Nghiên cứu các hiệu ứng trong không gian giới hạn của ngưng tụ BoseEinstein hai thành phần (tt0

Trong luận án này, chúng tôi mở rộng phương pháp DPA để nghiêncứu hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng nhằm xem xét ảnh hưởngcủa các tường cứng tới các tính chất vật lý bề mặt tĩnh và

? ? ? ? ?

Phạm Thế Song

NGHIÊN CỨU CÁC HIỆU ỨNG

TRONG KHÔNG GIAN GIỚI HẠN CỦA

NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số: 62.44.01.03

DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Hà Nội, 2017

Ký hiệu Tiếng Anh Tiếng Việt

Bose-Einstein condensates

ngưng tụ Bose-Einsteinhai thành phần phântách

GPE(s) Gross-Pitaevskii

equa-tion(s)

(hệ) phương trình Pitaevskii

Gross-TPA Tripple-parabola

approxima-tion

gần đúng trường trungbình

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Áp dụng phương pháp DPA, các nghiên cứu về sức căng bề mặt vàchuyển pha ướt của hệ BECs không giới hạn đã được Indekeu J O cùngcác cộng sự giải quyết một cách có hệ thống và thu được rất nhiều kếtquả quan trọng (Phys Rev A 91, 033615, (2015)) Tuy nhiên, tất cả cácnghiên cứu đó đều chưa xem xét tới ảnh hưởng của sự giới hạn khônggian tới các đặc tính vật lý của hệ Trong khi đó, hiệu ứng giới hạn khônggian của các hệ lượng tử đã và đang được nghiên cứu chuyên sâu do ýnghĩa đặc biệt của nó đối với sự phát triển của công nghệ Vì vậy, chúngtôi chọn đề tài của luận án là Nghiên cứu các hiệu ứng trong khônggian giới hạn của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần

2 Lịch sử vấn đề

Giải Nobel vật lý năm 2001 trao cho Conell E A., Wieman C E vàKetterle W vì những thành tựu nghiên cứu thực nghiệm ngưng tụ khíloãng của các nguyên tử kiềm đã khẳng định những tiên đoán về trạngthái BEC của Einstein A dựa trên một bài báo của Bose N từ năm

1924, đồng thời thu hút sự quan tâm của đông đảo các nhà khoa họctrên toàn cầu nghiên cứu về BECs cả trong lý thuyết và thực nghiệm.Bước phát triển cực kỳ quan trọng của nghiên cứu lý thuyết về BECđược đánh dấu bởi thành công của Gross E P và Pitaevskii L P trongviệc thiết lập GPE(s) dựa trên MFA

Phát triển ý tưởng tuyến tính hóa các tham số trật tự của Ao P

và Chui S T., Indekeu J O và các cộng sự đã xây dựng thành côngphương pháp DPA, sau đó được mở rộng thành TPA, nhờ đó tìm đượcnghiệm giải tích gần đúng của GPEs So sánh với kết quả tính số chothấy nghiệm của GPEs trong DPA và TPA rất tiệm cận với nghiệm tính

số ở mọi trạng thái phân tách của hệ từ phân tách yếu (weak segregation)tới phân tách mạnh (strong segregation) Từ đây các tác giả đã tính toánmột cách chi tiết về sức căng bề mặt và dựa trên qui tắc Antonov để

vẽ giản đồ chuyển pha ướt, đồng thời so sánh với các kết quả tính toánbằng lý thuyết GP

Trong luận án này, chúng tôi mở rộng phương pháp DPA để nghiêncứu hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng nhằm xem xét ảnh hưởngcủa các tường cứng tới các tính chất vật lý bề mặt tĩnh và hiện tượngchuyển pha ướt của hệ

3 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu ảnh hưởng của sự giới hạn không gian tới các tính chấtvật lý của hệ BECs ở trạng thái cân bằng

4 Đối tượng, nhiệm vụ, phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng

và hai tường cứng.

