Khai thác và phát triển kết quả một số bài toán trong tiết ôn luyện toán 8 trường THCS nga an

Trong quá trình giảng dạy việc định hướng, liên kết, mở rộng, khai thác và phát triển kết quả một số bài toán là một vấn đề rất quan trọng, nó không chỉ giúp cho học sinh nắm bắt kĩ kiến

MỤC LỤC Trang

1- MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài: 1

1.2 Mục đích nghiên cứu: 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu: 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu: 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm: 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Các giải pháp đã áp dụng để khắc phục thực trạng trên 4

2.3.1 Bài toán 1 5

2.3.2 Bài toán 2 6

2.3.3 Bài toán 3 9

2.3.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục của bản thân 13

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 14

3.1 Kết luận 14

3.2 Kiến nghị 14

1- MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:

Như chúng ta đã biết môn Toán trong trường phổ thông là một trong những môn được phân phối thời lượng dạy học tương đối cao (4 tiết/ tuần), ngoài ra trong nhà trường phổ thông môn Toán còn được Ban giám hiệu và tổ chuyên môn phân phối thêm thời lượng để bồi dưỡng cho học sinh như: Dạy học

tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi, bồi dưỡng học sinh yếu kém Bởi lẽ môn Toán là một môn học có tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng Không những thế môn Toán còn có tính lôgic và thực nghiệm, nó có một vị trí rất quan trọng trong nhà trường phổ thông đó là môn học công cụ, môn học có tiềm năng phát triển năng lực trí tuệ và hình thành các phẩm chất trí tuệ cho học sinh

Trong quá trình giảng dạy việc định hướng, liên kết, mở rộng, khai thác và phát triển kết quả một số bài toán là một vấn đề rất quan trọng, nó không chỉ giúp cho học sinh nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán cơ bản mà còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá một bài toán để từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho các em học sinh Hơn nữa, việc liên kết, mở rộng và áp dụng kết quả của các bài toán khác nhau, tìm mối liên hệ chung giữa chúng sẽ giúp cho học sinh hứng thú và phát triển năng lực tự học một cách khoa học khi học toán Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi được tiếp xúc với rất nhiều đối tượng học sinh và thấy rằng đa số học sinh không nhớ những bài đã làm, không biết cách khai thác kết quả của một số bài đã chí có những bài chỉ khác nhau bởi lời văn nhưng nội dung lại hoàn giống với bài toán cũ Đặc biệt là các bài toán đảo và bài toán tổng quát học sinh thường không có kỷ năng nhận

ra Chính vì vậy, để giúp học sinh dễ dàng nhận ra các bài toán cũ, bài toán đảo, bài toán tổng quát…đồng thời góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực và bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh, rèn luyện khả năng sáng tạo trong học toán cho học sinh cũng như muốn góp phần vào công tác bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi Toán trường THCS Lê Lợi

Hầu hết các học sinh được hỏi đều có chung một ý kiến môn Toán là một môn học “khó” nên dẫn tới rất ít học sinh có hứng thú say mê nghiên cứu sâu môn Toán hoặc các em chỉ học một cách thụ động mà không biết cách khai thác vận dung để giải quyết các bài toán khác - vấn đề Toán học khác Từ thực tế như thế mà người giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán trong nhà trường phổ thông không khéo léo biết cách lồng ghép, khai thác trong quá trình giảng dạy của mình để tạo ra hứng thú và sự say mê nghiên cứu Toán học cho học sinh, thì càng làm cho các em xa dời môn Toán Như vậy hoạt động dạy học môn Toán trong trường phổ thông không đáp ứng được mục tiêu giáo dục của nó

Chính vì lẽ đó tôi xin được trình bày một kinh nghiệm nhỏ của mình về dạy học giải bài tập Toán trong trường THCS : "Khai thác và phát triển kết quả một số bài toán trong tiết ôn luyện Toán 8" trường THCS Nga An

