Luan van phat trien nang luc giai quyet van de trong day hoc Bat dang thuc

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là PPDH trong đó GV tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển HS phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề và thông qua đó chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục đích học tập khác...

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay

nhằm phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo và độc lập suy nghĩ của học sinh (HS), đòi hỏi HS chủ động trong quá trình tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm

vụ nhận thức dưới sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên Vì vậy, đổi mới phương pháp dạy học là làm cho HS học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Phải làm sao trong mỗi tiết học học sinh được suy nghĩ nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn Đây chính là tiêu chí, là thước đo đánh giá sự đổi mới phương pháp dạy học [68] Nghị quyết Đại hội của Đảng cộng sản Việt Nam khóa XI

(2011) đã nêu rõ: “Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học, phương pháp thi, kiểm tra theo hướng hiện đại; nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý tưởng, giáo dục truyền thống lịch sử cách mạng, đạo đức, lối sống, năng lực sáng tạo, kĩ năng thực hành, tác phong công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội.”

Luật Giáo dục quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” (Khoản 2, Điều 28, Luật Giáo dục năm

2005 được sửa đổi, bổ sung năm 2009)

1.2 Trong đổi mới giáo dục ngày nay, mục tiêu của giáo dục và đào tạo là

đào tạo ra những con người đáp ứng được những yêu cầu thực tế thời đại Vì vậy cần luyện tập cho HS biết phát hiện và giải quyết những vấn đề gặp phải trong học tập, trong cuộc sống cá nhân, gia đình và cộng đồng Chính vì thế, ở hầu hết các nước trên thế giới, người ta rất quan tâm đến bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề (NLGQVĐ) cho HS thông qua các môn học, thể hiện đặc biệt rỏ nét trong quan điểm trình bày kiến thức và phương pháp dạy học thông qua chương trình, sách giáo khoa (Sgk) Theo Raja Roy Singh, để đáp ứng được những đòi hỏi mới được đặt ra

của thời đại do sự bùng nổ kiến thức và sáng tạo ra kiến thức mới, cần thiết phải phát triển năng lực tư duy, năng lực sáng tạo… Các năng lực này có thể gọi chung

là “ năng lực giải quyết vấn đề” [62]

Trong giảng dạy thông qua giải quyết vấn đề (GQVĐ), học tập diễn ra trong quá trình cố gắng giải quyết vấn đề, trong đó môn toán có liên quan các khái niệm

và kĩ năng được gắn vào Khi HS giải quyết vấn đề, họ có thể sử dụng bất kỳ phương pháp tiếp cận họ có thể nghĩ ra, vẽ trên bất kỳ phần kiến thức đã học, và biện minh cho ý tưởng của mình theo những cách mà họ cảm thấy được thuyết phục Môi trường học tập của giảng dạy thông qua giải quyết vấn đề cung cấp một thiết lập tự nhiên cho HS để trình bày các giải pháp khác nhau để nhóm hay lớp học của mình và học toán học thông qua các tương tác xã hội, có nghĩa là đàm phán, và đạt đến sự hiểu biết chia sẻ Các hoạt động này giúp HS làm rõ ý tưởng của họ và có được những quan điểm khác nhau về khái niệm hoặc ý tưởng họ đang học Theo kinh nghiệm, giảng dạy toán học thông qua giải quyết vấn đề giúp HS tiếp thu những ý tưởng đi xa hơn về hướng phát triển năng lực toán học Sức mạnh của việc giải quyết vấn đề là có được một giải pháp thành công đòi hỏi HS tinh chỉnh, kết hợp, và sửa đổi các kiến thức họ đã học được [78]

Ở Phần Lan, phương pháp “giải quyết vấn đề” đã được xem là một yếu tố quan trọng trong cải cách giáo dục, và là một nội dung trong đổi mới chương trình

và Sgk của các cấp học từ phổ thông đến đại học Các nhà giáo dục Phần Lan cho rằng, dạy học theo cách truyền thống thì chỉ lo chất đầy - càng đầy càng tốt - kho kiến thức cho người học, vì kiến thức được xem như là của báu đã được chuẩn bị sẵn, người học chỉ cần chiếm giữ được càng nhiều càng tốt Còn dạy học theo cách

"giải quyết vấn đề" hay "giải quyết bài toán" thì kiến thức mà người học cần có để giúp họ giải quyết được bài toán phải do chính họ tìm ra, sáng tạo ra qua một tiến trình tìm hiểu bài toán, đặt vấn đề, tưởng tượng các mối liên quan, đặt giả thuyết và

so sánh, đánh giá các giả thuyết, lựa chọn giả thuyết thích hợp, rồi tiếp đó dùng các kiến thức đã có cùng với các giả thuyết mới để đề xuất các lời giải cho bài toán, đánh giá các lời giải cho đến khi tìm được lời giải thoả đáng, có thể chấp nhận

được Như vậy, "giải quyết vấn đề" thực tế là một quá trình sáng tạo của người học, người học phải tự mình vận dụng các năng lực trí tuệ của mình để liên tục tưởng tượng, tìm kiếm, sáng tạo , để rồi có được cái cảm giác là tự mình sáng tạo ra cái kiến thức mà mình cần có, chứ kiến thức không phải là cái mà mình được hưởng sẵn từ đâu đó một cách thụ động Học theo cách đó người học sẽ có được niềm vui của người biết tìm kiếm và sáng tạo, có khả năng chủ động tự tìm kiếm kiến thức và giải pháp cho những bài toán mà mình có thể gặp phải trong cuộc đời, người dạy có thêm nhiều khả năng truyền thụ cho người học nhiều loại hiểu biết, cả những hiểu biết đã chứng minh được một cách lôgic cũng như nhiều hiểu biết còn dưới dạng những dự đoán, giả định, giả thuyết, vv [82]

Hội đồng giáo dục Toán học ở Hồng Kông cho rằng “giải quyết vấn đề” là trọng tâm trong dạy học Toán Bởi vì, nó bao gồm kỹ năng và chức năng quan trọng trong cuộc sống hàng ngày Hơn nữa, nó có thể giúp con người thích ứng với những thay đổi và các vấn đề bất ngờ trong sự nghiệp và các khía cạnh khác của cuộc sống của họ Hội đồng đã tuyên bố rằng giải quyết vấn đề là một kỹ năng cơ bản cần thiết cho người học ngày nay, nó cung cấp cho người học kinh nghiệm về sức mạnh của toán học trong thế giới xung quanh Họ nhìn thấy giải quyết vấn đề như một phương tiện giúp người học xây dựng, đánh giá và hoàn thiện lý thuyết của họ về toán học

và cả lý thuyết của các lĩnh vực khác, người học ngày một sử dụng những kỹ năng

tư duy bậc cao hơn, đặc biệt là kỹ năng giải quyết vấn đề [84]

1.3 Trước những biến đổi to lớn của thế giới trong thời đại ngày nay, đòi hỏi

nhà trường phải đào tạo ra những con người có NLGQVĐ trong học tập và trong thực tiễn cuộc sống Hình thành và phát triển NLGQVĐ sẽ trở thành yêu cầu cấp bách của tất cả các quốc gia trên thế giới

Ở trường phổ thông, có thể xem học Toán là học phát hiện và giải quyết các vấn đề Toán học và dạy Toán là dạy hoạt động Toán học Hơn nữa, Toán học là môn học có tính khái quát cao, mang đặc thù riêng của khoa học Toán học nên chứa đựng nhiều tiềm năng để phát triển NLGQVĐ Với khối lượng kiến thức phong phú, nội dung chương trình liên tục thay đổi, làm sao có thể nhồi nhét hết vào trong

đầu HS đang ở tuổi có nhiều mối quan hệ khác Do đó, thay vì dạy nhồi nhét, luyện nhớ, chúng ta hãy góp phần phát triển cho HS cách phát hiện và giải quyết vấn đề

Mà dạy học Toán vừa tạo ra cơ hội thuận lợi, vừa đòi hỏi phát triển những biện pháp sư phạm phù hợp để hình thành và phát triển NLGQVĐ cho HS

1.4 Bất đẳng thức (BĐT) là một chủ đề khó trong môn toán ở trường phổ

thông, tuy nhiên đây cũng là một lĩnh vực rất hay, đòi hòi người học phải động não, tìm tòi, sáng tạo Từ một BĐT đơn giản có thể tạo ra những bài toán khó và đẹp, và

do đó cũng có những cách giải hay, độc đáo và đơn giản cho bài toán phức tạp BĐT thường xuất hiện trong nhiều bộ phận khác của toán phổ thông như: Phương trình, bất phương trình, lượng giác, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số,…Bài toán “Bất đẳng thức” thường có mặt trong các kì thi HS giỏi, thi Đại học

và Cao đẳng hằng năm với vai trò là câu khống chế điểm 9, điểm 10 Nhằm giúp giáo viên (GV) chúng ta dễ dàng phát hiện, phân loại đối tượng HS, chọn HS khá, giỏi trong quá trình dạy học Thực tế qua điều tra cho thấy, nhiều HS khi giải bài toán bất đẳng thức thì không biết phải bắt đầu từ đâu và sử dụng phương pháp nào? Qua kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm chúng tôi thấy rằng, việc xây dựng các biện pháp sư phạm theo hướng GQVĐ là phù hợp khi dạy về chủ đề này Đặc biệt, nếu

sử dụng phương pháp này để dạy học giải các bài tập bất đẳng thức thì không những hình thành được năng lực tự học mà còn phát triển năng lực GQVĐ cho HS Trung học phổ thông

