Cách giải một số bài toán dựa vào phương trình bậc hai trong chương trình toán lớp 9

Trong quá trình giảng dạy lớp 9 và thực hiện công tác ôn luyện học sinh mũi nhọn trong 5 năm liền tôi nhận thấy các em hiểu được các công thức cơ bản về phương trình bậc hai nhưng việc v

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN QUAN SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 9

Người thực hiện: Lê Thị Duyên Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường PTDT BT THCS Trung Hạ

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN QUAN SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 9

Người thực hiện: Lê Thị Duyên Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường PTDT BT THCS Trung Hạ SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2017

Mục Trang

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :

Toán học là một môn học chiếm vị trí quan trọng trong trường phổ thông Dạy toán tức là dạy phương pháp suy luận Học toán tức là rèn luyện khả năng

tư duy lôgic Các bài toán là một phương tiện tốt trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ sảo

Để chất lượng học sinh ngày càng được nâng cao yêu cầu người giáo viên phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối tượng học sinh

Theo hướng đó, sách giáo khoa Toán mới cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản cần lĩnh hội theo yêu cầu của chương trình, đồng thời cũng giúp cho học sinh hiểu được các quá trình dẫn đến kiến thức, cách thức làm việc,

các hình thức hoạt động để tự khám phá, lĩnh hội các kiến thức đó

Và dạy như thế nào để học sinh đại trà có thể nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà những học sinh mũi nhọn phải được nâng cao để các

em có hứng thú, say mê học tập không bị nhàm chán là một câu hỏi mà mỗi thầy

cô chúng ta luôn đặt ra cho mình

Muốn giải quyết nhiệm vụ quan trọng này, trước hết Thầy, Cô giáo chúng

ta ai cũng phải xây dựng cho mình một phương pháp dạy thật tốt và thường xuyên cải tiến phương pháp giảng dạy cho phù hợp với từng nội dung, điều kiện giảng dạy vào các đối tượng tham gia học tập, nhằm tạo tiền đề vững chắc, lâu bền trong việc tiếp nhận tri thức, nề nếp và thái độ học tập của các em ở nhà trường

Là giáo viên dạy Toán trong các trường THCS tôi nhận thấy phần đông các em học sinh học yếu môn toán vì các lí do sau :

- Các em chưa nắm chắc được những kiến thức cơ bản

- Chưa phân dạng được các bài toán và đưa ra cách giải cho từng dạng toán cụ thể

Trong quá trình giảng dạy lớp 9 và thực hiện công tác ôn luyện học sinh mũi nhọn trong 5 năm liền tôi nhận thấy các em hiểu được các công thức cơ bản

về phương trình bậc hai nhưng việc vận dụng các công thức đó vào giải bài tập chỉ mang tính máy móc, và chỉ thực hiện đối với các bài toán đơn giản đôi khi chưa biết vận dụng linh hoạt phương trình bậc hai vào giải quyết các bài toán khác, chưa khai triển hết các dạng bài tập dó đó các e có học lực khá giỏi chưa

đi sâu phát triển kiến thức nâng cao qua các dạng toán về phương trình bậc hai

Và đây cũng là một trong những dạng toán không thể thiếu trong các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

Qua tìm tòi, nghiên cứu tài liệu tham khảo tôi rút ra được một số kinh nghiệm nhỏ để giảng dạy về vấn đề này giúp cho các em nhận dạng và vận dụng linh hoạt vào giải toán từ đó nâng cao kiến thức nên tôi mạnh dạn chọn đề tài "

Cách giải một số bài toán dựa vào phương trình bậc hai trong chương trình toán lớp 9 " Vì thời gian giảng dạy chưa nhiều nên chắc chắn sẽ còn nhiều thiếu

sót rất mong các đồng nghiệp góp ý để sau mỗi lần viết "Sáng kiến kinh nghiệm" được hoàn thiện hơn và giúp tôi học hỏi thêm được nhiều vấn đề mới