• Nhiệm vụ nghiên cứu:

– Tìm hàm sóng ngưng tụ của hệ thoả mãn điều kiện biênDirichlet, điều kiện biên Robin tại các tường cứng;

– Xác định sức căng mặt phân cách giữa hai thành phần;– Xác định sức căng bề mặt của ngưng tụ tại tường cứng;– Vẽ giản đồ chuyển pha ướt của ngưng tụ trên bề mặt tườngcứng;

– Chỉ ra ảnh hưởng của sự giới hạn không gian đối với cáctính chất vật lý của hệ;

– Đề xuất mô hình thí nghiệm kiểm chứng kết quả nghiên cứu

và một số vấn đề nghiên cứu tiếp theo

• Phạm vi nghiên cứu: Hệ BECs ở nhiệt độ cực thấp, không phụthuộc thời gian, trong GCE và CE

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp MFA, phương pháp MDPA, phương pháp tính số với

sự hỗ trợ của một số phần mềm tính toán

6 Đóng góp của luận án

Luận án đóng góp những kết quả nghiên cứu mới về tính chất vật

lý của hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng, những đóng góp chínhđược trình bày trong phần Kết luận của luận án

7 Cấu trúc của luận án

Ngoài các phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận án đượctrình bày trong 3 chương:

Chương 1 Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein và lý thuyết về hệngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách

Chương 2 Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướttrong hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng

Chương 3 Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cáchtrong hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng

Chương 1 Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein và lý thuyết

về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách1.1 Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein

1.1.1 Hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein

Nếu nhiệt độ của hệ hạt boson nhỏ hơn nhiệt độ mà tại đó thế hóahọc bằng 0 (T < Tc) thì phần lớn số hạt trong hệ cùng chiếm trạng thái

có mức năng lượng thấp nhất Hiện tượng này được gọi là hiện tượngngưng tụ Bose-Einstein Số hạt ngưng tụ là

c Các phương trình thủy động lực học của ngưng tụ

+ Phương trình liên tục của ngưng tụ:

∂tn + ∇(n~v) = 0,trong đó n = |ψ|2, ~v = 2mni~ ψ∇ψ∗− ψ∗∇ψlà vận tốc của ngưng tụ,

~j = i~

2



ψ∇ψ∗− ψ∗∇ψlà mật độ động lượng của ngưng tụ

+ Phương trình chuyển động của biên độ và pha:

∂t|ψ0|2= −~

m∇(|ψ0|2∇φ) và ∂tφ = −1

~ δE

δn.1.2 Lý thuyết Gross-Pitaevskii cho hệ BECs không giới hạn

+Mật độ Hamiltonian và mật độ thế tương tác của hệ BECs:

ξ2∂2φj+ ˆV(φ1, φ2),ˆ

|φj| = 1 + εj, |φj0| = δj0,z > z0, (j, j0) = (1, 2),

z 6 z0, (j, j0) = (2, 1),với z0= 0, εj và δj0 là những đại lượng thực không thứ nguyên sao cho(εj, δj0)  1

+ TIGPEs trong DPA:

Ở bên phải mặt phân cách (z > 0)

−∂2

zφ1+ 2(φ1− 1) = 0,

−ξ2∂2φ + ηφ = 0;

Hình 1.1: Khai triển hàm sóng ngưng tụ ở mỗi phía mặt phân cách

ξ2∂z2φj+ ˆVDP A(φ1, φ2),ˆ

VDP A(φ1, φ2) = 2(|φj| − 1)2+ η|φj 0|2−1

2,

z > z0, (j, j0) = (1, 2),

z 6 z0, (j, j0) = (2, 1).1.4 Phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn bởi cáctường cứng

+ Mật độ Hamiltonian trên mặt phân cách và trên bề mặt tườngcứng:

˜

Λjφ

A j

+ Hamiltonian toàn phần trong MDPA:

φj(z = zWi) = 0khi trường tại các tường cứng triệt tiêu Ở đây, Λj = ˜Λj/ξ1, λWi

trong đó A là diện tích của mặt phân cách.

+ Trong CE:

∆E = P Aξ1

Zdz(−φ∗1∂z2φ1− ξ2φ∗2∂z2φ2)

Tổng kết chương 1

Nhằm mục đích trình bày những kiến thức cơ sở cho các nghiên cứu

ở các chương tiếp theo, chương 1 đã đạt được những kết quả chính nhưsau:

• Sử dụng thống kê lượng tử Bose-Einstein để mô tả hiện tượngBEC trong hệ hạt boson lý tưởng đồng nhất;

• Xây dựng GPE(s) trong gần đúng trường trung bình, từ đó chứngminh được các hàm sóng ngưng tụ thỏa mãn các phương trìnhthủy động lực học;

• Trình bày những vấn đề cơ bản về phương pháp DPA và một sốkết quả thu được từ phương pháp này;

• Mở rộng phương pháp DPA để áp dụng cho hệ BECs bị giới hạnbởi các tường cứng; Hàm sóng ngưng tụ tìm được bằng MDPAphải đảm bảo các tính chất quan trọng của nó như trong lý thuyết

GP, nó chỉ có ý nghĩa khi trạng thái cơ bản của hệ trong lý thuyết

GP chắc chắn tồn tại

• Xác định được năng lượng dư trên mặt phân cách giữa hai thànhphần theo hàm sóng ngưng tụ và các tham số đặc trưng của hệBECs

Chương 2 Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyểnpha ướt trong hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng

2.1 Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi mộttường cứng

Hình 2.1: Hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng tại ˜z = −˜h, mặt

phân cách giữa hai thành phần tại ˜z = ˜z0

2.1.1 Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Dirichlet tạitường cứng

+ Điều kiện biên:

φ2= B1e−

√ ηz

√ 2(h+z)

ξ − 1)(B2e

√ 2(h+z)

√ 2h

ξ ),

trong vùng z 6 z0

Hình 2.2b: Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Dirichlet(φj(−h) = 0), K = 1.01, ξ = 1, h = 50(b) Đường màu đỏ và đường

màu xanh tương ứng là MDPA và GP

+ Hàm sóng ngưng tụ:

φ1= 1 − A1e−

√ 2z,

φ2= B1e−

√ ηz

ξ ,trong vùng z > z0,

φ1= A2e

√ η(−2h−z)(e2

√ η(h+z)− 1),

φ2= 1 − B2(e−

√ 2(2h+z)

√ 2z

ξ ),trong vùng z 6 z0

Cấu hình ngưng tụ trong MDPA tiệm cận với cấu hình ngưng tụtrong lý thuyết GP Vị trí mặt phân cách phụ thuộc mạnh vào vị trí củatường cứng

2.2 Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướtcủa hệ BECs trong tập hợp chính tắc lớn

2.2.1 Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển phaướt với điều kiện biên Dirichlet tại tường cứng

Hình 2.5: (GCE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/Kvới h = 0(đường màu đỏ) và h → +∞(đường màu xanh)

+ Sức căng bề mặt tại tường cứng:

˜

γ1W = 2√

2 − 4

√2(h + z0)e

√ 2(h+z0)

ξ + 1
2− 4

√2(h + z0)e

√ 2(h+z0)

ξ

+ Quy tắc Antonov: ˜γ1W = ˜γ2W + ˜γ12

Các hình 2.5 và 2.9 cho thấy ở điều kiện biên Dirichlet sự ảnh hưởngcủa vị trí tường cứng đối với sức căng mặt phân cách là rất nhỏ Đốivới giản đồ pha ướt, sự ảnh hưởng này chỉ xuất hiện rất yếu trong vùng(1/K, ξ) ∼ 0

Hình 2.9: (GCE) Giản đồ pha ướt của thành phần 2 trên bề mặt tườngcứng ứng với h = 0 (đường màu đỏ) và h → +∞(đường màu xanh)

2.2.2 Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển phaướt với điều kiện biên Robin tại tường cứng

˜

γ12= 2(I1+ ξ2I2+C1+C2),trong đó

∂zϕ2 -h= 0 = 0, ξ = 1 h→+∞

partial wetting region

complete wetting region

Các hình 2.11 và 2.12 cho thấy ở điều kiện biên Robin sự thay đổi vịtrí của tường cứng hoàn toàn không ảnh hưởng tới sức căng mặt phâncách và giản đồ pha ướt

2.3 Sức căng mặt phân cách của hệ BECs trong tập hợpchính tắc

˜

Γ12= ∆E

AP ξ1

= (I1+ ξ2I2),hoặc là

˜

Γ12= 1

N1hI1+ n3/221 ξI2

i,

Các hình 2.14, 2.15, 2.16, là các đồ thị mô tả sự thay đổi của ˜Γ12

theo 1/K tại các vị trí khác nhau của tường cứng, với các giá trị khácnhau của ξ và n21, cho thấy trong CE sự ảnh hưởng của vị trí tườngcứng tới sức căng mặt phân cách cũng rất yếu Trong điều kiện biênDirichlet, ảnh hưởng của các tham số của hệ tới sức căng mặt phân cáchthể hiện rõ ràng hơn trong điều kiện biên Robin

