ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS.. Cho đường tròn tâm O đường kính AB, vẻ một sợi dây AC bất kì.. a Xác định vị trí của điểm C để BD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O... Vậy PT
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI
BẬC THCS NĂM HỌC 2006 -2007
MÔN THI: Toán LỚP: 9 Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề )
Câu 1:(4 điểm) Giải hệ phương trình:
x2 - 4y = 1
y2 - 6x= -14
Câu 2:(4 điểm) Toạ độ đỉnh của tam giác ABC là: A(2;2), B(-2;-8),
C(-6;-2)
Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Câu 3:(3 điểm) Cho phương trình: 2x2 + (2m - 1) + m - 1
a) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn 3x1 -4x2 = 11
b) Chứng minh rằng phương trình không có hai nghiệm số dương.
Câu 4:(2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
3x + 2y = 3
Câu 5:(7 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB, vẻ một sợi dây AC
bất kì.
Trên tia AC lấy điểm D sao cho: AD = 2AC.
a) Xác định vị trí của điểm C để BD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
b) Tìm tập hợp tất cả các điểm D khi C di chuyển trên đường tròn tâm O.
Hết./.
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN - LỚP: 9
KÌ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS
NĂM HỌC: 2006 - 2007
1
(4đ)
x2 - 4y = 1 (1)
y2 - 6x= -14 (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có:
<=> x2 - 6x + 9 + y2-4y + 4 = 0
<=> (x - 3)2 + (y - 2)2 = 0 2,0
x - 3 = 0 x = 3
y - 2 = 0 y = 2
Vậy hệ PT có nghiệm duy nhất: x = 3
y = 2
1,0
2
(4đ)
-Đường thẳng qua A(2;2), B(-2;-8) nên:
2 = 2a + b => a =2,5 ; b = 1
-2 = -2a + b Vậy YAB = 2,5x -3
0,75
-Đường thẳng qua A(2;2), C(-6;-2) nên:
2 = 2a + b => a =0,5 ; b = 1
-2 = -6a + b Vậy YAC = 0,5x + 1
0,75
-Đường trung tuyến BM: Gọi M là trung điểm của AC thì toạ độ
M(-2;0) vậy PT trung tuyến BM là: x = -2
-Gọi N là trung điểm của AB thì toạ độ của N (0;-3)
0,75
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là toạ độ giao điểm của CN
6
1 −
−
= x
-2
x = -2 y =
-3/8
Vậy toạ độ trọng tâm G(-2; -8/3)
0,75
3
(3đ)
Ta có ∆ = (2m - 1)2 - 4.2(m-1) = 4m2 - 12m + 9 = (2m - 3)2 ≥ 0 với
mọi giá trị của m Vậy PT đã cho luôn luôn có nghiệm
1,0
Trang 3Theo định lí Viét ta có: x1- x2 =1−22m (1) và x1x2 = m2−1 (2)
Muốn có 3x1- 4x2= 11 (3)
Giải hệ PT (1) và (3) ta được x1 =13−74m và x2 =−1914−6m
1,0
Thế vào PT (2) ta được 8m2 - 17m - 66 = 0
Giải PT này ta được: m1= -2; m2 = 33/8
Để hai nghiệm của PT đều là số dương thì phải có:
x1+ x2 > 0 0
2
2
1− m > m < 1/2 <=> <=>
x1x2 > 0 0
2
1 >
−
m
m > 1
Hệ bất PT vô nghiệm Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn
điều kiện của đề bài
1,0
4
(2đ)
2
3
3 − = − + x−
x x
1,0
t
x
( 2
1 =
=
−
nguyên) =>x=2t+1 và y=2-2(2t+1)+t
Vậy ngiệm nguyên của Pt là: x= 2t + 1
Y= - 3t t∈Z 0,25
5
(7đ)
a)
b)
D
A
D’
0,5
Mặt khác C là trung điểm của AD (vì D nằm trên tia AC và AD =
2AC)
Nên BC là trung tuyến của∆ ABD Vậy ∆ ABD là tam giác cân
Nên ∠A=∠D
1,0
Muốn BD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O thì∠ABD = 90o => ∠
A=45o Góc A là góc nội tiếp chắn cung BC, vậy số đo của cung BC=
90o
Vậy điểm C là trung điểm của cung AB
1,0
Thuận: Theo CM trên ∆ABD là tam giác cân nên BD = AB, mà
AB không đổi Khi C di chuyển trên đường tròn tâm o, D luôn cách B một khoản cố định một khoảng không đổi
Vậy D nằm trên đường tròn tâm B bán kính AB
2,0
Trang 4Đảo: Lấy một điểm D’ nằm bất kì trên đường tròn tâm B bán kính
AB Nối D’ với A, B thì ∆ABD’ là tam giác cân vì
AB=AD’(bán kính đường tròn tâm B bán kính AB), AD
Cắt đường tròn tâm O tại C’, ta có BC⊥AD’ nên C’ là
trung điểm của đoạn thẳng AD’ hay AD’ = 2AC’
1,75
Kết luận: Tập hợp các điểm D là đường tròn tâm B bán kính AB. 0,25