Nghiên cứu các hiệu ứng trong không gian giới hạn của ngưng tụ BoseEinstein hai thành phần

Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt trong hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng.. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ BECs bị giới hạn bởi ha

BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM

? ? ? ? ?

Phạm Thế Song

NGHIÊN CỨU CÁC HIỆU ỨNG TRONG KHÔNG GIAN GIỚI HẠN CỦA

NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số: 62.44.01.03

DỰ THẢO LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn: GS TSKH Trần Hữu Phát

TS Nguyễn Văn Thụ

Hà Nội, 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận án này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Trần Hữu Phát và TS Nguyễn Văn Thụ Các kết quả nghiên cứu của luận án là trung thực và chưa từng được công bố trên bất kì công trình nào trước đây.

Hà Nội, ngày tháng năm 2017

Tác giả luận án

Phạm Thế Song

LỜI CẢM ƠN!

Trước tiên, tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS TSKH Trần Hữu Phát Sự hướng dẫn tận tụy và những động viên khích lệ của thầy là nguồn động lực to lớn cho tác giả trong suốt quá trình hoàn thành chương trình đào tạo và làm luận án Thầy mãi là tấm gương sáng về đạo đức, về tinh thần làm việc nghiêm túc, cống hiến hết mình vì khoa học để tác giả học tập và noi theo.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn TS Nguyễn Văn Thụ, thầy đã tận tình hướng dẫn

và cùng thảo luận giúp đỡ tác giả hoàn thành các tính toán quan trọng nhất trong luận án.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS TS Lê Viết Hòa, NGƯT TS Đinh Thanh Tâm, những người đã dẫn dắt tác giả đến với con đường nghiên cứu khoa học.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các bạn cùng nhóm nghiên cứu, TS Đặng Thị Minh Huệ, ThS Hoàng Văn Quyết, ThS Nguyễn Thị Thắm đã nhiệt tình giúp đỡ, cùng thảo luận về luận án và các vấn đề nghiên cứu liên quan.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trung Tâm Đào Tạo Hạt Nhân - Viện Năng Lượng Nguyên Tử Việt Nam, Khoa Toán Lý Tin - Trường Đại Học Tây Bắc, Khoa Vật Lý - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành chương trình đào tạo, hoàn thành luận án.

Con xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đối với Cha và Mẹ, người đã cho con được thấy ánh sáng Mặt Trời, cho con nghị lực vượt qua mọi khó khăn và trở ngại Xin cảm ơn người vợ hiền dịu, cảm ơn các con Gia đình luôn là nguồn động lực to lớn cho tôi trên con đường nghiên cứu khoa học đầy gian nan và thử thách.

Hà Nội, ngày tháng năm 2017

Tác giả luận án

Phạm Thế Song

Mục lục

Lời cam đoan ii

Danh sách từ viết tắt vi

Danh sách hình vẽ viii

Mở đầu 1

Chương 1 Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein và lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách 7

1.1.Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein 8

1.1.1 Hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein 8

1.1.2 Phương trình Gross-Pitaevskii và các phương trình thuỷ động lực học của hàm sóng ngưng tụ 10

1.2.Lý thuyết Gross-Pitaevskii cho hệ BECs không giới hạn 12

1.3.Phương pháp DPA cho hệ BECs không giới hạn 16

1.4.Phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng 18 1.5.Năng lượng dư trên mặt phân cách của hệ BECs 22

1.5.1 Năng lượng dư trong tập hợp chính tắc lớn 22

1.5.2 Năng lượng dư trong tập hợp chính tắc 23

Chương 2 Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt trong hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng 26

2.1.Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng 27 2.1.1 Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Dirichlet tại tường cứng 27

2.1.2 Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Robin tại tường cứng 30

2.2.Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt của hệ BECs trong tập hợp chính tắc lớn 33

2.2.1 Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt với điều kiện biên Dirichlet tại tường cứng 33 2.2.2 Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt với điều kiện biên Robin tại tường cứng 40

2.3.Sức căng mặt phân cách của hệ BECs trong tập hợp chính tắc 45

2.3.1 Sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Dirichlet tại tường cứng 46 2.3.2 Sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Robin tại tường cứng 48

Chương 3 Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong

hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng 53 3.1.Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng 54

3.1.1 Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Dirichlet tại hai tường cứng 54 3.1.2 Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Robin tại hai tường cứng 55

3.2.Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Dirichlet tại hai tường cứng Lực Casimir-like 59

3.2.1 Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ tập hợp chính tắc lớn 59 3.2.2 Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ tập hợp chính tắc 63 3.2.3 Lực Casimir-like 68

3.3.Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Robin tại hai tường cứng 70

3.3.1 Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ tập hợp chính tắc lớn 70 3.3.2 Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ tập hợp chính tắc 73

Kết luận 77 Danh sách các công trình công bố kết qủa nghiên cứu của luận án 79 Tài liệu tham khảo 80

Danh sách từ viết tắt

BEC Bose-Einstein condensate ngưng tụ Bose-Einstein

GCE Grand canonical ensemble tập hợp chính tắc lớn

DPA Double-parabola

Gross-TIGPEs

Time-independent Pitaevskii equations

Gross-hệ phương trình Pitaevskii không phụ thuộc thời gian

Gross-TPA Tripple-parabola

approxima-tion

gần đúng ba parabol MFA Mean-field approximation gần đúng trường trung bình

Danh sách hình vẽ

1.1 Khai triển hàm sóng ngưng tụ ở mỗi phía mặt phân cách theo phương pháp DPA 17 2.1 Hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng tại ˜ z = −˜ h, mặt phân cách giữa hai thành

phần tại ˜ z = ˜ z 0 27 2.2 Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Dirichlet (φ j (−h) = 0), K = 1.01, ξ = 1; h =

