ổn định mũ cho hệ suy biến có trễ

β −

II BÀI TOÁN VÀ CÁC KI N TH C C B N

n h

t o n [−h,0]vào n,x t:= x t s( + ),∀ ∈ −s [ h,0].Khi ó v i ∀ ∈x C t n h, thì

,0

: sup

s h

∈ −

m

n a nhóm xác nh d ng (A≥0)n u x Ax T ≥ ,0 A c g i là xác nh

d ng (A> n u 0) x Ax T > 0

Xét h ph ng trình vi phân suy bi n không ch c ch n có tr (uncertain singular time-delay system) sau :

ây x t( )∈ n, là bi n tr ng thái và bi n i u khi n E A A, , d là các ma

tr n h ng v i các ph n t là s th c v i s chi u thích h p và

0 rankE r n< = < φ ( )t ∈C n h, là hàm i u ki n ban u ∆ ∆ là các ma A A, d

tr n th i gian b t bi n,và

∆ =A DFH , ∆ =A d DFH d (2a)

F F I T ≤ (2b) Trong ó ,D D H H là các ma tr n h ng có s chi n thích h p , d, , d F F là d

các ma tr n h ng không ch c ch n

Tr c h t,chúng ta s a ra các nh ngh a và b cho h suy bi n tr

th i gian sau

d

Ex t Ax t A x t h

x t φ t t h

nh ngh a 1:

i H (3) c g i là regular n u a th!c "c tr ng det sE A( − ) không

#ng nh t b ng không

ii H (3) c g i là impulse-free n u deg det sE A( ( − ) )=rankE

B 1

N u h (3) là regular và impulse-free ,khi ó v i t t c$ hàm i u ki n ban

u φ ( )t ,h (3) t#n t i duy nh t nghi m trên [0,+∞ )

nh ngh a 2:

i Cho β > 0.Nghi m không c a h (3) c g i là β − n nh m% n u

t#n t i s N > sao cho v i b t k0 & nghi m x t c a h (3) v i hàm i u ( )

C

x t ≤ Ne− β φ t

ii H (3) c gi là β − n nh m% n u nghi m không c a h làβ − n

nh m%

B 2:

Gi$ s r ng a( )⋅ ∈ n a ,b( )⋅ ∈ n bvàN( )⋅ ∈ n n a×bxác nh trên t p Ω Khi

ó v i b t k& các ma tr nX∈ n n a× a ,Y∈ n n a×b ,Z∈ n n b×btho$ mãn

0

Z ≥

T

−

∗

B 3:

Cho ma tr n Q≥ ,n u ph n t 0 q n m trên i ng chéo chính c a Q

b ng không ,thì các c t và các hàng i qua q c i %ng b ng không

B 4 Cho Ma tr n i x!ng ()c nh d ng Q*+,-)c ma tr n M N ,-.,,

s ,chi u /01ch h p,ta -.,b t 'ng th!c sau:

1

M N N M N QN M Q M+ ≤ + −

III M T S K T QU CHÍNH

nh lý 1 Cho β > 0.H suy bi n có ch m (singular time-delay system)

x!ng Q>0, X ≥0,Z >0 và ,P Y tho$ mãn

0 ( )4

T

T

d d

L PA Y hA ZA

b

Q hA ZA

− +

<

Và

E ZE ≥

∗

Trong ó L A P= T T + PA Q hX Y Y+ + + + T +hA ZA T

Ch ng minh: Vì 0 rankE r n< = < ,nên t#n t i các ma tr n không suy

bi n ,M N sao cho:

0 0

r

I

E = MEN =

Ta "t các ma tr n d i ây sao cho t ng !ng v i các kh i c a ma tr n E

A A

21 22

P N PM

P P

−

12 22

T

Q N QN

12 22

T

X N XN

12 22

Y N YN

Y Y

12 22

T

Z Z

Z M ZM

Z Z

T (4a) chúng ta có

( )

1

T T

PE E P

s d ng ma tr n d ng kh i c a E và P (5) và (6) th vào (7),ta có

0

T T

Nhân vào và #ng nh t hai v ,ta c P21 =0,P11 > ,ta vi t 0 11 12

22

0

P P P

P

Trong (4b) s d ng công th!c ph n bù Schur ,thì:

( )( 2 ) (1 )

2

0

T

A P PA Q hX Y Y PE hA ZA

PA Y hA ZA e β Q hA ZA PA Y hA ZA

β

−

−

Theo b , ,4, ta suy ra

2

0

T

A P PA Q hX Y Y PE hA ZA PA Y hA ZA

PA Y hA ZA e β Q hA ZA

β

−

Hay

1

e β β

P A A+ + A A+ P <

Do ó P là không suy bi n ,suy ra P c%ng không suy bi n khi ó thì P11 > 0

T (4c) ta th y r ng

E Z E ≥

∗

Th các ma tr n (6) vào (8) ta c

11 12 11 12

22 21 22 11

0 0

Z

∗

≥

∗ ∗

Theo b 3 ,chúng ta có Y12 =0 ,Y22 = hay 0

11

21

0 0

Y Y Y

= (10)

T (4b) d th y r ng

( )