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU :

Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày một vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp 9 giải một số dạng bài tập dựa vào phương trình bậc hai Cụ thể là :

- Hệ thống và phân loại một số bài toán dựa vào phương trình bậc hai để giải

- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải một số bài toán dựa vào phương trình bậc hai

- Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :

- Cách giải một số bài toán dựa vào phương trình bậc hai trong chương trình toán lớp 9

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu thực tiễn

- Sưu tầm tài liệu nghiên cứu trên cơ sở lý thuyết và vấn đề tự học

- Tiến hành điều tra thực tiễn kết quả học tập của học sinh

- Phương pháp trò chuyện phỏng vấn

- Phương pháp truyền thụ kiến thức của giáo viên

- Kiểm nghiệm, đối chứng giữa lý thuyết và thực tiễn từ đó rút ra bài học trong công tác nghiên cứu

- Học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp

B PHẦN NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN :

1 Kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai : 1 [1]

a) Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn ( nói gọn là phương trình bậc hai )

là phương trình có dạng :

ax2 + bx + c = 0

Trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0

b) Công thức nghiệm :

Đối với phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) và biệt thức 

= b2 – 4ac

 Nếu   0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

x1,2 =

2

b a

  

 Nếu   0 thì phương trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x2 =

2

b a



 Nếu   0 thì phương trình bậc hai vô nghiệm

c) Công thức nghiệm thu gọn :

Đối với phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) và b = 2b’;

' b'2 ac

  

 Nếu   ' 0’ thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

1 Trong phần B nội dung : Mục 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 1.

x1,2 = b' '

a

  

 Nếu '

0

  thì phương trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x2 = b'

a



 Nếu   ' 0: phương trình bậc hai vô nghiệm

d) Định lý VI-ÉT: 2

- Nếu x1, x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) thì :

1 2

1 2

b

a c

x x a



 







- Trường hợp đặc biệt :

* Nếu a + b + c = 0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

x1= 1, x2 = c a

* Nếu a - b + c = 0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

x1= -1, x2 =  c a

2 Một số dạng bài Toán dựa vào phương trình bậc hai để giải:

2.1 Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng:

2.1.1 Hệ phương trình đối xứng loại 1: Là hệ phương trình mà nếu ta hay đổi vai trò của x, y thì từng hệ phương trình vẫn không thay đổi

2.1.2 Hệ phương trình đối xứng loại 2: Là hệ phương trình mà nếu ta hay đổi vai trò của x, y thì phương trình này trở thành phương trình kia

2.2 Dạng 2: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số y ax b a  0 và

2

y  a  : Để xác định được số giao điểm của hai đồ thị này thì cần phải tìm số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị mà đó chính

là tìm số nghiệm của phương trình bậc hai

2.3 Dạng 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: Có rất nhiều dạng về

phương trình nghiệm nguyên, tuy nhiên trong khuôn khổ đề tài này chỉ đề cập đến những phương trình mà ẩn có số mũ cao nhất là mũ 2 để áp dụng cách giải phương trình bậc hai vào giải các phương trình này

2.4 Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số: Đây

là dạng Toán rất hay gặp trong các đề thi HSG và đề thi vào lớp 10, để giải dạng bài tập này cần xác định được khoảng giá trị của biểu thức đại số từ đó chỉ ra được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2.5 Dạng 5: Phương trình đối xứng bậc bốn : Đối với phương trình bậc bốn

thì không có công thức nghiệm và phương pháp giải cụ thể tuy nhiên có thể giải các phương trình bậc bốn đối xứng bằng cách biến đổi chúng về dạng phương trình bậc hai để giải

2 Trong trang này : Mục 2 là “của” tác giả.

Qua đó nhận thấy để giải được một số dạng Toán trên thì đòi hỏi bản thân học sinh cần nhận dạng đúng, phân tích đề bài và có thể đưa ra được cách giải cho từng dạng Toán cụ thể mà trong đó sử dụng phương trình bậc hai để giải là cách giải thường được áp dụng, mang lại hiệu quả cao và dễ dàng áp dụng

Dó đó khi xây dựng được những cách giải cụ thể cho từng dạng Toán này

sẽ giúp cho học sinh hình thành được kĩ năng vận dụng linh hoạt phương trình bậc hai vào giải

II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:

1 Thực trạng : Qua thực tế giảng dạy bộ môn Toán 9 tại trường PTDT Bán trú

THCS Trung Hạ tôi nhận thấy:

1.1 Đối với giáo viên :

Với kinh nghiệm của bản thân qua nhiều năm liền giảng dạy lớp 9, bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như trực tiếp ôn thi vào lớp 10, đối với các dạng Toán

áp dụng phương trình bậc hai vào giải sử dụng trong chương trình Toán 9 rất đa dạng và phức tạp, để xây dựng phương pháp giải chung cho các dạng bài toán

đó là điều không thể Song chúng ta có thể đưa ra một số dạng và cách giải cụ thể dựa trên những kiến thức về phương trình bậc hai mà các em đã được học trong chương trình SGK Toán 9, qua đó có thể giúp các em hình thành định hướng và cách thức cho việc giải các dạng Toán này

1.2 Đối với học sinh :

Thực tế giảng dạy và qua tìm hiểu tại đơn vị công tác bản thân tôi thấy rằng chất lượng học tập môn Toán nhất là các dạng Toán mang tính chất cần phải suy luận để tìm ra cách giải chưa cao

Cụ thể là ở chương trình Toán 9 các em còn lung túng trong việc nhận dạng

và đưa ra cách giải đối với một số dạng Toán đòi hỏi sự tư duy và vận dụng linh hoạt các công thức giải phương trình bậc hai vào giải Chính vì vậy dẫn đến thái

độ học tập của học sinh đối với các dạng Toán này chưa tích cực, ngại nghiên cứu ảnh hưởng sâu sắc đến hiệu quả và chất lượng quả việc dạy và học

2 Kết quả của thực trạng :

2.1 Bảng khảo sát học sinh trước khi nghiên cứu đề tài tại trường PTDT Bán Trú THCS Trung Hạ - Quan Sơn - Thanh Hoá.

TT Lớp Sỉ số

Mức độ hiểu bài của học sinh

2.2 Nguyên nhân :

- Học sinh chưa có định hướng phương pháp để giải bài tập mà không có dạng tổng quát được giới thiệu trong SGK Toán 9

- Chưa biết phân tích một cách logic toán học để đưa các bài tập này về dạng Toán đã có cách giải cụ thể trong SGK Toán 9

- Đa số các em chưa có định hướng hướng chung về phương pháp học lý thuyết,

và vận dụng lý thuyết vào thực hành giải các bài tập Toán

- Ý thức tự học, tự nghiên cứu của một số học sinh còn hạn chế, chưa tích cực chủ động tìm tòi đối với các dạng Toán cần sự tư duy, logic, suy luận Toán học

III CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN :

Dạng 1: Giải hệ phương trình đối xứng: 3

1.1 Hệ phương trình đối xứng loại 1: Nếu ta hay đổi vai trò của x, y thì

từng hệ phương trình vẫn không thay đổi

* Phương pháp giải : [4]

- Đưa về hệ phương trình theo hai biến mới là : S P xy x y



 với điều kiện S2  4P

- Khi đó x, y là nghiệm của phương trình : X2  SX P  0 (1)

- Giải phương trình (1) và kết luận nghiệm

Chú ý : Hệ phương trình đối xứng có vai trò x, y như nhau nên khi (x,y) là

nghiệm của hệ phương trình thì (y,x) cũng là nghiệm của hệ phương trình

Bài tập 1 : Giải hệ phương trình : (I) 3 3 2 2

1 2

x y

 





* Phân tích : Nhận dạng được đây là hệ phương trình đối xứng loại 1 Theo phương pháp giải đối với hệ này chúng ta phương trình thứ nhất đã có dạng x+y, cần biến đổi phương trình thứ hai có dạng x+y và xy để tìm x, y dựa vào giải phương trình bậc hai.

