SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC YẾU TỐ KHOẢNG CÁCH ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH
KHAI THÁC YẾU TỐ KHOẢNG CÁCH
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG
Người thực hiện: Nguyễn Lê Thiêm
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2016
Trang 2MỤC LỤC
A Mở đầu
B Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 4
2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4
5 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
C Kết luận, kiến nghị
Trang 3A PHẦN MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Trong chương trình toán học phổ thông, các bài toán về tọa độ và ứng dụng của nó giữ một vị trí quan trọng, nó xuất hiện hầu hết trong các kỳ thi tuyển sinh các cấp, kỳ thi chọn học sinh giỏi toán cấp tỉnh, cấp Quốc Gia… và thường xuất hiện dưới dạng là một trong các bài toán khó trong đề Điều tất nhiên khi gặp những bài toán này, học sinh phải mất rất nhiều thời gian, công sức để giải quyết nó
Trong những năm gần đây, nước ta thực hiện kì thi THPT Quốc gia Những học sinh sử dụng kết quả thi THPT Quốc gia môn Toán để xét tuyển sinh Đại học- Cao đẳng cần phải làm được câu tọa độ trong mặt phẳng Đây là một câu hỏi tương đối khó Để giải được câu hỏi này đòi hỏi học sinh ngoài việc học tốt phương pháp tọa độ trong mặt phẳng còn phải có kinh nghiệm và phương pháp tìm tòi sáng tạo Bản thân tôi là một giáo viên nhiều năm dạy các lớp mũi nhọn, đối tượng học sinh chủ yếu là học sinh khá, giỏi Nhiệm vụ trọng tâm là
giúp các em hiểu và vận dụng tốt các kiến thức cơ bản vào giải bài tập, có đủ
khả năng để tham gia các kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán cũng như đạt điểm cao trong kì thi THPT Quốc gia
Từ thực tiễn giảng dạy và kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm, cùng với sự tích lũy kiến thức trong quá trình giảng dạy Tôi đã tổng hợp, khai thác nhiều chuyên đề về tọa độ trong mặt phẳng Trong SKKN này tôi xin chia sẻ tới đồng nghiệp, cùng các bạn yêu thích môn toán một kinh nghiệm
nhỏ để giải bài toán: ‘‘Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khai thác yếu tố
khoảng cách để giải bài toán tọa độ trong mặt phẳng”.
2 Mục đích nghiên cứu:
Qua nội dung đề tài này, tôi mong muốn cung cấp cho học sinh một số kinh nghiệm và kỹ năng cơ bản để học sinh có thể khai thác giả thiết của các bài toán khó về tọa độ trong mặt phẳng Đồng thời hình thành cho các em thói quen tìm tòi tích lũy và rèn luyện tư duy sáng tạo
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Các vấn đề được nêu trong SKKN này chủ yếu là hướng đến việc khai thác một lớp bài toán có giả thiết liên quan đến yếu tố khoảng cách
Các nội dung này đã được bản thân thực nghiệm nhiều năm qua các đối tượng học sinh Và đạt hiệu quả cao trong giảng dạy
4 Phương pháp nghiên cứu.
Trong phạm vi của đề tài, tôi đã sử dụng kết hợp các phương pháp như: phương pháp phân tích – tổng hợp- đánh giá; phương pháp vấn đáp - gợi mở, nêu ví dụ; phương pháp diễn giải và nột số phương pháp khác
Trang 4B NỘI DUNG
I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
Vấn đề tôi đưa ra được dựa trên cơ sở hai bài toán về khoảng cách trong
hình học tọa độ trong mặt phẳng mà học sinh đã được học ở lớp 10: Khoảng
cách giữa hai diểm và khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Bài toán khoảng cách có mặt trong nhiều bài khác nhau như: lập phương trình đường thẳng; tìm tọa độ điểm, lập phương trình đường tròn, bài toán tập hợp điểm trong hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxy
Vì vậy, việc vận dụng các kỹ năng về khoảng cách là cần thiết đối với việc giải bài toán về tọa độ trong mặt phẳng
II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Trong các kỳ thi, luôn có bài toán tọa độ trong mắt phẳng, đây là vấn đề
mà các đồng nghiệp cũng đã tốn nhiều công sức để tìm tòi hướng giải quyết và vân dụng Thực tế giảng dạy, khi dạy phần này các thầy cô chủ yếu tập trung truyền thụ cho học sinh nội dung phương pháp tọa độ là chính, nhưng khi tham gia giải các đề thi thì nhiều học sinh vẫn không giải được bài này Vì thế nhiệm
vụ của thầy cô giúp học sinh khắc phục điểm yếu này
Tọa độ trong mặt phẳng là một nội dung kiến thức quan trọng của chương trình Toán lớp 10 tuy nhiên có nhiều học sinh khi học ở lớp 10 rất yếu trong việc
tư duy vận dụng các kiến thức mới trong mối liên hệ giữa các nội dung kiến thức của toán THPT Đặc biệt trong các kỳ thi cấp quốc gia chúng ta thường thấy càng gần đây có càng nhiều những câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư duy tổng hợp Đây là các bài toán gây khó khăn và bế tắc cho không ít học sinh do đó đề tài này góp phần giúp học sinh gỡ những vướng mắc trong khi tìm tòi lời giải bài toán hình tọa độ phẳng trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh và thi THPT quốc gia
Nội dung của SKKN này đáp ứng giải quyết một phần nhỏ trong cấu trúc
đề thi
III CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN.