T

T h

L P A Y hA Z A

e− β Q hA Z A

− +

<

L A P= +P A Q hX Y Y+ + + + + βPE hA Z A+

Ta -

2 2

0

h

T

T

L P A Y hA Z A A P P A Q Y Y P A Y hA Z A

e Q

e Q hA Z A

hA Z A hX PE

hA Z A

β β

β

−

−

=

+

0 0

T

T

hA Z A hX PE

hA Z A

β

> ,nên t ,(11) ta 30$i -.:

h

A P PA Q Y Y P A Y hA Z A

e− β Q

Bây gi ,ta thay các ma tr n kh i (6) vào (11b) ta c

h

A P PA Q Y Y P A Y hA Z A

e− β Q

(

)

11 11 21 12 11 11 12 21 21 22 11 12 12 22 11 12

12 11 22 12 22 21 22 22 22 22 22 21 22

12 21

T

T

0

<

11 12

22 22 22

T T

T

Z Z

Do ,

2

0

<

−

Suy ra

2 22

T T

d h

e− β Q

<

S d ng b ph n bù Schur trong (12) ,d4n n

22 22 22 22T T 22 h 22 22 22 T22 22T 0

P A + A P +Q +e P A Q A Pβ − <

Vì Q22 >0 P A22 22 + A P22 22T T <0 do ó A và22 P không suy bi n suy ra h 22

(3) là regular và impulse-fee

Vì r ng ,h là regular và impulse-fee nên l i t#n t i các ma tr n không

0

r

n r

A I

I −

5 n gi$n trong (6) ,ta ch n

1 0

:

A

A MAN

I −

= = (14)

Th c hi n phép i bi n

2

15

y t

x t Ny t N

y t

Trong ó y t1( )∈ r,y t2( )∈ n r− ,khi ó h (3) tr thành :

d

Ey t Ay t A y t h

y t ψ t N−φ t t h

Hay

( )

1 2

:

y t A y t A y t h A y t h

y t A y t h A y t h

t

y t t

t

ψ ψ

ψ

Trong ó ψ1( )t ∈ r,ψ2( )t ∈ n r−

Bây gi ,ta xét hàm Lyapunov-Krasovskii sau:

2

2

1 11 1

t s t

T

t u t T

h t s

T

t s t T

t h

t u t T

h t s

V y y t PEy t e y s Qy s ds

e y u E Z Ey u duds

e y u Z y u duds

β β

β

β

−

−

−

− +

−

−

−

− +

+

+

Chú ý r ng

2

T

t u t T

h t s

T

t u t

h t s

e y u E Z Ey u duds

e Ay u A y u h Z Ay u A y u h duds

h A Z A A Z A A Z A y

β β

−

− +

−

− +

Suy ra

2

2

t

t h

y t − y t h− = − y s ds thay vào (17)

( )

12

22 1

0

t

t h

d d

A

y t ψ t N φ t t h

−

−

+

( )

( )

17

2 2

1

2

2

2 0 0

t

T

t h

T

d d

V y

y t PEy t y t PEy t y t Qy t e y t h Qy t h

e y s Qy s ds hy t E Z Ey t

e y t s E Z Ey t s ds e y u E Z Ey u duds

y t

y t

β β

β β

β

β

−

−

−

−

+

12

22

1

1

0

0

d d t

t h

t

t h

d

A

A

y t

−

−

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

2

T

t s t

t h

e y t h Qy t h e y s Qy s ds hy t E Z Ey t

e y t s E Z Ey t s ds e y u E Z Ey u duds

β β

β β

β

β

−

−

−

−

( ) ( )

1

22 21

1

0

0

T

t d T

d

t h d

d

t h d T

y t Qy t

−

−

−

−

( )

2 2

0 2

1

22 21 2

1 2

2

2

2

0

t s t

t h

h T

t u t T

h t s

T

t

t h d

T

d

e y t h Qy t h e y s Qy s ds

hy t E Z Ey t e y t s E Z Ey t s ds

e y u E Z Ey u duds

y s ds y t P Ay t

y t

y t

y t P A

y t h

β β

β β

β

β

−

−

−

−

−

− +

−

−

( )

( )

1 2 2

2

0

22 2

2

0

T

T

d

T

T

t h

T

T

y t

y t h

y t Qy t e y t h Qy t h hy t E Z Ey t

e y s E Z Ey s ds y t PEy t y t PEy t

e y s Qy s ds e y u E Z Ey u duds

y t P P

P

y t

β β

−

−

−

+

−

11

1 21

2 2

2

t d

t h d

T

T T

t h T

t

A

y s ds A

y t P Ay t y t A P y t y t Qy t

e y t h Qy t h hy t E Z Ey t e y s E Z Ey s ds

y t PEy t V y

β β

−

−

−

−

6p 7ng b , ,(2) cho ( ) 11 12 11 11 11 12 21

0

P P N

+

21

Y Y Y

=

( ) 1( ) ( ) ( ) ( )

T

y t

X X

β

−

( )

( )

( )

( )

( )