20(a) và h = 50(b) Đường màu đỏ và đường màu xanh tương ứng là MDPA và GP 29 2.3 Sự phụ thuộc của vị trí mặt phân cách vào vị trí của tường cứng với K = 1.01 30 2.4 Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Robin (λW2  1), K = 3, h = 20; ξ = 1(a), 3(b) 32 2.5 (GCE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K với h = 0(đường màu

đỏ) và h → +∞(đường màu xanh) 35 2.6 (GCE) Sự phụ thuộc của sức căng mặt phân cách vào vị trí tường cứng với K =

1.01, ξ = 1 35 2.7 (GCE) Sự biến thiên của γ h theo ζ = (h + z 0 ) với ξ = 1(đường màu đỏ) và ξ =

2(đường màu xanh) 38 2.8 Pha không dính ướt(a), pha dính ướt(b) của ngưng tụ trên bề mặt tường cứng 38 2.9 (GCE) Giản đồ pha ướt của thành phần 2 trên bề mặt tường cứng ứng với h = 0

(đường màu đỏ) và h → +∞(đường màu xanh) 39 2.10 (GCE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K với ξ = 1.0, 3.0, vị trí

của tường cứng tại z = −20 42 2.11 (GCE) Hiệu ứng giới hạn không gian của sức căng mặt phân cách với ξ = 1 42 2.12 (GCE) Giản đồ pha ướt của thành phần 2 trên bề mặt tường cứng với ζ = (h + z 0 ) =

20 và ζ = (h + z 0 ) → +∞ 43 2.13 (GCE) Ảnh hưởng của điều kiện biên tới sức căng mặt phân cách với ξ = 1, h = 20 44

2.14 (CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K với n21= 1, ζ = (h + z0) =

20, 100; φ j (−h) = 0, ξ = 5(a); ∂ z φ 2 | z=−h = 0, ξ = 10(b) 47 2.15 (CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K tại n21= 1, ζ = (h + z0) =

20; φ j (−h) = 0, ξ = 1, 6, 11(a); ∂ z φ 2 | z=−h = 0, ξ = 5, 10, 15(b) 50 2.16 Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K tại ξ = 1, ζ = (h + z0) = 20 với

n 21 = 0.5, 1.0, 2.0; φ j (−h) = 0(a), ∂ z φ 2 | z=−h = 0(b) 51 3.1 Hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng tại ˜ z = ±˜ h, mặt phân cách giữa hai thành

phần tại ˜ z = ˜ z 0 54 3.2 Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Dirichlet (φj(±h) = 0) trong MDPA (đường

liền) và trong lý thuyết GP (đường gạch), K = 3; ξ = 0.5(a), 1(b), 2(c) 57 3.3 Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Robin (λW1

1 , λW2

2  1) trong MDPA (đường gạch) và trong lý thuyết GP (đường liền) 58 3.4 (GCE) Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách tại ξ = 1(a) và

ξ = 3(b) với các giá trị khác nhau của K = 1(đường liền), 1.1 (đường gạch), 3 (đường

chấm) 62 3.5 (CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo h tại ξ = 1(a) và ξ = 3(b) với

K = 3 66 3.6 (GCE, CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K tại ξ = 1(a) và

ξ = 3(b) với h → +∞(đường liền), h = 12 (đường chấm), h = 8(đường gạch) Màu

xanh và màu đỏ lần lượt tương ứng với GCE và CE 67 3.7 (GCE) Sự phụ thuộc của lực Casimir-like trên một đơn vị diện tích tường cứng vào h

tại ξ = 1(a) và ξ = 3(b) với K = 1(đường liền), K = 1.1 (đường gạch), K = 3(đường

chấm) 69 3.8 (GCE) Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách tại ξ = 1, với các

giá trị khác nhau của K = 1.0(đường liền), 1.1 (đường gạch), 3 (đường chấm-gạch) 72 3.9 (GCE) Sự phụ thuộc của sức căng mặt phân cách vào 1/K tại ξ = 1 với h = 4, 7, 10

và h → ∞ 72 3.10 (GCE) Sự phụ thuộc của sức căng mặt phân cách vào 1/K tại h = 10 với ξ = 0.5, 1 73 3.11 (CE) Sự phụ thuộc của sức căng mặt phân cách vào h tại n21= 1, ξ = 1 với K = 1.1, 2.0, 3.0 74

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

BEC là trạng thái lượng tử vĩ mô của một số lượng lớn các hạt vi môkhi phần lớn các hạt boson cùng chiếm một mức năng lượng thấp nhấtnếu nhiệt độ của hệ hạt nhỏ hơn nhiệt độ tới hạn Trạng thái lượng tửđặc biệt này liên quan mật thiết tới nhiều đặc tính quan trọng của vậtchất chẳng hạn như siêu dẫn (superconductivity), rối lượng tử (quantumentanglement), độ trung thành lượng tử (quantum fidelity) Vì vậy, cácnghiên cứu cơ bản về BEC có ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vựccông nghệ then chốt như vật liệu, điện tử, thông tin lượng tử

Không lâu sau thành công của thí nghiệm về sự tồn tại của BEC (1995),pha phân tách trong hệ BEC hai thành phần đã được nghiên cứu lý thuyết(1998) [1, 2] và sau đó là nghiên cứu thực nghiệm (1999) [3–12] Kể từ