Đã có một số đề tài nghiên cứu về chủ đề Bất đẳng thức như: Luận văn thạc

sĩ của Nguyễn Chí Hiếu: “Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông ”(2009) Luận văn thạc sĩ của Ngô Thị Chung: “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học giải toán về bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopski ” (2012),…

Các công trình trên đề cập đến việc rèn luyện và bồi dưỡng tư duy sáng tạo, phát huy tính tích cực và khả năng tìm tòi, sáng tạo của HS khi học về bất đẳng thức Tuy nhiên, chưa có công trình đề cập đến việc phát triển NLGQVĐ cho HS Trung học phổ thông trong dạy học bất đẳng thức

Xuất phát từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn

là: “ Phát triển năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học Bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông”

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Làm rõ những vấn đề về cơ sở lí luận và thực tiễn, phương pháp luận có liên

quan đến năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học Toán

3.2 Xây dựng một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực giải

quyết vấn đề trong dạy học chủ đề bất đẳng thức

3.3 Thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của một số biện

pháp đã đề xuất trong Luận văn

4 Giả thuyết khoa học

Nếu xác định được một số thành tố của năng lực giải quyết vấn đề và xây dựng được các biện pháp sư phạm phù hợp thì sẽ phát triển được năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh THPT trong dạy học chủ đề bất đẳng thức, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học bộ môn Toán

5 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài chủ yếu sử dụng 3 phương pháp nghiên cứu sau:

5.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các

vấn đề có liên quan đến đề tài Luận văn

5.2 Phương pháp điều tra, quan sát: Thực trạng dạy học chủ đề bất đẳng thức ở

trường THCS & THPT Trần Ngọc Hoằng , Huyện Cờ Đỏ, Thành phố Cần Thơ

5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem

xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất trong Luận văn

6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: Nghiên cứu các biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học bất đẳng thức ở trường THPT

Phạm vi: Nội dung dạy chủ đề bất đẳng thức trong trường phổ thông và bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nghiên cứu thực nghiệm tại trường THCS và THPT Trần Ngọc Hoằng, Huyện Cờ Đỏ, Thành phố Cần Thơ

7 Đóng góp của luận văn

7.1 Về lí luận: Góp phần làm rỏ cơ sở lí luận về năng lực giải quyết vấn đề, các thành tố của năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trong dạy học Toán

7.2 Về thực tiễn:

- Giúp giáo viên và học sinh hiểu rõ thêm về năng lực giải quyết vấn đề, cung cấp một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học bất đẳng thức

- Có thể sử dụng Luận văn để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán, góp phần nâng cao hiệu quả trong dạy học môn Toán nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng ở trường THPT

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của Luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Một số biện pháp sư phạm góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn

đề cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học bất đẳng thức

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Vận dụng vào trong dạy học nói chung, dạy học Toán học nói riêng chúng ta cần chú ý đến cơ chế cũng như những điều kiện ảnh hưởng đến sự phát triển nhận thức của người học, bởi điều đó có vai trò quyết định đến khả năng lĩnh hội tri thức - tạo tiền đề cho việc phát triển trí tuệ, phát triển NLGQVĐ của họ

Các nghiên cứu cho thấy quá trình nhận thức gồm hai giai đoạn: nhận thức cảm tính ( cảm giác và tri giác) và nhận thức lí tính ( còn gọi là tư duy) Như vậy, tư duy thuộc giai đoạn nhận thức lí tính

Mặc dù nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lí của con người, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao hơn Tuy nhiên, thực tế cuộc sống luôn đặt ra vấn đề mà bằng nhận thức cảm tính, con người không thể nhận thức và giải quyết được Muốn nhận thức và giải quyết được những vấn đề như vậy, con người phải biết tư duy, tức là phải đạt tới mức độ nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lí tính

Có nhiều định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính qui luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan” [20, tr.117], hoặc: “Tư duy là một quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách hay từng phần hay khái quát thực thể trong khi phân tích và tổng hợp nó Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực

tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó”(Dẫn theo [70, tr.8])

Tuy nhiên, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về tư duy là các công

trình của X.L Rubinstein Theo quan điểm của ông: “Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác đ ộng của khách thể” [16, tr 264]

Tư duy con người mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá tính ngôn ngữ Trong quá trình tư duy, con người sử dụng phương tiện ngôn ngữ - sản phẩm có tính xã hội cao, để nhận thức tình huống có vấn đề Trong quá trình phát triển, tư duy con người không dừng lại ở trình độ thao tác bằng chân tay, bằng hình tượng

mà con người còn đạt tới trình độ tư duy bằng ngôn ngữ, tư duy trừu tượng, tư duy khái quát - hình thức tư duy đặc biệt của con người [20, tr.119]

Tư duy có đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác Tư duy có những đặc điểm cơ bản sau [20, tr.119 - 125]:

Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề;

Tư duy có tính khái quát;

Tư duy có tính gián tiếp;

Tư duy và ngôn ngữ có quan hệ mật thiết với nhau, quyết định lẫn nhau, không tách rời nhau nhưng cũng không đồng nhất với nhau Tư duy chỉ tồn tại nhờ cái vỏ ngôn ngữ; tư tưởng của con người tồn tại vì có từ , có tiếng nói Tư tưởng thuộc phạm trù nội dung, ngôn ngữ thuộc phạm trù hình thức Nội dung quyết định hình thức, hình thức lại ảnh hưởng trở lại nội dung Sự thống nhất giữa tư duy và ngôn ngữ thể hiện ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình tư duy

Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: tư duy thường bắt nguồn từ nhận thức cảm tính và dựa trên cơ sở nhận thức cảm tính, dù tư duy có tính khái quát và tính trừu tượng đến đâu thì nội dung của tư duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, hình tượng trực quan, )

X.L Rubinstein khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy” [20, tr.122].

Tư duy là một quá trình: tư duy được xét như một quá trình, nghĩa là tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc Mỗi hành động tư duy là một quá trình giải quyết một nhiệm vụ nào đó nảy sinh trong quá trình nhận thức hay trong hoạt động thực tiễn Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau và được

nhà tâm lí học Xô Viết K.K Plantônôv tóm tắt bởi sơ đồ Hình 1.1 như sau :

Hình 1.1 (Dẫn theo [70, tr.10])

Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy như: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá,

Như vậy, ta thấy rằng, từ một tình huống khi gặp vấn đề nào đó, nó sẽ kích thích tư duy con người tìm tòi cách giải quyết, thúc đẩy nhận thức để tiến lên thu

Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết

thập các tri thư mới, từ đó làm cho tư duy ngày một phát triển cao độ trong mối liên quan biện chứng với nhau

1.2 Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học

Từ những phân tích trên, chúng tôi nhận thấy rằng để áp dụng vào dạy học có hiệu quả thì cần có sự quan tâm đúng mức đến sự phát sinh và cơ chế của quá trình nhận thức của người học Vì đó là điều kiện tiên quyết để GQVĐ được tốt hơn, từ đó góp phần phát triển NLGQVĐ trong dạy học Toán nói riêng và trong dạy học nói chung

1.2.1 Năng lực và năng lực Toán học

1.2.1.1 Năng lực, kĩ năng, kĩ xảo và mối liên hệ giữa chúng

a) Năng lực

Đây là một vấn đề mà nhiều nước trên thế giới đều có sự quan tâm đặc biệt trong lĩnh vực nghiên cứu và thực hiện Tuy nhiên, cho đến nay vẫn chưa

có định nghĩa thống nhất

Ở phương Tây có nhiều quan điểm về năng lực [25], cụ thể:

Theo quan điểm di truyền học, trường phái A.Binet (1875-1911) và T.Simon cho rằng: năng lực phụ thuộc tuyệt đối vào tính chất bẩm sinh của di truyền gen

Theo quan điểm xã hội học, E Durkhiem (1858-1917) cho rằng: năng lực, nhân cách con người được quyết định bởi xã hội (như một môi trường bất biến, tách rời khỏi điều kiện chính trị)

Theo phái tâm lí học hành vi, J.B Watson (1870-1958) coi năng lực của

con người là sự thích nghi “sinh vật” với điều kiện sống

Rõ ràng, các quan điểm trên đã xem xét “năng lực” ở khía cạnh: coi nhẹ yếu

tố giáo dục mà nghiên về bản năng, từ yếu tố bẩm sinh, di truyền của con người

Các nhà tâm lí học Mác xit thì không tuyệt đối hoá vai trò của yếu tố bẩm sinh di truyền đối với năng lực Họ nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và học tập (yếu tố giáo dục) trong việc hình thành năng lực

C Mác chỉ rõ: “Sự khác nhau về tài năng tự nhiên của các cá nhân không

phải là nguyên nhân mà là k ế t quả của sự phân công lao động” [44, tr.167]

Ph Ăng ghen thì cho rằng: “Lao đ ộng đã sáng tạo ra con người” [3, tr 641]

Trường phái tâm lí học Xô viết với A.G Côvaliov [11, tr.84-127], N.X Lâytex,… mà tiêu biểu là B.M Chieplôv đã coi năng lực là điều kiện cho hoạt động có ích của con người Theo ông có hai yếu tố cơ bản liên quan đến khái niệm năng lực:

Thứ nhất, năng lực là những đặc điểm tâm lí mang tính cá nhân Mỗi

cá thể khác nhau có năng lực khác nhau về cùng một lĩnh vực Không thể nói rằng: mọi người đều có năng lực như nhau!