1

22 21 2

1

22 21 2

1 11 11 11 12 2

2

0

2

0

T

t d

t h d T

t h

d T

T

d

y s ds

y t

y s ds

y t

y s Y P A P A

−

−

−

= −

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 2

1

21 22 21

12 22

2

t

t h

d

T

d T

t h T

t h

y t

y t ds

y s

h

Y P A

y t y t h e y s E Z Ey s ds

β

β

−

−

−

−

−

−

K t h p v i (10) ta -

( )

1

22 21 2

21 2

2

2

0

T

t d

t h d T

d T

t h T

t h

T

y s ds

y t

A

y t

e y s E Z Ey s ds

β

−

−

−

−

+

( )

1 2

21 2

T

T t

t h d

y t h

y t h

P y t y t h e y s E Z Ey s ds A

y t

β

−

−

−

−

H n n8a ,

t h e β − y s E Z Ey s ds e− β t h y s E Z Ey s ds

K t h p (22) ,(23) *+,(24) , ta -.:

( )

( )

17

2

12

2

22

t

T

T

T T

d

V y

y t

A

y t h y t P Ay t y t A P y t y t Qy t

A

e

−

−

2

2

2

2

T

t

T T

t T

d

T

y t h Qy t h hy t E Z Ey t y t PEy t V y

h y t X y t y t Y y t y t PAy t y t A P y t

y t Qy t y t PEy t e y t h Qy t h V y

y t Y y t h y t PA y t h hy t E Z Ey t

y t hX Y Y P A A P Q PE y t

y t h e Q

β

β

β

β

−

−

−

( )

2

2 2

2

T

d T

T

t

T

d

d T

T

t

y t h y t Y P A y t h

hy t E Z Ey t V y

hy t E Z Ey t V y

β

β

β

β

−

≤

M"t 90)c ,-0:ng ta -.,

T

T

T

hy t E Z Ey t

h Ay t A y t h Z Ay t A y t h

( )

T

d

d

y t h hA Z A hA Z A y t h

=

T ,(25) *+,(26) ,suy ra r ng

( )

( )

2

2

2

27

T

T

T

T

PA A P hX Y Y P A Y hA Z A

y t Hy t

β

β

β

−

≤ −

,ây

2

28

T

H P A A P hX Y Y Q PE hA Z A

P A Y hA Z A e β Q hA Z A P A Y hA Z A

β

−

T ,(11)-0:ng ta bi t H > 0,do

2

H y t

λ

0 t t

V y ≤V y e− β ,nên t ,(18) ta suy ra :

( ) ( )

( )

2 min 11 1

2 0

2

max 11 max

1

2 max 11 max

min 11

2

t t

t C

P y t

V y V y e

y t

e P

β

β

β

λ

φ λ

−

−

−

≤

Nh v y ta <,ch!ng minh xong b ,ph n con y t ,- a h ,(3) =+, n nh >%,1( ) ,ta ?,ch!ng minh b ph n,-@n =i y t ,,-%ng n nh >%,th t v y 2( )

T ,(12) *+,(14) /02,,ta -

22 22T 22 h 22 22 22 22T 22T 0

P + P +Q + e P A Q Aβ − P <

Suy ra

22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22

22

0 0 0

T

T

h

d

e A

β

ρ

− <

<

d

e Aβ

ρ < ,*+,Q22 > nên t#n /i s ,0 D>1,*+δ∈( )0,1 sao cho :

d

e Aβ ≤Dδ k =

V i b t 9&, 0t ≥ ,luôn t#n /i s ,nguyên d ng k sao cho (k −1)h t kh≤ ≤

T ,(17) ,suy ra r ng

1

1

k

i

=

Suy ra

1

1

k

h

D

D

β

β

δ

δ

−

−

−

1

k

i i

h kh

=

( )

2 max 11 max

min 11

2

P h Q h A Z A A Z A A Z A N

P

λ

=

A2,kh t≥ ,nên;

1

D

α

−

K t h p (32) *+,(33),ta -.:

t

T ,(30) *+,(34) ,suy ra i u 30$i ch!ng minh.Nh v y nh =B,1 <, c

ch!ng minh

Bây gi ,ta a ra b , ,quan /Cng 7Dng ,ch!ng minh nh =B,ti p theo

B 5 Cho -)c ma tr n Q H M, , -.,s ,chi u /01ch h p ,trong ,Q T =Q,khi

( )T 0

Q HFM+ + HFM <

V i ∀FF T ≤I,n u *+,-0E,n u t#n /i s ,ε > 0 sao cho

Q+εHH +ε− M M <

nh 2 Cho β > 0.H suy bi n có ch m không ch c ch n(singular

uncertain time-delay system) (1) là regular ,impulse-free và β − n nh m%

,n u t#n t i các ma tr n i x!ng Q>0, X ≥0,Z > , ,0 P Y,*+,s ,d ng

ε,v iP,=+,không suy bi n, tho$ mãn

( )

0

0

T

d

Q hX Y Y

hI

hI

β

ε

ε

−

+ + + +

Và

EP Z PE− ≥

∗

Vi c ch!ng minh t ng t ,nh nh =B,1,-0:,B,ta )p 7ng thêm b , ,5 m t

-)ch linh 0Ft