đó, nghiên cứu về BECs đã thu hút rất nhiều sự quan tâm của các nhàkhoa học trên toàn cầu và đạt được nhiều thành tựu Nhiều công trìnhnghiên cứu về tính chất tĩnh, tính chất động lực học của BECs đượccông bố [13–44] Trong đó điển hình là các nghiên cứu về trạng thái cơbản, sức căng bề mặt [2, 16, 40–44], dao động kích thích bề mặt (sóng bềmặt) [13, 15, 17, 20, 28, 29] Từ đây, nhiều hiện tượng vật lý quan trọngcủa BECs đã được khám phá chẳng hạn như chuyển pha ướt (wettingphase transition) [42–44], bất ổn định Rayleigh-Taylor (Rayleigh-Taylorinstability), bất ổn định Kelvin-Helmholtz (Kelvin-Helmholtz instability)[18, 24–27] Sử dụng phương pháp MFA và các phương pháp gần đúngkhác (DPA, TPA), các nghiên cứu về sức căng bề mặt và chuyển pha ướt

của hệ BECs không giới hạn đã được giải quyết một cách có hệ thốngtrong [40–42], sau đó phát triển thêm trong [43, 44] với rất nhiều kết quảquan trọng Tuy nhiên, tất cả các nghiên cứu đó đều chưa xem xét tới ảnhhưởng của sự giới hạn không gian tới các đặc tính vật lý của hệ Trong khi

đó, hiện tượng chuyển pha và đặc tính vật lý của các hệ lượng tử trongkhông gian giới hạn đã và đang được nghiên cứu chuyên sâu do ý nghĩađặc biệt của nó đối với sự phát triển của công nghệ [45–59] Do vậy, đãhình thành một lĩnh vực nghiên cứu mới đó là Vật lý của các hệ lượng tửtrong không gian giới hạn

Vì các lý do nêu trên, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài của luận án

là Nghiên cứu các hiệu ứng trong không gian giới hạn của ngưng

Bước phát triển cực kỳ quan trọng của nghiên cứu lý thuyết về BECđược đánh dấu bởi thành công của Gross E P và Pitaevskii L P trongviệc thiết lập GPE(s) dựa trên MFA [59, 65, 66] GPE(s) cho thấy hàmsóng ngưng tụ thỏa mãn các phương trình thủy động lực học [65,66] Thựcnghiệm cũng đã xác nhận BEC có những tính chất tương tự với chất lỏnglượng tử (4He) Từ đây mở ra một hướng nghiên cứu mới đầy triển vọng

đó là nghiên cứu các hiện tượng lượng tử của BEC tương tự với các hiệntượng đã biết trong thủy động lực học cổ điển, trong đó có sức căng bềmặt và chuyển pha ướt

Để nghiên cứu đặc tính vật lý của hệ BECs, việc quan trọng đầu tiên

là phải tìm được hàm sóng của hệ hạt ở trạng thái ngưng tụ thông qua lờigiải của GPEs Tuy nhiên, GPEs là hệ phương trình vi phân bậc hai phituyến tính liên kết nên việc tìm được lời giải chính xác cho tới nay vẫncòn là một thách thức, ta chỉ giải quyết được trong một số trường hợp đặcbiệt [43], chủ yếu vẫn phải dựa vào tính số kết hợp với các phương phápgần đúng [2, 29, 43, 44, 77]

Bằng giải pháp tuyến tính hóa các tham số trật tự ở mỗi phía của mặtphân cách, Ao P và Chui S T đã tìm được nghiệm gần đúng của GPEscho hệ BECs, từ đó tính được sức căng mặt phân cách của hệ có số hạtxác định bị giam trong một giếng thế hữu hạn [2]

Trên cơ sở xem xét các giới hạn phân tách yếu và phân tách mạnh củaBECs, Barankov R A đã tìm được lời giải cho GPEs ở các điều kiện tươngứng và xác định được sức căng mặt phân cách của hệ theo hàm sóng ngưng

tụ [16]

Hiện tượng ngưng tụ bị hấp thụ bởi một bức tường quang học (opticalwall), hay còn gọi là chuyển pha ướt trong hệ BECs, được Indekeu J O vàSchaeybroeck B V đề cập trong [40], sau đó tiếp tục phát triển dựa trêncác tính toán về sức căng bề mặt trong lý thuyết GP của Schaeybroeck B

V [41], các nghiên cứu này đã được hoàn thiện trong [42]

Phát triển ý tưởng tuyến tính hóa các tham số trật tự của Ao P và Chui

S T [2], Indekeu J O và các cộng sự đã xây dựng thành công phương

pháp DPA [43], sau đó được mở rộng thành TPA [44], nhờ đó tìm đượcnghiệm giải tích gần đúng của GPEs Từ đây, các tác giả đã tính toánmột cách chi tiết về sức căng mặt phân cách, sức căng bề mặt của ngưng

tụ tại tường cứng, dựa trên qui tắc Antonov để vẽ giản đồ chuyển phaướt So sánh với kết quả thu được từ các tính toán bằng lý thuyết GP chothấy cấu hình ngưng tụ, sức căng mặt phân cách, giản đồ pha ướt trongDPA và TPA rất tiệm cận với kết quả tính số ở mọi trạng thái phân táchcủa hệ từ phân tách yếu (weak segregation) tới phân tách mạnh (strongsegregation) [43, 44]

Kết quả của các nghiên cứu trên đều có một điểm chung đó là sức căngmặt phân cách là năng lượng tương tác giữa hai thành phần ngưng tụ trênmột đơn vị diện tích mặt phân cách, đóng góp của mỗi thành phần vào sứccăng mặt phân cách tỉ lệ thuận với độ dài hồi phục của hàm sóng ngưng

tụ tương ứng [2, 16, 41–45]

Trong luận án này, chúng tôi mở rộng phương pháp DPA để nghiên cứu

hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng nhằm xem xét ảnh hưởng của sựgiới hạn không gian tới các tính chất vật lý bề mặt tĩnh và hiện tượngchuyển pha ướt của hệ

3 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu ảnh hưởng của sự giới hạn không gian tới các tính chất vật

lý của hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng song song với mặt phâncách, ở trạng thái cân bằng

4 Đối tượng, nhiệm vụ, phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng vàhai tường cứng

• Nhiệm vụ nghiên cứu:

♦ Tìm hàm sóng ngưng tụ của hệ thoả mãn điều kiện biên Dirichlet,điều kiện biên Robin tại các tường cứng;

♦ Xác định sức căng mặt phân cách giữa hai thành phần;

♦ Xác định sức căng bề mặt của ngưng tụ tại tường cứng;

♦ Vẽ giản đồ chuyển pha ướt của ngưng tụ trên bề mặt tường cứng;

♦ Chỉ ra ảnh hưởng của sự giới hạn không gian đối với các tínhchất vật lý của hệ;

♦ Đề xuất mô hình thí nghiệm kiểm chứng kết quả nghiên cứu vàmột số vấn đề nghiên cứu tiếp theo

• Phạm vi nghiên cứu: Hệ BECs ở nhiệt độ cực thấp, không phụ thuộcthời gian, trong GCE và CE

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp MFA, phương pháp MDPA, phương pháp tính số với sự

hỗ trợ của các phần mềm tính toán

6 Đóng góp của luận án

Luận án đóng góp những kết quả nghiên cứu mới về tính chất vật lýcủa hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng, những đóng góp chính đượctrình bày trong phần Kết luận của luận án

7 Cấu trúc của luận án

Ngoài các phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận án đượctrình bày trong 3 chương:

Chương 1 Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein và lý thuyết

về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách

1.1 Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein

1.2 Lý thuyết Gross-Pitaevskii cho hệ BECs không giới hạn

1.3 Phương pháp DPA cho hệ BECs không giới hạn

1.4 Phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng1.5 Năng lượng dư trên mặt phân cách của hệ BECs

Chương 2 Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển phaướt trong hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng

2.1 Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng2.2 Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt của hệ BECstrong tập hợp chính tắc lớn

2.3 Sức căng mặt phân cách của hệ BECs trong tập hợp chính tắcChương 3 Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặtphân cách trong hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng

3.1 Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng3.2 Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách với điềukiện biên Dirichlet tại hai tường cứng Lực Casimir-like

3.3 Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách với điềukiện biên Robin tại hai tường cứng

1.1 Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein

1.1.1 Hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein

Trong hệ khí boson lý tưởng (không tương tác) gồm N hạt có spinnguyên chiếm thể tích V và tuân theo quy luật thống kê Bose-Einstein, sốhạt có năng lượng từ εk đến εk+ dε là dN (εk) = ¯n(εk)ρ(εk)dε, trong đó

¯n(εk) = 1

là khối lượng của hạt, ~ là hằng số Planck rút gọn

Vì N hạt chiếm tất cả các mức năng lượng có thể có nên số hạt của hệđược xác định bởi

ε−µ kBT − 1

Trong khoảng nhiệt độ 0 ≤ T ≤ Tc, số hạt có năng lượng ε > 0 của hệđược xác định tương tự như (1.4)

N (ε > 0) = 2.31g(mkBT )

3/2V

√2π2

Dựa vào (1.5) ta ước lượng được nhiệt độ xuất hiện chuyển pha BEC

là rất nhỏ, dưới 10−3(K), tương đương với nhiệt độ của những nguyên tửlạnh nhất trong vũ trụ Các thí nghiệm đầu tiên đã xác nhận nhiệt độ củaBEC cỡ 10−4(K)

Vì boson là những hạt có spin nguyên, số hạt cùng chiếm một trạngthái lượng tử không bị khống chế bởi nguyên lý loại trừ Pauli, nên số hạtngưng tụ càng lớn nếu tổng số hạt (N) của hệ càng nhiều và nhiệt độ (T)của hệ càng nhỏ so với nhiệt độ tới hạn Tc, tất cả các hạt của hệ cùng ởtrạng thái ngưng tụ tại T = 0(K), không có hạt nào ở trạng thái ngưng

1.1.2 Phương trình Gross-Pitaevskii và các phương trình thuỷ



ψ∗∂tψ − ψ∂tψ∗− Hb, (1.9)với ψ = ψ(~x, t) =√

N ϕ(~x, t) là hàm sóng của hệ hạt, ϕ(~x, t) là hàm sóngđơn hạt thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa,

là mật độ Hamiltonian, U (~x) là mật độ thế ngoài, G = 4π~2a/m là cường

độ tương tác giữa các hạt, a là độ dài tán xạ sóng s (s-wave scatteringlength) xác định kiểu tương tác giữa các hạt (a > 0 ứng với tương tác đẩy,

a < 0 ứng với tương tác hút)

Tác dụng S của hệ được xác định bởi S = R L dt Trong phép biến đổitrường ψ → ψ + δψ, tác dụng S cũng biến đổi S → S + δS Các biến đổinày phải tuân theo nguyên lý tác dụng tối thiểu δSδψ = 0, biến đổi của tácdụng S gây nên bởi sự biến đổi của trường bằng 0 Từ đây ta có phươngtrình Euler-Lagrange

i~∂tψ = − ~

2

2m∇2ψ + U (~x)ψ + G|ψ|2ψ (1.12)gọi là GPE phụ thuộc thời gian

Nếu biểu diễn hàm sóng của hệ hạt dưới dạng ψ = Ψ(~x)e−iµt/~, Ψ(~x)

là hàm thực, thì (1.12) trở thành

− ~

2

2m∇2Ψ(~x) + U (~x)Ψ(~x) + G|Ψ(~x)|2Ψ(~x) = µΨ(~x) (1.13)

Phương trình (1.13) có dạng của phương trình Schr¨odinger dừng, trong

đó mật độ thế tác dụng lên các hạt là tổng của mật độ thế ngoài U (~x) vàthành phần phi tuyến G|Ψ(~x)|2, được gọi là GPE không phụ thuộc thờigian Lời giải của (1.13) cho biết hàm sóng ở trạng thái cơ bản của hệ hạtboson

b Các phương trình thủy động lực học của ngưng tụ

Nhân hai vế (1.12) với liên hợp phức của hàm sóng ψ∗ rồi trừ đi kếtquả nhân liên hợp phức của nó với ψ và thực hiện một vài biến đổi toánhọc ta thu được