Tổng kết chương 2

Trong chương 2, ta đã nghiên cứu tính chất bề mặt tĩnh của hệ BECs

bị giới hạn trong nửa không gian bởi một tường cứng Sau đây là phầntổng kết và thảo luận về các kết quả đạt được

• Nghiệm của TIGPEs trong MDPA tiệm cận với nghiệm tìm đượcbằng cách giải số TIGPEs không thứ nguyên trong lý thuyết GP

là cơ sở quan trọng để khẳng định độ tin cậy của phương phápMDPA

• Vị trí mặt phân cách giữa hai thành phần (z06= 0) phụ thuộc vào

vị trí của tường cứng, z0→ 0 nếu tường cứng dịch ra xa vô cực.Hiện tượng này hoàn toàn khác với hệ vô hạn, mặt phân cáchluôn ở z0= 0 với mọi giá trị của các tham số

• Với điều kiện biên Dirichlet, sức căng mặt phân cách bị ảnh hưởngrất ít bởi vị trí tường cứng Sự ảnh hưởng này hoàn toàn triệt tiêu

ở điều kiện biên Robin.

• Với những giá trị phù hợp của các tham số K và ξ, từ trạng tháikhông dính ướt bề mặt tường cứng ngưng tụ sẽ chuyển sang trạngthái dính ướt bề mặt tường cứng, hoặc từ trạng thái dính ướt mộtphần chuyển sang trạng thái dính ướt hoàn toàn, hiện tượng nàyđược gọi là chuyển pha ướt, đây là chuyển pha loại 1 Với mọi

Chương 3 Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặtphân cách trong hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng3.1 Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi hai tườngcứng

Hình 3.1: Hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng tại ˜z = ±˜h, mặt

phân cách giữa hai thành phần tại ˜z = ˜z0

3.1.1 Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Dirichlet tại haitường cứng

+ Điều kiện biên (3.1):

φj(z = ±h) = 0 với j = (1, 2)

+ Hàm sóng ngưng tụ:

φ1= e−

√ 2z(e

√ 2z

− e

√ 2h)(A1(e

√ 2h+ e

√ 2z) + 1),

φ2= B1(e

√ ηz

√ η(2h−z)

ở bên phải mặt phân cách (z > z0),

φ1= A2e

√ η(−(2h+z))(e2

√ η(h+z)− 1),

φ2= e−

√ 2(2h+z)

√ 2(h+z)

ξ − 1)(B2e

√ 2(h+z)

√ 2h

ξ ),

ở bên trái mặt phân cách (z 6 z0)

3.1.2 Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Robin tại haitường cứng

+ Điều kiện biên (3.4):

√ 2(2h−z)),

φ2= B1e−

√ ηz

ξ (e2

√ ηz

ξ − e2

√ ηh

ξ ),

ở bên phải mặt phân cách (z > z0),

φ1= A2e

√ η(−2h−z)(e2

√ η(h+z)− 1),

φ2= 1 − B2(e

√ 2z

ξ + e−

√ 2(2h+z)

ở bên trái mặt phân cách (z 6 z0)

Hình 3.2b: Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Dirichlet(φj(±h) = 0) trong MDPA (đường liền) và trong lý thuyết GP (đường

gạch), K = 3, ξ = 1

3.2 Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phâncách với điều kiện biên Dirichlet tại hai tường cứng Lực Casimir-like

1 , λW2

2  1)trong MDPA (đường gạch) và trong lý thuyết GP (đường liền)

3.2.1 Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phâncách trong hệ tập hợp chính tắc lớn

am= [(∂zφ1)2+ ξ2(∂zφ2)2]

z=−h= 4A22ηe−2h

√ η

+ 2(2B2e−

√ 2h/ξ

+ 1)2

Hình 3.4 cho thấy sức căng mặt phân cách biến thiên rất nhanh theokhoảng cách giữa hai tường cứng nếu h 6 ξ, sự biến thiên này chậm dầnnếu h > ξ, sức căng mặt phân cách không còn phụ thuộc vào h nếu

h  ξ

3.2.2 Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phâncách trong hệ tập hợp chính tắc

Hình 3.4b: (GCE) Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phâncách tại ξ = 3(b) với các giá trị khác nhau của K = 1(đường liền), 1.1

ở đây ˜Γ12= Γ12/σ0N3

Trên hình vẽ 3.5 cho thấy tương tác giữa hai thành phần ngưng tụlàm cho áp suất của hệ tăng nếu thể tích giảm Ngược lại, nếu thể tích

Hình 3.5b: (CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo h tại

ξ = 3 và K = 3

Hình 3.6b: Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K tại

ξ = 3 với h → +∞(đường liền), h = 12 (đường chấm), h = 8(đườnggạch) Màu xanh và màu đỏ lần lượt tương ứng với GCE và CE

Hình 3.7b: (GCE) Sự phụ thuộc của lực Casimir-like trên một đơn vịdiện tích tường cứng vào h tại ξ = 3 với K = 1(đường liền), K = 1.1

(đường gạch), K = 3(đường chấm)

của hệ tăng thì áp suất giảm xuống, các hạt được phân bố đồng đều hơn

do vậy sức căng mặt phân cách giảm xuống

(h ∼ ξ hoặc h lớn hơn ξ không nhiều), nó trở thành lực đẩy nếu haitường tiến ra xa nhau (h  ξ), trong trường hợp hệ phân tách mạnh(K > 3), lực Casimir-like luôn là lực hút Những tính chất này khác vớilực Casimir, là lực hút hay lực đẩy tùy thuộc vào đặc điểm của điều kiệnbiên là điều hòa hay phi điều hòa Lực Casimir-like triệt tiêu với mọitham số của hệ khi h → +∞.

3.3 Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phâncách với điều kiện biên Robin tại hai tường cứng

3.3.1 Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phâncách trong hệ tập hợp chính tắc lớn

0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Hình 3.9: (GCE) Sự phụ thuộc của sức căng mặt phân cách vào 1/K

tại ξ = 1 với h = 4, 7, 10 và h → ∞

tách của hệ càng yếu Trường hợp h  ξ, sức căng mặt phân cách tiếntới 0 nếu K → 1 Trường hợp h 6 ξ hoặc h lớn hơn ξ không nhiều, sứccăng mặt phân cách không biến mất khi K → 1 Những hiện tượng nàycho thấy thế tương tác bị ảnh hưởng mạnh bởi sự giới hạn không giantrong khoảng cách ngắn

3.3.2 Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phâncách trong hệ tập hợp chính tắc

Đồ thị hình 3.11 không những cho thấy áp suất của hệ tăng (giảm)theo sự tăng (giảm) của thể tích mà còn cho thấy sự tác động khá lớncủa cường độ tương tác giữa các hạt đến áp suất của hệ

+ Tỉ số ˜γ12/˜Γ12= 4, giống như kết quả đã tìm được cho hệ vô hạn

vị trí mặt phân cách phụ thuộc mạnh vào độ dài hồi phục của

n 21 = 1, ξ = 1

K=3 K=2 K=1.1

hàm sóng ngưng tụ, mặt phân cách chỉ nằm tại z = 0 khi ngưng

tụ đối xứng hoặc là các tường cứng dịch ra rất xa

• Sự phụ thuộc của thế tương tác vào khoảng cách giữa hai tườngcứng chỉ đáng kể trong khoảng cách ngắn cho nên hiệu ứng kíchthước hữu hạn đối với sức căng mặt phân cách chỉ thể hiện rõ khihai tường cứng ở khá gần nhau (h ∼ ξ)

• Sự biến thiên của năng lượng tương tác giữa hai thành phần theokhoảng cách giữa hai tường cứng làm xuất hiện một lực có tínhchất giống như lực Casimir tác dụng lên hai tường cứng gọi là lựcCasimir-like

tụ đối xứng tường cứng dịch xa

• Sự phụ thuộc tương tác vào khoảng cách hai tườngcứng đáng kể khoảng cách ngắn hiệu ứng kíchthước hữu hạn. .. hệ h → +∞.

3.3 Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phâncách với điều kiện biên Robin hai tường cứng

3.3.1 Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phâncách hệ tập hợp tắc lớn... phân cách thể rõ khihai tường cứng gần (h ∼ ξ)

• Sự biến thiên lượng tương tác hai thành phần theokhoảng cách hai tường cứng làm xuất lực có tínhchất giống lực Casimir tác dụng lên hai