Khi dạy phần này cho học sinh, tôi thường định hướng rèn luyện cho học sinh kỹ năng xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đã biết của bài toán, kết hợp tư duy hình học phẳng
Việc giải các bài toán từ mức độ dễ đến mức độ khó sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng tìm tòi lời giải và hoàn thiện lời giải của bài toán
Tôi đã hình thành cho học sinh các kỹ năng giải toán sau:
1 Kỹ năng nhận dạng và phân loại bài tập thông qua các dấu hiệu có sẵn trong bài toán
2 Kỹ năng dự đoán để định hướng lời giải của học sinh
3 Kỹ năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở đã định hướng dduocj cách giải
Thông qua bài kiểm tra để đánh giá mức độ tiếp thu và khả năng nắm kiến thức của học sinh
Trang 5IV PHẦN NỘI DUNG:
Kiến thức chuẩn bị:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy
- Cho điểm A(x A ; y A ) và B(x B ; y B ), khi đó khoảng cách 2 2
AB x x y y
AB x x y y
- Cho điểm M(x M ; y M ) và đường thẳng có phương trình ax by c 0, khoảng cách từ M đến được ký hiệu d M ; và được xác định bởi công thức:
; ax M 2by M2 c
d M
a b
- Đường thẳng có véc tơ pháp tuyến (VTPT) n a b ; và đi qua điểm M x y 0 ; 0
có phương trình: a x x 0b y y 0 0
- Đường thẳng vuông góc với đường thẳng d: ax by c 0 có phương trình dạng: bx ay m 0
- Đường tròn tâm I(a; b) bán kính R có phương trình: x a 2y b 2 R2
Bài toán 1 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A x y A; A cho trước và
cách điểm B x y B; B cố định một khoảng d không đổi.
a Phương pháp giải:
- Gọi n a b ; (điều kiện 2 2
0
a b ) là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của
đường thẳng ta có phương trình cần lập: a x x Ab y y A 0
A A 0
ax by ax by
- Tính khoảng cách từ B đến ta được ax B by B 2ax2A by A
d
a b
phương trình đẳng cấp bậc hai hai ẩn a và b.
- Giải phương trình này ta tìm được b theo a hoặc ngược lại; từ đó chỉ ra
được VTPT của và lập được phương trình
b Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Lập phương trình đường thẳng
qua P(2; 5) sao cho khoảng cách từ Q(5; 1) đến đường thẳng đó bằng 3.
Lời giải chi tiết:
Gọi n a b ; (điều kiện a2 b2 0) là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng
ta có phương trình cần lập: a x 2b y 5 0 ax by 2a 5b 0
Khoảng cách: d(Q; ) = 5 a5 b1 2a22 b5 3
a b
Trang 6 3a 4b 3 a2b2 24ab 7b2 0 b24a 7b 0
0 24 7
b a b
Với b = 0 ta có : x 2 0
7
b a ta có : 7x 24y 134 0
ĐS: x 2 0 hoặc 7x 24y 134 0
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(1; 1) và B(2; 3) Lập
phương trình đường thẳng () cách A một khoảng bằng 1 và cách B một khoảng bằng 2.
Lời giải chi tiết:
Giả sử () có phương trình: Ax + By + C = 0 điều kiện: A2 B2 0
d(A/) = 1 ABC A2 B2 (1)
d(B/) = 2 A 2 B 3 C 2 A2 B2 (2)
Từ (1) và (2) 2 ABC = A 2 B 3 C
2A 2B 2C 2A 3B C 2A 2B 2C 2A 3B C 0
4A 5B 3C B C 0
0 3 5
4A B C
C B
* Với B = C thay vào (1): 4AB 3B2
B A
B
3 4
0
+) B = 0 C = 0 phương trình cần lập: x = 0.
+) -4
3
B A -4
3
C A phương trình cần lập: 3x 4y 4 0
3
A B
A B C C , thay vào (1):
3
A B
A B A B A 2B 3 A2 B2 8A2 4AB 5B2 0
2 2
9
2 2
B
ĐS: x = 0 hoặc 3x –4y –4 =0.
c Một số bài tập mở rộng.