∂t|ψ|2 + ∇h i~

2m



ψ∇ψ∗ − ψ∗∇ψi = 0 (1.14)hay

là phương trình chuyển động của pha

(1.15), (1.17) và (1.18) cho thấy ta có thể nghiên cứu các hệ ở trạngthái BEC trên quan điểm xem chúng như các chất lỏng lượng tử

1.2 Lý thuyết Gross-Pitaevskii cho hệ BECs không



ψj∗∂tψj − ψj∂tψ∗j− Hb, (1.19)trong đó

là gjj0 = 2π~2(1/mj + 1/mj0)ajj0 > 0, ajj và ajj0 là độ dài tán xạ sóng s.Điều kiện để hệ ở trạng thái phân tách là g212− g11g22 > 0 [2]

Áp dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu ta tìm được phương trình Lagrange cho mỗi thành phần

Nếu hàm sóng của mỗi thành phần được viết dưới dạng ψj(~x, t) =

Ψj(~x)e−iµj t/~, trong đó Ψj = Ψj(~x) là các hàm thực, µj là thế hóa họccủa thành phầnj, với giả thiết hàm sóng ở trạng thái cơ bản Ψj(~x) khôngphụ thuộc vào các tọa độ (x, y), Ψj(~x) ≡ Ψj(˜z), thì mật độ Hamiltonian(1.20a) và mật độ thế tương tác (1.20b) trở thành

ξ12∂

2 z

−∂z2φ1 − φ1 + |φ1|3 + K|φ2|2φ1 = 0, (1.26a)

−ξ2∂z2φ2 − φ2 + |φ2|3 + K|φ1|2φ2 = 0 (1.26b)

Hệ phương trình (1.24) được gọi là TIGPEs, ở dạng không thứ nguyên

là (1.26), nghiệm của nó cho biết trạng thái cơ bản của hệ BECs với mặtphân cách giữa hai thành phần là mặt phẳng nằm tại z˜0 Do tính chất đốixứng vô hạn của hệ dọc theo trục O˜z, ta luôn có z˜0 = 0

Đại lượng nj0 là hằng số xác định mật độ hạt của thành phần j tạinhững vùng không gian đủ xa các biên sao cho ngưng tụ tại đó ở trạngthái đồng nhất (homogeneous state).

P là áp suất của ngưng tụ có độ lớn như nhau trong cả hai thành phầnkhi chúng cùng ở pha cân bằng [41]

Độ dài hồi phục của hàm sóng ngưng tụ,ξj = ~/p

2mjgjjnj0, là khoảngcách trên đó hàm sóng ngưng tụ tăng từ 0 đến giá trị cực đại

K là đại lượng đặc trưng cho mức độ phân tách của hệ BECs Trongkhuôn khổ luận án này, ta chỉ nghiên cứu hệ BECs ở trạng thái không trộnlẫn (K > 1) và trạng thái demixing (K = 1) Với K > 1 và hữu hạn, haithành phần không phân tách hoàn toàn mà chúng thâm nhập lẫn nhau.Nói cách khác là chúng chồng lấn lên nhau ở vùng giáp danh với mặt phâncách Độ sâu thâm nhập (hay độ rộng của vùng không gian chồng lấn)giữa hai thành phần phụ thuộc vào cường độ tương tác giữa các hạt (K)

và độ dài hồi phục của các hàm sóng ngưng tụ (ξ)

Các hàm sóng ngưng tụ và đạo hàm bậc nhất của nó theo tọa độ z làcác hàm liên tục Do đó, mật độ thế tương tác (1.25b) cũng là hàm liêntục theo tọa độ Lấy đạo hàm của (1.25b) theo các tham số trật tự φj rồi

so sánh kết quả với (1.26) ta tìm được TIGPEs không thứ nguyên dướidạng

Các phương trình này cho thấy đạo hàm bậc hai của hàm sóng theo z

và đạo hàm bậc nhất của mật độ thế tương tác theo các tham số trật tựkhông liên tục

Vì hệ BECs đang xét là vô hạn và sự phân tách giữa hai thành phầnxảy ra trên mặt phẳng (xOy) nên các hàm sóng ngưng tụ trong TIGPEs

(1.26) thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet

φ1(z → +∞) = φ2(z → −∞) = 1, (1.28a)

φ2(z → +∞) = φ1(z → −∞) = 0, (1.28b)khi thành phần 1 (với hàm sóng φ1) chiếm vùng không gian z > 0 cònthành phần 2 (với hàm sóng φ2) chiếm vùng không gian z < 0

Tìm nghiệm của (1.26) là một trong những bài toán cơ bản khi nghiêncứu các hệ BECs Tuy nhiên cho tới hiện nay, việc tìm lời giải chính xáccho hệ phương trình vi phân phi tuyến tính bậc hai liên kết mới chỉ giảiquyết được trong một số trường hợp đặc biệt, chủ yếu vẫn phải dựa vàocác phương pháp gần đúng và tính số Sau đây là một số trường hợp màlời giải chính xác của (1.26) thỏa mãn (1.28) được tìm thấy [43]

• Trường hợp 1: K → +∞ Khi đó, hai thành phần ngưng tụ khôngcòn chồng lấn lên nhau, mỗi thành phần chiếm giữ hoàn toàn mộtnửa không gian tựa như chúng bị ngăn cách bởi một "tường cứng" códạng là mặt phẳng tại z0 = 0 Khi đó

lim

K→+∞K|φj|2|φj0|2 = 0, (1.29)nghĩa là ta có thể bỏ qua các số hạng K|φj|2φj0 ở (1.26) và tìm đượcnghiệm của nó