Giải

 

1

x y

I



 



x y



 

2

x y xy



 





 x, y là nghiệm của phương trình : X2  X  2 0 (1)

Giải phương trình (1), hệ phương trình có nghiệm là : (-1;2); (2;-1)

Bài tập 2 : Giải hệ phương trình : (I)

2 2 12

9

x y xy



( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm học 2011 – 2012 ).

Giải:

2

9

I



 



2

9

 

  



2

30 0 *



 

  



Đặt x y  X thay vào phương trình (*) ta được : X2 X 30 0  (1)

Giải phương trình (1) ta có nghiệm : X 1 5 ; X 2 6

3 Trong trang này : Mục Phương pháp giải và Bài tập 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4 Bài tập 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 6.

+) Với X 1 x + y = 5 thay vào (**) ta được : 5

4

x y xy

 









 x, y là nghiệm của phương trình : X2  5X   (2)4 0

Giải phương trình bậc hai (2), hệ phương trình có nghiệm là : (1;4) và (4;1) +) Với X 1 x + y = - 6 thay vào (**) ta được : x y xy 156



 x, y là nghiệm của phương trình:X2 6X 15 0 (phương trình vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có nghiệm là : (1;4) và (4;1)

* Bài tập vận dụng : 4 Giải hệ phương trình

a) xy3 13 2 2









b)

1

x y





[5]

Bài tập 3: Giải hệ phương trình : (I)

2 2 6

5

x y xy

xy x y



  



* Phân tích : Đối với hệ phương trình này chúng ta cần biến đổi cả hai phương trình của hệ để đưa hệ về hai biến mới là S = x+y và P = xy Tìm S, P sau đó mới tìm được nghiệm x, y của hệ phương trình.

Giải :

(I)

2 2 6

5

x y xy

xy x y



  



6 5

xy x y



 

Đặt : S x y

P xy

 







 (S2  4P) , hệ trở thành 6

5

SP

S P







 

 ( Đây là hệ đối xứng loại 1 với

ẩn là S, P )

 S, P là nghiệm của Phương trình bậc hai sau : X2  5X  6 0 (1)

Giải phương trình (1) ta được :

S P32



 ( t/m điều kiện) ; S P23



 ( không t/m điều kiện )

Khi đó x, y lại là nghiệm của phương trình bậc hai sau : X2  3X   2 0 (2)

Giải phương trình (2) suy ra hệ phương trình có nghiệm là : (1;2) ; (2;1) [4]

* Bài tập vận dụng : Giải hệ phương trình

a)

1

x xy y





b)

2 2

4 2 2 4

5 13





1.2 Hệ phương trình đối xứng loại 2: Nếu ta hay đổi vai trò của x, y thì

phương trình này trở thành phương trình kia

* Phương pháp giải : Trừ hai phương trình với nhau để nhận được phương

mới có dạng tích số.[4]

Chú ý : Hệ phương trình đối xứng loại 2 sau khi biến đổi thường đưa về dạng x

= y hoặc x = -y Nếu hệ phương trình có nghiệm (x,y) thì hệ phương trình cũng

có nghiệm (y,x).[4]

4 Trong trang này : Được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 5 và số 4.

Bài tập 1: Giải hệ phương trình : (I)  

 

2 2

2 8 1

2 8 2





* Phân tích : Đây chính là hệ phương trình đối xứng loại 2, áp dụng phương pháp giải đã có chúng ta giải hệ phương trình trên.