Bài 1.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng a:
3x 4y 5 0 và b: 4x 3y 1 0 Tìm phương trình các đường phân giác
của góc sinh bởi a, b
Nhận xét:
- Ở bậc học THCS học sinh đã được học khái niệm đường phân giác của
góc.
- Vân dụng kiến thức về khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, ta có lời
giải như sau:
Trang 7Lời giải:
Xét điểm M(x 0 ; y 0 ) thuộc đường phân giác của góc.
Ta có: d M a ; d M b ;
x y x y
3x0 4y0 5 4x0 3y0 1 0 0
x y
Vậy có hai đường thỏa mãn: x 7y 4 0 và 7x y 6 0
Chú ý:
- Với lời gải của bài toán, chúng ta tìm được hai phương trình ứng với hai
đường phân giác ngoài và trong.
- Đến đây học sinh cần có kỹ năng để phân biệt được phân giác trong và
phân giác ngoài.
Bài 1.2. (TSĐH Khối B-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(1; 1)
và B(4; -3) Tìm C trên đường thẳng : x– 2 –1 0y sao cho khoảng cách từ
C đến AB bằng 6
Tìm tòi hướng giải:
- Ta có C thuộc đã biết phương trình
do đó ta biểu diễn C qua tham số t
- Đường thẳng AB lập được phương
trình
- Sử dụng công thức tính khoảng cách
từ điểm đến đường thẳng ta nhận được
phương trình ẩn t.
Lời giải chi tiết.
C thuộc suy ra C(2t+1; t).
Phương trình AB:
x y
Theo bài ra khoảng cách từ C đến AB bằng 6,
ta có: 4 2 1 2 32 7 6
t t
3
11
t t
Vậy có hai điểm C là: C(7; 3) hoặc 43; 27
11 11
C
ĐS: C(7; 3) hoặc 43; 27
11 11
C
Chú ý: Bài 1.1 có thể phát biểu cách khác: Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(4;
-3) và C thuộc đường thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho ABC có diện tích bằng 15 Tìm tọa độ điểm C.
Bài 1.3. (Đề khảo sát THPT QG tỉnh Thanh Hóa năm 2016) Trong mặt phẳng với
hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tâm I(2 3 2 ; 5), BC = 2AB,
Trang 8góc BAD= 600 Điểm đối xứng với A qua B là E( 2;9) Lập phương trình
cạnh AB biết rằng A có hoành độ âm.
Tìm tòi hướng giải:
- Bài toán đã cho điểm I và E nên ta có độ dài
IE.
- Đường thẳng AB qua điểm E đã biết, từ đó ta
nghĩ đến việc xác định khoảng cách từ I đến
AB.
- Phải chăng B là hình chiếu vuông góc của I
lên AB?
- Ta sử dụng giả thiết “BC = 2AB, góc BAD =
60 0” để chứng minh điều nhận định trên
- Như vây ta sử dụng Bài toán 1 để giải tiếp.
Lời giải chi tiết:
Ta có khoảng cách IE 2 2 3 2 29 5 2 2 7
Trong tam giác ABD ta có: BD2 AB2 AD2 2AB AD cosBAD
BD2 AB2 2AB2 2AB AB cos.2 60 0
BD2 AB2 4AB2 2AB2 3AB2
BI IA AB IE BD BI 7 2
3BI BI
Gọi n a b ; (điều kiện a2 b2 0) là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng
AB ta có phương trình cần lập: a x 2b y 9 0 ax by 2a 9b 0
Khoảng cách từ I đến AB ta được:
2 3
2 3 2 a 5b a b
a b
(2 3a 4 )b 12(a b )
( 4 3 ) 0
b b a
0
4 3
b
+) Với b = 0, chọn a = 1, khi đó AB có phương trình x 2 0, suy ra IB có
phương trình y 5 0 Do BABIBnên B( 2 ; 5 ), mà B là trung điểm của AE
nên A( 2 ; 1 )(thỏa mãn điều kiện x A 0)
Do I là trung điểm của AC và BD nên ta suy ra C(4 3 2;9), (4 3 2;5) D
+) Với b 4 3a, chọn a = 1 b 4 3, phương trình AB: x 4 3y 2 36 3 0,
suy ra phương trình IB: 4 3 (x 2 3 2 ) (y 5 ) 0 4 3x y 8 3 19 0
A B E
I
D C
Trang 9Do BABIBnên
7
59
; 7
14 3 16
7
55
; 7
14
3
32
Vậy phương trình AB là: x 2 0
Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng d:
0
ax by c cho trước và cách điểm A x y 0 ; o cho trước một khoảng không đổi.
a Phương pháp giải:
- Từ giả thiết “đường thẳng vuông góc với đường thẳng d cho trước” ta
có phương trình tổng quát của : bx ay m 0
- Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta thiết lập
được phương trình tìm hệ số tự do m.
b Ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Lập phương trình đường thẳng vuông
góc với đường thẳng d: 4x 3y 0 và cách điểm A(1; 1) một khoảng bằng
5.