1.2 Mục đích nghiên cứu:

* Trong quá trình dạy học toán để giúp HS khối THCS học tốt môn Toán và biết cách khai thác kết quả của một bài tập Toán thì người giáo viên ngoài việc không ngừng tìm tòi và vận dụng các phương pháp dạy học tích cực phù hợp với đặc trưng bộ môn mà ngoài ra còn phải truyền đạt được cho các em phương pháp giải bài tập Toán bằng cách khai thác và sáng tác bài tập tương tự

- Từ phương pháp dạy học giải bài tập Toán bằng cách khai thác và sáng tác bài tập tương tự, học sinh sẽ vận dụng vào khai thác kết quả của một bài tập Toán và sáng tác ra các bài tập tương tự, tích luỹ thêm vốn kiến thức giải toán cho bản thân để giải được các bài toán tương tự, tích luỹ và rèn luyện kĩ năng giải toán cho bản thân mình

- Chính vì thế mà bản thân tôi mới mạnh dạn nghiên cứu và vận dụng vào trong quá trình dạy học Toán kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài tập Toán trong trường THCS thông qua phát triển kết quả của một bài toán trong tiết ôn luyện Toán 8

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Phương pháp hình thành tính tích cực, chủ động và năng lực suy luận của học sinh

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Đọc và nghiên cứu tài liệu

- Trao đổi với đồng nghiệp từ các buổi sinh hoạt chuyên môn

- Các phương pháp phân tích tổng hợp, phương pháp suy diễn lôgic, phương pháp vấn đáp gợi mở

- Phương pháp chọn lọc và thử nghiệm thực tế

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Ở trường THCS, đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài toán ở trường THCS là một phương tiện rất

có hiệu quả và không thể thay thế trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng Toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học Toán ở trường THCS Vì vậy, tổ chức tốt và có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán

Trong dạy học môn Toán, mỗi bài tập toán được sử dụng với những dụng

ý khác nhau, có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, gợi động cơ để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra …Tất nhiên, việc giải một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm một dụng ý đơn giản nào đó mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu

Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tường minh, hay tiềm ẩn những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra, …) Những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện mục đích dạy học

Dạy học giải bài tập Toán là quá trình suy luận, nhằm khám phá ra quan

hệ lôgíc giữa cái đã cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận) Nhưng các qui tắc suy luận chưa được dạy tường minh Do đó, học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập Thực tiễn dạy học cũng cho thấy với những học sinh khá -giỏi thường tự đúc kết những tri thức những phương pháp cần thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm, còn học sinh trung bình hoặc yếu kém còn gặp nhiều lúng túng

Để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập Tuy rằng, không phải cứ giải nhiều bài tập là có kỹ năng Thực tế qua những năm trực tiếp giảng dạy môn Toán ở trường THCS tôi nhận thấy rằng: Việc luyện tập giải bài tập toán sẽ có hiệu quả, nếu như giáo viên biết khéo léo khai thác kết quả của một bài tập này sang bài tập khác một cách tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó, nhằm rèn luyện một phương pháp chứng minh nào đó

Việc dạy học khai thác kết quả của một bài tập toán trong các tiết luyện tập, cũng như trong các buổi phụ đạo bồi dưỡng HS khá - giỏi, giúp học sinh đúc rút kinh nghiệm, phương pháp giải toán, để giải các bài tập tương tự củng như có kĩ năng rất quan trọng trong giải toán đó là " Quy lạ về quen " và sáng tác được các bài tập tương tự hoặc tự các em có thể đưa ra bài toán tổng quát cho dạng toán vừa thực hiện giải Làm giàu thêm tri thức Toán học và các phương pháp giải toán cho mình

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

74 em học sinh lớp 8A và 8B (Lớp 8A - 39 em, lớp 8B - 35 em) trường THCS đầu năm học 2016 - 2017 được hỏi có thích học Toán và giải Toán không thì có 12 em thích (16,2%), 43 em không thích (58,1%), còn 19 em không trả lời (25,7%)

Kết quả điều tra trả lời câu hỏi: Khi giải một bài toán em có thường đặt ra những câu hỏi nào? thì 100% học sinh đều có chung một câu trả lời: Không đặt

ra câu hỏi nào

Chính vì thế mà các em đã không thể định hướng cho mình cách giải một

số bài tập đặc biệt là các em học sinh khá giỏi khi giải những bài tập nâng cao

2.3 Các giải pháp đã áp dụng để khắc phục thực trạng trên.

Để hình thành kĩ năng giải bài tập cho học sinh phải thông qua quá trình

ôn luyện Tuy nhiên không phải cứ giải nhiều bài tập là học sinh có kỹ năng giải toán Việc ôn luyện sẽ có hiệu quả nếu như giáo viên biết khéo léo khai thác kết quả của một bài toán để hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho các bài toán mới mà học sinh có thể " quy lạ về quen" hoặc sáng tác những bài toán tương tự và có thể phát biểu nên bài toán tổng quát Qua yêu cầu học sinh trả lời một số câu hỏi trước khi giải một bài toán đó là:

- Hệ thống câu hỏi 1:

+ Qua bài tập này đã củng cố cho ta được kiến thức Toán học nào?

+ Từ kết quả của bài tập này em hãy sáng tác ra các bài tập có cách giải tương tự

+ Từ kết quả của bài tập này em hãy đặt một bài toán lật ngược vấn đề với bài toán đó?

+ Em hãy nêu bài toán tổng quát của dạng bài toán trên

- Hệ thống câu hỏi 2:

+ Em đã gặp bài toán này lần nào chưa ? Hay đã gặp bài toán này ở dạng khác ?

+ Em có biết một bài toán nào có liên quan không ? Một định lí có thể dùng được không ?

+ Đây là một bài toán có liên quan mà em đã giải rồi Có thể sử dụng nó không ? Có thể sử dụng kết quả của nó không ?

Sau đây tôi đưa ra một số bài toán mà trong quá trình dạy học tôi đã thực hiện hướng dẫn học sinh khai thác kết quả của bài toán:

2.3.1 Bài toán 1

Cho a, b là hai số bất kì Chứng minh rằng: a b3 3 (a b) 3 (3 ab a b )

Giải:

* Chứng minh:

Ta có: (a b ) 3 (3 ab a b ) a3 3a b2 3ab b2 3 3a b2  3ab2  a b3 3

=> (đ.p.c.m)

Từ kết quả bài toán trên giáo viên có thể phát triển thành các bài toán sau:

Bài toán 1.1:

Cho a b c  0 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3abc

Giải:

Vì a b c     0 a b c, thay vào a3 b3 (a b )3  3 (ab a b )

3 3 3 3 ( ) 3 3 3 3

a b  c  ab c a b c  abc => (đ.p.c.m)

Bài toán 1.2:

Cho a+b+c+d =0 chứng minh rằng : a3b3 c3d3 3c d ab cd    

Giải:

Vì:

 3

3 3

0

a b c d

   

=>a3 b3 c3 d3 3 (ab c d ) 3 ( cd c d ) 3( c d ab cd )(  )

Vậy: a3 b3 c3 d3 3c d ab cd    

*Từ bài toán 1.1 giáo viên có thể sử dụng và khai thác kết quả bài toán đó cho các bài toán sau:

Bài toán 1.3:

Choa b c  2 a2 b2 c2và a b c  , , 0

chứng minh rằng : 13 13 13 3

Nhận xét: Điều cần chứng minh ở đây tương tự đối với vế sau của bài toán 1

nhưng để vận dung cần phải có thêm điều kiện 1  11  0

c b

a , vậy ta có cách giải quyết một số bài toán như sau:

Giải:

Từ : a b c  2 a2b2c2

=> ab bc ca  0 vì a, b, c  0 nên ta có

1 1 1

ab bc ca

 

    

Do 1 1 1

0

Áp dụng kết quả bài toán I.1 ta được 13 13 13 3 .1 1 1 3

a b c  a b c abc

Bài toán 1.4:

Cho 1  1 1 0

z y

x Tính giá trị biểu thức B = 2 2 x2

yz y

xz x

yz





Giải:

Từ 1 1 1  0

z y

x

=> x13  y13  z13  3 1x.1y.1z xyz3

=> 3  3  3  3

z

xyz y

xyz

x

xyz

=> 2  2  2  3

z

xy y

xz x yz

=> B = 3

Bài toán 1.5

Cho x + y + z = 0 và x, y, z ≠ 0

2 2

2 2

2 2

2 2

2

y x z

z x

z y

y z

y x

x

















Giải

Từ x y z    0 x (y z )x2 y2 z2 2yz

z (y x )z2 y2 x2 2xy

y(z x )y2 z2 x2 2xz

 C =

xyz

z y x xy

z xz

y yz

x

2 2

2 2

3 3 3 2 2 2











Do x y z   0 x3y3z3 3xyz

Vậy C =

2

3 2

3



xyz

xyz

2.3.2 Bài toán 2

Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn: 2 2 29

53

a b c

  





  

 Tính giái trị biểu thức A = ab + bc + ca

Nhận xét: Trong bài này học sinh chỉ cần tìm mối liên hệ giữa giả thiết và biểu

thức cần tìm giá trị đó là hằng đẳng thức thì các em có cách giải quyết bài toán như sau:

Giải:

Từ a b c   9 (a b c  )2 81

kết hợp với a2 b2c2 532(ab bc ca  ) 28

14

ab bc ca

   

Vậy A = 14

* Từ bài toán 2 giáo viên có thể khai thác và phát triển kết quả bài toán

đó cho một số bài toán sau:

Bài toán 2.1: Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn: 7

9

a b c

ab bc ca

  





 Tính giá trị biểu thức B =a2 b2 c2

Nhận xét: Bài toán này và bài toán 2 chỉ đổi một phần giả thiết cho kết luận còn

kết luận thành giả thiết, nên học sinh có thể áp dụng cách giải bài toán 2 vào giải bài toán 2.1 một cách dễ dàng như sau:

Giải:

Từ a b c   7 (a b c  )2 49

Kết hợp với ab bc ca   9 a2 b2 c2 31

Vậy B = 31

Bài toán 2.2: Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn: 2 2 20

14

a b c

  





 Tính gía trị biểu thức: C = a4 b4 c4

Giải:

Từ: a2 b2 c2 14(a2 b2 c2 2) 196

4 4 4 2( 2 2 2 2 2 2) 196

a b c  a b b c c a  (1)

Do a b c   0 (a b c  )2 0

2 2 2

2

ab bc ca

ab bc ca

a b b c c a abc a b c do a b c

2 2 2 2 2 2 49

    , thay vào (1) ta được:

4 4 4 2.49 196 4 4 4 98

Vậy C = 98

Bài toán 2.3: Cho a, b, c thỏa mãn: 1 1 1

2

a b c abc

a b c

  







  



 Tính giá trị biểu thức: D = 12 12 12

a b c

Nhận xét: Sau khi đã thực hiện được bài toán II.1 thì học sinh dễ dàng thực hiện

tiếp được bài toán II.3 Bởi vì giữa hai bài toán này ta chỉ thay đổi a, b, c thành

1 1 1

, ,

a b c

Giải:

Từ1 1 1 2 (1 1 1)2 4

a b c    a b c  

2 2 2

4

       (2)

Do a, b, c và a b c abc    1 1 1

1

ab bc ca   thay vào (2),

ta được: 12 12 12

2

Vậy: D = 2

Bài toán 2.4:

Cho a, b, c, x, y, z khác không thỏa mãn:

1 0









Tính giá trị biểu thức E =

2 2 2

2 2 2

a b c

Nhận xét: Áp dụng cách giải quyết bài toán 2.2 mà học sinh có thể giải quyết

bài toán 2.3 một cách dễ dàng như sau:

Giải:

Từ:

2

       

       

 

 

 ayz byz cxy  0, thay vào (3) ta được

2 2 2

2 2 2 1

a b c   E = 1.

Bài toán 2.5: Cho x, y, z thỏa mãn:

1

1 1 1

0

x y z

  







  



 Tình giá trị biểu thức F =

Nhận xét: Cách giải quyết bài toán này cũng gần giống như cách giải quyết bài

toán 2.2

Giải:

Từx y z   1 x y z  2 1

 x2 y2 z2 2(xy yz zx  ) 1 (4)

Do1 1 1 0 xy yz zx 0 xy yz zx 0

 

         , thay vào (4), ta được

F = 1

Bài toán 2.6: Cho: 2 2 2 2

x y z a

x y z b

x y z c



   









Tính x3+ y3+ z3 theo a, b, c

Giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: x3+ y3+ z3 -3xyz = (x+ y+ z)(x2+ y2+ z2-xy- yz- xz)

 x3+ y3+ z3 = 3xyz+ a[ b2- (xy+ yz+ zx)]

Ta cần tính xy+ yz+ zx và xyz theo a, b, c

Ta có a2= (x+ y+ z)2 = x2+ y2+ z2+2( xy+ yz+ zx)

 xy+ yz+ zx= 2 2

2

   xyz = c( xy+ yz+ zx)

 xyz = c 2 2

2

 x3+ y3+ z3 =3c 2 2

2

+ a

2 2

b



2

2.3.3 Bài toán 3

Cho a, b, c khác không thỏa mãn: 1 1 1 1

a b c  a b c 

Chứng minh rằng: a b b c c a       0

Giáo viên hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán như sau:

Từ1 1 1 1

a b c  a b c 

0

 



 

ab ac bc c

 

2

ab ac bc c

a b

ab ac bc c

      

a b c c b c

a b

ab ac bc c

a b b c c a

ab ac bc c



 a b b c c a        0  (đ.p.c.m)

Nhận xét: Từ bài toán 3 ta suy ra:

Hoặc a + b = 0, hoặc b + c = 0, hoặc c + a = 0

* Từ đó giáo viên có thể khai thác kết quả bài toán 3 cho các bài toán sau: Bài toán 3.1: Cho a, b, c khác không thỏa mãn: 1 1 1 1

a b c  a b c  Tính giá trị biểu thức M = (a2013 + b2013)(b2015 + c2015)(c2017 + a2017) + 2016

Nhận xét: Biểu thức cần tính giá trị trong bài toán này nhìn phức tạp vì có số

mũ lớn nên học sinh thường ngại nhưng nếu các em đã được tiếp cận bài toán 3 thì các em sẽ tự giải quyết bai toán rất dễ dàng như sau:

Giải:

Từ giả thiết bài toán1 1 1 1

a b c  a b c  => a b b c c a         0

* Hoặc a + b = 0 => a = - b => a2013 = - b2013 => a2013 + b2013 = 0

=> M = 2016

* Hoặc b + c = 0 => b = - c => b2015 = - c2015 => b2015 + c2015 = 0

=> M = 2016

* Hoặc c + a = 0 => c = - a => c2017 = - a2017 => c2017 + a2017 = 0

=> M = 2016

Vậy M = 2016

Bài toán 3.2 Cho ba số a, b, c khác không thỏa mãn:

0

a b c

  









Chứng minh rằng: 20151 20151 20151 2015 20151 2015

a b c a b c

Nhận xét: Cũng như bài toán 3.1 ở bài toán này học sinh có thể tự giải quyết

như sau:

Giải:

Từ giả thiết bài toán: 1 1 1 1

a b c  a b c  => a b b c c a         0

* Hoặc a + b = 0 => a = - b => a2015 = - b2015 =>

2015 2015

2015 2015

0

0