Thứ hai, năng lực, không chỉ là các đặc điểm tâm lí chung mà năng lực

còn phải gắn với một hoạt động nào đó và được hoàn thành có kết quả tốt

Cũng theo quan điểm trên, X.L Rubinstein cho rằng: “Năng lực là toàn bộ những thuộc tính tâm lí làm cho con người thích hợp với một hoạt động có ích lợi

xã hội nhất định” (Dẫn theo [75, tr.7])

Ở Việt Nam, khái niệm “năng lực” cho đến ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau, dưới đây là một số cách hiểu về năng lực:

Năng lực là phẩm chất tâm lí tạo ra cho con người khả năng hoàn thành

một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao [76]

Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành

có kết quả một số hoạt động nào đó [5]

Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động nào đó [8]

Như vậy, cả ba quan điểm trên đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy sinh

và quan sát được trong hoạt động giải quyết những vấn đề mới mẽ, và do đó nó gắn

liền với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (quan điểm 3 gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc)

Nhấn mạnh đến tính mục đích và nhân cách của năng lực, Phạm Minh Hạc

đưa ra định nghĩa: “Năng lực chính là một tổ hợp các đ ặc điểm tâm lí của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí của một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đ ấy” [20, tr.145]

Mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản như tính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng tạo và độc đáo trong GQVĐ

b) Kĩ năng, kĩ xảo và mối quan hệ với năng lực

Thực tiễn cuộc sống luôn đặt con người trước những nhiệm vụ nhận thức và thực hành nhất định Để giải quyết được công việc con người cần sử dụng vốn hiểu biết, kinh nghiệm của mình nhằm tách ra những mặt của hiện thực là bản chất đối với nhiệm vụ được đặt ra và nó thực hiện những biến đổi có thể dẫn tới chỗ giải quyết được nhiệm vụ đó Với quá trình đó con người dần dần hình thành cho mình một hệ thống các kĩ năng để giải quyết các vấn đề

Theo qua điểm của M.A Đanilôp và M.N Xcatkin thì: "K ĩ năng bao giờ cũng xuất phát từ kiến thức, kĩ năng chính là kiến thức trong hành đ ộng Kĩ năng là khả năng của con người biết sử dụng một cách có mục đích và sáng tạo những kiến thức" [15, tr.26] Còn X Rogiers thì cho rằng: "K ĩ năng là khả năng thực hiện một cái gì đó Đó là một hoạt động đ ược thực hiện" [64, tr.79].

Theo giáo trình tâm lí học đại cương thì : "K ĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định "[13, tr.149]

Qua tổng hợp các nghiên cứu chúng tôi cho rằng: Mặc dù, các định nghĩa trên không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng tựu trung lại thì đều nói kĩ năng là phương thức hành động dựa trên cơ sở của tri thức, luôn được biểu hiện qua các nội dung cụ thể, là khả năng vận dụng kiến thức ( khái niệm, cách thức, phương pháp ) để giải quyết một nhiệm vụ mới Kĩ năng có thể được hình thành theo con đường luyện tập Kĩ năng là một bộ phận cấu thành năng lực, còn kĩ xão chính là

thể hiện mức độ tinh vi, thành thục khi thực hiện các kĩ năng

Nhìn nhận vấn đề năng lực dưới góc độ gắn với các kĩ năng, xét từ phương diện tìm cách phát triển những năng lực cho học sinh trong học tập,

X Rogiers đã mô hình hoá khái niệm năng lực thành các kĩ năng hành động

trên những nội dung cụ thể trong một loại tình huống hoạt động: “Năng lực chính là sự tích hợp các kĩ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt các tình huống cho trước để giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra” [64, tr.90]

Như vậy, năng lực và kĩ năng, kĩ xảo có mối liên hệ khăng khít, gắn bó, năng lực thường bao gồm một tổ hợp các kĩ năng thành phần có quan hệ chặt chẽ với nhau, giúp con người hoạt động có kết quả Tuy có nhiều cách hiểu và diễn đạt khác nhau về năng lực, song về cơ bản các nhà tâm lí học đều thống nhất rằng:

Năng lực tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; để có năng lực cần phải có những phẩm chất của cá nhân đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao

Người có năng lực về một hoạt động nào đó cần phải:

+ Có tri thức về hoạt động đó;

+ Tiến hành thành thạo theo đúng các yêu cầu của nó một cách có hiệu quả;

+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra;

+ Biết tiến hành có kết quả trong những điều kiện khác nhau

Tóm lại, trên cơ sở tìm hiểu và phân tích những quan điểm về năng lực, nhìn dưới góc độ phương tiện giáo dục, chúng tôi tổng hợp lại như sau:

Năng lực thể hiện đặc thù tâm lí, sinh lí khác biệt của cá nhân, chịu ảnh hưởng của yếu tố bẩm sinh di truyền về mặt sinh học, được phát triển hay hạn chế còn do những điều kiện khác của môi trường sống

Những yếu tố bẩm sinh của năng lực cần có môi trường điều kiện xã hội (cụ thể là môi trường giáo dục) thuận lợi mới phát triển được, nếu không sẽ bị mai một Do vậy năng lực không chỉ là yếu tố bẩm sinh, mà còn phát triển trong hoạt động, chỉ tồn tại và thể hiện trong mỗi hoạt động cụ thể

Năng lực không mang tính chung chung, khi nói đến năng lực là nói đến năng lực trong một loại hoạt động cụ thể của con người (chẳng hạn, năng lực Toán học của hoạt động học tập hay nghiên cứu Toán học).

Cấu trúc của năng lực bao gồm một tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện những hành động thành phần và có liên quan chặt chẽ với nhau Đồng thời năng lực còn liên quan đến khả năng phán đoán, nhận thức, hứng thú và tình cảm

Hình thành và phát triển những năng lực cơ bản của học sinh trong học tập và đời sống là nhiệm vụ quan trọng của các nhà trường sư phạm

1.2.1.2 Năng lực Toán học

Đã có nhiều nghiên cứu về năng lực Toán học từ những phương diện khác nhau, Trong đó, một trong những công trình nghiên cứu đầy đủ nhất là của

V.A Cruchetxki là công trình Tâm lí năng lực toán học của học sinh

Theo V A Cruchetxki [12, tr.168]: “Những năng lực toán học được hiểu

là những đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học”.

Ông nhìn nhận cấu trúc năng lực Toán học ở lứa tuổi HS dưới góc độ thu nhận

và xử líthông tin đã phân chia năng lực Toán học bao gồm 4 thành tố cơ bản là:

1) Thu nhận thông tin toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu Toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán;

2) Chế biến thông tin Toán học:

a) Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và hình d ạng không gian, hệ thống kí hiệu số và dấu Năng lực tư duy b ằng các kí hiệu Toán học

b) Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng các đối tượng, quan hệ Toán học và phép toán

c) Năng lực rút gọn quá trình suy luận Toán học và hệ thống các phép toán tương ứng Năng lực tư duy bằng cấu trúc rút gọn

d) Tính linh hoạt trong quá trình tư duy trong hoạt động Toán học

e) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sữa sai lại phương hướng của tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đ ảo (trong suy luận Toán học)

3) Lưu trữ thông tin toán học: Trí nhớ Toán học (trí nhớ khái quát về hệ thống Toán học; đặc điểm về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải Toán; nguyên tắc đ ường lối giải Toán)

4) Thành phần tổng hợp khái quát: khuynh hướng Toán học của trí tuệ

Viện sĩ A.N Kôlmôgôrôv [70, tr.18] xem xét năng lực Toán học trên

cơ sở 3 thành tố có liên quan đến khả năng biến đổi biểu thức chữ, tưởng tượng và suy luận lôgic:

1) Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm con đường giải các phương trình không theo quy tắc chu+n, hoặc như các nhà toán học quen gọi là năng lực tính toán hay năng lực “angoritmic”;

2) Trí tưởng tượng hình học hay là “năng lực trực giác”;

3) Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bước được phân chia một cách đúng đắn Đặc biệt, có kĩ năng vận dụng đúng đắn nguyên lý quy nạp toán học

E L Thorndike, khi nghiên cứu về năng lực Toán học của HS trong cuốn

Các vấn đề giảng dạy Đại số 1920 [70, tr.18], đã đi sâu vào lĩnh vực Đại số và đưa

ra 7 thành tố của năng lực Đại số gồm:

1) Năng lực hiểu và thiết lập công thức;

2) Năng lực biểu diễn các tương quan số lượng thành công thức;

3) Năng lực biến đổi các công thức;

4) Năng lực thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng đã cho; 5) Năng lực giải các phương trình;

6) Năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất;

7) Năng lực biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của hai đại lượng

Trong các bài viết về giáo dục học ở trường phổ thông của Viện sĩ B.V Gơnheđencô, ông đưa ra các yêu cầu đối với tư duy Toán học của học sinh là:

1) Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy đ ược sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh;

2) Sự cô đọng;

3) Sự chính xác của các kí hiệu;

4) Phân chia rõ tiến trình suy luận;

5) Thói quen lí lẽ đầy đủ về logic (Dẫn theo [70, tr.15])

Unesco đã công bố 10 tiêu chí năng lực Toán học cơ bản như sau [83]:

1) Năng lực phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép toán, các khái niệm;

2) Năng lực tính nhanh và tính c+n thận, sử dụng đúng các kí hiệu;

3) Năng lực dịch chuyển các dữ liệu thành kí hiệu;

4) Năng lực biễu diễn các dữ kiện, +n, các điều kiện ràng buộc giữa chúng thành kí hiệu;

5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;

6) Năng lực xây dựng một chứng minh;