Giải:
vuông góc với đường thẳng d: 4x 3y0 nên có phương trình: 3x 4y m 0
A cách một khoảng bằng 5:
; 5
d A
3.1 4.1
5
m
18
32
m m
m
+) Với m = 18 ta có phương trình: 3x 4y 18 0
+) Với m = -32 ta có phương trình: 3x 4y 32 0
Vậy có hai phương trình: 3x 4y 18 0 hoặc 3x 4y 32 0
c Một số bài tập mở rộng.
Bài 2.1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 y2 6x 2y 6 0
và điểm A(1; 3), đường thẳng d qua A cắt đường tròn tại B và C Lập phương trình của d sao cho AB + AC nhỏ nhất.
Tìm tòi lời giải:
- Từ gải thiết “AB + AC nhỏ nhất” ta
nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức
Cauchy cho AB và AC để tìm dấu bằng
xảy ra
- Khi đó ta nhìn thấy Bài toán 2.
Lời giải chi tiết:
Tâm đường tròn: I(3; -1), bán kính R = 2.
I(3; -1) d
C B
A(1; 3)
Trang 102 5
IA R nên A nằm ngoài đường tròn (C).
Ta có:
AB AC d R
Áp bất đẳng thức Cauchy ta được:
AB AC AB AC
Dấu “=” khi AB = AC=4 Khi đó d là tiếp tuyến của (C).
Giả sử n a b ; là VTPT của đường thẳng d, khi đó phương trình của d:
1 3 0
a x b y ax by a 3b 0
Từ: d I d ; 2 a.3 b 12 2a 3b 2
a b
2a 4b 2 a b
0
3
b
b ab
Với b = 0 ta có phương trình d: x – 1 = 0.
3
b a ta có phương trình d: 3x+ 4y – 15 = 0.
Chú ý: Đối với bài toán này trước khi bắt tay vào giải, ta phải kiểm tra xem A ở
trong hay ngoài đường tròn để áp dụng công thức phương tích của điểm đối với đường tròn.
Bài 2.2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và
D, đáy lớn AB, ABC 45 0, cạnh AD và AC lần lượt có phương trình là:
3x y 0 và x 2y 0 Viết phương trình cạnh BC biết hình thang có diện tích bằng 15 và điểm C có tung độ dương.
Tìm tòi lời giải:
- Ta dễ dàng xác định được tọa
độ điểm A
- Từ giả thiết “cạnh AD và AC
lần lượt có phương trình là:
3x y 0 và x 2y 0” ta có
45 0
DAC suy ra BAC 45 0 suy
ra tam giác CAB vuông cân đỉnh
C suy ra BC vuông góc với AC.
- Từ giả thiết “hình thang có diện
tích bằng 15” ta tìm được độ dài
AC chính là khoảng cách từ A
đến BC
- Từ đó ta áp dụng Bài toán 2.
E
x-2y=0
3x-y=0
B A
Trang 11Lời giải chi tiết.
Tọa độ A là nghiệm của hệ: 3x x y2y00
0
x
A y
Gọi E là hình chiếu vuông góc của C lên AB, góc ABC 45 0 nên EC = EB.
AD và AC có VTPT lần lượt là: n 13; 1
2 1; 2
n
.
1 2
1 2
;
2
n n cos AD AC
n n
2
AD DC AB
BC vuông góc với AC: x 2y 0 nên có phương trình: 2x y m 0
A cách BC một khoảng 10 2 2 5 , nên ta có: 2.0 02 2 2 5 10
2 1
m
m
+) Với m = 10 ta có tọa độ C là nghiệm của hệ: 2x x y 2y10 00 x y42
y C >0)
+) Với m =- 10 ta có tọa độ C là nghiệm của hệ: 2x x y 2y10 00 x y42
mãn y C >0)
Vậy phương trình cần lập: 2x y 10 0
Chú ý: Đối với bài này, khi đã biết “A cách BC một khoảng 10 2 2 5 ” ta có
thể sử dụng Bài toán 3 để giải:
Gọi C(2t; t) với t > 0
Ta có: 2 5 2 02 02 2 5 2
2
t
t
T = 2 thỏa mãn, suy ra C(4; 2).
Đường thẳng BC qua C và vuông góc với AC nên có VTPT n32;1 .
phương trình: 2x 4 1.y 2 0 2x y 10 0 .
Bài toán 3 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d đã biết phương trình và
cách điểm A cho trước một khoảng không đổi r.
a Phương pháp giải:
Ta có thể giải quyết bài toán này theo hai hướng sau:
