Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh - File word có lời giải chi tiết

Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh - File word có lời giải chi tiết tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, lu...

Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh – môn Toán

CÔNG THỨC VÀ THỦ THUẬT TÍNH NHANH

BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC Bài toán cơ bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z

Phương pháp chung

+ Bước 1: Tìm tập hợp  H các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (*)

+ Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M H sao cho khoảng cách OM lớn nhất, nhỏ nhất

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa

độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên Môđun lớn nhất của số phức z là

A.

max 1

2

2

z 

Lời giải

max

z bằng nửa độ dài đường chéo của hình vuông cạnh bằng 2  Chọn đáp án C

Ví dụ 2: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ

là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên Môđun nhỏ nhất của số phức z là

A.

min 0

min 1

min

2 2

z 

Lời giải

min 0

z  , điểm biểu diễn là điểm O Chọn đáp án A

Ví dụ 3 : Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng

tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên Môđun nhỏ nhất của số

phức z là

A

max 1

max 2

C.

max 3

z 

Lời giải

Tam giác OAB có gócOABlà góc tù nên

3

Vậy

max 3

z   Chọn đáp án C

Ví dụ 4 : Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt

phẳng tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên Môđun nhỏ nhất

của số phức z là

A. zmin 1 B. min 1

2

C. min 2

3

z  D. zmin  3

Lời giải

Tam giác OAB có góc OBA là góc tù nên

1

OAOB z OB Vậy zmin  1 Chọn đáp án A

Ví dụ 5 : Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng

tọa độ là đường elip như hình vẽ bên Môđun nhỏ nhất của số phức z

là

A. zmin 1 B. zmin 2

C. min 1

2

2

z 

Lời giải

Elip có độ dài trục nhỏ bằng 2b 2 z  1 Chọn đáp án A

Ví dụ 6 : Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt

phẳng tọa độ là hình elip tô đậm như hình vẽ bên Môđun lớn nhất của

số phức z là

A.

max 1

max 2

C. max 1

2

2

z 

Lời giải

Elip có độ dài trục lớn bằng

max

2a 4 z  2 Chọn đáp án B

Ví dụ 7 : Tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức z là đường

thẳng  như hình vẽ Khi đó, z có giá trị nhỏ nhất bằng

2

Lời giải

Phường trình :d x  y 1 0

Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z M d





  



Vì Md x:    y 1 0 M t ;1t

z  t  t  t   t t  t   t   

Vậy min 1

2

z   Chọn đáp án D

MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN TRỌNG THƯỜNG GẶP Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn za bi  c ,c0, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z

Lời giải

z a bi c c0 Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z

là đường tròn có tâm I a b ; và bán kính Rc

Khi đó :z OM

2

1

max

min





     

Tìm tọa độ điểm M M (tức là, tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất) 1, 2

+ Phương trình đường tròn  C quỹ tích của điểm M biểu diễn số phức z là:

:

C x a  y b c

+ Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm , O I là d Ax: By C 0

Khi đó, M M là giao điểm của 1, 2  C và d

Giải hệ phương trình:   2 2 2

0

    



  

 hai nghiệm  tọa độ hai điểm

So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm được tới O , khoảng cách nào nhỏ hơn thì điểm đó ứng với

điểm M và điểm còn lại là điểm 1 M 2

Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z1 z2 r, r0 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z

Giải

2

2

max

min

z

z



 











VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Nếu các số phức z thỏa mãn z 2 4i  5 thì z có giá trị lớn nhất bằng

Lời giải

Tập hợp các điểm M z  là đường tròn có tâm I 2;4 và bán kính

5

Vậy max z OM OI R 2242  53 5

 Chọn đáp án A

Câu hỏi bổ sung 1: z có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Trả lời: min z ON OI R 22 42  5 5

Câu hỏi bổ sung 2: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất

Trả lời: Phương trình đường thẳng OI là y2x

Tọa độ hai điểm M N là nghiệm của hệ phương trình: ,

 

 

1

1; 2

3; 6 6

x

N

M y

 







 





+ Số phức z có môđun lớn nhất là z 3 6i ứng với điểm M 3;6

+ Số phức z có môđun nhỏ nhất là z 1 2i ứng với điểm N 1;2

Ví dụ 2[Trích đề thi thử chuyên KHTN - Lần 1]:

Nếu các số phức z thỏa mãn 1i z  1 7i  2 thì z có giá trị lớn nhất bằng

Lời giải

1

i

i





1 i z 3 4i 2 z 3 4i 2 z 3 4i 1

Tập hợp các điểm M z  là đường tròn có tâm I 3;4 và bán kính R1

Vậy max z OI R 3242   1 6 Chọn đáp án D

Ví dụ 3: Nếu các số phức z thỏa mãn 2 3 1 1

3 2

i z i

   

 thì z có giá trị nhỏ nhất bằng

Lời giải

3 2

i

 

                

Tập hợp các điểm M z  là đường tròn có tâm I0; 1  và bán kính R1

Bài toán 2: Trong các số phức z thỏa mãn zz1 r1 ,r1 0 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của

P z z

Lời giải

Gọi I z     1 ,A z2 ,M z

max min

  



       

Muốn tìm các số phức sao cho Pmax,P thì ta đi tìm hai giao điểm min

1, 2

M M của đường tròn  I r, 1 với đường thẳng AI

Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z1 z2 r1,r10 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của

3

P z z

3 1 3

1

maxP z z r vàminP z z r

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 3 2i 2 Giá trị nhỏ nhất của z 1 i lần lượt là

Lời giải

1

1

z

      

2

z

z     i z i

Ví dụ 2: Trong số phức z thỏa mãn z5i 3 , số phức có z nhỏ nhất thì có phần ảo bằng bao nhiêu?

Lời giải

Tập hợp các điểm M z  là đường tròn có tâm I 0;5 và bán kính

3

Vì z OM nên số phức z có môđun nhỏ nhất là z2i ứng với

điểm M1 0; 2

 Chọn đáp án C

Ví dụ 3 [ Trích đề thi HK 2 – THPT Phan Đình Phùng – HN]: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn

2 2 1

z  i  ,gọi z a bi a b, ,   là số phức có z4i đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị biểu thức

 2 

Pa b

2

2

2

2

Lời giải

1

z

z  i   z i  I  và    

2

z

z i   z i  A 

Tập hợp các điểm M z  là đường tròn có tâm I2; 2  và bán kính r11

Phương trình đường thẳng IA là: x  y 4 0

Tọa độ hai điểm M, N là nghiệm của hệ phương trình:

4

1 2

2

x

 



        

4

1

2

y x

x

 

Khi đó

1

2

2 ; 2

2 ; 2

AM

AM





là điểm biểu diễn số phức cần tìm

1 2

2 2

z a bi

a

b

 

  





Chọn đáp án A

Bài toán 3: Trong số phức z thỏa mãn zz1  z z2 k, k0 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của

P z

Lời giải

Gọi M z ,M1 z1 ,M2 z2

Khi đó : zz1  z z2  k MM1MM2  k M elip E  nhận M M làm tiêu điểm và có độ dài 1, 2 trục lớn bằng k2 a

Vì ở chương trình Toán lớp 10, chỉ được học elip có hai tiêu điểm là F1c;0 ,  F c1 ;0 nên thường đề bài

sẽ cho dưới dạng: z   c z c k, 0 c k,  

 

M elip E

  nhận F1c;0 ,  F c1 ;0 làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k 2a

max

min

2 4 2

k

  



 



  



Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z1 z2  z z1 z2 k, Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P z

Giải:

2 2

2

4

k



VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z   4 z 4 10 , gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá , trị nhỏ nhất z Khi đó, giá trị biểu thức PMm2 bằng

A. P 6 B. P 13 C. P 5 D. P 4

Lời giải

Áp dụng công thức trên, ta có:

max

min

10 5 2

5 3 4

10 4.4

3 2







 Chọn đáp án D

Bài toán 4: Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1  z2 m ni và z1z2  p 0 Tìm giá trị lớn nhất của

P z  z

Lời giải

Giả sử: 1  

1 2 2

z z a c b d i m ni



P z  z  a b  c d    a b  c d  a b  c d

2 a b  c d m n p  P m n p  maxP m n p

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ [Trích đề thi thử chuyên KHTN - Lần 4]: Với hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1  z2 8 6i và

z z  Tìm giá trị lớn nhất của P z1  z2

A. 4 6 B. 5 3 5 C. 2 26 D. 34 3 2

Lời giải

Áp dụng công thức trên ta được :P z1  z2  826222 2 26 Chọn đáp án C

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là

A. 2 2 1; 2 2 1  B. 2 1; 2 1  C. 2;1 D. 3 1; 3 1 

Câu 2.Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 4 5 Giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là

Câu 3. Trong các số phức z thỏa mãn z 3 4i  z thì số phức z có môđun nhỏ nhất là

2

2

2

z   i D. 3 1

6

z   i

Câu 4. Trong các số phức z thỏa mãn z 2 4i  z 2i thì số phức z có môđun nhỏ nhất là

A. z  2 2i B.z  2 2i C. z 2 2i D. z 2 2i

Câu 5. Trong các số phức z thỏa mãn z 3 4i  z , biết rằng số phức z a bi, a b,   có môđun nhỏ nhất Khi đó, giá trị của Pa2b là

A. 1

4

2

4

2

P 

Câu 6 Trong các số phức z thỏa mãn z 1 5i   z 3 i , biết rằng số phức z a bi ,a b,   có môđun nhỏ nhất Khi đó, tỉ số a

b bằng

2

3 D. P  2

Câu 7 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2 i 1 Giá trị lớn nhất của z1 là

A. 2 1 B. 2 1 C. 2 D. 1

Câu 8 Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của zi bằng

Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn2i z  1 1 Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 bằng

Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn z  1 2i  10 Giá trị lớn nhất của z 1 4i bằng

A> 10 B.10 3 C. 3 10 D. 4 10

Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 4 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 2 i Giá trị của T M2m2 là