2, …a9 biết:

Từ đó dễ dàng suy ra : a1 a2 a3   a9  10

Ngoài cách trên, trong quá trình dạy cho học sinh tôi thấy học sinh làm

cách khác hay hơn nhiều so với cách trên, đó là học sinh đã trừ các tỉ số bằng nhau với 1, đưa về dãy tỉ số:

17

16 số học sinh lớp 7B Tính số họcsinh của mỗi lớp

Hướng dẫn : loại toán này ta phải gọi ẩn cho đại lượng cần tìm, thể hiện các

mối quan hệ qua ẩn khi đó bài toán trở về dạng quen thuộc mà chúng ta đã đượchọc

Nếu gọi số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là x, y, z thì theo đề bàita

có : x + y + z = 153,

8 9

y x

,

17 16

z y

Vậy ta đi giải bài toán tìm x, y, z

biết: x + y + z = 153,và

8 9

y x

,

17 16

z y

Giải :

Gọi số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là x, y, z theo đề bài ta có :x

+ y + z = 153,

8 9

y x

,

17 16

z y

X + y + z = 153,

8 9

y x

,

17 16

18 16 17 18+16+17 51 

Từ đây tìm được x= 54; y=48; z= 51

Vậy số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 54; 48; 51

Bài 2.9: Ba máy bơm nước cùng bơm nước vào một bể bơi có dung tích 235

m3 biết rằng thời gian để bơm được 1 m3 nước của ba máy lần lượt là 3 phút, 4phút và 5 phút Hỏi mỗi máy bơm được bao nhiêu mét khối nước thì đầy bể?

Hướng dẫn: giải tương tự như bài 2.8:

- Tìm mối quan hệ giữa ba số với BCNN của chúng

Giải:

Gọi ba số nguyên dương lần lượt là: x; y; z

Theo bài ra ta có : BCNN (x , y , z) = 3150

Vậy 3 số nguyên dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35.

2.1.3c) Dạng 3: Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng

Phương pháp giải: Giả sử phải tìm hai số x, y, biết x.y = P và



Từ đó tìm được k rồi tính được x và y

Chú ý:

Cần lưu ý cho học sinh khi giải được hai trường hợp k,

Cần tránh sai lầm áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

(cần tránh sai lầm áp dụng ‘‘tương tự ’’ tính chất dãy tỉ số bằng nhau : 2 5 2.5

x

y  và xy = 135

Hướng dẫn : Bài này làm tương tự bài 3.1 để học sinh biết cách giải khác giáo

viên hướng dẫn cho các em làm theo cách khác như sau :

19 chiều dài Tính chiều rộng và chiều dài của miếng đất đó.

Hướng dẫn : loại toán này ta phải gọi ẩn cho đại lượng cần tìm ,thể hiện các mới quan hệ qua ẩn đưa về bài toán dạng tìm hai số khi biết tích và tỉ số của chúng.

y  

;

1 5 5.

3 3

z  

Vậy

5 4; y=3; z=

Vậy x = 6 ; y = 9 ; z =15.

Bài 3.5 : ba lớp 7A ; 7B ; 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói

tăm dự địnhchia cho ba lớp tỉ lệ với 5 : 6 : 7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4 :5 :6nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đãmua.(Bài 24 trang 32 – các chủ đề nâng cao toán 7 của tác giả Huỳnh QuangLâu)

Hướng dẫn : ở bài toán này ta phải tìm ra lớp nào nhận được nhiều hơn dự định 4 gói tăm bằng cách tìm số tăm của mỗi lớp so với tổng số tăm của ba lớp phải mua.

Giải :

Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0)

Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là : a, b, c

Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói

2.1.3d) Dạng 4 : Tính giá trị của biểu thức :

x y x y

a a



 =

3 4

Bài tập tương tự:

Cho dãy tỉ số bằng nhau

2013-Cũng là bài tập tương tự nhưng yêu cầu đề bài khác ví dụ:

Cho dãy tỉ số bằng nhau

b c d  a c d  a b d  b c a  Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trịnguyên

a b b c c d d a M

4/.Kết quả nghiên cứu vấn đề :

Sau một thời gian áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tơi thấy kết quả mang lạirất khả quan và thu được kết quả như sau :

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

1/.Bài học kinh nghiệm:

Qua kết quả nghiên cứu trên khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thì tơi nhậnthấy học sinh khơng cịn sợ dạng tốn chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thứccho trước, dạng tốn có tham số các em cũng nắm được và vận dụng tốt vào giảicác bài tốn tương tự Khi đưa ra một bài tốn các em nhận dạng nhanh được bàitốn đó ở dạng nào.Các em có kỹ năng tính tốn nhanh nhẹn, các em đã biếtcách biến đổi từ những dạng tốn phức tạp về dạng đã biết cách giải.Qua nhữngbài tập đó rèn luyện tư duy sáng tạo, linh hoạt đối với những bài tập phù hợpkiến thức trong chương trình Ngồi cách hướng dẫn giải của giáo viên tơi thấycác em có nhiều cách giải rất hay thể hiện những điểm thơng minh trong cácphép biến đổi Nhờ đó mà tăng số lượng học sinh khá, giỏi, tăng số lượng chấtlượng trong đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện

- Do thời gian cịn hạn chế nên muốn thực hiện được giải pháp thì phải đưa vàogiờ dạy tự chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi nếu khơng sẽ khơng có thời gian để

luyện tập cho học sinh Toán về chứng minh các đẳng thức từ một tỉ lệ thức chotrước, nếu ta nghiên cứu sâu hơn đối với các đẳng thức phức tạp còn rất nhiềudạng toán phức tạp mà chưa đưa ra trong sáng kiến kinh nghiệm này được,ngoài ra dạng toán dựa vào tính chất của tỉ lệ thức áp dụng trong bất đẳng thứccũng chưa đưa ra được

Do đó, giáo viên còn phải tiếp tục nghiên cứu, đó là một phần hạn chế mà đề tàichưa đề cập đến

2/.Hướng phổ biến áp dụng đề tài:

Tuy có những hạn chế nhưng nhìn chung giải pháp “kinh nghiệm giải toán

về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7” trang bị cho học sinhkiến thức cơ bản và chuyên sâu nhằm vận dụng nó để giải các bài tập toán nângcao về tỉ lệ thức và các bài toán về dãy tỉ số bằng nhau một cách có hiệu quả Vìvậy, để thực hiện có hiệu quả, chúng tôi xin đưa ra một số đề xuất:

+ Giáo viên cần dạy kĩ kiến thức cơ bản và phần mở rộng, những phầnlưu ý cần khắc sâu để học sinh không bị sai sót

+ Trong quá trình giảng dạy chú ý rèn kĩ năng phân tích đề bài xem chođiều gì và yêu cầu chứng minh hoặc tìm gì Bài tập sau có gì khác so với bài tậptrước, rèn cho các em cách nhìn và phân tích bài toán thật nhanh

+ Khi giảng dạy, giáo viên cố gắng lựa chọn các bài tập có nội dunglồng ghép những bài toán thực tế, có kiến thức liên môn để kích thích tính tò

mò, muốn khám phá những điều chưa biết trong chương trình Toán 7

+ giáo viên dạy môn Hóa học cũng có thể tham khảo cách giải các bàitoán về tỉ lệ thức vì trong chương trình hóa 8,9 có nhiều bài giải liên quan đếndạng toán này

Sau khi thực hiện đề tài “kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức và tính chấtcủa dãy tỉ số bằng nhau ở môn Đại số lớp 7” Tôi nhận thấy học sinh có hứng thúhọc tập hơn, kết quả học tốt hơn Tuy nhiên còn rất nhiều dạng toán nữa mà tôichưa đưa ra trong đề tài này được Bởi vậy tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu thêm vàonăm học sau

Với năng lực còn hạn chế trong việc nghiên cứu và đầu tư, tôi chỉ ghi lạinhững kinh nghiệm của bản thân, những vấn đề tiếp thu được khi tham khảosách và các tài liệu có liên quan nên việc trình bày sáng kiến kinh nghiệm củatôi không tránh khỏi những sai sót nhất định Rất mong sự góp ý chân thành củaHội đồng khoa học các cấp

Ngọc Lặc, ngày 20 tháng 3 năm 2016

XÁC NHẬN

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam kết sáng kiến này do tôi tự làm,không sử dụng sao chép coppy của người khác

Người viết

Phạm Thị Duyên