7) Năng lực giải một bài toán đã toán học hóa;

8) Năng lực giải một bài toán có lời văn (chưa toán học hóa)

9) Năng lực phân tích bài toán và xác định phép toán có thể áp dụng; 10) Năng lực khái quát hóa

Theo A.A Stoliar [2], dạy Toán có thể xem như dạy cho HS hoạt động Toán học, mà học toán bao gồm các hoạt động liên quan đến Số học, Đại số, Giải tích, Hình học nên ta có thể phân chia năng lực Toán học thành các năng lực học

Số học, năng lực học Đại số, năng lực học Giải tích, năng lực học Hình học… Vì Toán học có tính trừu tượng cao và tính lôgic chặt chẽ nên hoạt động học Toán liên quan chặt chẽ với tư duy Toán học Do đó, năng lực Toán học có thể được nghiên cứu từ những góc độ riêng, từ những chủ đề cụ thể

Ở Việt Nam, tiếp cận theo hướng bồi dưỡng năng lực Toán học cho học sinh trung học cơ sở, Trần Đình Châu tập trung vào bốn yếu tố của nó trong dạy học

Số học [8, tr.38-39] Nhìn từ góc độ bồi dưỡng tư duy sáng tạo, Tôn Thân đã

tập trung nghiên cứu ba trong năm thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo là “tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, và tính đ ộc đáo” [66, tr.12-13] Từ khía cạnh rèn

luyện năng lực tư duy trong năng lực Toán học, Nguyễn Thái Hoè đưa ra các yêu cầu rèn luyện tư duy qua giải bài tập Toán [27, tr.4];

Nghiên cứu rèn luyện năng lực giải Toán, Nguyễn Thị Hương Trang

đã tiếp cận năng lực này từ quan điểm “phát hi ện và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo” [71] Còn Lê Thống Nhất thì đi theo hướng tìm hiểu, phân loại các sai

lầm và biện pháp sửa chữa cho HS Trung học phổ thông [46], …

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, trong cuốn Phương pháp dạy học môn Toán (2004) [34, tr.53-59], đã viết một cách tổng hợp về phát triển năng lực trí tuệ

toán học cho học sinh, thể hiện ở 4 mặt:

Thứ nhất là rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác Do tư duy không

thể tách rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ Vì vậy, việc phát triển tư duy logic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác

Thứ hai là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng Khi phát triển khả

năng này cần lưu ý hai mặt sau:

+ Làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét tương tự, khái quát hóa quy lạ về quen;

+ Tập luyện cho học sinh khả năng hình dung được những đối tượng, quan

hệ không gian và làm việc với chúng trên nhũng dữ liệu bằng lời hay những hình phẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành, sáng tạo

ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có trong đời sống

Thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp,

trừu tượng hóa, khái quát hóa,

Thứ tư là hình thành những phẩm chất trí tuệ Các phẩm chất trí tuệ quan

trọng cần rèn luyện cho học sinh là: Tính linh hoạt; tính độc lập; tính sáng tạo Trên cơ sở nghiên cứu những lí luận và thực tiễn, có thể thấy:

Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của

HS, giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán

Năng lực Toán học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua các hoạt động của học sinh nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong môn Toán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài toán,…

1.2.2 Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học

1.2.2.1 Vai trò của hoạt động giải quyết vấn đề trong học Toán

Mỗi nội dung kiến thức Toán học mà HS học được đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định Đó là những hoạt động được tiến hành trong quá trình hình thành và vận dụng kiến thức đó Theo Nguyễn Bá Kim [34, tr.13], việc phát hiện được những hoạt động tiềm tàng trong nội dung đã vạch được một con đường để người học chiếm lĩnh được nội dung đó, đồng thời giúp họ cụ thể hóa được mục đích dạy học có đạt được hay không và đạt đến mức độ nào

Trong hoạt động học Toán, mỗi vấn đề được biểu thị thành các câu hỏi, yêu cầu bài toán chưa có sẵn lời giải thích hoặc cách thực hiện [34, tr.116]

Để giải quyết được nhiệm vụ học Toán, HS cần phải tiến hành những hoạt động phát hiện và giải quyết những tình huống liên quan đến môn Toán: Chẳng hạn: xây dựng khái niệm, hình thành qui tắc, công thức, chứng minh định lí và giải bài tập Toán Mỗi nhiệm vụ nhận thức trong tình huống đó (dù ở cấp độ nào) cũng có cấu trúc như một bài toán, do đó có thể coi là một bài toán Vì vậy, có thể nói rằng: vấn đề trong học Toán là bài toán (theo nghĩa rộng) mà HS chưa biết lời giải

Quá trình nhận thức của HS theo hướng GQVĐ (cũng giống như quá trình giải quyết bài toán) có thể chia thành các bước: Tìm hiểu vấn đề (dự đoán vấn đề liên quan, làm rõ và giới hạn vấn đề); thực hiện việc GQVĐ; tự kiểm tra các kết quả và quá trình Trong đó, ở bước đầu và cuối, hoạt động nhận thức của H S diễn ra thường được bắt đầu bởi tư duy trực giác, trong tình huống đòi hỏi cách tư duy phê phán, cách tiếp cận sáng tạo để đạt kết quả

tìm tòi, xác minh vấn đề, mặt khác ở bước GQVĐ thì hoạt động nhận thức lại

diễn ra trong tình huống mà ở đó đòi hỏi cách tư duy lôgic Như vậy, hoạt động

GQVĐ vừa cần tư duy lôgic lại vừa cần tư duy sáng tạo và càng không thể

thiếu tư duy trực giác

1.2.2.2 Nội dung của hoạt động giải quyết vấn đề trong dạy học Toán

1.2.2.2.1 Quan điểm về vấn đề và giải quyết vấn đề:

a) Vấn đề

Một vấn đề thường được định nghĩa là “ một tình huống mà một cái gì đó

được tìm thấy hoặc hiển thị và cách thức để tìm kiếm hoặc hiển thị nó không

phải là rỏ ràng ngay lập tức”, một vấn đề có thể nói là “một tình huống mà

người ta không có một giải pháp sẵn sàng”cho nó Trong cuốn sách của Polya

về khám phá Toán học, ông chỉ ra rằng “ có vấn đề là một phương tiện để tìm

kiếm có ý thức đối với một số hành động thích hợp để đạt được một mục tiêu rõ

ràng được hình thành, nhưng không phải ngay lập tức đạt được” [80, tr.11-12] Theo I.Ia Lecne: “V ấn đề là một câu hỏi nảy ra hay đ ược đặt ra cho chủ

thể, mà chủ thể chưa biết lời giải từ trước và phải tìm tòi sáng tạo lời giải,

nhưng chủ thể đ ã có sẵn một số phương tiện ban đầu để sử dụng thích hợp vào

việc tìm tòi nó” [39, tr.27]

Q uan điểm của Reys thì cho rằng: “M ột vấn đề có liên quan đến một tình

huống, trong đó người ta muốn đạt một cái gì đó và ngay lúc đó không biết cần

phải làm gì đ ể có đ ược nó” Chẳng hạn, đối với học sinh có thể được yêu cầu vẽ

một chiếc hộp để đựng quà sinh nhật Đối với Reys thì điều này được xem như

là vấn đề, nếu như những học sinh này thực sự có nguyện vọng vẽ một chiếc hộp [14]

Lê Ngọc Sơn trong [63, tr.26] đã cho rằng: “V ấn đề là một bài toán, một câu

hỏi hay một đòi hỏi yêu cầu hành đ ộng giải quyết, đ òi hỏi một cá nhân hay một

nhóm đưa ra cách giải, câu trả lời, các hành động phải tiến hành, mà chưa biết con đ ường nào dẫn tới kết quả ” Vấn đề gồm ba phần cơ bản: thông tin, kết

luận và chủ thể Vấn đề mang tính triết học (bởi nó chứa đựng mâu thuẫn), có yếu

tố tâm lí (vì chủ thể mong muốn được giải quyết), đồng thời cũng mang tính giáo dục (bởi chủ thể có thể giải quyết được)

Theo Nguyễn Bá Kim: “M ột bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa có trong tay một thuật giải có thể áp dụng để giải bài toán đó” [34, tr.183]

Trên cơ sở các phân tích trên, chúng tôi đề xuất một ý kiến rằng, một

vấn đề là một tình huống có tính vừa sức, thu hút và hấp dẫn đối với chủ thể (đứa trẻ, người học, đối tượng tiếp thu ), vì thế chủ thể đó muốn khám phá tình huống đó một cách đầy đủ để tăng thêm hiểu biết Các mục tiêu được

phát sinh một cách tự nhiên trong khám phá và chúng được xác định không phải do người đưa ra vấn đề, mà bởi chính chủ thể Chủ thể đến lượt mình lại khảo sát tình huống có vấn đề đó trước khi đi khám phá ra các con đường hấp dẫn, trong khi nó vẫn đeo đuổi con đường có thể hoặc không thể dẫn đến

một giải pháp thỏa đáng Như P Ernest đã nêu một cách tóm lược, “ý nghĩa là

ở chỗ khám phá ra một vùng đất chưa ai biết đến chứ không phải là một chuyến đi đến một cái đích đ ã đ ịnh sẵn” [79, tr.41]

b) Gi ải quyết vấn đề

GQVĐ được nhận định theo nghĩa thông thường là thiết lập những phương pháp thích ứng để giải quyết các khó khăn, trở ngại Theo nhận định của một số nhà tâm lí học thì hầu hết các kiến thức HS tiếp thu được đều liên quan đến việc giải quyết các vấn đề nói chung và vấn đề khó khăn nói riêng Đối với vấn đề có độ khó cao hơn, các phương pháp giải quyết cần phải tối ưu khi giải pháp thông thường không thể đáp ứng với hoàn cảnh khó khăn này

Ở góc độ coi GQVĐ như một phương thức dạy học, đã có nhiều công trình nghiên cứu ở Việt Nam như của Nguyễn Bá Kim – Vũ Dương Thụy [31], Nguyễn Hữu Châu [7], Nguyễn Anh Tuấn [75],… và trên thế giới của V.Ôkôn [48], I.Ia Lecne [39]… bên cạnh đó GQVĐ không chỉ xem như một cách tiếp cận dạy học mà còn được coi là một mục tiêu, một năng lực cần đạt đến trong dạy học [30, tr 20]

Branford trong nghiên cứu The IDEAL problem Solver - Người GQVĐ lý tưởng, xuất bản 1984 đã đề nghị 5 thành phần trong việc GQVĐ là:

1) Nhận diện vấn đề;

2) Tìm hiểu cặn kẽ vấn đề khó khăn;

3) Đưa ra một giải pháp;

4) Thực hiện giải pháp;

5) Đánh giá hiệu quả việc thực hiện

Trong tác phẩm nổi tiếng của Polya là: “How to solve it” đã giới thiệu những

phương pháp GQVĐ rất hiệu quả Phương pháp của Polya được gọi với một

thuật ngữ chung là “heuristics” (Nghĩa là GQVĐ bằng cách đánh giá kinh nghiệm

và tìm lời giải qua thử nghiệm) Polya cũng từng nói rằng: “Vấn đề của bạn có thể

là đơn giản nhất, nhưng nếu nó tạo cho bạn sự tò mò, mang lại những ý tưởng sáng tạo và bạn giải quyết nó bằng năng lực bản thân thì điều đó sẽ đem lại những kinh nghiệm cùng niềm vui của sự khám phá”

Khi nói đến GQVĐ chúng ta cần phải hiểu rằng

- Đối với HS, đó chính là để hình thành con đường tiếp cận bài toán;

- Đối với GV, GQVĐ lại mang ý nghĩa của một phương pháp dạy học mới

Hai khía cạnh này liên quan chặt chẽ với nhau bởi vì với phương pháp truyền thống HS khó có thể hình thành và phát triển NLGQVĐ Chính vì vậy, phương pháp GQVĐ cần được tồn tại và phát triển trong một môi trường dạy học GQVĐ tạo ra Để làm được điều này, GV phải là người đi đầu, phải đưa ra những vấn đề với nhiều cách giải quyết linh hoạt để minh họa cho những phương pháp GQVĐ Sau đó, GV sẽ đưa ra những vấn đề mở rộng để chứng tỏ sức mạnh của phương pháp này HS phải thật sự kiên nhẫn bởi vì đối với HS bắt đầu quá trình GQVĐ cũng có nghĩa là bắt đầu quá trình của những khám phá

Như vậy, GQVĐ vừa là quá trình, vừa là quy trình, vừa là phương tiện cá

nhân sử dụng kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm có được trước đó để giải quyết một tình huống mà cá nhân đó có nhu cầu giải quyết GQVĐ không chỉ dừng lại ở ý thức mà yêu cầu chủ thể phải hành động Hoạt động GQVĐ đều bao gồm:

1) Đặc trưng khuynh hướng của nhân cách (nhu cầu, hứng thú, động cơ);

2) Hệ thống những năng lực (thu nhận, chế biến, ghi nhớ);

3) Tính cách của con người (sự tự tin);

4) Hệ thống điều khiển (tự kiểm tra, đánh giá, tự điều chỉnh)

GQVĐ được tiến hành theo các bước, trong mỗi bước, không chỉ phải thực hiện các thao tác tư duy, mà cần thực hiện một số kĩ năng, thậm chí kĩ xảo GQVĐ là những việc rất cơ bản trong học tập và trong cuộc sống hàng ngày GQVĐ trong dạy học, chính là chuẩn bị cho H S hiểu được quá trình tư duy, tiến hành sử dụng các thao tác tư duy, không chỉ để học tập mà còn để nhận thức thế giới hiện thực GQVĐ chỉ ra được mối quan hệ qua lại giữa các khái niệm Toán học, mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn Khi giải quyết một vấn

đề nào đó, H S phải dựa vào vốn hiểu biết và kinh nghiệm đã tích lũy được, tiến hành suy luận để tìm câu trả lời, cũng nhờ suy luận, H S có thể nảy sinh ý tưởng mới GQVĐ cho phép HS học và luyện tập tư duy

Như vậy, tư duy và GQVĐ có mối quan hệ mật thiết với nhau Tư duy

và GQVĐ đều là sự vận động từ chỗ chưa biết, biết không đầy đủ, đến chỗ biết đầy

đủ Kiến thức vừa là phương tiện cơ bản kích thích ban đầu hoạt động tư duy, hoạt động GQVĐ, vừa là kết quả cuối cùng của các quá trình này Tư duy để GQVĐ, thông qua GQVĐ mà phát triển tư duy Trong dạy học Toán, dạy GQVĐ tức là dạy tư duy cho HS

1.2.2.2.2 Nội dung của hoạt động giải quyết vấn đề trong dạy học Toán

Hoạt động GQVĐ trong môn Toán là những hoạt động diễn ra khi các em đứng trước những tình huống gợi vấn đề mang tính Toán học cần phải giải quyết, phải tìm tòi để phát hiện ra vấn đề và sáng tạo để giải quyết những vấn đề đó:

tự rút ra công thức, tự chứng minh định lí, tìm cách ghi nhớ tích cực những vấn

đề cần lĩnh hội; tự tìm ra cách giải hay và gọn những bài toán lý thuyết hay thực hành Thông thường, HS giải quyết bài toán dựa trên những kinh nghiệm sẵn

có, có thể đó là dạng toán mà HS đã gặp, đã làm, bài toán đã được cung cấp thuật toán sẵn Nhưng khi gặp dạng toán mới (tình huống có vấn đề) yêu cầu sử dụng những phân tích hợp lí để đi đến kết quả thì học sinh sẽ gặp phải trở ngại và rơi vào thế bị động Hoạt động GQVĐ là một phương pháp giúp HS khắc phục được điều

này Hoạt động GQVĐ đã rèn luyện HS lúc đứng trước một tình huống phải biết phân tích và tư duy một cách linh hoạt để tìm ra con đường tốt nhất để giải quyết Kết quả là HS lĩnh hội được tri thức và học được cách tự khám phá

Từ cách hiểu về vấn đề và GQVĐ ở trên, trong học Toán, chúng tôi quan niệm hoạt động GQVĐ liên quan đến: các hoạt động của HS nhằm phát hiện ra trong tình huống - bài toán những yếu tố Toán học cùng các mối quan hệ giữa chúng; tìm thấy hướng giải quyết bài toán - huy động vốn kiến thức và kĩ năng đã có tiến hành thực hiện các hoạt động Toán học (tính toán, biến đổi, suy luận…) để đi đến lời giải bài toán, thực hiện được yêu cầu của bài toán Như vậy, hoạt động GQVĐ trong dạy học Toán bao gồm:

+ Phát huy, huy động kiến thức và phương pháp đã biết liên quan tới nội dung những vấn đề cụ thể trong học Toán

+ Phát hiện hướng giải quyết và tiến hành giải quyết những vấn đề Toán học một cách có kết quả

+ Vận dụng trong những tình huống học Toán tương tự, đặc biệt và khái quát hóa

Có thể thấy rằng, hoạt động phát hiện và GQVĐ trong hoạt động nhận thức

có mối quan hệ mật thiết và hổ trợ lẫn nhau: trong phát hiện lại có GQVĐ,

để GQVĐ lại cần phát hiện, cứ tiếp tục phát triển như vậy sẽ nâng cao phát triển hoạt động nhận thức Song ở mỗi bước thì bao giờ cũng phát hiện trước rồi mới giải quyết sau và hoạt động Toán học của H S là sự tổng hòa giữa các hoạt động phát hiện và hoạt động giải quyết, chúng luôn đan xen và tác động tương hỗ lẫn nhau trong quá trình tìm tòi và xác minh kiến thức, hình thành

kĩ năng và phương pháp Toán học

Khi vận dụng các phương pháp dạy học để tạo điều kiện cho HS GQVĐ trong môn Toán ta có thể khai thác những khía cạnh sau:

- Có ba con đường để hình thành khái niệm, đó là con đường quy nạp, con đường suy diễn và con đường kiến thiết Nói chung, người ta thường sử dụng cả

ba con đường này trong quá trình hình thành khái niệm cho HS

- Có hai con đường để tiếp cận định lí là suy diễn và suy đoán

- Trong dạy giải bài tập Toán ta có thể hình thành và rèn luyện cho H S kĩ năng tìm kiếm lời giải theo 4 bước của Polya:

1) Hiểu rõ bài toán:

Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải có hứng thú giải bài toán đó Vì vậy điều đầu tiên người GV cần chú ý hướng dẫn HS giải Toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải Toán của các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải muốn vậy cần phải: Phân tích giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán dưới một hình thức khác được không? Như

vậy, ngay ở bước “Hiểu rõ đề Toán” ta đã thấy được vai trò của các thao tác tư duy

trong việc định hướng lời giải

2) Xây dựng chương trình giải:

Trong bước thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của các thao tác tư duy thể hiện rõ nét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn, biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét các trường hợp đặc biệt, xét các bài toán tương tự hay khái quát hoá hơn vv thông qua các kĩ năng sau bằng cách đặt các câu hỏi:

+ Huy động kiến thức có liên quan:

- Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào chưa Em có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?

- Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng +n hay +n số tương tự?

- Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng kết quả của nó không?

- Dự đoán kết quả phải tìm:

- Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Em có thể giải một phần của bài toán?

- Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã để

ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

- Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó +n được xác định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?

- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học nếu GV khai thác triệt để được những gợi ý trên thì

sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các bài toán Tuy nhiên để đạt được điều này thì GV phải thực hiện kiên trì tất cả các giờ dạy Toán đồng thời HS phải được tự mình áp dụng vào hoạt động giải Toán của mình

3) Thực hiện chương trình giải:

+ Từ cách giải đã phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

+ Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ

+ Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán, phát hiện, những yếu tố lệch lạc nhất thời, đã điều chỉnh những chỗ cần thiết

+ Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để HS nắm được phương pháp chung để giải bài toán và có ý thức vận dụng phương pháp chung này trong quá trình giải bài toán

4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được:

HS THPT thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của bài toán thì thỏa mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì không, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vì vậy trong quá trình dạy học,

GV cần chú ý cho HS thường xuyên thực hiện các yêu cầu sau:

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận

- Xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán

- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thường có nhiều cách giải,

HS thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài toán nhiều khi độc đáo và sáng tạo Vì vậy, GV cần lưu ý để phát huy tính sáng tạo của HS trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài toán Tuy nhiên cũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho HS trung bình và kém chán nản

Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải bài toán này cho một bài toán khác, đề xuất bài toán mới: Có thể yêu cầu này là quá cao đối với HS yếu kém, nhưng có thể coi là một phương hướng bồi dưỡng HS giỏi Tuy nhiên, trong một số trường hợp đơn giản, dễ hiểu, GV có thể cho HS toàn lớp thấy được việc phân tích lời giải của bài tập toán để áp dụng vào bài toán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới

1.2.2.3 Năng lực giải quyết vấn đề trong học Toán và mối quan hệ với các năng lực khác

a) Năng lực giải quyết vấn đề trong học Toán

Từ những nghiên cứu về NLGQVĐ, vận dụng vào thực tiễn dạy học Toán

ở trường THPT, chúng tôi quan niệm: NLGQVĐ của HS trong học Toán là một tổ hợp các năng lực thể hiện ở các kĩ năng (thao tác tư duy) trong hoạt động học tập nhằm giải quyết có hiệu quả những nhiệm vụ của Toán học

NLGQVĐ bao gồm hai hoạt động thành phần là hoạt động phát hiện vấn đề

và hoạt động GQVĐ, chúng tôi quan niệm NLGQVĐ trong học Toán theo hai nhóm năng lực phát hiện vấn đề và NLGQVĐ như sau:

Nhóm n ăng lực phát hiện vấn đề trong học Toán

+ Năng lực phát hiện mâu thuẫn, tính có vấn đề trong tình huống: nhận ra biểu tượng, dấu hiệu bản chất, tính chất chung, mối quan hệ về mặt Toán học của một loạt sự vật hiện tượng

+ Năng lực phát hiện sai lầm, nhược điểm trong cách giải bài toán, trong

quá trình tìm hiểu giới hạn cách GQVĐ;

+ Năng lực nhìn thấy vấn đề ở những góc độ khác nhau và chọn được cách

giải quyết thuận lợi cho việc giải bài toán

Nhóm n ăng lực giải quyết vấn đề trong học Toán

+ Năng lực sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu, vẽ hình, đọc hình vẽ;

+ Năng lực tính toán, năng lực suy luận và chứng minh;

+ Năng lực hệ thống hoá vấn đề;

+ Năng lực qui kết quả GQVĐ đúng tình huống, đúng giới hạn vấn đề;

+ Năng lực sửa chữa sai lầm

+ Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ bài toán trong nội tại Toán học (Chẳng hạn,

từ bài toán Đại số, Giải tích, Lượng giác về bài toán Hình học và ngược lại để

giúp cho việc GQVĐ được thuận lợi hơn, đa dạng hơn)

b) Mối quan hệ giữa năng lực giải quyết vấn đề với một số năng lực

khác

Từ những công trình nghiên cứu có liên quan tới vấn đề năng lực trong

học Toán và NLGQVĐ, có thể thấy rằng: trong thực tiễn, NLGQVĐ có những

mối quan hệ khác như: có mối quan hệ với năng lực học Toán, năng lực giải Toán,… chúng đan xen, tương hỗ, gắn bó với nhau trong quá trình nhận thức

nhiều mặt của học sinh:

+ Nếu hiểu mỗi vấn đề trong Toán học của học sinh theo nghĩa hẹp (là

khái niệm, định lí, bài toán,…) thì NLGQVĐ là một trong những thành phần

quan trọng hình thành nên năng lực học Toán Trong Toán học, NLGQVĐ có

thể xem xét, nghiên cứu theo đặc thù từng phân môn: Đại số, Hình học,… Chúng có những biểu hiện riêng gắn với tính chất các hoạt động tương ứng ở mỗi

phân môn, đồng thời có mối liên hệ chặt chẽ tương hỗ lẫn nhau, tạo nên

NLGQVĐ và năng lực học Toán thông qua quá trình dạy học Toán (yếu tố giáo

dục) Mặt khác, nếu xét theo các tình huống dạy học điển hình của môn Toán

thì có năng lực học khái niệm, năng lực suy luận chứng minh định lí, giải toán…

trong năng lực học Toán nói chung Trong đó NLGQVĐ đều có mặt và

đóng vai trò quan trọng ở mỗi năng lực thành phần (nhất là năng lực giải Toán bởi tính vấn đề trong bài toán và hoạt động giải Toán tự nó thể hiện rõ đặc thù GQVĐ)

+ Nếu xét ở phạm vi của thực tiễn cuộc sống, mỗi HS luôn phải tự nhận biết

và giải quyết những vấn đề xảy ra đối với bản thân (trong đó có những vấn đề của việc học Toán) thì NLGQVĐ có cấu trúc phức tạp hơn, bao gồm nhiều thành phần và có vai trò rộng hơn năng lực học tập (nói riêng là năng lực học Toán) Nhưng nếu xét riêng ở phạm vi học Toán, hay hẹp hơn nữa là trong hoạt động giải Toán thì mỗi bài toán có thể chứa nhiều vấn đề Khi đó, NLGQVĐ lại là một bộ phận trong năng lực giải Toán, năng lực học Toán…

+ Năng lực tư duy sáng tạo đòi hỏi sự phát triển của NLGQVĐ ở mức độ cao + Năng lực học Toán là một thành phần (cùng với năng khiếu bẩm sinh tương đối cao) để hình thành nên năng lực Toán học

+ Ở các nhà Toán học nổi tiếng, năng lực sáng tạo Toán học là sự phát triển năng lực Toán học, NLGQVĐ ở mức độ cao dựa trên cơ sở quan trọng là tài năng đặc biệt (yếu tố bẩm sinh)

1.3 Các thành tố của năng lực giải quyết vấn đề trong học Toán của học sinh Trung học phổ thông

Dựa trên cơ sở phân tích các kết quả của nhà khoa học, chúng tôi thấy rằng, NLGQVĐ của HS THPT trong học Toán bao gồm các thành tố sau:

1.3.1 Năng lực nhận ra mâu thuẫn trong các tình huống để từ đó thấy được nhu cầu cần giải quyết vấn đề trong tình huống, dẫn tới việc chọn lọc, vận dụng những kiến thức, kĩ năng đ ã học để khai thác tình huống và tiếp cận vấn đề

Mâu thuẫn giữa nhiệm vụ nhận thức với trình độ tri thức của HS đã là hạt nhân của tình huống có vấn đề và là động lực của hoạt động tìm tòi trong học tập Theo Nguyễn Bá Kim [31], Phạm Gia Đức [17, tr.134-135] và Hoàng Chúng [10] thì hoạt động nhận thức một vấn đề Toán học nói chung bao gồm hai giai đoạn

chính: hình thành, xây dựng và củng cố, vận dụng Mặt tâm lí của NLGQVĐ trong

hoạt động này là hứng thú tìm tòi, lòng ham hiểu biết nên nếu sự hứng thú không được hình thành thì bản thân sự lĩnh hội kiến thức sẽ diễn ra thấp hơn nhiều

so với tiềm năng sẵn có của HS

Động cơ đúng đắn và phù hợp phải gắn liền với nội dung Toán học, động cơ này lại được cụ thể hoá thành từng nhiệm vụ học tập - là từng đơn vị (tế bào) của hoạt động GQVĐ Để giải quyết nhiệm vụ đó, nhất thiết HS phải tiến hành một loạt các hành động như huy động và tổ chức kiến thức có liên quan đến tình huống chứa vấn đề; tách biệt và kết hợp các kiến thức; dự đoán và kiểm tra điều dự đoán;… với các thao tác tương ứng như: nhận biết, nhớ lại (ở đây đóng vai trò năng lực huy động, tái hiện kiến thức), bổ sung, phân nhóm,…

Như vậy HS cần phải hòa nhập vào tình huống có vấn đề, tức là nhận thấy có

sự mâu thuẫn giữa tình huống mới với vốn tri thức kĩ năng của bản thân Từ đó nảy sinh nhu cầu tìm hiểu xem có điều gì mới chứa đựng bên trong tình huống Đồng thời từ việc nắm vững các dữ kiện qui gọn, tránh đuợc tình trạng lan man không định hướng