φ1 = tanh[z/√

2], (1.30a)

φ2 = tanh[−z/√

2ξ] (1.30b)(1.30) cho thấy càng gần mặt phân cách mật độ ngưng tụ càng giảm,

nó chính xác bằng 0 tại mặt phân cách Tốc độ giảm mật độ ngưng

tụ của mỗi thành phần khi tiến về mặt phân cách tỷ lệ với nghịchđảo độ dài hồi phục tương ứng (∼ 1/ξj) Hiện tượng này đã làm rõ

ý nghĩa vật lý của đại lượng ξj (độ dài hồi phục của hàm sóng ngưngtụ)

Như trên đã nêu, cho tới nay, tìm lời giải chính xác của (1.26) vẫn còn

là một thách thức Do đó, ta phải tìm nghiệm của nó dựa vào các phươngpháp gần đúng Mức độ chính xác của phương pháp gần đúng được đánhgiá thông qua việc so sánh nghiệm gần đúng với nghiệm tính số Phươngpháp DPA được đề xuất bởi Indekeu J O và các cộng sự trong [43] nhưsau

Đối với hệ BECs thoả mãn (1.26) và (1.28), trong vùng z > z0(z 6 z0)

ta có φ2 → 0(φ1 → 0), nên hàm sóng ngưng tụ ở mỗi phía của mặt phâncách được khai triển theo các hệ thức

Hình 1.1: Khai triển hàm sóng ngưng tụ ở mỗi phía mặt phân cách theo phương pháp DPA.

Ở bên phải mặt phân cách (z > 0)

Khi đó, mật độ Hamiltonian bậc 4 (1.25) được thay bởi mật độ

ξ2 1

√

η +√

2 nếu z > 0,

√2e√ηz

√

η +√

(1.38)và

−√ηz ξ

√ 2z ξ

bởi các tường cứng

Trong phần này, ta mở rộng phương pháp DPA để áp dụng cho hệ BECs

ở trạng thái cân bằng, bị giới hạn bởi các tường cứng Wi nằm tại z˜Wi Mặt

phân cách giữa hai thành phần là mặt phẳng A nằm tại z˜0, ở giữa khoảngkhông gian dọc theo trụcz˜mà trên đó hai thành phần chồng lấn lên nhau,song song với các tường cứng Wi Vị trí của mặt phân cách (z˜0) thỏa mãnđiều kiện nếu K → +∞ thì Ψj(˜z0) → 0.

Hàm sóng ngưng tụ tại các bề mặt (mặt phân cách, các tường cứng)được gọi là trường bề mặt bao gồm trường tại mặt phân cách ΨAj = Ψj(˜z0)

và trường tại các tường cứng ΨWi

j = Ψj(˜zWi).Mật độ Hamiltonian trên mặt phân cách và trên bề mặt tường cứng lầnlượt được xác định thông qua các trường bề mặt tương ứng là [49, 50]

ở đây HˆbDP A được xác định tương tự (1.37) với lưu ý rằng tính đối xứng

về không gian của hệ bị phá vỡ do sự xuất hiện của các tường cứng Vìthế, mặt phân cách không nằm tại vị trí z0 = 0 như đối với hệ vô hạn, nónằm tại vị trí z0 6= 0,z0 → 0 trong một số trường hợp đặc biệt, chẳng hạn

các tường cứng tiến ra xa vô cực hoặc cấu hình ngưng tụ của các thànhphần ngưng tụ đối xứng.

Từ điều kiện biến phân của HˆM DP A theo φj (hoặc φ∗j) bằng 0 ta tìmđược TIGPEs không thứ nguyên trong MDPA cùng với các điều kiện biêntại mặt phân cách và tại các tường cứng

Ở bên phải mặt phân cách (z > z0)

Điều kiện Robin

∂zφj|z=z0−0 = 1

Λjφj(z = z0) = ∂zφj|z=z0+0 (1.45a)

và điều kiện liên tục của hàm sóng tại mặt phân cách

φj(z = z0 − 0) = φj(z0) = φj(z = z0 + 0); (1.45b)Điều kiện biên Robin

khi trường tại các tường cứng triệt tiêu Ở đây, Λj = ˜Λj/ξ1, λWi

j = ˜λWi

j /ξ1.Lấy đạo hàm mật độ thế tương tác (1.37b) theo các tham số trật tự φj

rồi so sánh kết quả với (1.43) và (1.44) ta tìm được TIGPEs không thứ

nguyên trong DPA dưới dạng

và mật độ thế tương tác vẫn đảm bảo các tính chất quan trọng của chúngnhư trong lý thuyết GP

Việc xác định trường bề mặt và thiết lập các mật độ Hamiltonian (1.40),(1.41) thông qua trường bề mặt có ý nghĩa rất quan trọng trong phươngpháp MDPA, bởi vì dựa vào đó ta xác định được các điều kiện biên (1.45)cho hệ ở trạng thái cân bằng Điều này cũng có nghĩa là phương phápMDPA được áp dụng trong những trường hợp mà trạng thái cơ bản của

hệ trong lý thuyết GP chắc chắn tồn tại Trong những tính toán đầu tiênbằng cách tuyến tính hóa các tham số trật tự [2], Ao P và Chui S T đãngầm thừa nhận sự tồn tại của trường mặt phân cách

Giả sử mặt phân cách hơi lệch từ vị trí z0 đến vị trí z = z0 + ϑ(x, y),

ở đây ϑ(x, y) biến đổi rất chậm trên mặt phân cách, trường mặt phâncách trở thành φAj = φ(z0 + ϑ(x, y)) ≈ φ(z0) + ϑ(x, y)∂zφ(z)|z0 = φ(z0) +

1

Λ jφj(z0)ϑ(x, y) Hệ thức này cho thấy các dao động của mặt phân cáchsinh ra các thăng giáng của trường mặt phân cách và ngược lại Mặt khác,các dao động lượng tử ϑ(x, y) tạo ra sóng bề mặt với các hệ thức tánsắc sóng mao dẫn [78, 79] Vì vậy, theo quan điểm của lý thuyết trườnglượng tử, các riplon xem như được sinh ra từ tập hợp các dao động kíchthích của mặt phân cách Đây là vấn đề quan trọng về tính chất bề mặt

của ngưng tụ cần được nghiên cứu một cách đầy đủ trong hình thức luậnBogoliubov-de Gennes.

V

|Ψj|2d~x.Năng lượng dư của hệ xét trong hai tập hợp này liên hệ với nhau bởi phépbiến đổi Legendre (Legendre transform)

1.5.1 Năng lượng dư trong tập hợp chính tắc lớn

Xét một hệ BECs có số hạt không xác định, chiếm thể tích V, hàmsóng của mỗi thành phần là Ψj(~x) (j = 1, 2), thế ngoài tác dụng lên hệ cómật độ là Uj = Uj(~x)

PjVj và năng lượng dư trên mặt phân cách giữa chúng [41] Ở đây,

Pj là áp suất trong mỗi thành phần, Vj là thể tích không gian mà mỗithành phần chiếm giữ

Đối với hệ BECs như đã xét trong mục 1.2, ta có Ψj(~x) ≡ Ψ(˜z) =

Ω(µ1, µ2, V ) = 2AP ξ1

Z

dzn− φ∗1∂z2φ1 − ξ2φ∗2∂z2φ2 + ˆV(φ1, φ2)o.(1.49)Năng lượng dư trên mặt phân cách giữa hai thành phần được xác địnhbởi

1.5.2 Năng lượng dư trong tập hợp chính tắc

Xét một hệ BECs ở nhiệt độ không, chiếm thể tích V, hàm sóng và sốhạt của mỗi thành lần lượt là (Ψ1, N1) và (Ψ2, N2)

Năng lượng toàn phần của hệ được xác định bởi [41]

trong đó bao gồm năng lượng của hai thành phần khi chưa xét tới tươngtác giữa chúngEb = 12

2 z



φj + gjj

2 n

2 j0φ4ji+ g12n10n20φ21φ22o

• Sử dụng thống kê lượng tử Bose-Einstein để mô tả trạng thái BECtrong hệ hạt boson lý tưởng đồng nhất;

• Trình bày lý thuyết GP cho hệ BEC một thành phần và hệ BECstrong MFA, từ đó chứng minh các hàm sóng ngưng tụ thỏa mãn cácphương trình thủy động lực học;

• Trình bày những vấn đề cơ bản về phương pháp DPA và một số kếtquả thu được từ phương pháp này Trong phương pháp MDPA, quantrọng nhất là việc xác định trường bề mặt và mật độ Hamiltonian

bề mặt, từ đây thiết lập được TIGPEs trong MDPA cùng với cácđiều kiện biên của hàm sóng ngưng tụ Các hàm sóng ngưng tụ trongMDPA phải đảm bảo các tính chất quan trọng của chúng như trong

lý thuyết GP, chúng chỉ có ý nghĩa khi trạng thái cơ bản của hệ trong

lý thuyết GP chắc chắn tồn tại;

• Xác định được năng lượng dư trên mặt phân cách giữa hai thành phầntheo hàm sóng ngưng tụ và các tham số đặc trưng của hệ BECs.Trong chương 2 và chương 3, hàm sóng ở trạng thái cơ bản của hệ BECs

bị giới hạn bởi một tường cứng và hai tường cứng được xác định bằng cáchtìm lời giải của (1.43), (1.44) với điều kiện biên (1.45), từ đó tính được sứccăng mặt phân cách giữa hai thành phần và chỉ ra ảnh hưởng của vị trítường cứng đối với các tính chất bề mặt tĩnh của hệ

Chương 2

Sức căng mặt phân cách và hiện

tượng chuyển pha ướt trong hệ

BECs bị giới hạn bởi một tường

cứng

Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu về trạng thái cơ bản, hiệu ứng giớihạn không gian của sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướttrong hệ BECs bị giới hạn trong nửa không gian bởi một tường cứng Sửdụng TIGPEs không thứ nguyên (1.26), (1.43), (1.44) để tìm cấu hình củacác ngưng tụ thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên Robin tạitường cứng bằng phương pháp MDPA và phương pháp tính số Xác địnhsức căng mặt phân cách giữa hai thành phần dựa vào năng lượng dư trênmặt phân cách Tìm sức căng bề mặt ngưng tụ tại tường cứng Vẽ giản đồpha ướt của ngưng tụ trên bề mặt tường cứng Từ đó, chỉ ra ảnh hưởngcủa sự thay đổi vị trí tường cứng đối với các tính chất vật lý của hệ Cácnghiên cứu lần lượt được thực hiện trong GCE và CE

2.1 Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi

một tường cứng

Xét hệ BECs ở trạng thái cơ bản, bị giới hạn trong nửa không gian bởimột tường cứng W tại z˜W = −˜h, mặt phân cách giữa hai thành phần làmặt phẳng A tại z˜0 và song song với tường cứng W (hình 2.1) Cấu hìnhngưng tụ ở trạng thái cơ bản của hệ thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet,điều kiện biên Robin tại tường cứng được xác định bằng phương phápMDPA So sánh cấu hình ngưng tụ này với cấu hình ngưng tụ chính xáctrong lý thuyết GP tìm được bằng phương pháp tính số sẽ cho phép đánhgiá mức độ tin cậy của MDPA