Giải :

Trừ hai phương trình của hệ với nhau ta được :

x2  2y  y2  2x  0  x y x y     2  0

 x y x y 2 00

  

y x





   

 +) Với y = - x thay vào phương trình (1) ta được : 2

2 8 0

x  x  (*) Giải phương trình (*) ta có nghiệm là : x 1 4; x 2 2

Hệ phương trình có nghiệm là : (4;-4); (-2;2)

+) Với y = x + 2 thay vào phương trình (1) ta được : x2  2x 4 0  (*)

Giải phương trình (*) ta có nghiệm là : x  1 1 5; x  2 1 5

Hệ phương trình có nghiệm là :   1 5;1  5 ;   1 5;1  5

Vậy hệ phương trình có nghiệm là : (4;-4); (-2;2);   1 5;1  5;

  1 5;1  5

Bài tập 2: 5 Giải hệ phương trình :

3

3

8

2 3

6

x y x

y











[8]

( Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2012 – 2013 ).

* Phân tích : Nhận thấy hệ phương trình này chưa phải hệ phương trình đối xứng loại 2 đối với ẩn x và y Tuy nhiên chúng ta có thể biến đổi để hệ phương trình trở thành hệ phương trình đối xứng loại 2 với hai ẩn x và 2y Để giải hệ phương trình này chúng ta đặt z 2

y

 và đưa hệ phương trình về dạng đối xứng loại 2.

Giải :

Điều kiện y 0 Đặt z = 2y ta được hệ :  

 

3 3

x z





 Trừ vế với vế của hai phương trình trên ta đươc :

( )( 2 2 3) 0 2 0 2

3 0

x z





( Mà x2 + xz + z2 +3 = (x +

2

z

)2 + 3 2 3

4

z

 > 0 với mọi x, z )

5 Trong trang này: Được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4; số 5 và số 8.

Xét x – z = 0  x = z thay vào phương trình (1) của hệ ta được :

x3 – 3x – 2 = 0  (x+1)2(x - 2) = 0 x = -1 hoặc x = 2

Với x z   1 y 2  nghiệm (x ; y ) của hệ là (-1,-2)

Với x z   2 y 1  nghiệm (x ; y ) của hệ là (2,1)

Vậy nghiệm (x ; y ) của hệ là ( 1; 2)   và (2,1)

* Bài tập vận dụng : Giải hệ phương trình

a)

2 2 2 2

2 3

2 3

y y

x x x

y













b)

2

2

2 2007 2

2007

x

y









[5]

Dạng 2: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số (d) y  ax b a  0

và (P) ya 'x2a' 0 .

* Phương pháp giải :

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (d) y ax b a  0

và (P) ya 'x2a' 0  là :

a ' x2 ax b  a ' x - ax - 2 b 0 (1)

Phương trình (1) là một phương trình bậc hai, số giao điểm của hai đồ thì hàm

số chính là số nghiệm của phương trình

+ Nếu phương trình ( 1) có hai nghiệm thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm

+ Nếu phương trình ( 1) có nghiệm kép thì (d) và (P) cắt nhau tại một điểm ( hay tiếp xúc nhau )

+ Nếu phương trình ( 1) vô nghiệm thì (d) và (P) không cắt nhau

Bài tập 1 : 6Trên mặt phẳng tọa độ Oxy có parabol (P) : 1 2

4

y x và đường thẳng (d) : y = mx +1, m  Z Chứng minh rằng với mọi m  Z thì đường thẳng (d)

luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt [8]

( Đề thi HSG Tỉnh Gia Lai năm học 2009 – 2010 )

* Phân tích : để giải bài toán này trước hết cần viết được phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số ( đó chính là phương trình bậc hai ),

số giao điểm của hai đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình đó Để chứng tỏ đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phải chứng tỏ phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m  Z

Giải :

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :

1 2

1

4x mx  x2 4mx 4 0 (1)

Xét :   ' b'2  ac 4m2   ( 4) 4  m2   4 0 ( với mọi m  Z )

6 Mục phương pháp giải lag “của” tác giả Bài tập vận dụng được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 5 Bài tập 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 8.