Để hình thành, xây dựng nhu cầu G QVĐ từ tình huống đã có, HS cần huy động các kiến thức, kĩ năng có liên quan đến các dữ kiện trong tình huống đó Trên cơ sở xác định mối liên hệ giữa các kiến thức, kĩ năng đã có với vấn đề đang cần giải quyết, từ đó học sinh sẽ hình thành, xây dựng được nhu cầu GQVĐ trong tình huống nêu ra

Ví dụ 1.1: Khi dạy định lí Bất đẳng thức Côsi (Bất đẳng thức giữa trung bình

cộng và trung bình nhân (AM-GM) ) cho HS lớp 10, GV cần tạo tình huống có vấn

đề cho HS tham gia vào để hình thành một định lí mới một cách tích cực tránh lối truyền thụ một chiều

GV có thể đưa ra tình huống từ bài toán sau :

Cho hai số tự nhiên a và b sao cho có tích bằng 16 Em hãy điền kết quả vào các ô trống còn lại trong bảng sau đây rồi so sánh

Kết quả mong đợi ở HS:

Từ bảng kết quả trên suy ra:

Kết quả của việc giải quyết vấn đề trên chính là nội dung của BĐT Côsi cho

hai số không âm

Như vậy, từ phát hiện mâu thuẫn trong tình huống, thấy được nhu cầu cần GQVĐ trong tình huống, từ đó huy động, tái hiện những kiến thức, kĩ năng đã học có liên quan để khai thác tình huống, tiếp cận, nhận biết tình huống và giải quyết vấn đề

1.3.2 Năng lực tìm ra các biểu tượng trực quan liên quan đ ến vấn đề

V.I Lênin đã viết: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, và

từ đó về thực tiễn - đó là con đường biện chứng của nhận thức hiện thực khách quan” [48], Còn I Kant thì coi trực giác thần túy là nguồn gốc của mọi suy

luận tổng hợp tiên nghiệm của Toán học Con đường nhận thức nói chung và GQVĐ nói riêng nếu đi từ trực giác (bằng quan sát, tư duy trên đối tượng cụ

thể) đến kết luận lôgic (bằng suy diễn, tư duy trừu tượng) có những phù hợp nhất định đối với đặc điểm tâm sinh lí và nhận thức ở lứa tuổi HS THPT

Ba cá nhân có lẽ có ảnh hưởng lớn nhất đến tư tưởng của thế kỉ XX l à Albert Einstien, Charles Darwin và Sigmund Freud họ đã dùng hình ảnh trực quan như là một công cụ để làm ra những công trình lớn trong suốt cả cuộc đời Những ghi chép của Darwin phản ánh niềm đam mê không biết mệt mỏi của ông với những hình ảnh cây cối Biểu tượng này có vẻ rất quan trọng trong việc giúp ông

hình tượng hóa thuyết tiến hóa, Ông viết: “Sự hiện diện có tổ chức của các sinh vật đ ược sắp xếp giống như một cái cây, chia cành nhánh bất thường, giống như cây khô, đâm chồi rồi chết đi trong khi chồi non sinh ra” Tương tự vậy, ở độ

tuổi 16, Albert Einstien đã nhận được một trong những cảm hứng chủ yếu cho thuyết tương đối của ông, khi Ông tưởng tượng ra một thứ có vẻ như là đường đi của những tia sáng Còn Sigmund Freud đã chứng minh những học thuyết của bản thân ông một phần là nhờ vào hình ảnh của một hòn đảo nhô lên từ mặt biển - như một phép ẩn dụ của mối quan hệ giữa cái tôi và cái tiềm thức (Dẫn theo [77])

Mô tả cho thành tố này trong dạy học Toán, chúng tôi xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.2. Xét cách hình thành định lí về dấu của tam thức bậc hai

a và dấu giá trị của hàm số f(x) ứng với mỗi giá trị x?

HS: Sẽ dự đoán đúng sự phụ thuộc, mà đó chính là nội dung của định lí về dấu tam thức bậc hai như mong muốn

GV: Chính xác hóa lại các nhận xét, dự đoán của HS và tổng kết bằng Hình 1.2 Sau đó cho HS phát biểu nội dung định lí

Hình 1.2

Vì vậy, có thể nói một trong những kĩ năng cần thiết để HS GQVĐ nói chung

và trong Toán học nói riêng chính là khả năng nhận ra được những biểu tượng trực quan của vấn đề

1.3.3 Năng lực phát hiện điểm then chốt của vấn đề nhờ vào kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy (so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa…)

Để GQVĐ, không chỉ dừng lại ở mức độ nhận biết những thuộc tính bên ngoài của nó, bởi nó chỉ là giai đoạn nhận thức cảm tính, cần phải chuyển qua một giai đoạn nhận thức lí tính, tức là cần phải tìm hiểu bản chất của vấn đề Cho nên

có thể nói đây là một năng lực cần thiết và rất quan trọng trong quá trình học tập

và tự học tập suốt đời của người học

Thông qua những ví dụ cụ thể riêng lẻ, GV cần hướng dẫn HS sử dụng các thao tác tư duy thông dụng trong Toán học để thiết lập và biểu diễn mối liên hệ

giữa các tình huống đã cho và những kết quả mới Từ đó khái quát hoá rút ra

những điểm chung, cốt lõi của vấn đề Đồng thời với việc rút ra những cái chung từ

những cái riêng, cần phải cho HS thấy, bên cạnh cái chung cho những lớp đối

tượng cùng loại, đối với những đối tượng cụ thể, còn có thể có những hướng giải

quyết khác biệt nữa, mà nếu thay đổi đi một dữ kiện nào đó thì hướng giải khác

biệt đó không thực hiện được

Ví dụ 1.3 Cho , ,a b c > Chứng minh rằng: 0

a) 1 1 4

a b+ ≥ a b+ ; b) 1 1 1 9 ;

a b c+ + ≥a b c+ +c) Hãy tổng quát bài toán trên

Chỉ cần biết vận dụng BĐT Côsi cho hai số dương, HS có năng lực trung bình

cũng có thể chứng minh được câu a) như sau :

Cứ thế, tiếp tục suy luận và dự doán các em HS có năng lực khá giỏi đã phát hiện ra quy luật chung (điểm then chốt) của hai bài toán trên như sau :

của n số hạng đã cho), từ đó các em dự đoán bài toán tổng quát hóa ở câu c) như

sau: Cho n số dương a a1, , ,2 a n, ta luôn có 2

Sau đó, dùng suy luận chứng minh bài toán tổng quát

Thực tế, trong quá trình học tập ở trường phổ thông, HS có rất nhiều cơ

hội để thể hiện năng lực xem xét các sự vật, hiện tượng một cách đầy đủ, trong tất

cả các mặt, các mối quan hệ (bên trong và bên ngoài, trực tiếp và gián tiếp) trong

tổng thể những mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn vẻ của nó với các sự

vật khác, đồng thời cũng tránh được những sai lầm của cách xem xét chủ quan,

phiến diện Qua đó, thể hiện suy nghĩ một cách sáng tạo trong học Toán, tìm được nhiều hướng hay để GQVĐ, tìm được cách chứng minh tối ưu cho một định lí hay một bài toán, hay phát triển kết quả lên một nấc thang mới, điều mà xã hội luôn mong muốn

1.3.4 Năng lực Toán học hoá các tình huống thực tiễn, vận dụng tư duy Toán học trong cuộc sống

Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của HS phổ thông là khả năng HS vận dụng những hiểu biết của mình để chuyển một tình huống thực tiễn về dạng toán

học “ Năng lực toán học hóa tình huống thực tế là tổng hợp của ba thành tố: năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tế; năng lực chuyển đổi thông tin giữa thực tế và toán học; năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tế”

(Dẫn theo [1, tr.39])

HS nếu có năng lực toán học hóa các tình huống thực tiễn, thường chú

ý tới các bài toán có nội dung thực tế của khoa học, kĩ thuật, của các môn học khác và nhất là thực tế đời sống hàng ngày quen thuộc với họ Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh

từ đời sống thực tế nhằm tạo điều kiện cho HS biết vận dụng những kiến thức toán học trong nhà trường vào cuộc sống, góp phần gây hứng thú học tập, giúp

HS nắm được thực chất vấn đề và tránh hiểu các sự kiện toán học một cách hình thức

Ví dụ 1.4 Với mục đíchnhằm rèn luyện cho HS năng lực toán học hóa thực tiễn Thông qua SGK Đại số 10, khi dạy các bài toán về BĐT Côsi của hai số không

âm, GV đã nhấn mạnh đến ý nghĩa hình học có liên quan đến chu vi và diện tích của hình vuông và hình chữ nhật

Mặt khác, trong SGK Đại số 10 Nâng cao cũng phát biểu BĐT Côsi cho ba số không âm Tận dụng cơ hội này, GV có thể cho HS bài toán:

Ví dụ 1.5 Ta có một miếng tôn phẳng hình vuông với kích thước a cm, ta

muốn cắt đi ở 4 góc 4 hình vuông để uốn thành một hình hộp chữ nhật không có nắp Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất?

1.3.5 Năng lực phát hiện và sửa chữa sai lầm trong lời giải

Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc làm cho HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ

a

xảo Việc tổ chức dạy học hiệu quả sẽ có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán nói riêng, phát triển NLGQVĐ nói chung cho HS

Tuy nhiên, thực tiễn dạy học cho thấy, chất lượng học Toán ở trường phổ thông có lúc, có chỗ còn chưa tốt, biểu hiện thông qua năng lực giải Toán còn hạn chế do HS còn mắc nhiều sai lầm Vì vậy, có thể nói rằng khả năng phát hiện và sửa chữa sai lầm của HS là một trong những mấu chốt để góp phần nâng cao hơn hiệu quả học Toán

Nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm của

HS trong quá trình giảng dạy Toán Khổng Tử nói: “Sai lầm chân thật duy nhất là không sửa chữa sai lầm trước đó của mình”, Albert Einstein nói về sai lầm trong nghiên cứu khoa học: “Nếu tôi mắc sai lầm thì chỉ một lần cũng là đủ rồi”, Còn

G Polya thì phát biểu: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”[57, tr 204]

Các công trình nghiên cứu về sai lầm của HS tương đối đầy đủ và sâu sắc có thể kể đến như luận án PTS của Lê Thống Nhất, luận văn thạc sĩ của Nguyễn Hữu Hậu, và một số tác giả khác như các nhóm tác giả Trần Phương - Lê Hồng Đức

trong Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải Toán (2004)

Các nghiên cứu đều chỉ ra rằng, các nguyên nhân khiến tư duy con người nói chung, tư duy HS THP T nói riêng gặp sai lầm chủ yếu là:

- Do dữ kiện sai lầm không phản ánh đúng bản chất của sự vật, hiện tượng đó

- Do chủ thể tư duy không theo một quy luật logic, chỉ nhìn vẻ bề ngoài mà

suy vào bản chất bên trong L.X.Vưgôtxki đã chỉ rõ "khái niệm không đ ược quy v ề

sự phiếm hoá các dấu hiệu mà tính khác biệt của các sự vật trên cơ sở sự gần nhau hay sự giống nhau về bề ngoài của chúng” [77, tr.79]

- Do chủ thể tư duy nôn nóng, đốt cháy giai đoạn, mong muốn tìm ra lời giải ngay từ khi mới nhận thức được vấn đề

- Do chủ thể tư duy bỏ sót những yếu tố đơn lẻ, hay nói cách khác chủ thể tư duy đã không thu gom đủ các dữ kiện của sự vật, hiện tượng phục vụ cho việc

tư duy

Ví dụ 1.6 Chứng minh rằng a2+b2+c2≥ab bc ca+ + ; với , ,a b c ∈ℝ .

- HS thường giải như sau: Theo BĐT Côsi ta có a2+b2≥2 ;ab b2+c2≥2bc;

2 2 2

c +a ≥ ca Cộng các BĐT trên ta được BĐT cần chứng minh

- Rỏ ràng, ở đây HS vận dụng BĐT Côsi là sai, vì các số cho có thể âm Tuy nhiên, mỗi BĐT trên đều đúng, nhưng không phải theo BĐT Côsi, mà do hằng bất đẳng thức (a b− )2≥0,

Sở dĩ xãy ra sai lầm trên là do HS không chú ý đến điều kiện để vận dụng được BĐT Côsi là các số không âm Vì thế, đã vận dụng công thức một cách máy móc nên dẫn đến sai lầm mà không hay biết Đối với HS có năng lực khá hơn, trước hết họ nhận xét rằng vì đề bài cho 3 số , ,a b c ∈ℝ nên ta không thể giải bài

toán này xuất phát từ BĐT Côsi được Từ đó, họ xuất phát từ hằng BĐT (a b− )2≥0, hoặc vận dụng BĐT Bunhiacopski và giải đúng bài toán trên

1.3.6 Năng lực nắm bắt, đưa ra những qui tắc thuật giải, tựa thuật giải

để giải quyết vấn đề từ những tiền đề cho trước

Qui tắc thuật giải (thuật toán) theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được một cách đơn trị, có tính kết thúc và tính phổ dụng tuyệt đối ( cho một lớp bài toán); Còn qui tắc tựa thuật giải (tựa thuật toán) là một quy trình hữu hạn bước những chỉ dẫn thực hiện, nói chung có kết quả trong nhiều trường hợp ( không phổ dụng tuyệt đối cho một lớp bài toán)

Qui tắc tựa thuật giải khác qui tắc thuật giải ở đặc điểm như sau:

- Mỗi chỉ dẫn trong qui tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác định;

- Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn không đơn trị;

- Qui tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem lại kết quả là lời giải của một lớp bài toán

Ở trường phổ thông HS đã làm quen với những qui tắc thuật giải như tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, giải phương trình bậc hai một ẩn, giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx,…và các qui tắc tựa thuật giải như quy trình xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số,…

Để mô tả cho năng lực này, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.7 (Đề thi TSĐH 2003 khối B)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x= + 4−x2

Đây là một bài toán khó, một số học sinh thường giải như sau:

+ Tập xác định D = −[ 2;2];

2 2

họ không cần sử dụng bảng xét dấu vẫn giải được bài toán

1.3.7 Năng lực hình thành và diễn đạt các sự kiện, vấn đề toán học theo các hướng khác nhau, đ ặc biệt là biết lựa chọn cách diễn đạt có lợi cho vấn đề đang cần giải quyết

Trong quá trình học Toán khi gặp bài toán Đại số, Giải tích, nếu giải trực tiếp gặp khó khăn HS có năng lực Toán học cũng có thể chuyển thành bài toán

về Hình học Ngược lại, nếu bài toán Hình học giải bằng phương pháp tổng hợp quá phức tạp, HS có thể nghĩ tới chuyển sang ngôn ngữ của phương pháp tọa độ, véctơ Việc làm trên vừa góp phần nâng cao năng lực phát hiện và G Q V Đ vừa tăng cường hứng thú với môn học

Ví dụ 1.8 Cho a b ∈ ℝ, thỏa mãn a – 2b + 2 = 0 Chứng minh rằng:

(a−3)2+(b−5)2+ (a−5)2+(b−7)2 ≥ 6

Rõ ràng đây là bài toán không dễ ngay cả đối với HS khá, các em H S thường loay hoay với các phương pháp sử dụng các BĐT kinh điển như BĐT Côsi, BĐT Bunhiacopxki,… hay biến đổi tương đương nhưng cũng khó đi đến kết quả Đối với HS có năng lực khá tốt, qua quan sát các đặc điểm của các biểu thức (a−3)2+(b−5) ; (2 a−5)2+(b−7)2 , họ nhận thấy có mối liên hệ với công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng, từ đó chuyển bài toán về Hình học giải tích giải khá dễ dàng như sau:

Chọn A(3;5), B(5;7), M(a b; ) vì thõa mãn a – 2b + 2 = 0 nên nằm trên đường thẳng x – 2y + 2 = 0(∆ ) Lấy 'A đối xứng A qua (∆ ) ⇒ A'( )5;1 Ta có:

MA + MB = MA’+ MB≥A’B hay (a−3)2+(b−5)2+ (a−5)2+(b−7)2 ≥6

1.4 Những biểu hiện và cấp độ của năng lực giải vấn đề trong học Toán của học sinh Trung học phổ thông

1.4.1 Biểu hiện của năng lực giải vấn đề trong học Toán của học sinh

Nhìn nhận theo quan điểm của B.M Chieplôv [dẫn theo 75] thì biểu hiện của NLGQVĐ trong học tập môn Toán cần được xét từ ba phương diện:

Về đ ặc điểm nhận thức cá nhân học sinh:

Những đặc điểm tâm lí lứa tuổi HS Trung học phổ thông: yếu tố năng lực

bẩm sinh (về sinh học)

Từ những quan điểm đã trình bày về: dấu hiệu của năng lực; những biểu hiện của năng lực Toán học; cấu trúc của NLGQVĐ của HS trong dạy học Toán; tham khảo quan điểm của A.V Pêtrôvxki [50], chúng tôi đánh giá một học sinh có NLGQVĐ trong học Toán theo các tiêu chí sau đây:

+ Huy động được kiến thức Toán học liên quan tới hoạt động giải quyết một nội dung Toán học cụ thể

+ Có kĩ năng tiến hành được các hoạt động: giải bài toán, xây dựng và nắm vững khái niệm Toán học và chứng minh định lí,…

+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích yêu cầu: Chẳng hạn trong vấn đề chứng minh định lí: hiểu được chứng minh định lí, độc lập tiến hành chứng minh định lí,…

+ Biết vận dụng sáng tạo và có kết quả trong các tình huống của bài toán khác: như biết vận dụng vào các tình huống Toán học khác, mà cao hơn là vận dụng vào đời sống

+ Thể hiện được thái độ, tình cảm của mình với những lời giải bài toán: như phát hiện sai lầm và sửa sai, thấy được cái hay, sâu sắc trong mỗi cách giải…

1.4.2 Cấp độ của năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học Toán ở trường Trung học phổ thông

Có thể phân NLGQVĐ trong dạy học Toán theo các mức độ như sau:

Cấp độ 1: HS đáp ứng được những yêu cầu cơ bản GQVĐ khi vấn đề

đã được GV đặt ra một cách tương đối rõ ràng GV hướng dẫn HS vào việc huy động, áp dụng những kiến thức, cách thức hoạt động mà HS đã nắm được hoặc đã được GV chỉ ra một cách tường minh

Cấp độ 2: HS nhận ra được vấn đề trong định huống do G V đưa ra,

biết phát hiện và GQVĐ dưới sự gợi ý và dẫn dắt của GV Ở cấp độ này GV không chỉ ra cho HS một cách tường minh các tri thức và cách thức hoạt động HS cần áp dụng, mà GV chỉ giảng giải, thuyết trình, thông báo một phần hay định hướng cho

HS có thể tự tìm tòi, huy động tri thức phù hợp để GQVĐ đó