Hình 2.1: Hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng tại ˜ z = −˜ h, mặt phân cách giữa hai thành phần tại ˜ z = ˜ z 0

2.1.1 Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Dirichlet tại tường

cứng

Kết hợp điều kiện hàm sóng ngưng tụ triệt tiêu tại tường cứng (1.45d)với tính chất phân tách của hệ BECs, ta thiết lập được các điều kiện biên

Dirichlet cho các hàm sóng ngưng tụ

φ1(z = −h) = φ2(z = −h) = 0, (2.1a)

φ1(z → +∞) = 1, φ2(z → +∞) = 0 (2.1b)Nghiệm của (1.43) và (1.44) thỏa mãn điều kiện biên nêu trên là

φ1 = 1 − A1e−

√ 2z, (2.2a)

φ2 = B1e−

√ ηz

ξ , (2.2b)trong vùng z > z0,

φ1 = A2e

√ η(−2h−z)

ξ (e

√ 2(h+z)

ξ − 1)(B2e

√ 2(h+z)

ξ + B2 + e

√ 2h

ξ ), (2.3b)

trong vùng z 6 z0

Các hằng số Aj, Bj (j = 1, 2) được xác định bởi các điều kiện tại mặtphân cách, thứ nhất là điều kiện liên tục của đạo hàm bậc nhất của hàmsóng theo z (1.45a), thứ hai là điều kiện liên tục của hàm sóng (1.45b).Thay lần lượt (2.2) và (2.3) vào (1.45a) và (1.45b) ta tìm được

A1 =

√ηe

√ 2z 0

√ 2(h+z0)

ξ − 1)2e

√ ηz0 ξ

−√η + (√

η +√

2)e

2 √ 2(h+z0)

ξ +√

2,

B2 = − e

√ 2h

ξ (√η(e

√ 2(h+z0)

ξ +√

2

Vị trí của mặt phân cách (z0) được xác định dựa vào điều kiện liên tụccủa mật độ thế tương tác (1.37b)

ˆ

VDP A(φ1, φ2)|z=z0−0 = ˆVDP A(φ1, φ2)|z=z0+0 (2.4)

(b) Hình 2.2: Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Dirichlet (φ j (−h) = 0), K = 1.01, ξ = 1; h = 20(a)

và h = 50(b) Đường màu đỏ và đường màu xanh tương ứng là MDPA và GP.

Xem xét các nghiệm (2.2b) và (2.3a) ta nhận thấy càng đi sâu vàovùng không gian bị chiếm giữ chủ yếu bởi thành phần j0 (|h + z0| ↑) mật

độ ngưng tụ của thành phần j càng giảm, nếu tốc độ giảm càng chậm(√

η/ξj ↓) thì thành phần j càng thâm nhập sâu vào trong thành phần j0

Do vậy, đại lượng ξj/√

η được gọi là độ sâu thâm nhập [2] Độ sâu thâm

nhập tiến tới 0 nếu K → +∞ Lấy giới hạn K → +∞ của các hệ thức(2.2) và (2.3) ta có φ∗jφj0 = 0, khi đó hai thành phần không còn chồng lấnlên nhau (phân tách hoàn toàn), điều kiện (1.29) được thỏa mãn.

Sử dụng (2.2) và (2.3) kết hợp với (2.4), ta vẽ được cấu hình ngưng tụtrong MDPA là đường màu đỏ trên hình 2.2, nó tiệm cận với đường màuxanh là cấu hình ngưng tụ chính xác tìm được bằng cách sử dụng phươngpháp sai phân [77] để giải số TIGPEs không thứ nguyên (1.26) với điềukiện biên (2.1)

Sự xuất hiện của tường cứng tại z˜W = −˜h đã khiến cho mặt phân cáchgiữa hai thành phần bị dịch chuyển khỏi vị trí z = 0 Hình 2.3 cho thấy

vị trí của mặt phân cách phụ thuộc mạnh vào vị trí của tường cứng Với

K = 1.01, nếu tường cứng ở z = 0 thì mặt phân cách ởz ∼ 97, nếu tườngcứng tiến ra xa vô cực (h → +∞) thì mặt phân cách dịch về vị trí z = 0

Hình 2.3: Sự phụ thuộc của vị trí mặt phân cách vào vị trí của tường cứng với K = 1.01.

2.1.2 Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Robin tại tường

cứng

Trong khuôn khổ luận án này, ta chỉ xét điều kiện biên Robin trongtrường hợp độ dài suy rộng của các hàm sóng ngưng tụ tại tường cứng có

φ1(z = −h) = 0, ∂zφ2|z=−h = 0, (2.5a)

φ1(z → +∞) = 1, φ2(z → +∞) = 0 (2.5b)Giải (1.43) và (1.44) với các điều kiện trên ta tìm được

φ1 = 1 − A1e−

√ 2z, (2.6a)

φ2 = B1e−

√ ηz

ξ , (2.6b)trong vùng z > z0,

φ1 = A2e√η(−2h−z)(e2√η(h+z) − 1), (2.7a)

φ2 = 1 − B2(e−

√ 2(2h+z)

ξ + e

√ 2z

ξ ), (2.7b)trong vùng z 6 z0

Thay (2.6) và (2.7) lần lượt vào (1.45a) và (1.45b) ta tìm được

A1 =

√ηe

√ 2z 0

√ 2(h+z0)

ξ − 1)e

√ ηz0 ξ

ξ −√2

,

B2 =

√ηe

√ 2(2h+z0) ξ

ξ −√2

Từ (2.6), (2.7) và (2.4) cùng với (1.26) và (2.5) ta vẽ được hình 2.4, nócho thấy cấu hình ngưng tụ tìm được bằng phương pháp MDPA (đườnggạch) tiệm cận với cấu hình ngưng tụ chính xác tìm được bằng phươngpháp tính số (đường liền)